专题02 因式分解的应用（高效培优期中专项训练）数学湘教版2024八年级

专题02 因式分解的应用 考点01 利用因式分解求值 1 考点02 利用因式分解进行简算 1 考点03 利用因式分解解决整除问题 2 考点04 利用因式分解进行证明 3 考点05 利用因式分解判断三角形的形状 4 考点06 利用因式分解解决几何图形问题 6 考点07 利用因式分解解决新定义问题 11 考点08 利用因式分解解决阅读理解类问题 12 考点01 利用因式分解求值 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）已知，则 ． 3．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）若且，那么代数式 ． 4．（20-21七年级下·广西贵港·期中）根据已知条件，求代数式的值： (1)已知， ，求的值： (2)已知，，求的值． 考点02 利用因式分解进行简算 5．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 6．（2025八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) 7．（2025八年级上·全国·专题练习）简便计算 (1) (2) 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 考点03 利用因式分解解决整除问题 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 10．（24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）下列各数中，不能被整除的是（   ） A．6 B．8 C．16 D．40 11． （2025八年级上·全国·专题练习）设n为整数，用因式分解说明的值能被4整除． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）小贤同学发现：任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差能被4整除． (1)求的值； (2)设三个连续的整数中间的数为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它能被4整除； (3)在任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差能被8整除，请说明理由． 考点04 利用因式分解进行证明 13．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 14．（24-25八年级下·河北保定·期末）观察： 观察下列各式：；；………… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）的结果是7的 倍； （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差都能被7整除； 延伸： （3） 请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 15．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 16．（20-21八年级上·陕西延安·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 考点05 利用因式分解判断三角形的形状 17．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （4） 已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 18．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 19．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______求代数式的最小值为______； (2)若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； (3)当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 考点06 利用因式分解解决几何图形问题 20．（22-23八年级上·全国·期中）颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 21．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 22．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 23．（21-22八年级上·四川眉山·期末）小刚同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形纸片若干张．        (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）． 根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式： (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； (3)当他拼成如图3所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积，可以把多项式分解因式，其结果为 ； (4)动手操作：请你依照小刚的方法，画出拼图，利用拼图分解因式：． 24．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 25．（24-25七年级下·河北唐山·期末）在学了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为m的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得m与n的关系式为，则a的值为 ． 26．（24-25七年级下·山东聊城·期末）阅读以下材料： 材料1：如图所示，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是__________； (2)计算：；（结果用科学记数法表示） (3)根据材料2进行因式分解： ①； ②． 27．（25-26八年级上·全国·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． 28．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． (1)取甲，乙纸片各1块，其面积和为 ． (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块． (3)从这些纸片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形请画出所拼的长方形． 考点07 利用因式分解解决新定义问题 29．（24-25八年级上·四川眉山·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则求的值； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 30．（23-24七年级上·北京·期中）对任意一个正整数m，如果，其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点． (1)请判断110，1560为“矩数”吗？如果是，请求出最佳拆分点，如果不是，请说明理由． (2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为，其中，．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．当时，求的最大值． 考点08 利用因式分解解决阅读理解类问题 31．（25-26八年级上·全国·单元测试）材料阅读：若一个整数能表示成（是正整数）的形式，则称这个数为“平方差数”．例如：因为，所以3是“平方差数”；再如：因为是正整数），所以也是“平方差数”． (1)请你写出一个大于20且小于30的“平方差数”；判断56是不是“平方差数”； (2)判断多项式是正整数）是不是“平方差数”，并说明理由； (3)因式分解：． 32．（25-26八年级上·全国·单元测试）我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成(a，b是整数)的形式：___________； （2）若可配方成(m，n为常数)，则___________； 【探究问题】 （3）已知，则___________； （4）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 33．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，．． 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 解决问题： (1)若x满足，则 ； (2)若x满足，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 34．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）数学来于生活，同样数学也服务于生活，请同学们认真阅读下面材料，并完成相应任务． 现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、 生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如 多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码 2504 或 0425；如多项式，因式分解的结果为， 当 时， ， ，，此时可以得到数字密码 091112 ． 任务一：根据上述方法，当，时，将多项式分解因式后可以形成的数字密码有： （写出三个）； 任务二：一个直角三角形的两直角边分别为 x和 y，且它的周长为 12，面积为 6，斜边长为 5 ，将一个由多项式分解因式后可得到数字密码： (写一个即可)； 任务三：若多项式因式分解后，利用本题的方法，当 时可以得到一个密码 2821 ，求 m 、n 的值． 35．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）[阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例：用配方法因式分解：． 原式， 例：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为． (1)[类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例的步骤，用配方法因式分解：； (3)若，求的值； (4)仿照例的步骤，求的最小值． 36．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 原式 ． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 37．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． 【解决问题】 （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：______（直接列出等式即可）； （2）若，，求的值； 【探索创新】 （3）如图3，有足够数量的边长分别为的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下面材料，完成问题： 如果关于某个字母的二次三项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，能出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法在数学中是一种非常重要的方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如：分解因式． 例如：求代数式的最小值． 原式 原式 ∵ ∴当时，有最小值，最小值为． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______________； (2)求代数式的最小值； (3)若和为三角形的两条边长，并且满足，则_________． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 因式分解的应用 考点01 利用因式分解求值 1 考点02 利用因式分解进行简算 3 考点03 利用因式分解解决整除问题 5 考点04 利用因式分解进行证明 7 考点05 利用因式分解判断三角形的形状 11 考点06 利用因式分解解决几何图形问题 14 考点07 利用因式分解解决新定义问题 23 考点08 利用因式分解解决阅读理解类问题 27 考点01 利用因式分解求值 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了因式分解的应用． 利用平方差公式分解，再整体代入求解即可． 【规范解答】解：∵， 则 ∴ ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用． 先由已知方程求得和，再把转化为，依次整体代入和计算便可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）若且，那么代数式 ． 【答案】6 【思路引导】此题考查了因式分解的应用，代数式的求值等知识．把原式变形为，再整体代入求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴原式． 故答案为：6． 4．（20-21七年级下·广西贵港·期中）根据已知条件，求代数式的值： (1)已知， ，求的值： (2)已知，，求的值． 【答案】(1)144 (2)2 【思路引导】本题考查的是求代数式的值，因式分解的应用. （1）把化为，再进一步求解即可. （2）由可得，再进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：∵， ， ∴ ． （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 考点02 利用因式分解进行简算 5．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1600 (2)9 【思路引导】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据同底数幂相乘的逆运算法则得，再提公因式进行简便运算，即可作答． （2）先整理原式，再提公因式进行简便运算，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了简便运算，包括提取公因数以及运用平方差公式，熟练掌握因式分解是解决本题的关键． （1）先提取，再进行运算即可； （2）使用平方差公式，将化简为，进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2022 (3)810 【思路引导】本题考查了因式分解法中提公因式的应用，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （2）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （3）把最后一项中的因数9表示成，即最后一项化为，利用因式分解法中提公因式的方法计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点03 利用因式分解解决整除问题 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 【答案】12 【思路引导】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答． 【规范解答】解： ． ∴一定能被最大的正整数12整除． 故答案为：12 10．（24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）下列各数中，不能被整除的是（   ） A．6 B．8 C．16 D．40 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用提取公因式法是解题的关键． 先运用因式分解可得，然后再根据整除的定义逐项判断即可． 【规范解答】解： A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）设n为整数，用因式分解说明的值能被4整除． 【答案】见解析 【思路引导】该题考查了因式分解的应用，判断一个多项式能否被某个数整除，只需对该多项式进行因式分解，看分解后的因式中是否含有该数即可． 【规范解答】解： ， 为整数， 和均为整数， 的值能被4整除． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）小贤同学发现：任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差能被4整除． (1)求的值； (2)设三个连续的整数中间的数为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它能被4整除； (3)在任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差能被8整除，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，有理数的混合运算． （1）由有理数的混合运算法则计算即可； （2）设三个连续的整数中间的数为n，则最大的数为，最小的数为，根据因式分解求解即可； （3）设中间的奇数为n，则最大的奇数为，最小的奇数为，根据因式分解求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：三个连续的整数中间的数为n， 则最大的数为，最小的数为， ∴． 又是整数， 能被4整除， ∴任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差能被4整除． （3）解：设中间的奇数为n， 则最大的奇数为，最小的奇数为， ∴． 又是整数， 能被8整除， ∴任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差能被8整除． 考点04 利用因式分解进行证明 13．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为16 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 14．（24-25八年级下·河北保定·期末）观察： 观察下列各式：；；………… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）的结果是7的 倍； （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 【答案】（1）27；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】本题主要考查了运用平方差公式分解因式、分解因式的应用等知识点，灵活运用因式分解成为解题的关键． （1）先运用平方差公式化简即可解答； （2）根据“比大7的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答； （3）根据“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答； 【规范解答】解：（1）∵， ∴的结果是7的27倍． 故答案为：27． （2）设偶数为，则比大7的数为， 由题意得：， ， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与的平方差都能被7整除． （3）∵比整数k大3的数为， ∴， ∵， ∴被6整除的余数是3， ∴比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3． 15．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识． （1）将看作整体，由完全平方式的形式进行判断即可； （2）先将前三项看作完全平方式，再利用平方差公式进行分解即可； （3），则原式．将代入还原，可得原式．即可判断． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：， ， ； （3）解： 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 16．（20-21八年级上·陕西延安·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【答案】(1)这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式对两个连续偶数的平方差进行化简，再分析结果是否为8的倍数； （2）通过对两个连续“奇巧数”作差，化简后看结果是否为固定值． 【规范解答】（1）解：这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下： 因为， 所以这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数． （2）证明：因为 ， 所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数． 考点05 利用因式分解判断三角形的形状 17．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【思路引导】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【规范解答】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 18．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1)； (2)，； (3)13． 【思路引导】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a、b，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c的最大值，可解得答案； 【规范解答】（1） = = = （2） = = 当 ， 时，多项式有最小值为3 （3）， 变形为 ， 整理得， 根据两边之和大于第三边的判定， 又因为c是正整数，所以 所以周长的最大值= 19．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______求代数式的最小值为______； (2)若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； (3)当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 【答案】(1)； (2)1；大； (3) 【思路引导】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用因式分解进行解答． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将y进行因式分解，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行因式分解，得到三个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出三条边，然后求出周长． 【规范解答】（1）解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是， 故答案为：；； （2） ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是， 故答案为：1；大；． （3）， 即， 即， 所以，，， 所以，，， ∴， 答：的周长是． 考点06 利用因式分解解决几何图形问题 20．（22-23八年级上·全国·期中）颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查因式分解，完全平方公式的变形运用． （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 21．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)1，3，4； (4)，理由见解析 【思路引导】本题考查完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力． （1）观察可知大长方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）画出图形，观察可知大长方形面积等于两个正方形面积加上两个长方形面积，即可得到结论； （3）根据画出的图形，即可得到结论； （4）由题意可知，，，则，由完全平方公式的非负性可得结论． 【规范解答】（1）解：大长方形的面积可以表示为四个图形之和，即，也可以利用面积公式表示为， 即， 故答案为：； （2）解：如图， ， 即这个大正方形的边长为， 故答案为： （3）解：如图， ， 即要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片1张，2号卡片4张，3号卡片3张， 故答案为：1，3，4； （4）解：由题意可知，，， ， ， ， ，即． 22．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由3个边长为的小正方形和8个边长为的长方形和4个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ． 23．（21-22八年级上·四川眉山·期末）小刚同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形纸片若干张．        (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）． 根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式： (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； (3)当他拼成如图3所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积，可以把多项式分解因式，其结果为 ； (4)动手操作：请你依照小刚的方法，画出拼图，利用拼图分解因式：． 【答案】(1) (2)2，5 (3) (4)见解析 【思路引导】本题考查了因式分解，用面积法验证代数等式，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用面积相等即可求解． （2）根据题意，，进而可求解． （3）根据小纸片面积之和与大纸片面积相等即可求解． （4）根据小刚的方法先画图，再根据小纸片的面积之和与大纸片的面积相等即可求解． 【规范解答】（1）这个乘法公式是， 故答案为：； （2）， 需要2号卡片2张，3号卡片5张； 故答案为：2，5； （3）由图③可知矩形面积为， 所以， 故答案为：； （4）， 如图， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 【答案】D 【思路引导】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【规范解答】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 25．（24-25七年级下·河北唐山·期末）在学了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为m的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得m与n的关系式为，则a的值为 ． 【答案】 【思路引导】根据正方形的面积，矩形的面积，等腰直角三角形的面积公式解答即可． 本题考查了正方形的面积，矩形的面积，等腰直角三角形的面积，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得，，且， 又∵， 故， 解得．即a的值为． 故答案为：． 26．（24-25七年级下·山东聊城·期末）阅读以下材料： 材料1：如图所示，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是__________； (2)计算：；（结果用科学记数法表示） (3)根据材料2进行因式分解： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【思路引导】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握整体思想换元． （1）原式利用图形面积即可求解； （2）原式中整理后，利用完全平方公式分解即可； （3）①原式中利用完全平方公式分解，令利用平方差公式分解，再将还原即可； ②原式添加辅助项利用完全平方公式分解，得，令利用平方差公式分解，再将还原即可． 【规范解答】（1）解：； （2） ； （3） ， 令， 原式 ， 再将还原， 得到：原式； ② ， 令， 原式 ， 再将还原， 得到：原式． 27．（25-26八年级上·全国·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，为定值 【思路引导】本题主要考查完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用、整式的无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答； （2）利用因式分解将化为，结合长方形面积公式画图即可；（3）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：方法1：大正方形的面积为：， 方法2：图2中四部分的面积和为：， ∴． 故答案为：． （2）解：由，故如图所示： ； （3）解：设，设右上角阴影为，左下角阴影为， ∵， ∴ ＝， 若S为定值，则S将不随x的变化而变化， ∴时，即时，为定值． 28．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． (1)取甲，乙纸片各1块，其面积和为 ． (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块． (3)从这些纸片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形请画出所拼的长方形． 【答案】(1) (2)6 (3)见解析 【思路引导】本题考查了因式分解以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式． （1）直接利用正方形面积公式进行计算即可； （2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可； （3）把原式进行因式分解可得所拼的长方形的长为，宽为，即可解答． 【规范解答】（1）解：取甲，乙纸片各1块，其面积和为； 故答案为： （2）解：∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：，且是完全平方式， ∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块， 故答案为：6． （3）解：∵， ∴所拼的长方形的长为，宽为， 画出所拼的长方形为 考点07 利用因式分解解决新定义问题 29．（24-25八年级上·四川眉山·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则求的值； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【思路引导】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得 ，再利用新定义可得答案． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数． 30．（23-24七年级上·北京·期中）对任意一个正整数m，如果，其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点． (1)请判断110，1560为“矩数”吗？如果是，请求出最佳拆分点，如果不是，请说明理由． (2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为，其中，．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．当时，求的最大值． 【答案】(1)110是“矩数”，10为110的最佳拆分点；1560是“矩数”，39为1560的最佳拆分点 (2) 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，熟记因式分解的方法是解题的关键． （1）进行因式分解，整理成符合题意的形式即可； （2）根据题意列出方程，得到方程组从而得到结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴110是“矩数”，10为110的最佳拆分点； ∵， ∴1560是“矩数”，39为1560的最佳拆分点； （2）解：根据题意可得：，， ， 即，且t，s均为正整数，， ∴，即，且t，s均为正整数，， ∴与也是正整数，且， ∵， ∴或 解得：或． 因为t，s是正整数， ∴符合条件的是：． 所以的最大值为． 31．（25-26八年级上·全国·单元测试）材料阅读：若一个整数能表示成（是正整数）的形式，则称这个数为“平方差数”．例如：因为，所以3是“平方差数”；再如：因为是正整数），所以也是“平方差数”． (1)请你写出一个大于20且小于30的“平方差数”；判断56是不是“平方差数”； (2)判断多项式是正整数）是不是“平方差数”，并说明理由； (3)因式分解：． 【答案】(1)21是“平方差数”（答案不唯一），56是“平方差数” (2)是，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查因式分解的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行作答，判断即可； （2）根据新定义，进行判断即可； （3）分组分解法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：∵， 故21是“平方差数”（答案不唯一）． ∵， ∴56是“平方差数”． （2）是．理由如下： ， 是“平方差数”． （3） ． 32．（25-26八年级上·全国·单元测试）我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成(a，b是整数)的形式：___________； （2）若可配方成(m，n为常数)，则___________； 【探究问题】 （3）已知，则___________； （4）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 【答案】（1），（2），（3），（4） 【思路引导】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得 ，再利用新定义可得答案． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数． 考点08 利用因式分解解决阅读理解类问题 33．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，．． 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 解决问题： (1)若x满足，则 ； (2)若x满足，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，因式分解的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键． （1）根据题目提供的方法，进行计算即可． （2）根据题意可得，设，，将化成的形式，代入求值即可． （3）根据题意可得，，根据（1）中提供的方法，求出的结果就是阴影部分的面积． 【规范解答】（1）解：∵， 设，； 则，， ∴， 故答案为：． （2）解：设，，， ∴，， ∴ ． （3）解：由题意得，，， ∵长方形的面积为48， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ， ∴阴影部分的面积和为28． 34．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）数学来于生活，同样数学也服务于生活，请同学们认真阅读下面材料，并完成相应任务． 现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、 生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如 多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码 2504 或 0425；如多项式，因式分解的结果为， 当 时， ， ，，此时可以得到数字密码 091112 ． 任务一：根据上述方法，当，时，将多项式分解因式后可以形成的数字密码有： （写出三个）； 任务二：一个直角三角形的两直角边分别为 x和 y，且它的周长为 12，面积为 6，斜边长为 5 ，将一个由多项式分解因式后可得到数字密码： (写一个即可)； 任务三：若多项式因式分解后，利用本题的方法，当 时可以得到一个密码 2821 ，求 m 、n 的值． 【答案】任务一：120717；121707，171207；任务二：1225或；任务三： 【思路引导】此题主要考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，以及用“因式分解”法产生的密码的方法，要熟练掌握． 任务一：首先把分解因式，然后求出当，时，、的值各是多少，写出可以形成的三个数字密码即可． 任务二：由题意得：，求出的值是多少，再根据，求出可得的数字密码为多少即可． 任务三：首先根据密码为2821，可得：当时，，据此求出m、n的值各是多少即可． 【规范解答】解：任务一：， 当，时，，， 可得数字密码是120717；也可以是121707，171207． 任务二：由题意得：， 解得：， ∴， 而， ∴可得数字密码为1225或． 任务三：∵密码为2821， ∴当时， 而，， ∴， 即：， ∴， 解得． 35．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）[阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例：用配方法因式分解：． 原式， 例：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为． (1)[类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例的步骤，用配方法因式分解：； (3)若，求的值； (4)仿照例的步骤，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【思路引导】本题考查了配方法在因式分解、解方程、求最值问题中的应用，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． （）利用完全平方公式求解； （）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （）利用完全平方公式将变形为，然后通过非负数性质求出和即可； （）仿照例的步骤，得，从而求出最小值． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （4）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 36．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 原式 ． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑出完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：设， 则 ． 37．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． 【解决问题】 （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：______（直接列出等式即可）； （2）若，，求的值； 【探索创新】 （3）如图3，有足够数量的边长分别为的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】（1） （2） （3），作图见详解 【思路引导】本题主要考查整式的混合运算与图形面积的计算，理解图示，掌握整式的混合运算是关键． （1）根据图示，运用整式混合运算计算面积即可； （2）根据（1）中的计算方法代入求解即可； （3）根据因式分解得到长方形的长和宽，由此作图即可． 【规范解答】解：（1）根据图示得到， ； （2）根据（1）的计算得到， ， ∴； （3）∵， ∴作图为长为，宽为，如图所示， 38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下面材料，完成问题： 如果关于某个字母的二次三项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，能出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法在数学中是一种非常重要的方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如：分解因式． 例如：求代数式的最小值． 原式 原式 ∵ ∴当时，有最小值，最小值为． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______________； (2)求代数式的最小值； (3)若和为三角形的两条边长，并且满足，则_________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （）运用示例的配方法凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解即可； （）由即可求解； （）先由，配方法凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解为，又和为三角形的两条边长，则有，然后代入求解即可． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵ ∴， 代数式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵和为三角形的两条边长， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $