专题06 分式方程的应用（高效培优期中专项训练）数学湘教版2024八年级

专题06 分式方程的应用 考点01 分式方程无解问题 1 考点02 根据分式方程解的情况求值 5 考点03 分式方程的行程问题 8 考点04 分式方程的工程问题 10 考点05 分式方程的经济问题 14 考点06 分式方程和差倍分问题 16 考点07 分式方程的其它实际问题 22 考点01 分式方程无解问题 1．（20-21八年级上·山东泰安·期中）已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查根据分式方程的解求解参数，解一元一次不等式，正确解出分式方程是求解此题的前提． 先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是非负数”即可求出的取值范围． 【规范解答】解：原式去分母得：， 解得：， ∵， ∴， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， 解得， 综上：且， 故选：A． 2．（20-21八年级上·江西南昌·期末）关于x的方程 无解， 则m的值为（     ） A． B． C． D．5 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【规范解答】解：去分母得：， 由分式方程无解，得到，即， 代入整式方程①得：， 解得． 故选：C． 3．（22-23八年级上·全国·阶段练习）已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 【答案】(1)且 (2) 【思路引导】本题考查分式方程：将分式方程去分母整理为，然后： （1）方程的解为正数，则解为正数且不为增根4，据此列出不等式组求解即可； （2）分为0和不为0两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）去分母得： 整理得：． ∵方程的根为正数， ∴且， 解得：且； （2）分式方程化为：， ∵方程无解， ∴方程有增根或等式不成立， ①当方程有增根时，即， 即， ∴， ②当时，等式不能成立， ∴， 综上所述，a的值为． 4．（2022九年级下·广东佛山·竞赛）已知关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】1或0 【思路引导】本题考查分式方程无解的情况，掌握知识点是解题的关键． 根据将分式方程化为整式方程，化简得，由分式方程无解，得到，求出， 对增根分类讨论即可． 【规范解答】解： 两边同时乘以，得 ， 解得 ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得 ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴a的值为1或0． 故答案为：1或0． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【思路引导】（1）去分母化为一元一次方程即可求解，最后对求出的根进行检验即可； （2）先直接求出分式方程的根，然后根据分式方程无解可知该根为增根，列出关于m的方程即可求解． 本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数． 【规范解答】（1）解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． ∴分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ∴，解得， ∴若该分式方程无解，m的值为4． 6．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）若关于的分式方程无解，则a的值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查分式方程无解问题，将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：， 去分母，得：， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； 故选B． 7．（25-26八年级上·全国·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于的方程即可． 【规范解答】解：去分母得， 解得， 原分式方程无解， ， 即，解得， 当时，关于的分式方程无解． 故选：D ． 考点02 根据分式方程解的情况求值 8．（22-23八年级上·全国·期末）若分式方程有增根，则的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【思路引导】本题考查解分式方程，涉及由分式方程解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 先解分式方程，得到，再由分式方程有增根，列出方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：， 去分母得， 解得， 分式方程有增根， ， 即， 解得， 故选：A． 9．（24-25七年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，有理数的乘法运算，先解不等式组，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数求出整数的值，最后把所有满足条件的整数的值相乘即可求解，正确计算是解题的关键． 【规范解答】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 解方程，得， ∵方程的解为正整数，， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为和， ∴所有满足条件的整数的积为， 故答案为：． 10．（20-21八年级上·山东泰安·期中）关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 【答案】C 【思路引导】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案； 【规范解答】解：， 方程两边同时乘以， ， ， ， 令时，是方程的增根； ∴或 故答案选：C． 11．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 12．（20-21八年级上·山东泰安·期中）若整数既使得关于的分式方程的解为正数，又使得关于的不等式组有且只有个整数解，求符合条件的所有整数的和的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解分式方程与求不等式组的整数解，解题的关键是掌握分式方程和不等式组的解法．解分式方程得到，进而得到，且，解不等式组得到，进而得到，求出，且，且，即可求解． 【规范解答】解：， 解得， 整数使得关于的分式方程的解为正数，且， ，且， ， 解得， 不等式组有且只有个整数解， ， ， ∵，且， 可取和， 满足条件的和为． 考点03 分式方程的行程问题 13．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了两次球，浪费了13秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为85秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.4倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？ 【答案】乙同学获胜 【思路引导】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程=速度×时间，应算出甲乙两人所用时间． 【规范解答】解：设甲同学用时x秒，则乙同学用时秒，根据题意，得 ， 解得． 经检验，是方程的解，且符合题意． ∴ 乙同学所用的时间为：（秒）． ∵43＞42， ∴乙同学获胜． 答：乙同学获胜． 14．（20-21八年级上·山东泰安·期中）一艘轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同，若水流速度为，则静水速度为 ． 【答案】28 【思路引导】本题主要考查分式方程的应用，解决此题的关键是读懂题意找准等量关系；设静水速度为，则根据轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同列出分式方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：设静水速度为，则顺水航行速度为，逆水航行， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解； ∴静水速度为， 故答案为：28． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）某城市为了促进经济发展，计划把一条长的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，设汽车原来的平均速度是，则升级后汽车的平均速度为．根据“的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高，行驶时间缩短”，列出分式方程，解方程即可． 【规范解答】解：设汽车原来的平均速度是，则升级后汽车的平均速度为． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 即汽车原来的平均速度为． 故选：B 16．（22-23八年级上·全国·阶段练习）甲、乙两个码头相距200海里，某轮船从甲出发去乙码头送货，然后原路返回．若该轮船顺水行驶150海里与轮船逆水行驶100海里所用的时间相同．已知船在静水中的速度为每小时25海里，那么水的流速为每小时多少海里？ 【答案】每小时5海里 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设水的流速为每小时海里，则轮船顺水行驶速度为每小时海里，逆水行驶速度为每小时海里，根据该轮船顺水行驶150海里与轮船逆水行驶100海里所用的时间相同建立方程，解方程，并进行检验即可得． 【规范解答】解：设水的流速为每小时海里，则轮船顺水行驶速度为每小时海里，逆水行驶速度为每小时海里， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， 答：水的流速为每小时5海里． 17．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【规范解答】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 18．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】公里/天 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里，则集装箱货轮走北极航线每天能走公里，根据走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，列出分式方程，解方程即可． 【规范解答】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． 考点04 分式方程的工程问题 19．（2025八年级上·全国·专题练习）某地为优化教育资源，现改造寄宿制学校，改造工程中，先由甲工程队承建，工作一段时间后，为了按期完成任务，乙工程队加入工作，共同工作80天后，正好按期完成，已知，甲工程队单独做这项工程，要比工期多100天，乙工程队单独做这项工程，要比工期多40天，则这项工程的工期是 天． 【答案】200 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用，正确熟知两队每天完成的工作量及实际工作的天数是解题的关键． 设该项工程的工期是x天，则甲单独做这项工程，需要天，乙需要天，则甲工程队每天完成总工作量的，乙工程队每天完成总工作量的．完成这项工程，甲用了x天，乙实际用了80天，据此列方程求解即可． 【规范解答】解：设该项工程的工期是x天，则甲单独做这项工程，需要天，乙需要天，则甲工程队每天完成总工作量的，乙工程队每天完成总工作量的． 根据题意可得：，解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 所以该项工程的工期是200天． 故答案为：200． 20．（25-26九年级上·重庆·开学考试）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】(1)甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套 (2)甲车间每天生产套“穿楼积木” 【思路引导】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套，结合题意列式求解即可； （2）设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套， ∴， 解得，， ∴（套）， ∴甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套； （2）解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴甲车间每天生产套“穿楼积木”． 21．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【思路引导】设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 【规范解答】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 22．（22-23八年级上·全国·期末）新冠病毒对全球的发展造成了极大的影响，口罩已经成为预防新冠病毒的主要工具，根据相关数据统计：新冠病毒携带者与对方都未戴口罩，传染率；新冠病毒携带者未戴口罩、对方戴口罩，传染率；新冠病毒携带者戴口罩、对方未戴口罩，传染率；新冠病毒携带者与对方均戴口罩，传染率；双方都戴口罩，距离保持1.8米以上，传染率为，为供应市场对口罩的需求，某口罩生产公司，增加了口罩的生产线，增加生产线后每小时比增加生产线前多生产1000包口罩，没有增加生产线前生产600包口罩的时间与增加生产线后生产1000包口罩的时间相同． (1)求该口罩生产公司增加生产线后每小时能生产多少包口罩． (2)请根据你对新冠病毒的了解，写出个人预防新冠病毒的两条有效措施． 【答案】(1)2500包 (2)可以通过戴口罩、保持社交距离等来预防新冠病毒（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该口罩生产公司增加生产线后每小时能生产x包口罩，则该口罩生产公司增加生产线前每小时能生产包口罩，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合没有增加生产线前生产600包口罩的时间与增加生产线后生产1000包口罩的时间相同，可列出关于x的分式方程，解方程，经检验后，即可得出结论； （2）根据题意，找出个人预防新冠病毒的两条有效措施即可． 【规范解答】（1）解：设该口罩生产公司增加生产线后每小时能生产x包口罩，则该口罩生产公司增加生产线前每小时能生产包口罩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：该口罩生产公司增加生产线后每小时能生产2500包口罩； （2）解：根据题意得：可以通过戴口罩、保持社交距离等来预防新冠病毒（答案不唯一）． 23．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 【答案】(1)35天 (2)210000元 【思路引导】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该项工程的规定时间是天，根据“甲的工作量乙的工作量”列出分式方程，解方程即可； （2）求出甲、乙队合作完成所需的天数，再根据施工费用施工时间每天施工的费用列式计算即可． 【规范解答】（1）解：设该项工程的规定时间是天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该项工程的规定时间是35天； （2）解：甲、乙队合作完成所需的天数为：（天， 则该工程施工总费用（元， 答：该工程施工总费用是210000元． 24．（2025·山东聊城·三模）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造，在改造一段长4800米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．实际施工时每天改造管网长度为（   ） A．60米 B．72米 C．80米 D．96米 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天改造管网米，则实际每天改造管网米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可求出原计划每天改造管网的长度，再将其代入中，即可求出实际每天改造管网的长度． 【规范解答】解：设原计划每天改造管网米，则实际每天改造管网米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴实际每天改造管网（米）． 故选：D． 考点05 分式方程的经济问题 25．（25-26九年级上·重庆·开学考试）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元．    (1)求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 【答案】(1)3000元；5000元 (2)6个；4个 【思路引导】本题考查了一元一次方程，分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设2024年单枪充电桩的单价为x元,根据双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）根据双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，列出分式方程，解方程即可。 【规范解答】（1）解：设2024年单枪充电桩的单价为x元，则双枪充电桩的单价为元 由题意知： 解得： ∴ 答：2024年单枪充电桩的单价为3000元，则双枪充电桩的单价为5000元． （2）解：设：2025年购入双枪充电桩的数量为m个，则单枪充电桩的数量为个． 由题意知： 解得： 经检验：是分式方程的解，且符合题意 ∴ 答：2025年购入单枪充电桩的数量为6个，则双枪充电桩的数量为4个． 26．（18-19八年级上·辽宁大连·期末）华联超市10月份用2000元人民币购进某种水果销售，由于销售情况良好，过了一段时间后，又购进这种水果3600元，这次所购数量是第一次购进数量的1.5倍，但每千克该水果的价格比第一次贵了2元． (1)华联超市第一次购进某种水果多少千克？ (2)如果华联超市两次购进的水果按相同标价销售，最后剩下的30千克按标价的五折优惠销售，若两次购进水果全部售完，利润不低于1190 元，则每千克水果的标价至少是多少元？ 【答案】(1)华联超市第一次购进某种水果200千克 (2)至少是14元 【思路引导】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键． （1）设该商店第一次购进水果千克，则第二次购进水果千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可； （2）设每千克水果的标价是元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于1190元列出不等式，然后求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设华联超市第一次购进某种水果千克，依题意，得       ， 解得，      ， 经检验是原方程的解，且符合题意， 所以，华联超市第一次购进某种水果200千克． （2）解：设每千克水果标价y元，依题意，得 ， 解得，， 答：每千克水果的标价至少是14元． 27．（19-20八年级上·浙江温州·期中）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． (1)求甲、乙两种商品的每件进价； (2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元/件，乙种商品的销售单价为80元/件．甲、乙种商品共销售了60件后，将剩余的甲种商品降价5元销售，将剩余的乙种商品按原销售单价的七折销售；要使两种商品全部售完后共获利不少于元，问甲种商品按原销售单价销售最多销售了多少件？ 【答案】(1)40元，48元 (2)20件 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可； （2）设甲商品按原销售价销售了a件，则乙商品按原销售价销售了件，甲商品降价销售了件，则乙商品打折销售了件．则由“两种商品全部售完后共获利不少于元”列出不等式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两种商品的每件进价分别是x元，元， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：甲、乙两种商品的每件进价分别是40元，48元． （2）设甲商品按原销售价销售了a件，则乙商品按原销售价销售了件， 甲商品降价销售了件，则乙商品打折销售了件． ，，，， 则， 得． 由题意得，a取整数，所以a最大取20． 答：甲种商品按原销售单价销售最多销售了20件． 考点06 分式方程和差倍分问题 28．（25-26八年级上·全国·期末）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40 000元 花费：30 000元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购政府预备支出不超过35500元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【规范解答】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， (元/个)， ∴单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了， 则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过35500元， ∴， 解得， ∴a的最小值为4， 则政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 29．（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·期末）“抗击疫情，八方支援”截至2020年2月19日，全国已有278支医疗队，32395名医务人员从各地驰援湖北，某企业购买A，B两种品牌消毒酒精捐赠当地医院，已知B品牌消毒酒精每桶的价格比A品牌消毒酒精每桶的价格多30元，用1600元购进A品牌消毒酒精和用2800元购进B品牌消毒酒精数量相同．求A品牌消毒酒精每桶的价格和B品牌消毒酒精每桶的价格各是多少元？ 【答案】A品牌40元每桶，B品牌70元每桶 【思路引导】本题主要考查了分式的应用，解题的关键是读懂题意找准等量关系；先根据题意分别设出A和B的价格，根据题意列出分式方程，注意要检验得到答案即可； 【规范解答】解：设A品牌x元每桶，B品牌元每桶， 则 解得： 经检验：是原方程的解； 所以（元） 答：A品牌40元每桶，B品牌70元每桶 30．（2025八年级上·全国·专题练习）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【规范解答】（1）解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 31．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个，型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，共有几种购买方案？ 【答案】(1)型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元 (2)共有种购买方案： 方案一：购买个型充电桩、个型充电桩 方案二：购买个型充电桩、个型充电桩 方案三：购买个型充电桩、个型充电桩 方案四：购买个型充电桩、个型充电桩 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，根据“用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过万元，列出一元一次不等式，解不等式，结合为整数，且型充电桩购买数量不超过个，得出购买方案，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意得：， 解得：， ，且为整数， ，11，12，13， 该停车场共有种购买方案： 方案一：购买个型充电桩、个型充电桩； 方案二：购买个型充电桩、个型充电桩； 方案三：购买个型充电桩、个型充电桩； 方案四：购买个型充电桩、个型充电桩． 32．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【答案】(1)购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元 (2)这所学校最多可购买17个乙种足球 【思路引导】】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元，根据购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，根据此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【规范解答】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元； （2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m 的最大值为17． 答：这所学校最多可购买17个乙种足球． 33．（24-25八年级下·河北保定·期末）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 【答案】(1)文学书的价格，文学书数量，这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； (2)最多购进科普书80本 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用15元购买科普书的数量比用15元购买文学书的数量少1本，即可得出关于的分式方程； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本，利用等量关系：科普书单价=文学书单价×，即可得出关于的分式方程； （2）设购进科普书本，则购买本文学书，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【规范解答】（1）解：小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小卓所列方程中的所表示的含义为文学书的价格； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小越所列方程中的所表示的含义为购买文学书的数量； 故答案为：文学书的单价；购买文学书的数量； （2）解：设购进科普书本，则购买本文学书， 依题意得：， 解得：． 答：最多购进科普书80本． 34．（24-25八年级下·陕西西安·期末）某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 【答案】(1)甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品 (2)需要甲种货车8辆，乙种货车7辆 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用． （1）设乙种货车每辆车可装袋物品，则甲种货车每辆车可装袋物品，根据甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设需要甲种货车m辆，则需要乙种货车辆，根据甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，结合（1）的结果，列出一元一次方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：设乙种货车每辆车可装袋物品，则甲种货车每辆车可装袋物品， 由题意，得， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品； （2）解：设需要甲种货车辆，则需要乙种货车辆， ， 解得：， ， 答：需要甲种货车8辆，乙种货车7辆． 考点07 分式方程的其它实际问题 35．（2020·云南昆明·中考真题）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　） A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元 【答案】C 【思路引导】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可． 【规范解答】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x， 根据题意得：， 解得：x＝2000， 经检验：x＝2000是原方程的解， 答：每间直播教室的建设费用是2000元， 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大． 36．（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 【答案】(1)该果园采摘明5-5的单价是15元/千克 (2)m的值为6 (3)78 【思路引导】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务一：找准等量关系，正确列出分式方程；任务二：找准等量关系，正确列出一元一次方程；任务三：根据各数量之间的关系，求出分一次、二次及三次寄送所需费用． 任务一：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克，利用数量=总价÷单价，结合“小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明的1.25倍”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据寄送8千克樱桃运费为42元，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分一次、二次及三次寄送所需费用，比较后，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：在该果园采摘明5-5的单价是15元/千克； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：m的值为6； （3）解：分一次寄送所需运费为（元）； 分两次寄送（且两次均不低于6千克）所需运费为（元）； 分三次寄送（且每次均不超过6千克）所需运费为（元）， ∵， ∴运费最少需78元． 故答案为：78． 37．（24-25七年级下·广西百色·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【答案】(1)七（2）班每天植树棵数；七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数） (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】题目主要考查分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出； （2）结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （3）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【规范解答】（1）七（2）班每天植树棵数； 七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数）． （2）选欣欣的方程，所用等量关系：七（1）班植树150棵所用时间七（2）班植树120棵所用时间． 选兰兰的方程，所用等量关系：七（1）班每天植树的棵数-七（2）班每天植树的棵数＝10（棵）．（选择一个即可） （3）选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 38．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，设升级条乙类生产线需投入万元． (1)升级条甲类生产线需投入______万元，用万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含的式子表示) (2)升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？ 【答案】(1)，； (2)升级条甲类生产线需投入万元，升级条乙类生产线需投入万元． 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及列代数式； （1）根据升级一条甲类、乙类生产线需投入资金间的关系，可得出升级1条甲类生产线需投入万元，再利用用万元升级甲类生产线的条数升级条甲类生产线需投入金额，可用含的代数式表示出用万元升级甲类生产线的条数； （2）根据用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：升级条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，且升级条乙类生产线需投入万元， 升级条甲类生产线需投入万元， 用万元升级甲类生产线的条数为条． 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 万元． 答：升级条甲类生产线需投入万元，升级条乙类生产线需投入万元． 39．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【思路引导】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为 ，再代值求解即可． 【规范解答】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 40．（24-25八年级上·全国·期末）班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】(1) (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元；②每年行驶超过千米，买新能源车的年费用更低 【思路引导】（）用总电价除以续航里程列出代数式即可； （）①根据题意列出分式方程，解方程求出的值，进而即可求解；②设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可求解； 本题考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为； （2）解：①由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴，； 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； ②解：设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 41．（25-26八年级上·全国·单元测试）水稻高产可以提高农民收入，带动农村经济发展，为进一步改进水稻生产技术，提高水稻产量．农科院在如图所示的两块正方形土地上进行试验，其中甲种水稻的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田边长为米．两块试验田的水稻都收获了700千克． (1)甲种试验田的单位面积产量为______千克/平方米，乙种试验田的单位面积产量为______千克/平方米；（以上结果均用含m的代数式表示） (2)哪种试验田的单位面积产量高？请说明理由； (3)某农户试种了“甲种水稻”和“乙种水稻”，两种水稻的单位面积产量与试验田一致，种植甲种水稻的面积为n（n为正整数）平方米，种植乙种水稻的面积比甲种少45平方米．若该农户试种这两种水稻后，收获的产量相同，当，且m为正整数时，请直接写出符合条件的n的值． 【答案】(1) (2)乙种试验田的单位面积产量高，见解析 (3)90，135 【思路引导】本题考查了分式的应用，一元一次不等式的应用； （1）分别表示出甲、乙试验田的面积，然后可得单位面积产量； （2）根据得出，然后可得，问题得解； （3）根据“收获的产量相同”列出方程，求出，，然后根据，且m，n为正整数，求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：甲种试验田的面积为平方米，乙种试验田的面积为平方米， ∴甲种试验田的单位面积产量为千克/平方米，乙种试验田的单位面积产量为千克/平方米； 故答案为：； （2）解：乙种试验田的单位面积产量高． 理由：， ， ， ， 即乙种试验田的单位面积产量高； （3）解：根据题意，得， 整理，得， ， 当时，即， 解得， 又均为正整数，且， 当时，， 当时，， 符合条件的的值为90，135． 42．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 【答案】(1)，，； (2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； (3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块． 【思路引导】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可； （3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可； ②根据题意，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：填写表格如下： 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：； （2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块． 设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个， 根据题意，得， 解得， 答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； （3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意， 得， ， 因为都是非负整数， 所以或． 答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块； ②所需正方形木板块，长方形块． 所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块， 所以废旧木板共块． 答：这批废旧木板共70块． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式方程的应用 考点01 分式方程无解问题 1 考点02 根据分式方程解的情况求值 2 考点03 分式方程的行程问题 2 考点04 分式方程的工程问题 4 考点05 分式方程的经济问题 6 考点06 分式方程和差倍分问题 8 考点07 分式方程的其它实际问题 11 考点01 分式方程无解问题 1．（20-21八年级上·山东泰安·期中）已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 2．（20-21八年级上·江西南昌·期末）关于x的方程 无解， 则m的值为（     ） A． B． C． D．5 3．（22-23八年级上·全国·阶段练习）已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 4．（2022九年级下·广东佛山·竞赛）已知关于的方程无解，则的值是 ． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 6．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）若关于的分式方程无解，则a的值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 7．（25-26八年级上·全国·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点02 根据分式方程解的情况求值 8．（22-23八年级上·全国·期末）若分式方程有增根，则的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 9．（24-25七年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 10．（20-21八年级上·山东泰安·期中）关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 11．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 12．（20-21八年级上·山东泰安·期中）若整数既使得关于的分式方程的解为正数，又使得关于的不等式组有且只有个整数解，求符合条件的所有整数的和的值． 考点03 分式方程的行程问题 13．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了两次球，浪费了13秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为85秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.4倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？ 14．（20-21八年级上·山东泰安·期中）一艘轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同，若水流速度为，则静水速度为 ． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）某城市为了促进经济发展，计划把一条长的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 16． （22-23八年级上·全国·阶段练习）甲、乙两个码头相距200海里，某轮船从甲出发去乙码头送货，然后原路返回．若该轮船顺水行驶150海里与轮船逆水行驶100海里所用的时间相同．已知船在静水中的速度为每小时25海里，那么水的流速为每小时多少海里？ 17．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 考点04 分式方程的工程问题 18．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 19．（2025八年级上·全国·专题练习）某地为优化教育资源，现改造寄宿制学校，改造工程中，先由甲工程队承建，工作一段时间后，为了按期完成任务，乙工程队加入工作，共同工作80天后，正好按期完成，已知，甲工程队单独做这项工程，要比工期多100天，乙工程队单独做这项工程，要比工期多40天，则这项工程的工期是 天． 20．（25-26九年级上·重庆·开学考试）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 21．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 22．（22-23八年级上·全国·期末）新冠病毒对全球的发展造成了极大的影响，口罩已经成为预防新冠病毒的主要工具，根据相关数据统计：新冠病毒携带者与对方都未戴口罩，传染率；新冠病毒携带者未戴口罩、对方戴口罩，传染率；新冠病毒携带者戴口罩、对方未戴口罩，传染率；新冠病毒携带者与对方均戴口罩，传染率；双方都戴口罩，距离保持1.8米以上，传染率为，为供应市场对口罩的需求，某口罩生产公司，增加了口罩的生产线，增加生产线后每小时比增加生产线前多生产1000包口罩，没有增加生产线前生产600包口罩的时间与增加生产线后生产1000包口罩的时间相同． (1)求该口罩生产公司增加生产线后每小时能生产多少包口罩． (2)请根据你对新冠病毒的了解，写出个人预防新冠病毒的两条有效措施． 23．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 考点05 分式方程的经济问题 24．（2025·山东聊城·三模）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造，在改造一段长4800米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．实际施工时每天改造管网长度为（   ） A．60米 B．72米 C．80米 D．96米 25．（25-26九年级上·重庆·开学考试）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元．    (1)求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 26．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）华联超市10月份用2000元人民币购进某种水果销售，由于销售情况良好，过了一段时间后，又购进这种水果3600元，这次所购数量是第一次购进数量的1.5倍，但每千克该水果的价格比第一次贵了2元． (1)华联超市第一次购进某种水果多少千克？ (2)如果华联超市两次购进的水果按相同标价销售，最后剩下的30千克按标价的五折优惠销售，若两次购进水果全部售完，利润不低于1190 元，则每千克水果的标价至少是多少元？ 27．（24-25八年级上·浙江温州·期中）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． (1)求甲、乙两种商品的每件进价； (2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元/件，乙种商品的销售单价为80元/件．甲、乙种商品共销售了60件后，将剩余的甲种商品降价5元销售，将剩余的乙种商品按原销售单价的七折销售；要使两种商品全部售完后共获利不少于元，问甲种商品按原销售单价销售最多销售了多少件？ 28．（25-26八年级上·全国·期末）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40 000元 花费：30 000元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量 29． （24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）“抗击疫情，八方支援”截至2020年2月19日，全国已有278支医疗队，32395名医务人员从各地驰援湖北，某企业购买A，B两种品牌消毒酒精捐赠当地医院，已知B品牌消毒酒精每桶的价格比A品牌消毒酒精每桶的价格多30元，用1600元购进A品牌消毒酒精和用2800元购进B品牌消毒酒精数量相同．求A品牌消毒酒精每桶的价格和B品牌消毒酒精每桶的价格各是多少元？ 考点06 分式方程和差倍分问题 30．（2025八年级上·全国·专题练习）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 31．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个，型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，共有几种购买方案？ 32．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、 乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 33．（24-25八年级下·河北保定·期末）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 34．（24-25八年级下·陕西西安·期末）某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 35．（2020·云南昆明·中考真题）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　） A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元 考点07 分式方程的其它实际问题 36．（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 37．（24-25七年级下·广西百色·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 38．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，设升级条乙类生产线需投入万元． (1)升级条甲类生产线需投入______万元，用万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含的式子表示) (2)升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？ 39．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 40．（24-25八年级上·全国·期末）班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 41．（25-26八年级上·全国·单元测试）水稻高产可以提高农民收入，带动农村经济发展，为进一步改进水稻生产技术，提高水稻产量．农科院在如图所示的两块正方形土地上进行试验，其中甲种水稻的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田边长为米．两块试验田的水稻都收获了700千克． (1)甲种试验田的单位面积产量为______千克/平方米，乙种试验田的单位面积产量为______千克/平方米；（以上结果均用含m的代数式表示） (2)哪种试验田的单位面积产量高？请说明理由； (3)某农户试种了“甲种水稻”和“乙种水稻”，两种水稻的单位面积产量与试验田一致，种植甲种水稻的面积为n（n为正整数）平方米，种植乙种水稻的面积比甲种少45平方米．若该农户试种这两种水稻后，收获的产量相同，当，且m为正整数时，请直接写出符合条件的n的值． 42．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $