2.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 教案 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该教案聚焦分式方程的概念、解法、验根及无解原因，通过轮船航行和种树的实际问题导入，引导学生对比一元一次方程，感知分母含未知数的新方程特征，搭建从实际问题到数学概念的学习支架，梳理分式方程与整式方程的联系。 该资料以情境驱动概念生成，通过“做一做”“思考”活动让学生经历抽象过程，培养抽象能力和模型意识。例题从基础到复杂，结合“议一议”总结解法步骤，强调验根环节发展推理意识。助力学生提升数学思维与解题技能，为教师提供清晰教学流程与分层练习，提升教学效率。

第二章 分式 2.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 一、教学目标 1.理解分式方程的概念，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法； 2.理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法； 3.经历分式方程解法探究，体会“转化”思想(分式方程→整式方程)，提升数学思维的灵活性与逻辑性； 4.在求解分式方程和解决实际问题时，培养严谨态度，感悟数学思想方法的魅力，激发数学学习兴趣. 二、教学重难点 重点：理解分式方程的概念，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法. 难点：理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【情境导入】 教师活动：教师提出问题，学生思考后回答. 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，则江水的流速为多少？ 解：设江水的流速为xkm/h， 根据题意，可列等式： 这个等式是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？ 设计意图：通过轮船航行的实际问题，引出与以前不一样的方程，对比一元一次方程，让学生感知新的方程特点，激发探究兴趣. 【探究新知】 【做一做】 为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种9600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务，设原计划每天种x棵树，试用含x的等式表示问题中的等量关系. 预设： 等量关系：原计划的天数-实际天数=4 由于原计划每天种x棵树，则实际每天种x棵树. 根据上述等量关系，可以得到含未知数x的等式： 【思考】 观察等式①和②，它们有什么共同特征？ 预设：两个等式的分母中都含有未知数. 【抽象】 像①和②式这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 分式方程必须满足的条件(三者缺一不可) (1) 是方程(含有未知数的等式)； (2) 含有分母； (3) 分母中含有未知数. 设计意图：通过情境导入及做一做结合实际问题列等式，再经“思考”观察特征，抽象出分式方程概念，让学生经历从实际到数学定义的探究，理解分式方程本质，掌握概念要点. 【思考】 如何求解分式方程? 到目前为止，我们能求解的方程其左右两边都是整式，因此，应考虑通过“去分母”先将上述分式方程转化为两边都是整式的方程，再求解. 提问：怎样去分母？ 预设：利用等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母. 由于最简公分母为x，于是将方程两边同乘x，得 9600-7200=4x， 解得x=600. 将x用600代入原分式方程，方程左边的值为，右边的值也是4，从而左边的值=右边的值， 因此，x=600是原分式方程的解. 设计意图：通过思考分式方程求解，引导学生用“去分母”转化为整式方程，经提问、预设、求解与检验，掌握分式方程解法步骤，体会转化思想，提升解方程能力. 【思考】 分式方程与整式方程有什么区别和联系呢？ 分式方程 整式方程 举例 区别 分母中含有未知数 分母中不含未知数 联系 解分式方程： 分式方程→整式方程 (最简公分母) 因此，可通过分母中是否含有未知数判断为分式方程还是整式方程. 设计意图：进一步掌握分式方程和整式方程的区别和联系，明确解分式方程的方法，让学生学会在对比中体会差异和解题方法，体会数学转化思想. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 教材例题 例1 解方程： 分析：先找最简公分母进行去分母化成整式方程，再解方程. 解： 解得 检验：将x用代入原分式方程，方程左边的值为，右边的值为0，从而左边的值=右边的值， 因此，是原分式方程的解. 注意：解分式方程需要进行检验. 例2 解方程： 分析：先找最简公分母进行去分母化成整式方程，再解方程. 解: 由于最简公分母为(x+2)(x-2)，于是将方程两边同乘(x+2)(x-2)， 得 x+2=4， 解得 x=2. 检验：将x用2代入原分式方程，方程左边的值为，不存在这样的数，因此，x=2不是原分式方程的解，从而原分式方程无解. 总结：只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值为0，那么它一定不是原分式方程的解. 【议一议】 为什么将求出的未知数的值代入最简公分母，若其值为0，就可判断它不是分式方程的解呢? 预设：因为这个未知数的值使原分式方程中的某些分式无意义(分母为0)，它不满足原分式方程的条件，所以虽然它是转化后的整式方程的解，但不是原分式方程的解. 例3 解方程： 分析：分母互为相反数，最简公分母一般选未知数系数为正的. 解: 由于最简公分母为3x-2，于是将方程两边同乘3x-2，得 x+(-2)=5(3x-2)， 解得 x=. 经检验：x=是原分式方程的解. 注意：去分母时每一项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项. 【议一议】 解可化为一元一次方程的分式方程的步骤是怎样的？ 预设：第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为一元一次方程； 第二步，解所得到的一元一次方程； 第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解. 经典例题 例4 解方程： 分析：分母不具有公因式的，最简公分母为几个分母的乘积． 解：由于最简公分母为(x+20)(20−x)，于是将方程两边同乘(x+20)(20−x)，得 80(20−x)=40(x+20)， 解得 x=. 经检验：x=是原分式方程的解. 设计意图：通过例1 ~例4展示分式方程解法，从基础到复杂，结合“议一议”总结步骤，让学生掌握去分母、求解、检验流程，强化解分式方程的技能与规范意识. 【课堂练习】 教材习题 1.解下列方程： 解：(1)由于最简公分母为(x+30)(30−x)，于是将方程两边同乘(x+30)(30−x)，得 90(30−x)=60(x+30)， 解得 x=6. 经检验：x=6是原分式方程的解. (2)由于最简公分母为2x−1，于是将方程两边同乘2x−1，得 x−2=3(2x−1)， 解得 x=. 经检验：x=是原分式方程的解. (3)由于最简公分母为x−1，于是将方程两边同乘x−1，得 1−x=x−1， 解得 x=1. 经检验：x=1不是原分式方程的解. (4)由于最简公分母为x(x−1)(x+1)，于是将方程两边同乘x(x−1)(x+1)，得 3(x+1)=x， 解得 x=. 经检验：x=是原分式方程的解. 2.解下列方程： 解：(1)由于最简公分母为(x+2)(x−2)，于是将方程两边同乘(x+2)(x−2)，得 2(x+2)−4=0， 解得 x=0. 经检验：x=0是原分式方程的解. (2)由于最简公分母为3(2x−1)，于是将方程两边同乘3(2x−1)，得 2x−1−6=1， 解得 x=4. 经检验：x=4是原分式方程的解. 自选练习 3.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2(x−8)+5x=16(x−7) B.2(x−8)+5x=8 C.2(x−8)−5x=16(x−7) D.2(x−8)−5x=8 答案：A 4.甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知两地AB的距离为30km，甲每小时比乙多走3km，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走xkm，则可列方程为( ) 答案：B 5.解方程： 解： x(x+2)−(x−1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时，(x−1)(x+2) =0，因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 6.A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度. 解：设大汽车的速度为2x千米/时，小汽车的速度为5x千米/时， 根据题意得， 解得 x=9 经检验：x=9是原分式方程的解. 当x=9时，2x=18，5x=45 答：大汽车的速度为18千米/时，小汽车的速度为45千米/时. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五 总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $