精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高三年级 月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C.  D.  2. 复数，则的虚部为（    ） A. 3 B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是奇函数，函数是偶函数，当时，，则（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知为无穷数列，若是递增数列，是递减数列，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上存在点，使得 C. 直线与曲线只有一个交点 D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的最大值是 C. 在上是增函数 D. 直线是图象的一条对称轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 13. 已知 为坐标原点， ，为椭圆 的左、右焦点， ，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过 作，垂足为， ，则椭圆的离心率为_____ 14. 设函数 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 在 上存在零点，则 的取值范围为_____. 四、解答题：本题共77分. 15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳之间的关联性， 随机调查了某中学的 100 名学生， 整理得到如下列联表: 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 45 25 70 不喜欢跳绳 15 15 30 合计 60 40 100 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？ （2）现按照性别比例，采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中选出2名参加运动会的跳绳项目，记这两名学生中男生的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 附: ，其中 . 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 17. 已知数列的前n项和．若，且数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求证：数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数在处取得极值． （1）求； （2）函数图象与函数图象关于点对称，若存在使成立，求实数的取值范围； （3）过点作曲线的一条割线和一条切线（T为切点，与P不重合），均在曲线上，若，求的值． 19. 已知函数，其中为自然对数的底，. （1）求证：； （2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高三年级 月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C.  D.  【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由此判断正确选项. 【详解】因为，又， 所以，，A正确，B错误，C错误，D错误， 故选：A. 2. 复数，则的虚部为（    ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算先计算，利用复数的概念即可求解. 【详解】由题意有：，所以的虚部为. 故选：A. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，化简得， 即，解得． 故选：D 4. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义分别判断各选项. 【详解】对于A，令，则，有个函数值对应，故A错误； 对于C，取，可知，再取，可知，故C错误； 对于D，取，，取，，故D错误； 对于B选项，令，对于每一个，都有唯一的与之对应，也即有唯一的与之对应，因此符合函数定义，故B正确； 故选：B. 5. 已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且时，满足， 所以函数在上单调递增， 令，其图象的开口向上，对称轴为， 则在上单调递增， 当时，为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递减，不满足题意； 当时，为单调递增函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 6. 已知是奇函数，函数是偶函数，当时，，则（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意有，又，进而得，即，即可得函数的周期，利用周期即可求解. 【详解】由题意有，又函数是偶函数，所以， 即，所以，所以， 所以函数是周期为4的周期函数，所以， 故选：C. 7. 已知为无穷数列，若是递增数列，是递减数列，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给单调性，分析得出，再反证法或者举反例判断选项. 【详解】由题意可得是递增数列，是递减数列， 则， 两式相乘得， 由于，则， 则，， 所以； 若，，则，矛盾，所以，，故A正确，C错误； 若，则，时，，， 符合是递增数列，，符合是递减数列，此时； 若，同样符合题意，但； 所以B、D错误； 故选：A. 8. 已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合等比数列求和公式可求得；分别在和时解不等式得到和，根据数列的单调性可知，，，从而得到所求范围. 【详解】由题，， 即：，， 时，，符合上式，所以， ①当时， 则由得：， 此时，， 所以； ②当时，， 则由得：， 此时；， 所以； 综上所述：. 故选：B. 【点睛】关键是能够通过递推关系式得到数列的通项公式，结合数列的单调性特点可得到不等式的解集，从而确定解集上下限的最值，进而得到结果. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将指数式化为对数式，利用函数的单调性可得A正确；再利用函数的运算性质得B正确；利用不等式放缩可得C正确，D正确. 【详解】由得, 对于选项A：因为函数在单调递增，所以，即，故A正确 对于选项B：，故B错误 对于选项C:因为，，所以，由B得，即， 故C正确 对于选项D：由B得，所以， 即，故D正确 故选：ACD 10. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上存在点，使得 C. 直线与曲线只有一个交点 D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】数形结合并由双曲线的性质、定义结合直线与双曲线的位置关系和点到直线的距离即可依次求解判断各选项. 【详解】由题当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线不存在； 当，时，曲线，故作出曲线如图所示： 选项A：法一：由图可知，曲线不关于直线对称，故A错误； 法二：将中的替换为替换为，得， 与不相同，故曲线不关于直线对称，故A错误； 选项B：易知，为双曲线的上、下焦点， 所以当点在第三象限时，根据双曲线的定义可知，故B正确； 选项C：易知直线为双曲线与双曲线的一条共同渐近线， 直线的斜率小于直线的斜率， 故直线与曲线在第一、四象限内没有交点，在第三象限内只有一个交点，故C正确； 选项D：设曲线上第一象限内的点为， 则，即， 所以点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的最大值是 C. 在上是增函数 D. 直线是图象的一条对称轴 【答案】CD 【解析】 【分析】由，再逐项判断. 【详解】， ， ， ， 所以的最小正周期是，故A正确； 当时，的最大值是，故B正确； 由，得，因为在上递增， 在上递减，故在上不单调，故C错误 ； 令，得， 所以直线不是图象的一条对称轴，故D错误； 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 13. 已知 为坐标原点， ，为椭圆 的左、右焦点， ，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过 作，垂足为， ，则椭圆的离心率为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及三角形内切圆的几何性质，以及三角形中位线的性质可得出. 【详解】在等腰中，. 分别延长与，交于点，因为点是三角形的内切圆圆心，所以为的平分线，如图： 又因，故与全等，所以为的中点且. 又因为为的中点，为三角形的中位线， 所以，得. 所以由椭圆的定义可得，得，所以离心率为. 故答案为： 14. 设函数 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 在 上存在零点，则 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围. 【详解】由题意，当时，， 因为函数，若在上有且只有两个极值点， 则，解得． 又对任意实数，在上存在零点，且的长度为， 而函数的最小正周期为，则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共77分. 15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳之间的关联性， 随机调查了某中学的 100 名学生， 整理得到如下列联表: 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 45 25 70 不喜欢跳绳 15 15 30 合计 60 40 100 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？ （2）现按照性别比例，采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中选出2名参加运动会的跳绳项目，记这两名学生中男生的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 附: ，其中 . 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关； （2）的分布列为： 0 1 2 ，数学期望为.【解析】 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对即可得解. （2）求出5人中男女生人数，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 零假设：学生的性别和是否喜欢跳绳无关， 根据列联表中数据经计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关. 【小问2详解】 依题意，抽取的5名学生中有男生3名，女生2名，的可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 17. 已知数列的前n项和．若，且数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求证：数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：由题意知， 当时，，所以． 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． 因为，所以， 所以，令，可得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． （2）证明：由（1）知， 所以， 所以， 两式相减，可得 ， 所以，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可； （2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可； （3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于． 因为， 所以，所以数列的最大项为和，且． 所以，即， 解得或，即实数的取值范围是． 18. 已知函数在处取得极值． （1）求； （2）函数图象与函数图象关于点对称，若存在使成立，求实数的取值范围； （3）过点作曲线的一条割线和一条切线（T为切点，与P不重合），均在曲线上，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据题意得，即可得解； （2）易得函数图象的对称中心为点，即可得出函数的解析式，再分和两种情况讨论，利用分离参数法，构造新的函数，利用导数求出函数的最值即可； （3）先根据导数的几何意义求出切线的方程，再根据在切线上求出切点的坐标，设割线方程为，再根据都在曲线上，再化简整理即可得出结论. 【小问1详解】 ，由题意得， 所以，所以， 经检验，符合题意，故； 【小问2详解】 由（1）得， 所以函数图象的对称中心为点，所以， 因为，所以， ①当时，，不成立，舍去． ②当时，，令 所以 令得，令得， 所以在递减，在递增， 所以， 因为存在使成立， 所以，所以， 综上所述，； 【小问3详解】 ， 则切线为， 因为， 所以， 因为在切线上， 所以 所以，解得或（舍去），所以， 由题意得割线的斜率是存在的，设割线方程为， 则， 又此方程的根为， 所以 ， 所以，所以， 故． 19. 已知函数，其中为自然对数的底，. （1）求证：； （2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由. 【答案】（1） 证明：令，其中，则，. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即， 故对任意的，. （2） 【解析】 【分析】（1）令，其中，利用导数法可得出，再利用余弦函数的有界性以及不等式的基本性质可证得结论成立； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意能否恒成立，综合可得出实数的取值集合. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，其中， 若存在实数，使得恒成立，则，其中， 令，令. 令. ①当时，由（1）可知，且不恒为零，、 此时，函数在上为增函数， 因为，所以，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，合乎题意； ②当时，，当时，， 当时，， 所以，函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 当时，，则函数在上单调递减， 则当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递减， 故当时，，不合乎题意； ③当时，若，则存在，使得， 且当时，； 若时，可取，当时，. 因此，当时，函数在上为增函数， 当时，，所以，函数在上为增函数， 当时，，所以，函数在上为增函数， 故当时，，不合乎题意. 综上所述，存在，使得恒成立， 故实数的取值集合为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $