考点培优练01 平面向量5大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练01 平面向量5大考点 考点01 平面向量的有关概念 1 考点02 平面向量的线性运算 2 考点03 平面向量的基本定理及坐标表示 5 考点04 平面向量的数量积 8 考点05 平面向量的应用 12 考点01 平面向量的有关概念 平面向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量,其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 解读： (1)向量可以用有向线段表示,用有向线段来表示向量时,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向；向量也可以用字母a,b,c,…表示(印刷用黑体a,b,c,书写用,,) (2)向量与数量的区别 向量是具有方向的,而数量是一个代数量,没有方向．数量可以比较大小,而向量无法比较大小,即使|a|>|b|,也不能说a>b. (3)0与0不同.0表示数量,0表示零向量,其中|0|＝0. (4)共线向量与相等向量 共线向量中的向量所在的直线可以平行,也可以重合,与平面几何中的“共线”“平行”不同；相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量．非零共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；非零相等向量指大小和方向均相同． 特别注意：(i)判断两个向量的关系：一要判断大小,二要判断方向,如遇上零向量,必须注意其方向的任意性． (ii)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小,没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同． 1．设是单位向量,,则四边形一定是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【解析】由,得,,所以四边形一定是菱形,故选B. 2．（多选题）关于非零向量,,下列命题中,正确的是（   ） A．若,则 B．若,则 C．若,,则 D．若,则 【答案】BC 【解析】向量的模相等,可能方向不相等,A错误；两个向量互为相反向量,则这两个向量平行,B正确；C选项,对于非零向量,,,若,,则成立,所以C正确；向量不能比较大小,所以D错误.故选BC. 3．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．向量可以用有向线段表示 B．非零向量与非零向量共线,则与的方向相同或相反 C．向量与向量共线,则四点在一条直线上 D．两个相等向量,若它们的起点相同,则终点也相同 【答案】ABD 【解析】对于A,可以用有向线段表示向量,故A正确；对于B,非零向量与非零向量共线即平行,则与的方向相同或相反,故B正确；对于C,例如在平行四边形中,向量与向量共线, 但四点不在一条直线上,C错误；对于D,两个相等向量,若它们的起点相同,则终点也相同,D正确；故选ABD. 4．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1）,找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 【答案】 与,与 与,与 【解析】观察图形,,因此与是共线向量,并且方向相反；与是共线向量,并且方向相反,显然,因此的模相等. 考点02 平面向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同；当λ<0时,λa与a的方向相反；当λ＝0时,λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 2. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b＝λa. 解读： (1) 如何理解数乘向量？ λa的大小为|λa|＝|λ||a|,方向要分类讨论：当λ>0时,λa与a同方向；当λ<0时,λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时,λa为零向量,方向不确定． (2)平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则；求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则；求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值． (3)如何理解共线向量定理？ 如果a＝λb,则a∥b；反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使得a＝λb,如果没有“为非零向量”这个条件,则a＝0,b≠0时,λ不存在；a＝b＝0时,则可以λ是任意实数. (4) 证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线． 结论： (1)若点是线段中点,点是任意一点,则； (2)已知O,A,B是不共线的三点,且＝m＋n(m,n∈R),则A,P,B三点共线的充要条件是 m＋n＝1. 5．点是所在平面内的一点,满足,则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【解析】因为,可得,可知点为线段的中点,所以点P在线段AC的延长线上.故选D. 6.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,,若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【解析】因为是的中点,所以.因为,所以.由于三点共线,所以,即. 因为,所以. 当,时等号成立,故选B. 7.（多选题）设是内部的一点,以下可能成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】若 ,且,则在直线上,对于选项A,因为且,所以点在内部,因而选项A符合题意；对于选项B,因为,且,所以点在外部,选项B不符合题意；对于选项C,因为,且,所以点在内部,故选项C符合题意； 对于选项D,,此时点落在外部,故选项D不符合题意,故选AC. 8．已知中,点是边的中点,点是所在平面内一点且满足,则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 【答案】ACD 【解析】因为的中点为,所以.又,所以, 所以,即为的中点,A正确,B错误. 由A正确可知,,所以C,D正确.故选ACD. 9．已知圆心为、半径为1的圆上有三点．若,则 ． 【答案】 【解析】∵,且,两边平方, 得,故,则. 考点03 平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则 a＋b＝(x1＋x2,y1＋y2),a－b＝(x1－x2,y1－y2),λa＝(λx1,λy1),|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则＝(x2－x1,y2－y1),||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 解读: (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决． (3)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体． 结论： (1)已知点P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为； (2)已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为. (3)若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),其中b≠0,则a∥b的充要条件是. 10．已知向量,且,则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】由已知,向量,因为,所以,解得,故选C. 11．若是平面内的一个基底,则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A,,故共线,不可作为基底,对于B, ,故共线,不可作为基底,对于C, ,故共线,不可作为基底,对于D, 由于,故不存在实数,使得,因此不共线,故可以作为基底向量,故选D. 12.如图,已知在中,为的中点,与相交于点,若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,则,又三点共线,,又为的中点,,又,所以,又三点共线,,由平面向量基本定理知,,解得,所以,即,所以,故选D. 13.在梯形中,,,,当点在内部运动时,的取值区间为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 取,过E作,交BD于点,交于点.设,因为三点共线,所以.设,因为,所以,.因为共线,所以,所以.因为且点在内运动,所以点在线段上,所以.即,.所以.故选C. 14．（多选题）已知向量,,则（    ） A． B． C．,可以作为平面向量的一组基底 D． 【答案】AC 【解析】向量,,,,,A正确； ,B错误；因为,所以,不共线,即,可以作为平面向量的一组基底,C正确；,由,得与不共线,D错误．故选AC. 15．（多选题）在矩形中,AB =2,AD=1,P ,Q分别为线段上的动点,M ,N分别为线段的中点,则下列说法正确的是（） A． B．// C．当P , Q 分别为线段 的中点时, D．若 则 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】建立平面直角坐标系,如图所示： 则,由于P ,Q分别为线段上的动点, 可设,对于A项,, 则,故A项正确；对于B项,由于M ,N分别为线段的中点, 则,得,而,则,故B项正确； 对于D项,因为,所以,得, 由,等号成立时,,则, 得,得,得, 则 的最小值为2,故D项正确；对于C项,如图所示： 四边形与四边形均为边长为1的正方形,则,故C项错误．故选ABD. 16．已知,不共线,,,若平面内任意向量,其中,则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可知,与不共线,设与共线,因,则,使得, 即,因为,不共线,结合平面向量基本定理可得,,则,故实数的取值范围是. 考点04 平面向量的数量积 1．向量的夹角 已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作＝a,＝b,则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积,记作a·b. 3．平面向量数量积的几何意义 设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e与b是方向相同的单位向量,＝a,＝b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的性质 已知非零向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 结论： 1.两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0,b≠0)． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 3．有关向量夹角的两个结论 已知非零向量a,b. (1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0；若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0；若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π. 17．已知向量,,,若,则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为,,所以,因为, 所以,解得.故选B. 18．已知向量,则向量在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量,则,所以向量在上的投影向量为.故选D. 19．已知两个单位向量满足,则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由,得,所以, 所以．故选C． 20．已知向量,,满足对任意,恒有,则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由,则,即, 即,又,则对任意,, 则,即恒成立,又, 故,即；对A：,故A正确；对B：,不一定为,故B错误；对C：,故C错误；对D：,不一定为,故D错误.故选A. 21．已知平面内两个单位向量的夹角为,,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． ． ,． 的几何意义为点到,的距离之和．关于轴的对称点坐标为,.故选B． 22．（多选题）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D．与可以作为平面内的一组基 【答案】ABD 【解析】据题意,,因为,所以,A说法正确；因为,所以,B说法正确；因为,,所以,C说法错误；假设存在实数使得,则无解,所以与不共线,可以作为平面内的一组基,D说法正确；故选ABD. 23．已知,均为单位向量,且,则与的夹角等于 . 【答案】 【解析】由,均为单位向量,可得,设与的夹角为,所以,解得,由,所以. 24．若向量,,,已知与的夹角为钝角,则k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由,,则,又与的夹角为钝角,则,即,解得,当与反向共线时,,解得,此时夹角不是钝角,综上所述,k的取值范围是． 25．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”,即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时,满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点M为的费马点,且 (1)求角C； (2)求； (3)已知在中,若点P为平面上任意一点,求的最小值； 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）因为,又, 所以,又大于0,故,所以, 又,结合三角形内角性质,所以. （2）由,知, 由费马点定义知,, 设,,,,,, 由得：,整理得, 则； （3）在中,,, 以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系, 则、、,设点, 则,,, 所以, 则的几何意义是点到点、、的距离之和, 由题意知,当点为的费马点时,取最小值, 在等腰中,,,, 因此,的最小值为. 考点05 平面向量的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2.向量在物理中的应用 (1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量． (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法． (3)利用向量方法解决物理问题的基本步骤 ①问题转化,即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题． 3.平面向量与解析几何的交汇 平面向量与圆锥曲线的交汇是近几年高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平移向量作为工具处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中. 解读: (1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时,有两种思路：一种思路是选择一个基底(选择的基底的长度和夹角应该是已知的,这样方便计算),利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明． (2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果,可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”． (3)向量的坐标运算法的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． (4)向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解,充分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题,同时正确作图是前提．力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的数量积,即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)． 结论： 1.设O为△ABC所在平面内一点. (1)O△ABC重心取得最小值. (2)O为△ABC外心. (3)O为△ABC垂心. (4)O为△ABC内心. 2.圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略 (1)设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为； (2)A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥. (3)A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:①=;②. (4)在四边形ABCD中,若∙=0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若∙=∙,则ACBD. (5)圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化. (6)圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在. (7)圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横（纵）坐标的表达式. 26．已知三个力,,同时作用于某质点上,若对该质点再施加一个力,该质点恰好达到平衡状态（合力为零）,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意,作用在该质点上的三个力,,, 则．想要该质点恰好达到平衡状态,只需． 故选C. 27．某货船执行从港口到港口的航行任务,港口在港口的正北方向,已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为,船长调整船头方向航行,使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设船在静水中的速度为,水流速度为,船实际航行速度为,则, 且,设,由船需要准确到达正北方向的B点,得, 则,解得,而,于是, ,所以该船完成此段航行的实际速度为.故选B. 28．已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【解析】建立如图所示的坐标系,以中点为坐标原点, 则,,,设,则,,, 则,当,时,取得最小值, 故选A. 29. （多选题）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界),且=+λ,λ∈R,则下列正确的是（    ） A．∃λ使得||>|| B．△PCD的面积为定值 C．∠CPD的取值范围是[,] D．||的取值范围是[,] 【答案】BCD 【解析】 由可得,即,可得,对于A,因为正六边形关于对角线对称,故,故A错误；对于B,在正六边形的对角线上运动,所以到的距离为定值,所以的面积为定值,故B正确；对于C,根据图形的对称性,当为中点时,取得最大值,当与重合时取得最小值,即的取值范围是,故C正确；对于D,因为正六边形边长为1,所以平行线的距离,又当时,有最小值,当点与点重合时,有最大值,故D正确.故选BCD. 30. （多选题）已知三点在以为圆心,1为半径的圆上运动,且,为圆所在平面内一点,且,则下列结论正确的是（    ） A．的最小值是1 B．为定值 C．的最大值是10 D．的最小值是8 【答案】ABC 【解析】A选项,因为,所以点在以为圆心,2为半径的圆上运动,又因为点在以为圆心,1为半径的圆上运动, 所以当三点共线时,取得最小值,为,故A正确；B选项,因为三点在圆上,所以圆是的外接圆,又因为,所以是圆的直径,所以, 是定值,故B正确；选项C、D, , 所以, , 因为,所以,所以, 所以,所以, 即的最大值是10,最小值是6,故C正确,D错误.故选ABC. 31. （多选题）已知点O是内的一点,则以下说法正确的有（    ） A．若,,分别表示,的面积,则 B．若,则动点O的轨迹一定通过的重心 C．若,则点是的垂心 D．若分别为,,的中点,且,,则的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A：如图,分别为的中点,, 则,故,所以,故,A正确； 对于B：过点A作AE⊥于点,取的中点,连接AF,则,, 则,故点在中线上,故向量一定经过的重心,B正确； 对于C： 分别表示方向上的单位向量,故, ,故⊥, 由三线合一可得,在的平分线上,同理可得,在的平分线上, 则点是的内心,C错误.D选项,设中点为, 因为,所以点的轨迹为以为直径的圆,结合上图, , 当PO为直径时最大,最大为,故D正确.故选ABD. 32．如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆为圆上任一点,若,则的最大值为 ． 【答案】 【解析】解法一：如图,以为坐标原点,过点平行于的直线为轴,建立平面直角坐标系, 由题意可得,,． 因为是边长为2的等边三角形,所以其外接圆的半径为,由点在的外接圆上,可设,其中,则．又,所以, 所以, 当,即时,取得最大值,所以的最大值为． 解法二：如图,过点P作的平行线,与直线相交于点,与直线相交于点, 设,则,由,可设,当过点且与圆相切时,取最小值0,当点位于与同侧,且与圆相切于点时,取最大值, 所以, 所以,所以, 所以,所以的最大值为． 33. 椭圆的方程为,过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点,椭圆的右焦点为,已知,椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点,交轴于点,若,,求证：为定值． 【解析】（1）依题可知：,, 所以,即, 解得 又∵椭圆过点,则 联立可得, 椭圆的标准方程为． （2）设点、,, 由题意可知,直线的斜率存在,可设直线的方程为, 联立,可得, 由于点在椭圆的内部,直线与椭圆必有两个交点, 由韦达定理可得,, ,,, 得,, ,, ． 试卷第2页,共18页 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练01 平面向量5大考点 考点01 平面向量的有关概念 1 考点02 平面向量的线性运算 2 考点03 平面向量的基本定理及坐标表示 3 考点04 平面向量的数量积 5 考点05 平面向量的应用 10 考点01 平面向量的有关概念 平面向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量,其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 解读： (1)向量可以用有向线段表示,用有向线段来表示向量时,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向；向量也可以用字母a,b,c,…表示(印刷用黑体a,b,c,书写用,,) (2)向量与数量的区别 向量是具有方向的,而数量是一个代数量,没有方向．数量可以比较大小,而向量无法比较大小,即使|a|>|b|,也不能说a>b. (3)0与0不同.0表示数量,0表示零向量,其中|0|＝0. (4)共线向量与相等向量 共线向量中的向量所在的直线可以平行,也可以重合,与平面几何中的“共线”“平行”不同；相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量．非零共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；非零相等向量指大小和方向均相同． 特别注意：(i)判断两个向量的关系：一要判断大小,二要判断方向,如遇上零向量,必须注意其方向的任意性． (ii)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小,没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同． 1．设是单位向量,,则四边形一定是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．（多选题）关于非零向量,,下列命题中,正确的是（   ） A．若,则 B．若,则 C．若,,则 D．若,则 3．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．向量可以用有向线段表示 B．非零向量与非零向量共线,则与的方向相同或相反 C．向量与向量共线,则四点在一条直线上 D．两个相等向量,若它们的起点相同,则终点也相同 4．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1）,找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 考点02 平面向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同；当λ<0时,λa与a的方向相反；当λ＝0时,λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 2. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b＝λa. 解读： (1) 如何理解数乘向量？ λa的大小为|λa|＝|λ||a|,方向要分类讨论：当λ>0时,λa与a同方向；当λ<0时,λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时,λa为零向量,方向不确定． (2)平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则；求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则；求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值． (3)如何理解共线向量定理？ 如果a＝λb,则a∥b；反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使得a＝λb,如果没有“为非零向量”这个条件,则a＝0,b≠0时,λ不存在；a＝b＝0时,则可以λ是任意实数. (4) 证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线． 结论： (1)若点是线段中点,点是任意一点,则； (2)已知O,A,B是不共线的三点,且＝m＋n(m,n∈R),则A,P,B三点共线的充要条件是 m＋n＝1. 5．点是所在平面内的一点,满足,则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 6.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,,若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 7.（多选题）设是内部的一点,以下可能成立的是（     ） A． B． C． D． 8．已知中,点是边的中点,点是所在平面内一点且满足,则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 9．已知圆心为、半径为1的圆上有三点．若,则 ． 考点03 平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则 a＋b＝(x1＋x2,y1＋y2),a－b＝(x1－x2,y1－y2),λa＝(λx1,λy1),|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则＝(x2－x1,y2－y1),||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 解读: (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决． (3)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体． 结论： (1)已知点P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为； (2)已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为. (3)若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),其中b≠0,则a∥b的充要条件是. 10．已知向量,且,则（    ） A． B．1 C． D．2 11．若是平面内的一个基底,则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 12.如图,已知在中,为的中点,与相交于点,若,则（    ） A． B． C． D． 13.在梯形中,,,,当点在内部运动时,的取值区间为,则（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）已知向量,,则（    ） A． B． C．,可以作为平面向量的一组基底 D． 15．（多选题）在矩形中,AB =2,AD=1,P ,Q分别为线段上的动点,M ,N分别为线段的中点,则下列说法正确的是（） A． B．// C．当P , Q 分别为线段 的中点时, D．若 则 的最小值为2 16．已知,不共线,,,若平面内任意向量,其中,则实数的取值范围是 ． 考点04 平面向量的数量积 1．向量的夹角 已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作＝a,＝b,则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积,记作a·b. 3．平面向量数量积的几何意义 设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e与b是方向相同的单位向量,＝a,＝b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的性质 已知非零向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 结论： 1.两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0,b≠0)． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 3．有关向量夹角的两个结论 已知非零向量a,b. (1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0；若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0；若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π. 17．已知向量,,,若,则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 18．已知向量,则向量在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 19．已知两个单位向量满足,则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．已知向量,,满足对任意,恒有,则（   ） A． B． C． D． 21．已知平面内两个单位向量的夹角为,,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（多选题）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D．与可以作为平面内的一组基 23．已知,均为单位向量,且,则与的夹角等于 . 24．若向量,,,已知与的夹角为钝角,则k的取值范围是 ． 25．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”,即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时,满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点M为的费马点,且 (1)求角C； (2)求； (3)已知在中,若点P为平面上任意一点,求的最小值； 考点05 平面向量的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2.向量在物理中的应用 (1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量． (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法． (3)利用向量方法解决物理问题的基本步骤 ①问题转化,即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题． 3.平面向量与解析几何的交汇 平面向量与圆锥曲线的交汇是近几年高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平移向量作为工具处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中. 解读: (1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时,有两种思路：一种思路是选择一个基底(选择的基底的长度和夹角应该是已知的,这样方便计算),利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明． (2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果,可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”． (3)向量的坐标运算法的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． (4)向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解,充分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题,同时正确作图是前提．力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的数量积,即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)． 结论： 1.设O为△ABC所在平面内一点. (1)O△ABC重心取得最小值. (2)O为△ABC外心. (3)O为△ABC垂心. (4)O为△ABC内心. 2.圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略 (1)设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为； (2)A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥. (3)A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:①=;②. (4)在四边形ABCD中,若∙=0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若∙=∙,则ACBD. (5)圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化. (6)圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在. (7)圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横（纵）坐标的表达式. 26．已知三个力,,同时作用于某质点上,若对该质点再施加一个力,该质点恰好达到平衡状态（合力为零）,则（   ） A． B． C． D． 27．某货船执行从港口到港口的航行任务,港口在港口的正北方向,已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为,船长调整船头方向航行,使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 28．已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 29. （多选题）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界),且=+λ,λ∈R,则下列正确的是（    ） A．∃λ使得||>|| B．△PCD的面积为定值 C．∠CPD的取值范围是[,] D．||的取值范围是[,] 30. （多选题）已知三点在以为圆心,1为半径的圆上运动,且,为圆所在平面内一点,且,则下列结论正确的是（    ） A．的最小值是1 B．为定值 C．的最大值是10 D．的最小值是8 31. （多选题）已知点O是内的一点,则以下说法正确的有（    ） A．若,,分别表示,的面积,则 B．若,则动点O的轨迹一定通过的重心 C．若,则点是的垂心 D．若分别为,,的中点,且,,则的最大值为 32．如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆为圆上任一点,若,则的最大值为 ． 33. 椭圆的方程为,过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点,椭圆的右焦点为,已知,椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点,交轴于点,若,,求证：为定值． 试卷第2页,共18页 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $