2.4等腰三角形的判定定理 同步练习题 2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册《2.4等腰三角形的判定定理》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 2．如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（    ） A．7 B．8 C．10 D．6 3．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使 ，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 5．如图，中，、的平分线相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，若．则（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，已知在直角三角形中，为直角，把沿翻折得到，点P、E分别是线段上的动点，有下列结论：①中边上的高是；②的最小值是8；③若，则的最大是2.5．其中正确的结论有（    ） A．② B．①② C．①②③ D．①③ 二、填空题 8．已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有 个等腰三角形． 9．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    10．在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ． 11．如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ． 12．如图，已知，是内部一点，和分别为上的点，当周长最小时， ． 13．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 14．如图，在中，于点E，于点F，交于点H，且平分于点D，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 三、解答题 15．如图，在等腰三角形中，D，E分别是两腰，上的点，连接，相交于点O，，试说明． 16．如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 17．如图,中,为上的点，点E为延长线上的一点， 且交于点F ．     (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，已知点为等腰直角内一点，，，为延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，求证：． 19．如图，、均是的两边，的垂直平分线交的垂直平分线于点． (1)若的周长为，求的长． (2)若，求的度数． (3)若、是线段的三等分点（点在点的左侧），直接判断的形状． 20．问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 参考答案 1．解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 2．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 3．D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据外角的性质可判断A，根据等边三角形中线得到，，即可判断B，根据等边三角形中线得到，即可判断C，由，，可判断D，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故选项不符合题意； B、∵是等边三角形的中线， ∴，， ∵， ，故选项不符合题意； C、∵是等边三角形的中线， ∴ ∴， ，故选项不符合题意； D、，， ，故选项符合题意 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解答本题的关键．先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到，再根据三线合一得到，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：在中，，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， 即． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．利用角平分线和平行可证得，，可得到，，可得到． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理， ． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查折叠的性质，轴对称求最短距离，等腰三角形的判定与性质，利用三角形面积公式即可判断①；过点B作，作点E关于的对称点，连接，先证明三角形是等腰三角形，由对称的性质结合垂线段最短可得当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，即可判断②；根据题意求出，利用，即可判断③． 【详解】解：设中边上的高是， ∵直角三角形中，为直角， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴，故①正确； 如图，过点B作，作点E关于的对称点，连接， 由折叠的性质得， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 同理①得， ∴的最小值是，故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴当点P与点A重合时，有最大值， 此时，故③正确； 故选：D． 8．3 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴、为等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形共3个． 故答案为：3． 9．，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 10．或 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 分种情况，①根据线段垂直平分线的性质推得、，根据题意得，利用三角形的外角的性质求得，根据即可求解；②当点与点重合，点与点重合，． 【详解】解：根据题意，有种情况， ①如图， 与边上的垂直平分线、分别交于点、点， ，， ，， ， ， 是的一个外角，是的一个外角， ，， ， ， ． ②如图，当点与点重合，点与点重合， 此时，． 综上所述，或． 故答案为：或． 11．4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长交于E，根据全等三角形的性质得到，，得到和等底同高，求得，设的面积为m，于是得到结论． 【详解】解：延长交于E， ∵垂直的平分线于P，， 又知，， ∴在与中， ， ∴， ∴，， ∴和等底同高， ∴， 设的面积为m， ∴， ∴． 故答案为：4． 12．/100度 【分析】分别作点关于的对称点，关于的对称点，连接分别交于点，连接，由，可知当点与点重合，同时点与点重合时，，此时的周长最小，连接，则，推导出，则，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：分别作点关于的对称点，关于的对称点，连接分别交于点，连接，如图所示： ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴当点与点重合，同时点与点重合时，，此时的周长最小， 连接，则，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路线问题、三角形内角和定理等知识，掌握此类题型的解法，正确地作出辅助线是解题的关键． 13．21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 14．①③④ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据等腰直角三角形的判定与性质可得，由此即可判断①正确；利用证出，得到，，由线段的和差关系可判断④；根据，结合，得到，推出是等腰三角形，再根据，即可得到，即可判断③；可证明，则可证明不全等，据此可判断②． 【详解】解：，， ∴是等腰直角三角形， ，结论①正确； ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∴，故④正确； 平分， ， ， ， ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴不全等， ∴，故②错误； 故答案为：①③④． 15．见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及等腰梯形的判定，根据△是等腰三角形，得到，再由已知得到，从而根据相等线段相减得到结果即可． 【详解】解：因为是等腰三角形，，为腰， 所以，． 又因为，， 所以． 所以． 又因为，所以． 所以，即． 16．(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【分析】（1）通过设，利用角平分线性质、垂直的性质以及三角形内角和定理，推导出与相等，进而证明，得出为等腰三角形． （2）过点作交延长线于，利用平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的判定与性质，结合垂直的性质，推导出且，从而得证． 【详解】（1）证明：设， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ​​​​​​​∴为等腰三角形； （2）证明：过点作交的延长线于点， ∴，． ∵平分， ， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）过点D作交于点M，由等腰三角形性质和平行线性质可得，可推得，由因为已知，即可得，通过可得，即可得出结论； （2）根据和可得出长，从而可得长． 【详解】（1）证明：如图，过点D作交于点M， ∴． ∵(已知)， ∴ ∴． ∴． 又∵(已知)， ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 18．(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，结合已知可得，，从而可得，利用“”即可证得结论； （2）连接，由（1）可得，，结合已知可得，从而可得是等边三角形，由等边三角形的性质，结合已知可证，从而可得，等量代换，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵等腰直角三角形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴． （2）证明：连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 19．(1) (2) (3)是等边三角形 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质进行求解即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理及平角的概念即可求解； （3）利用三等分点得出，再利用线段的垂直平分线的性质得出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ， ∵的周长为， 即， ∴, ∴的长为：； （2）解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵、是线段的三等分点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴是等边三角形． 20．问题初探：，理由见解析；类比再探：；方法迁移：；拓展创新：，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等． （1）根据题意可推出，然后利用边角边即可证明，即可推出； （2）过点作交于点，则，同（1）可证：，即可算出； （3）根据题意推出，然后利用边角边即可证明，推出，即可推出； （4）过点作交于点，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）如图所示，过点作交于点， ， ， 在中， ， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； （3）和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4），理由如下： 如图所示，过点作交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $