专题02 整式的乘法重难点题型专训（5个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 整式的乘法重难点题型专训 （5个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示数的除法 题型二 零指数幂 题型三 计算单项式除以单项式 题型四 多项式除以单项式 题型五 计算单项式乘单项式 题型六 计算单项式乘多项式及求值 题型七 计算多项式乘多项式 题型八 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型十 利用单项式乘多项式求字母的值 题型十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型十二 多项式乘多项式——化简求值 题型十三 整式四则混合运算 拓展训练一 单项式乘多项式的应用 拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积 拓展训练三 多项式乘法中的规律性问题 知识点一： 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 【即时训练】 1．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）计算： ． 知识点二： 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）计算： ． 知识点三：单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）计算：结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）计算： 知识点四：单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 【即时训练】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）计算： ． 知识点五：多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西太原·模拟预测）计算的结果是 ． 【经典例题一 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（2025·河北张家口·模拟预测）某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费是实际花费的倍，用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将0.0021用科学记数法表示为 . 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习） ． 3．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要 s． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）某城市有100万个家庭，平均每个家庭每天丢弃1个塑料袋． （1）这100万个家庭一年（365天）将丢弃_______个塑料袋；（用科学记数法表示） （2）若每1000个塑料袋污染1平方米土地，那么该城市一年（365天）被塑料袋污染的土地有多少平方米？（结果精确到万位） 【经典例题二 零指数幂】 【例2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）的运算结果正确的是（  ） A． B． C．0 D．1 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： （1） ； （2） ． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）按一定规律排列的代数式：1，，，，，…，第4049个代数式是 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）规定两数a、b之间的一种运算．记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ． (2)计算 ，并说明理由． 【经典例题三 计算单项式除以单项式】 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）下列运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）计算： ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【经典例题四 多项式除以单项式】 【例4】（24-25八年级上·全国·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若一个长方形的面积为，一边长为b，则另一边的长为 ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解决问题 (1)已知A、均为单项式，多项式与单项式的商为，请分别求出单项式； (2)某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，长为，求这块长方形空地的周长． 【经典例题五 计算单项式乘单项式】 【例5】（2025·陕西·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）长方形的长为，宽为，则它的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·开学考试）若，则 . 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为 ．（用含x，y的式子表示） 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题六 计算单项式乘多项式及求值】 【例6】（2025八年级上·江西南昌·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）小明在写作业时，不小心把墨水滴到了作业本上，，为墨水弄污的部分，那么被墨水弄污的部分是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 4．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）（）已知，，且的值与无关，求的值； （）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【经典例题七 计算多项式乘多项式】 【例7】（24-25八年级上·全国·期中）下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记，；已知，则m的值是 ． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在计算时，小方同学看错了的值，计算结果为；小悦同学看错了的值，计算结果为． (1)求的值． (2)计算的正确结果． 【经典例题八 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例8】（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（    ）    A． B．， C． D．， 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）计算： ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如果，那么 ， 4．（24-25八年级上·江西南昌·期末）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【经典例题九 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例9】（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）与互为倒数，则= ． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）若，则 ． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段练习）（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【经典例题十 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例10】（24-25八年级上·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 1．（24-25八年级上·湖南长沙安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）若，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 4．（24-25八年级上·四川广安·期中）小雅同学计算一道整式除法： ，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)直接写出a、b的值：_____，______． (2)请写出这道除法计算的过程和正确结果． 【经典例题十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例11】（24-25八年级上·广东梅州·期中）为常数，展开式中项的系数与常数项都等于10，则的值等于（   ） A．6 B．6 C．8 D．8 1．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）关于的多项式：，（其中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法：①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）当 时，展开后不含项． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次三项式与的积不含的项，也不含的项，求系数与 【经典例题十二 多项式乘多项式——化简求值】 【例12】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知：，化简的结果是(　　) A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，那么代数式的值是 ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）规定，例如．已知，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·吉林·期末）老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 【经典例题十三 整式四则混合运算】 【例13】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，例如：．由此可知等于（   ） A．9 B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，某市有一块宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一个底座为正方形且边长为米的雕像．若绿化部分的面积为平方米，则长方形的长为 米． 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：） 【拓展训练一 单项式乘多项式的应用】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将梯形分成四个三角形：三角形、三角形、三角形、三角形，其中边的长是的2倍，三角形的面积为15，三角形的面积为18，求三角形与三角形的面积之和． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，G在线段上．已知正方形的边长为4，求的面积． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 【拓展训练三 多项式乘法中的规律性问题】 1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想：_________．（为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①___________． ②___________．（为正整数） ③___________． (3)请根据以上猜想计算：的值． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘中的常数项3，再用中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (2)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则_____________． (4)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (5)计算所得多项式的一次项系数为_____________，二次项系数为_____________． 1．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段练习）计算， 结果是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如果一个长方体的边长分别为，，，那么它的体积为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）使乘积中不含与项的的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段练习）为了丰富校园文化，学校决定在教学楼走廊打造一面文化墙．施工时需要使用如图所示的三种规格的瓷砖：类正方形瓷砖（边长为）、类正方形瓷砖（边长为）和类长方形瓷砖（长为，宽为）．已知文化墙被设计成长为、宽为的长方形区域，且墙面恰好由这三种瓷砖无缝拼接而成（瓷砖数量为正整数），则需类长方形瓷砖的块数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业） ． 7．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 9．（2025·四川成都·模拟预测）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 10．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，用含x的代数式表示图中阴影部分的面积是 ． 11．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）计算： 12．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 13．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下是明明的课后作业，阅读并完成下列任务： 化简：． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)任务一：上述化简过程在第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：写出正确的化简过程． 15．（2025七年级·山东·模拟预测）阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． (1)请写出图②所代表的恒等式； (2)请你自己画出一个平面图形，使他的面积表示：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘法重难点题型专训 （5个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示数的除法 题型二 零指数幂 题型三 计算单项式除以单项式 题型四 多项式除以单项式 题型五 计算单项式乘单项式 题型六 计算单项式乘多项式及求值 题型七 计算多项式乘多项式 题型八 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型十 利用单项式乘多项式求字母的值 题型十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型十二 多项式乘多项式——化简求值 题型十三 整式四则混合运算 拓展训练一 单项式乘多项式的应用 拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积 拓展训练三 多项式乘法中的规律性问题 知识点一： 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 【即时训练】 1．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的除法解答即可． 本题考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式的运算法则，熟练掌握系数相除、同底数幂相除（底数不变，指数相减 ）的运算方法是解题的关键．运用单项式除以单项式的法则，把系数、同底数幂分别相除，再将结果相乘． 【详解】解： 故答案为： ． 知识点二： 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，多项式除以单项式，根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，多项式除以单项式运算法则进行判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 主要关键步骤：将多项式的每一项分别除以单项式，计算每一项的商（系数相除，同底数幂相除），再将所得商相加． 【详解】解： 故答案为： 知识点三：单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）计算：结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，直接根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点四：单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 【即时训练】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘以多项式，利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可．熟练掌握单项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 2．（2025·广东·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式乘以多项式法则计算即可得． 【详解】解：原式， 故答案为：． 知识点五：多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选D 2．（2025·山西太原·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法，根据多项式的乘法运算法则计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 【经典例题一 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（2025·河北张家口·模拟预测）某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费是实际花费的倍，用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】解：∵预算花费约为元，实际花费约为元， ∴预算花费约是实际花费的倍数是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了科学记数法，整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将0.0021用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【详解】， 故答案为：. 【点睛】科学记数法表示数时，要注意形式中，的取值范围，要求，而且的值和原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数一样. 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习） ． 【答案】 【分析】根据单项式的除法法则计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 3．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要 s． 【答案】或500 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，利用时间等于路程除以速度，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：500 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）某城市有100万个家庭，平均每个家庭每天丢弃1个塑料袋． （1）这100万个家庭一年（365天）将丢弃_______个塑料袋；（用科学记数法表示） （2）若每1000个塑料袋污染1平方米土地，那么该城市一年（365天）被塑料袋污染的土地有多少平方米？（结果精确到万位） 【答案】（1）3.65×108；（2）被塑料袋污染的土地约有3.7×105平方米． 【分析】（1）用100万乘以365即可得到结果； （2）用（1）的结果除以1000，得到结果后按要求精确即可； 【详解】解：（1）这100万个家庭一年（365天）将丢弃塑料袋：1000000×365＝3.65×108． 故答案为：3.65×108； （2）3.65×108÷1000＝3.65×105≈3.7×105（平方米）． 答：若每1000个塑料袋污染1平方米土地，那么该城市一年（365天）被塑料袋污染的土地约有3.7×105平方米． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的应用，准确计算是解题的关键． 【经典例题二 零指数幂】 【例2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）的运算结果正确的是（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】此题考查了零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零数的0次方都等于1． 【详解】解：． 故选：D． 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，要使表达式有意义，需保证底数不为0，因为任何非零实数的0次方均等于1，而0的0次方无意义，熟练掌握零指数幂的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 1 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂的意义计算即可； （2）根据零指数幂的意义计算即可． 【详解】解∶（1）原式， 故答案为：1； （2）原式， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）按一定规律排列的代数式：1，，，，，…，第4049个代数式是 【答案】 【分析】本题主要考查了规律题，正确分析得出规律的变化情况是解题的关键； 先确定系数及字母指数的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：因为第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， 所以第4049个式子为 故答案为：． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）规定两数a、b之间的一种运算．记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ． (2)计算 ，并说明理由． 【答案】(1)3；0 (2)，见解析 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，同底数幂乘法，零指数幂，理解“雅对”的定义是解题关键． （1）根据乘方和“雅对”的定义求解即可； （2）仿照例题证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：3；0； （2）解：，理由如下： 设，， 则，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【经典例题三 计算单项式除以单项式】 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）下列运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式除以单项式运算，解题的关键是熟练掌握单项式除以单项式法则． 根据单项式除以单项式法则求解即可． 【详解】解：A．，此项正确，不合题意； B．，此项正确，不合题意； C．，此项错误，符合题意； D．，此项正确，不合题意． 故选：C． 1．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的除法，熟练掌握单项式除法运算法则是解题的关键． 利用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法，根据题意列式为，然后利用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 即长方体的高为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式除以单项式法则，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． （1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； （2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； 【详解】（1）解：. （2）解：. 【经典例题四 多项式除以单项式】 【例4】（24-25八年级上·全国·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的除法． 直接计算多项式除以单项式即可． 【详解】 故选：A 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键． 根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式计算即可． 【详解】解：根据题意，小辰报的整式为 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若一个长方形的面积为，一边长为b，则另一边的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式．利用面积除以一边长求得另一边长，即可解答． 【详解】解：长方形的另一边长为：， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可． （1）用多形式的每一项分别与单项式相除即可； （2）用多形式的每一项分别与单项式相除即可； （3）用多形式的每一项分别与单项式相除即可． 【详解】解；（1）原式； （2）原式； （3）原式 ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解决问题 (1)已知A、均为单项式，多项式与单项式的商为，请分别求出单项式； (2)某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，长为，求这块长方形空地的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得，则由，求解即可． （2）根据块长方形空地的宽为，然后根据长方形周长公式，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴ ∵， ∴，； （2）解：长方形空地的宽为 ， ∴这块长方形空地的周长 ． 【经典例题五 计算单项式乘单项式】 【例5】（2025·陕西·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式的乘法和积的乘方运算．先计算积的乘方，再计算单项式乘法即可． 【详解】解： 故选：D 1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）长方形的长为，宽为，则它的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以单项式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据长方形面积公式列出算式，再根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：长方形的面积为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·北京·开学考试）若，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为 ．（用含x，y的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据题目中的图形和长方形的面积计算公式，可以用含、的代数式表示出它们的面积之和． 【详解】解：由图可得， 它们的面积之和为：， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确；改正： (2)不正确；改正： (3)不正确；改正： (4)正确 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则：“系数相乘，同底数幂相乘，其余字母连同指数不变”，是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式运算法则，进行判断即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则，进行判断即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则，进行判断即可； （4）根据单项式乘单项式运算法则，进行判断即可． 【详解】（1）解：原计算错误；正确的计算为：； （2）解：原计算不正确，正确的计算为：； （3）解：原计算不正确，正确的计算为：； （4）解：原计算正确； ． 【经典例题六 计算单项式乘多项式及求值】 【例6】（2025八年级上·江西南昌·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 根据单项式乘多项式的乘法法则解决此题． 【详解】解： ． 故选：C． 1．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）小明在写作业时，不小心把墨水滴到了作业本上，，为墨水弄污的部分，那么被墨水弄污的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将各选项分别代入并验证等号左右两边是否相等，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入验证，可得，故本选项符合题意； B. 将代入验证，可得，故本选项不符合题意； C. 将代入验证，可得，故本选项不符合题意； D. 将代入验证，可得，故本选项不符合题意． 故选A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式的法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）同样依据单项式乘多项式的法则进行计算． 【详解】解：（1）． 故答案为：． （2）． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式．根据题意，列出式子，再将变形为，整体代入求出结果． 【详解】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）（）已知，，且的值与无关，求的值； （）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】（）；（） 【分析】（）把代入求出结果，进而根据的值与无关得到含项的系数为，据此即可求解； （）根据题意求出这个多项式，再列出正确的算式计算即可； 本题考查了整式的加减无关型问题，单项式乘以多项式，掌握整式是运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴ ， ∵的值与无关， ∴， ∴； （）这个多项式为， ∴正确的计算结果是． 【经典例题七 计算多项式乘多项式】 【例7】（24-25八年级上·全国·期中）下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，不符合题意，本选项错误； B. ，不符合题意，本选项错误； C. ，不符合题意，本选项错误； D. ，符合题意，本选项正确； 故选：D． 1．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法运算及多项式各项系数的特征，解题的关键是通过设未知数表示多项式展开式，结合常数项和一次项系数的符号及数值特征排除错误选项． 设 “” 为正数a，展开多项式得，根据常数项符号排除丙、丁；对于甲与乙，可根据一次项系数、常数项对应相等分别求得a值，保持一致性的确定为正确结果． 【详解】 解：设 “” 为正数a，则， ∴常数项，但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与丁． 若，得且， 均解得，故甲符合题意； 若，得且， 解得与，矛盾，无解，故乙不符合题意； 综上，只有甲符合题意， 故选：A． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，比较恒等式解答即可． 本题考查了多项式乘以多项式，恒等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴， 故， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记，；已知，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减及乘法运算．先根据的系数可得，再列出运算式子，利用整式的乘法法则和加减法法则进行化简，然后根据常数项相等即可得． 【详解】解：∵的系数是3， ∴， ∴ ， ∵原式， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在计算时，小方同学看错了的值，计算结果为；小悦同学看错了的值，计算结果为． (1)求的值． (2)计算的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． （1）化简，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）中的值代入代数式，再进行多项式乘以多项式运算即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，，， ∴； （2）解：将，代入， 则． 【经典例题八 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例8】（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 运用多项式乘多项式的计算方法进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（    ）    A． B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出、． 【详解】解：根据题意，知：，， ，的值可能分别是，， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如果，那么 ， 【答案】 6 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 故答案为：，6． 4．（24-25八年级上·江西南昌·期末）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【答案】(1)①；②； ③； (2)； (3)①；② (4)7或或5或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子； （2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式； （3）利用（2）总结的公式直接计算； （4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：① ； ② ； （4）解：因为， 所以，． 因为，均为整数，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 所以的所有可能值为7或或5或． 【经典例题九 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例9】（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）与互为倒数，则= ． 【答案】6 【分析】本题考查了倒数的性质，互为倒数的两数乘积为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段练习）（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解决本题的关键是根据整式的去处法则，把代数式化简，再把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． （1）根据单项式乘以单项式的法则计算，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算即可； （2）根据单项式乘以多项式的法则和合并同类项的法则计算，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 【经典例题十 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例10】（24-25八年级上·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 1．（24-25八年级上·湖南长沙安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川广安·期中）小雅同学计算一道整式除法： ，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)直接写出a、b的值：_____，______． (2)请写出这道除法计算的过程和正确结果． 【答案】(1)6， (2)过程见解析， 【分析】本题主要考查整式的乘除法运算，按照整式的乘除运算法则计算即可． （1）根据乘法运算得，再根据结果为 由对应系数相等，建立等式求解，即可解题； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴，， 解得，； 故答案为：； （2）解：由题意，得. 【经典例题十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例11】（24-25八年级上·广东梅州·期中）为常数，展开式中项的系数与常数项都等于10，则的值等于（   ） A．6 B．6 C．8 D．8 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据条件得出方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵展开式中项的系数与常数项相等，都等于， ∴，， 解得：，． 故选：D． 1．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）关于的多项式：，（其中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法：①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． ①设，通过比较系数得，，所以，即可判断正误； ②求出中项得系数，并令其等于0，可求得，即可判断正误； ③将A化简得，比较系数得，解得，即可判断正误． 【详解】解：①当B能被整除时， 设， 则，， ， 故①错误； ②当乘积不含项时： 中项为， ， 解得， 故②正确； ③ ， ， 解得， ， 故③错误； 综上，正确的只有①． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）当 时，展开后不含项． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，再结合展开后不含项得出，然后解得，即可作答． 【详解】解： ∵展开后不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【答案】 【分析】由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次三项式与的积不含的项，也不含的项，求系数与 【答案】 【分析】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令二次项与一次项系数为0，即可求出与的值． 【详解】解： ∵积不含的项，也不含的项， ∴， ∴解得：． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键． 【经典例题十二 多项式乘多项式——化简求值】 【例12】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知：，化简的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是按照多项式乘多项式的计算法则计算．先按照多项式乘多项式的计算法则将要求的式子展开，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：C． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，那么代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是积的乘方运算的应用，多项式乘以多项式的化简求值，由条件，可得，再计算多项式乘以多项式并进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴原式4． 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）规定，例如．已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查定义新运算，多项式乘以多项式，代数式求值，根据新定义，以及多项式乘以多项式的法则，得出，再代入进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 4．（24-25八年级上·吉林·期末）老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．利用多项式乘多项式，单项式乘多项式运算法则化简原式，可知该式的结果与的值无关，即可说明他的计算结果是正确的． 【详解】解： ； 则该式的结果与的值无关， ∴无论取何值，结果都为， ∴小明的计算结果是正确的． 【经典例题十三 整式四则混合运算】 【例13】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，例如：．由此可知等于（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据新定义并结合整式的混合运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有， ∴， 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算． 设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握多项式乘法法则以及整体代入法是解题的关键．先对进行化简，然后将已知条件，代入化简后的式子进行计算．解题思路是先展开式子，再通过变形将式子转化为含有与的形式，最后代入求值． 【详解】解： 又∵，，将其代入上式可得： 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，某市有一块宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一个底座为正方形且边长为米的雕像．若绿化部分的面积为平方米，则长方形的长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的应用．用小正方形的面积加上阴影部分的面积，再除以长方形的宽，即可求解． 【详解】解： ， 即长方形的长为米． 故答案为： 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：） 【答案】需要杯子个 【分析】本题主要考查整式的混合运算．要计算瓶子中的水可倒满几个杯子，实际上是计算瓶子中水的体积是杯子中水的体积的几倍，列算式计算即可． 【详解】解：由题意可知： 图1几何体的容积为：， 图2几何体的容积为：， 则需要杯子的个数：（个）， 【拓展训练一 单项式乘多项式的应用】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将梯形分成四个三角形：三角形、三角形、三角形、三角形，其中边的长是的2倍，三角形的面积为15，三角形的面积为18，求三角形与三角形的面积之和． 【答案】39 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用和代数式的求值． 先设则，的高为a，b，根据题意可知，进而得出梯形的面积，再整体代入求出梯形的面积，然后根据面积的差得出答案． 【详解】解：设则，的高为a，b，根据题意得， 即． 梯形的面积， 所以和的面积之和为． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)48平方米 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，正确表示出这两条小路的总面积是解题的关键． （1）这两条小路的总面积等于长为米，宽为b米的长方形面积加上长为米，宽为b米的长方形面积再减去边长为b米的正方形面积，据此求解即可； （2）把代入（1）所求式子中计算求解即可． 【详解】（1）解：两条小路的总面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米，即此时这两条小路的总面积为48平方米． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了整式的乘法运算与图形面积，求代数式的值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）盲区面积等于梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积，据此列式计算即可； （2）把整体代入（1）中所求代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积为： ； （2）解：当时，． 【拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，G在线段上．已知正方形的边长为4，求的面积． 【答案】16 【分析】该题考查了多项式乘法的应用，作交的延长线于点M，设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据阴影部分的面积等于，列式求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点M，如右图所示， 设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵正方形的边长为4， 则阴影部分的面积是： ， 即的面积是16． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 【答案】(1)要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； (2)4 (3)方案1：A纸片1张，B纸片4张，纸片3张；方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张；方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 【分析】本题考查的是多项式乘法与图形，掌握多项式乘法法则和正确理解题意是解题关键， （1）先求出长方形面积，根据面积即可确定结论； （2）根据完全平方公式确定即可； （3）设这边的邻边长为，根据面积可得出，根据正整数解即可解决． 【详解】（1）解：， 要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； （2）解∶ 设型纸片有张， 则该正方形的面积可表示为， 解得； （3）解∶ 根据题意，这个长方形一边长为，设这边的邻边长为， 则长方形的面积为：， 则有张A纸片，张纸片，张纸片， ∵拼成这个长方形恰好用8张纸片， 所以，即， 因为和都是正整数， 则只有三组正整数解：，；，；，． 所以只有下列三种情形： 方案1：A纸片1张，纸片4张，纸片3张 方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张 方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，得，由此可得出阴影部分的周长； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的周长； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【拓展训练三 多项式乘法中的规律性问题】 1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想：_________．（为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①___________． ②___________．（为正整数） ③___________． (3)请根据以上猜想计算：的值． 【答案】(1)； (2)①；②；③； (3)． 【分析】本题考查了数字的变化，有理数的混合运算，多项式的乘法，解题的关键是掌握数字的变化规律，有理数的混合运算法则，多项式的乘法法则． （1）读懂题意，寻找数字变化规律； （2）利用（1）发现的规律解决问题； （3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：（n为正整数）； 故答案为：； （2）① ； ②设，（n为正整数） ， ∴， ③ ； （3）原式 ． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘法的规律探究，观察等式发现规律是解题关键． （1）利用题中已知等式的规律得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差； （2）将原式变形为，再利用所得规律计算可得； （3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得． 【详解】（1）解：若为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得：， 故答案为：； （2） （3） ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘中的常数项3，再用中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (2)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则_____________． (4)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (5)计算所得多项式的一次项系数为_____________，二次项系数为_____________． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5 (5)10； 【分析】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键． （1）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （2）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （3）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （4）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴所得多项式的一次项系数为7， 故答案为：7； （2）解：， ∴所得多项式的一次项系数为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴， 所以， 故答案为：； （4）解：∵ ， ∴一次项系数为： 故答案为：5； （5）解：∵ ∴一次项系数为：， 二次项系数为：， 故答案为：10；． 1．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段练习）计算， 结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的法则，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题先根据多项式乘多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含的一次项，该项的系数为0，然后即可求解； 【详解】解：先将展开，根据多项式乘法法则： ， ∵展开式中不含的一次项，即的一次项的系数为， ∴， 解得， 故选：D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如果一个长方体的边长分别为，，，那么它的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式的乘法运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据长方体的体积公式列式计算即可求解． 【详解】解：， ∴长方体的体积为， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）使乘积中不含与项的的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式的法则．根据多项式乘多项式把式子展开，合并同类项后，令和项的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解： ∵乘积中不含与项， ∴，， ∴，． 故选：D． 5．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段练习）为了丰富校园文化，学校决定在教学楼走廊打造一面文化墙．施工时需要使用如图所示的三种规格的瓷砖：类正方形瓷砖（边长为）、类正方形瓷砖（边长为）和类长方形瓷砖（长为，宽为）．已知文化墙被设计成长为、宽为的长方形区域，且墙面恰好由这三种瓷砖无缝拼接而成（瓷砖数量为正整数），则需类长方形瓷砖的块数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，其中项的系数即为类长方形瓷砖的块数． 【详解】解：， 若要拼一个长为、宽为的长方形，则需类长方形瓷砖块． 故选：B． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业） ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算法则进行计算．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意列出除法算式，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键． 根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 9．（2025·四川成都·模拟预测）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 【答案】 117 665 【分析】本题考查规律型，整式乘法的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据定义，得出，取的值和对应符合题意的的值分别计算，通过观察规律，可以发现第 5 个“立方差友好数”和第 28 个“立方差友好数”． 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数， 则， 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到：观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是， 故答案为：117，665． 10．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，用含x的代数式表示图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法． 由图可知下面的长方形长为，分别计算两长方形的面积相加即可． 【详解】， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）1；（2）9 【分析】本题考查的是幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用及同底数幂乘法运算， （1）逆用同底数幂除法及逆用幂的乘方，再代入计算即可； （2）先求出，再逆用幂的乘方后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴．     （2）∵， ∴， ． 13．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）①；②；③；④ 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘以多项式的法则求解即可； （2）由（1）中的运算总结出规律即可； （3）由（2）总结出的规律求解即可； 【详解】解：①； ②． ③； ④． （2）从上面的计算中总结出规律：； （3）①； ②． ③； ④． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下是明明的课后作业，阅读并完成下列任务： 化简：． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)任务一：上述化简过程在第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：写出正确的化简过程． 【答案】(1)二；括号前是负号，去括号时未变号 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据去括号法则即可得在第二步开始出现错误，去括号时未变号； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：上述化简过程在第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是负号，去括号时未变号， 故答案为：二；括号前是负号，去括号时未变号． （2）解：原式 ． 15．（2025七年级·山东·模拟预测）阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． (1)请写出图②所代表的恒等式； (2)请你自己画出一个平面图形，使他的面积表示：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于长乘以宽或者两个边长为的正方形的面积两个边长为的正方形的面积个 长与宽分别为的长方形的面积，即可写出等式． （2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：如图所示，即为所求； 学科网（北京）股份有限公司 $