第11讲：函数的单调性【知识梳理+12个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第11讲：函数的单调性】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、函数单调性的定义法 （一）定义表述 1.增函数：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数，区间称为函数的单调递增区间。 2.减函数：类似地，对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数，区间称为函数的单调递减区间。 （二）定义法判定单调性的步骤 1.取值：任取，，且。这一步要注意“任意”二字，不能用特殊值代替。 2.作差：计算。作差的目的是通过判断差值的正负来比较与的大小。 3.变形：对进行变形，常见的变形方法有因式分解、配方、通分、有理化等，使其易于判断正负。例如，对于二次函数，在判定其在上的单调性时，，通过因式分解就容易判断正负。 4.判断符号：根据变形后的结果，结合的条件，判断的符号。若，则函数在区间上是增函数；若，则函数在区间上是减函数。 5.下结论：根据上述判断，得出函数在区间上的单调性结论。 （三）定义法应用易错点 1.忽略定义域：在判定函数单调性时，首先要明确函数的定义域，单调区间是定义域的子集。例如，函数，其定义域为，不能说它在整个定义域上是减函数，而是在和上分别是减函数。 2.“任意”二字理解不到位：取值时必须是区间上的任意两个自变量的值，不能仅取有限个特殊值进行判断。比如，不能因为，，，就得出函数在某个区间上是增函数的结论。 二、常见函数的单调性（不涉及初等函数） （一）一次函数 1.解析式：（） 2.单调性： 当时，函数在上是增函数。例如，，随着的增大，也随之增大，在上单调递增。 当时，函数在上是减函数。例如，，随着的增大，反而减小，在上单调递减。 （二）二次函数 1.解析式：（） 2.单调性： 当时，函数图像开口向上，对称轴为，函数在上是减函数，在上是增函数。例如，，，对称轴为，则函数在上单调递减，在上单调递增。 当时，函数图像开口向下，对称轴为，函数在上是增函数，在上是减函数。例如，，，对称轴为，则函数在上单调递增，在上单调递减。 （三）反比例函数 1.解析式：（） 2.单调性： 当时，函数在和上分别是减函数。例如，，在上，随着的增大，减小；在上，同样随着的增大，减小。 当时，函数在和上分别是增函数。例如，，在上，随着的增大，增大；在上，也是随着的增大，增大。 （四）对勾函数 1.解析式：（，） 2.定义域：（即） 3.单调性： 先求单调区间分界点：令（），解得，这两个点将定义域分为四个区间：、、、。 各区间单调性： 在上：任取，计算。因为，所以，，则，即，故，函数为增函数。 在上：任取，同理可得，，则，即，故，函数为减函数。 在上：任取，，，，，故，函数为减函数。 在上：任取，，，，，故，函数为增函数。 4.实例：对勾函数（，），分界点为，则函数在上增，上减，上减，上增。 （五）飘带函数 1.解析式：（，），可变形为（为的绝对值） 2.定义域：（即） 3.单调性： 分两个区间分析：和 在上：任取，计算。因为，，所以（，负负得正），故；又，所以，函数为增函数。 在上：任取，同理可得，，，，故，函数为增函数。 4.实例：飘带函数（，），在和上均为增函数。例如，取，（），，，；取，（），，，，符合增函数性质。 三、复合函数的单调性 （一）复合函数的概念 设函数，，则函数称为由函数和复合而成的复合函数，其中称为中间变量，是自变量，是因变量。例如，函数，可以看作是由（）复合而成的。 （二）复合函数单调性的判定法则（“同增异减”法则） 1.若函数在区间上是增函数，函数在区间（表示在区间上的值域）上是增函数，则复合函数在区间上是增函数。 2.若函数在区间上是增函数，函数在区间上是减函数，则复合函数在区间上是减函数。 3.若函数在区间上是减函数，函数在区间上是增函数，则复合函数在区间上是减函数。 4.若函数在区间上是减函数，函数在区间上是减函数，则复合函数在区间上是增函数。 （三）复合函数单调性判定步骤 1.分解复合函数：将复合函数分解为基本函数和。 2.确定定义域：求出复合函数的定义域，同时确定中间变量的定义域和值域，以及外层函数的定义域。 3.判定基本函数单调性：分别判定内层函数在其定义域内的单调区间和单调性，以及外层函数在其对应定义域内的单调区间和单调性。 4.应用“同增异减”法则：根据内层函数和外层函数的单调性，结合“同增异减”法则，确定复合函数的单调区间和单调性。 例如，判定函数的单调性： 1.分解复合函数：令，则。 2.确定定义域：由，解得或，所以复合函数的定义域为。 3.判定基本函数单调性： 内层函数，其对称轴为，在上是减函数，在上是增函数。结合复合函数定义域，在上是减函数，在上是增函数。 外层函数，在上是增函数。 4.应用“同增异减”法则： 当时，内层函数是减函数，外层函数是增函数，“异减”，所以复合函数在上是减函数。 当时，内层函数是增函数，外层函数是增函数，“同增”，所以复合函数在上是增函数。 四、函数单调性的应用 （一）比较函数值大小 若函数在区间上是增函数，对于任意的，，若，则；若函数在区间上是减函数，对于任意的，，若，则。 教材例题：已知函数在上是增函数，且，，比较与的大小。 解：因为函数在上是增函数，且，根据增函数的性质，可得。 （二）解不等式 利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而求解不等式。 高考真题（节选）：已知函数是定义在上的增函数，且，求的取值范围。 解：因为函数在上是增函数，且，根据增函数的性质“若，则”，可得，解得。所以的取值范围是。 （三）求函数的最值 若函数在区间上是增函数，则函数在处取得最小值，在处取得最大值；若函数在区间上是减函数，则函数在处取得最大值，在处取得最小值。 教材例题：求函数在区间上的最值。 解：因为函数中，所以函数在上是增函数，那么在区间上也是增函数。所以当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值。 五、函数单调性的一些结论 1.若函数和在同一区间上都是增函数（或都是减函数），则函数在区间上是增函数（或减函数）。例如，和在上都是增函数，那么在上也是增函数。 2.若函数在区间上是增函数，且，则函数在区间上是减函数；若函数在区间上是减函数，且，则函数在区间上是增函数。例如，在上是增函数，且，则在上是减函数；再如，在上是减函数，且，则在上是增函数，均符合该结论。 3.对勾函数（，）的单调性具有“对称”性：在与上的单调性相同（均为增函数），在与上的单调性相同（均为减函数）。 4.飘带函数（，）在定义域内的两个区间和上单调性一致（均为增函数），且无单调递减区间。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：用定义法证明函数的单调性】 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为，证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，分别在和上证明即可求解. 【详解】对任意，． 因为，所以，． 对任意，有， 从而，即； 对任意，有， 从而，即． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【例题2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)试用函数单调性定义证明函数在R上单调递增； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，结合指数函数的单调性可证明，由单调性的定义可得结论； （2）结合（1），利用函数的单调性将原不等式转化为即可求解. 【详解】（1） 设， 则 ， 因为，所以 又因为，， ， 所以， 所以函数在R上单调递增； （2）由（1）知，函数在R上单调递增， 因为，所以， 可得， 所以，即的解集为. 相似练习 【相似题1】（2019高三·江苏·专题练习）讨论函数在区间上的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法分和两种情况讨论即可. 【详解】任取，且， 则， 当时，，即， 函数在区间上单调递减； 当时，，即， 函数在区间上单调递增． 【相似题2】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，． (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明； (2)求函数，的最大值和最小值． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）结合（1）中函数的单调性求出函数的最值. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增； （2）由（1）可知在上单调递增， 所以，. 【解题策略】 用定义法证明函数单调性的解题步骤 一、核心思路 定义法证明函数单调性的本质是：通过“任意取值→作差变形→判断差值符号”，验证函数在给定区间内是否满足“自变量大则函数值大（增函数）”或“自变量大则函数值小（减函数）”的定义，最终得出单调性结论。 二、规范解题步骤（五步走） 步骤1：明确“函数、区间”，写出单调性定义（定目标） 操作要点： 先明确待证函数的解析式，以及需证明的单调区间（需先确认区间是函数定义域的子集）；再根据证明目标，写出对应单调性的定义（增函数/减函数）： 若证“在上是增函数”：需证明“对任意，当时，都有”； 若证“在上是减函数”：需证明“对任意，当时，都有”。 注意事项： 必须先确认区间的合法性（如函数的定义域是，不能直接证明其在“”上的单调性）。 步骤2：任意取值（设变量） 操作要点： 任取，且满足“”。 关键是“任意”二字——不能取特殊值（如仅取），必须用“任意”表示区间内所有可能的自变量对，确保证明的普遍性。 示例表述： “任取，且”。 步骤3：计算“”（作差） 操作要点： 将代入函数解析式，计算的表达式（无需化简，先保留原始形式）。 作差的目的是通过“差值的正负”间接比较与的大小（差值正则，差值负则）。 示例计算： 若，则。 步骤4：对“”变形，判断符号（变形+判号） 操作要点： 1.变形目标：将转化为“可直接判断正负的形式”，常见变形方法： 因式分解（如多项式函数：）； 配方（如二次函数：）； 通分（如分式函数：）； 有理化（如含根号函数：）。 2.判断符号：结合“”和“”的条件，分析变形后每一项的正负，最终确定的整体符号。 示例变形与判号： 对（区间）： 变形：； 判号： 由得； 由得； 因此，，即。 步骤5：下结论（证毕） 操作要点： 根据的符号，结合单调性定义，得出最终结论： 若（即），则在区间上是增函数； 若（即），则在区间上是减函数。 示例结论： “由得，故在上是增函数。” 三、完整证明示例（以“证明在上是增函数”为例） 证明过程： 1.明确目标： 函数的定义域为，需证明“对任意，当时，都有”。 2.任意取值： 任取，且。 3.作差： 计算。 4.变形与判号： 变形：； 判号：由得，因此，即。 5.下结论： 因为，所以，故在上是增函数。 四、常见误区提醒 1.取值时忽略“任意”：仅用特殊值（如）证明，无法覆盖区间内所有情况，结论不成立； 2.变形不彻底：如将停留在“”，未分解为，无法判断符号； 3.忽略定义域：如证明在“”上的单调性，未注意其定义域是，区间不合法。 【题型二：求函数的单调性】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】和 【分析】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间. 【详解】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 故答案为：和. 【例题2】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】利用函数单调性的定义判断在上的单调减区间，即可求解. 【详解】任取，且， 则， 当时，，，所以即， 当时，，，所以即， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故答案为：. 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性以及单调性的性质分析判断函数单调性. 【详解】因为， 令，解得或， 可知的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递增，在内单调递减， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递增， 则在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为． 故答案为：. 【题型三：根据单调性求参数范围】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 【例题2】（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，分、两种情况讨论，可知对任意成立，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】令，分以下两种情况讨论： （ⅰ）当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数， 所以实数应满足，即； （ⅱ）当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是减函数， 所以实数应满足解得，所以． 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 【解题策略】 根据单调性求参数范围的解题步骤 一、核心逻辑 已知函数在某区间的单调性（增/减），求参数范围的本质是：将“单调性条件”转化为“含参数的不等式（组）恒成立问题”——通过函数单调性的性质（如基本函数的单调性规律、定义法中的差值符号、复合函数“同增异减”），建立参数需满足的约束条件，最终求解不等式（组）得到参数范围。 二、通用解题步骤（四步走） 步骤1：明确“已知条件”与“目标”（定边界） 操作要点： 清晰梳理3个关键信息： 1.待分析函数的解析式（含参数，如中为参数）； 2.函数的单调区间（如、）； 3.函数在区间上的单调性方向（增函数/减函数）。 同时确认：区间是函数定义域的子集（需先保证函数在上有意义，避免后续漏定义域约束）。 示例：已知在上是增函数，求实数的取值范围。 关键信息：解析式（参数）、单调区间、单调性“增函数”。 步骤2：根据“函数类型”选择对应方法（选工具） 根据函数解析式的结构，分3类场景选择方法，核心是将单调性转化为参数约束： 函数类型 常用方法 核心逻辑 基本函数（一次、二次、对勾等） 性质法（利用已知单调性规律） 直接套用基本函数的单调性条件（如二次函数看开口方向与对称轴的位置关系） 复合函数（） “同增异减”法 先分析外层函数单调性，再确定内层函数需满足的单调性，进而转化为参数约束 一般函数（无固定类型） 定义法（作差变形+恒成立） 任取，由符号（增→负，减→正）列不等式恒成立 步骤3：转化为“含参数的不等式（组）”（建约束） 这是核心步骤，需结合具体函数类型拆解： 场景1：基本函数（以二次函数、对勾函数为例） 二次函数（）： 单调性由“开口方向（的符号）”和“对称轴”共同决定： 若（开口向上）：函数在减，在增； 若（开口向下）：函数在增，在减。 已知函数在区间上的单调性，需建立“区间与对称轴”的包含关系（注意闭区间端点可取等号）。 示例：已知在上增（，开口向上），则对称轴需满足： ，即，解得。 对勾函数（）： 单调区间分界点为，已知在区间上的单调性，需建立“区间与分界点”的关系： 若或，则函数在上增； 若或，则函数在上减。 示例：已知（）在上增，则分界点，解得。 场景2：复合函数（“同增异减”法则） 操作步骤： 1.分解复合函数：令（内层函数，含参数），（外层函数，单调性已知）； 2.根据“同增异减”确定内层函数的单调性（如外层增、复合增→内层需增；外层增、复合减→内层需减）； 3.结合内层函数的类型（如一次、二次），转化为内层函数中参数的约束，同时需保证外层函数的定义域（即的值域满足的定义域）。 示例：已知在上增，求的范围： 1.分解：（内层），（外层，在时增）； 2.复合增、外层增→内层需在上增，且恒成立； 3.内层增：对称轴（）； 内层恒成立：（）； 综上：。 场景3：一般函数（定义法+恒成立） 操作步骤： 1.任取，计算并变形（因式分解、通分等）； 2.根据单调性确定的符号（增→；减→）； 3.分离参数：将变形后的式子整理为“参数≤某表达式”或“参数≥某表达式”的恒成立形式； 4.求表达式的最值：恒成立问题转化为“参数≤表达式最小值”或“参数≥表达式最大值”（注意：若表达式无最值，需分析趋势）。 示例：已知在上减，求的范围： 1.任取，计算； 2.函数减→，且，故； 3.定义域约束：时，即（避免在区间内）→； 4.由：时，，且，，故不等式恒成立； 综上：。 步骤4：验证端点与定义域（防漏解） 操作要点： 1.验证参数的端点值是否满足单调性（如二次函数对称轴在区间端点时，是否仍满足单调）； 2.检查是否遗漏定义域约束（如复合函数内层函数需保证外层函数有意义，分式函数分母不为0）； 3.整合所有约束条件，最终确定参数范围（用集合或区间表示）。 三、典型例题完整演示（二次函数为例） 题目：已知函数在上是减函数，求实数的取值范围。 解题过程： 1.明确已知条件： 解析式（参数），单调区间，单调性“减函数”。 2.分类讨论函数类型： 当时，（一次函数），，在上减，故在上减，符合条件； 当时，为二次函数，需满足： ①开口方向：减区间在对称轴左侧→开口向上（）； ②对称轴位置：对称轴，需（区间在对称轴左侧）； 解得：。 3.整合约束条件： 当或时，均满足条件，故。 4.验证端点： 时，一次函数减，符合； 时，对称轴，函数在上减，符合； 无定义域遗漏（二次函数定义域为）。 四、常见误区提醒 1.忽略函数类型讨论（如二次函数未考虑时的一次函数情况）； 2.遗漏定义域约束（如复合函数未保证内层函数值满足外层函数定义域）； 3.对称轴位置关系搞反（如二次函数时，误将“减区间”放在对称轴右侧）； 4.恒成立问题最值判断错误（如“参数≥表达式”需找表达式的最大值，而非最小值）。 【题型四：分段函数的单调性】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【例题2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【解题策略】 分段函数的单调性解题步骤 一、核心逻辑 分段函数的单调性需满足“局部单调+整体衔接”： 1.每一段子函数在其对应定义域区间内必须单调（增/减，需与整体单调性方向一致）； 2.相邻两段函数在定义域的衔接点处，函数值需满足“增函数不递减、减函数不递增”（避免衔接处出现“断层”或“反向跳跃”）。 本质是将分段函数拆解为多个基本函数，先分别判断局部单调性，再验证整体连续性（从单调性角度）。 二、通用解题步骤（五步走） 步骤1：明确分段函数的“结构要素”（定基础） 操作要点： 先完整梳理分段函数的3个核心要素，避免后续判断遗漏： 1.定义域分段：明确各子函数的定义域区间（如、，需注意区间端点的归属，避免重复或遗漏）； 2.各段解析式：确定每一段子函数的具体形式（如一次函数、二次函数等）； 3.参数情况：若解析式含参数（如中的），需标注参数位置，后续需结合单调性约束求解。 示例：分段函数，要素梳理： 定义域分段：、（端点1归属左段）； 子函数类型：左段二次函数，右段一次函数； 参数：右段含参数。 步骤2：判断“每一段子函数”的单调性（局部分析） 操作要点： 针对每一段子函数，结合其类型（一次、二次、对勾等），沿用此前学过的“性质法”或“定义法”判断单调性，需满足： 若目标是“分段函数整体为增函数”，则每一段子函数需在各自区间内为增函数； 若目标是“分段函数整体为减函数”，则每一段子函数需在各自区间内为减函数； 若仅需判断“是否存在单调区间”，则分别分析每一段的单调区间，再整合。 常用子函数单调性判断方法回顾： 子函数类型 单调性判断依据（性质法） 一次函数（） 增，减 二次函数（） 开口：对称轴左侧减、右侧增；：对称轴左侧增、右侧减 对勾函数（） 增区间、；减区间、 示例（接步骤1）：判断分段函数各段单调性（假设目标是整体增）： 1.左段：（二次函数，，对称轴）； 由二次函数性质，对称轴左侧（）为减函数→不满足“整体增”的局部要求，需记录此矛盾。 2.右段：（一次函数）； 若需右段增，则→暂得约束。 步骤3：验证“相邻两段的衔接点”（整体衔接） 操作要点： 这是分段函数单调性的“关键区别点”——需保证相邻两段在衔接点处的函数值“不破坏整体单调性”，具体规则： 设分段函数在衔接点处分为左段（，解析式）和右段（，解析式）： 1.若整体为增函数：左段在处的函数值≤右段在处的极限值（即，若右段在处连续，则为）； 2.若整体为减函数：左段在处的函数值≥右段在处的极限值（或）； 3.若衔接点处左段为闭区间（）、右段为开区间（），只需计算与右段在趋近于时的函数值关系；若两段均含，需先保证（函数连续），再验证单调性。 示例（接步骤2）：衔接点，验证整体增的衔接条件： 1.左段在处的函数值：； 2.右段在时的函数值：； 3.整体增需满足：→→； 4.结合步骤2中右段增的约束，暂得，但需注意左段本身是减函数，整体无法增，因此该示例需调整目标（如判断是否为减函数）。 步骤4：整合“局部约束+衔接约束”（定范围/下结论） 操作要点： 1.若仅判断“分段函数是否为单调函数”：整合每一段的单调性方向（需一致）和衔接点条件，若均满足则为单调函数，否则不是； 2.若“含参数，求参数范围”：将每一段的单调性约束（如一次函数）和衔接点约束（如）整合为不等式组，求解不等式组得到参数范围； 3.若“求分段函数的单调区间”：分别列出每一段的单调区间，剔除不满足衔接条件的区间，再合并连续的单调区间（注意：不相邻的区间需用“和”连接，不能用“∪”）。 示例调整（判断分段函数是否为增函数）： 1.局部判断： 左段：（，减函数）→不满足整体增，直接结论：不是增函数； 2.若判断是否为减函数： 左段减（），右段：（，增函数）→局部方向不一致，不是减函数。 步骤5：验证“特殊点与定义域”（防漏解） 操作要点： 1.验证定义域端点：如分段函数定义域为，需确认端点处的函数值是否符合单调性（如左端点无左侧值，只需看右侧单调性）； 2.检查分段是否完整：确保没有遗漏某一段的定义域（如是否归属某一段，避免“无定义”点）； 3.含参数时验证端点值：将参数的端点值代入分段函数，验证是否满足单调性（如参数时，一次函数变为常数函数，不满足严格单调）。 三、典型例题完整演示（含参数的分段函数求参数范围） 题目：已知分段函数在上是增函数，求实数的取值范围。 解题过程： 1.明确结构要素： 定义域分段：、；子函数：左段一次函数（含参数），右段一次函数（含参数）；目标：整体增函数。 2.判断每一段的单调性（局部约束）： 左段（一次函数）：增函数需斜率→； 右段（一次函数）：增函数需斜率→。 3.验证衔接点（衔接约束）： 左段在时的函数值：； 右段在处的函数值：； 整体增需满足：→→。 4.整合约束条件： 不等式组：，解得。 5.验证端点与定义域： 当时：左段斜率（增），右段斜率（增），衔接点（满足），整体增； 当时：左段斜率（常数函数，不增），故； 定义域为，无遗漏，最终参数范围：。 四、常见误区提醒 1.忽略“分段单调性方向一致”：如左段增、右段减，直接认为整体单调，未发现局部方向矛盾； 2.衔接点函数值比较错误：增函数时误写为，减函数时误写为； 3.含参数时遗漏“子函数类型讨论”：如左段一次函数未考虑（常数函数，不满足严格单调）； 4.单调区间表示错误：将不相邻的单调区间用“∪”连接（如和是增区间，应写为“和”，而非“”）。 【题型五：复合函数的单调性】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将函数进行变形，然后根据函数的单调增区间来确定实数a的取值范围. 【详解】因为， 结合复合函数的增减性，再根据在区间上为增函数， 可得在区间上为增函数， 那么，即. 故答案为：. 【例题2】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数法可求得函数的增区间. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上递增，在上递减， 外层函数在上为减函数， 因此，函数的增区间为. 故选：B. 【相似题2】【多选】（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知函数，，则（   ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】由已知可得在，上单调递减，在，上单调递增，利用是偶函数，结合的单调性可得复合函数的单调性. 【详解】由是对勾函数且是奇函数， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 易得的定义域为， ， 所以函数是偶函数， 故只需研究在上的单调性即可， 由，解得， 又在上的单调递减， 由复合函数的单调性可得在上单调递增，故B错误； 由，解得，同理可得在上单调递增， 另外，可知在上单调递减，故D错误； 结合是偶函数，可得在上单调递减，在上单调递增，故AC正确. 故选：AC. 【题型六：根据单调性比较大小】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可． 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 【例题2】【多选】（25-26高一上·河北·期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对称性将自变量变换到区间内，再根据单调性比较大小即可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以， ， 又因为在区间上单调递增，且， 所以， 所以， 所以和正确； 故选：BD 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形成，通过构造函数，利用函数的单调性即可得正确选项. 【详解】因为，所以 即， 由，得， 令，则， 因为和均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即． 故选：D. 【相似题2】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数满足，且时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性得，再由单调性定义得到函数在上单调递减，利用单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以函数关于对称，所以， 又时，所以函数在上单调递减， 因为，所以，即. 故选：B 【解题策略】 根据单调性比较函数值大小的解题步骤 一、核心逻辑 根据单调性比较函数值大小的本质是：利用函数在某区间的“自变量与函数值的对应关系”（增函数：自变量大→函数值大；减函数：自变量大→函数值小），将“函数值大小比较”转化为“自变量大小比较”。 关键前提：两个自变量必须在函数的“同一单调区间”内，若不在同一区间，需先通过函数其他性质（如奇偶性、对称性）转化到同一区间。 二、通用解题步骤（四步走） 步骤1：确定函数的“单调区间及单调性方向”（定基础） 操作要点： 首先明确待分析函数的解析式，通过此前学过的“性质法”（基本函数单调性规律）、“定义法”或“分段函数局部判断法”，确定函数的单调区间（如、）及对应区间内的单调性方向（增函数/减函数）。 （回顾常见函数单调性规律：一次函数看斜率，二次函数看开口与对称轴，对勾函数看分界点，分段函数需分段判断） 示例：函数（二次函数，，对称轴），其单调区间为：上减，上增。 步骤2：验证“两个自变量是否在同一单调区间内”（验范围） 操作要点： 设需比较的两个函数值为和，提取自变量和，判断二者是否落在步骤1确定的“同一单调区间”内： 1.若在同一单调区间内：直接进入步骤3； 2.若不在同一单调区间内：需通过函数其他性质（如奇偶性：或；对称性：）将其中一个自变量转化到另一个自变量所在的单调区间，再验证是否在同一区间。 示例：比较与（对应函数）： 自变量（在），（在），不在同一区间； 利用二次函数对称性（对称轴，），，转化后与在同一区间，可比较。 步骤3：根据单调性方向“转化函数值与自变量的大小关系”（用性质） 操作要点： 设函数在区间上的单调性方向为： 1.若在上是增函数：则“（）”等价于“”； 2.若在上是减函数：则“（）”等价于“”； 需严格对应单调性方向，避免“增减搞反”导致错误。 示例1（增函数）：函数在上增，比较与： 自变量（均在上），故。 示例2（减函数）：函数在上减，比较与： 自变量（均在上），故。 步骤4：得出函数值大小关系的结论（下结论） 操作要点： 结合步骤3的转化结果，直接写出与的大小关系，确保结论清晰（用“$<$”“$>$”或“$=$”表示）。 若步骤2中进行了自变量转化（如利用奇偶性、对称性），需在结论中简要说明转化过程（避免逻辑断层）。 三、典型例题完整演示（覆盖不同函数类型） 例题1：基本函数（二次函数）——比较与，其中 解题过程： 1.定单调区间与方向： （二次函数，，开口向下，对称轴），故： 单调区间：上增，上减。 2.验自变量是否在同一区间： 自变量（在），（在），不在同一区间； 利用对称性（对称轴，），，转化后自变量为和，均在上。 3.用单调性转化关系： 区间上是增函数，且，故。 4.下结论： 因，所以。 例题2：含奇偶性的函数——比较与，其中是上的奇函数且在上增 解题过程： 1.定单调区间与方向： 奇函数性质：，且在对称区间单调性一致； 已知在上增，故在上也增，整体在上增。 2.验自变量是否在同一区间： 自变量（），（），不在同一区间； 用奇函数性质转化：，但需比较与，可直接比较与（因整体在上增），无需额外转化。 3.用单调性转化关系： 在上增，且，故。 4.下结论： 。 例题3：分段函数——比较与，其中 解题过程： 1.定单调区间与方向： 分段判断： 左段：（一次函数，，减函数）； 右段：（二次函数，，对称轴，增函数）。 2.验自变量是否在同一区间： 自变量（左段），（右段），不在同一单调区间，需计算具体函数值（因无直接转化性质）： ； 。 3.用单调性辅助验证： 左段减：，； 右段增：，，但需具体值比较。 4.下结论： 。 四、常见误区提醒 1.忽略“自变量在同一单调区间”：如函数在减、增，直接比较与，误判故（实际）； 2.单调性方向搞反：减函数中误将“”转化为“”，如在减，误判故（实际）； 3.分段函数未对应区间计算：比较分段函数不同段的函数值时，未代入对应解析式计算，直接用单调性硬比（如例题3中若不计算和，无法直接通过单调性判断）； 4.遗漏函数特殊性质转化：含奇偶性、对称性的函数，未利用性质将自变量转化到同一区间，导致无法比较（如例题2中若忽略奇函数在上的单调性，会误判无法比较与） 【题型七：根据函数的单调性解抽象不等式】 例题精选 【例题1】【多选】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B． C．若，则的取值范围是 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】对于A，分析出要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于等于在右侧的最大值，进而列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数在上的单调性，将不等式，转化为关于的不等式，求出的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的，得到函数的确切解析式并求出其值域，即可判断. 【详解】对于A，当时，函数， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即， 解得，即的取值范围为，故A正确； 对于B，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，整理得， 其判别式，故恒为正， 即对所有的都成立， 所以，恒成立，故B正确； 对于C，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：ABC 【例题2】（2025高一·全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为，， 作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是增函数． 又因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，求实数m的取值范围． 【答案】或 【分析】利用二次函数的顶点性质，将比较函数值转化为比较自变量到顶点的距离，进而解绝对值不等式. 【详解】的对称轴为，开口向下， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，      由， 因此有，即， 从而有， 即， 即， 即， 即， 所以或． 【解题策略】 根据函数单调性解抽象不等式的解题步骤 一、核心逻辑 抽象不等式（无具体解析式）的求解关键：利用函数单调性，将“函数值大小关系”转化为“自变量大小关系”，同时严格保证自变量在函数定义域内。 二、四步解题法 步骤1：化“标准式” 将不等式整理为或的形式（为含未知数的表达式），确保左右两侧均为同一函数的函数值。 示例：将化简为。 步骤2：用单调性“去函数符号” 设函数在区间上单调： 若在上增：则；； 若在上减：则；。 关键：严格对应单调性方向，不搞反自变量大小关系。 步骤3：加“定义域约束” 抽象函数需保证且（为的定义域），列出不等式组： 示例：若定义域为，则需列。 步骤4：解不等式组 联立步骤2得到的“自变量不等式”与步骤3的“定义域不等式组”，求解交集，即为未知数的取值范围。 三、典型例题 题目：已知在上单调递增，解不等式。 解题过程： 1.化标准式：已为； 2.去函数符号：在上增，故； 3.定义域约束： 4.联立求解：联立（即）与，得。 四、常见误区 1.漏定义域约束：仅解自变量不等式，忽略需在定义域内； 2.单调性方向搞反：减函数中误将转化为； 3.未化标准式：直接对非“与”形式的不等式用单调性（如未消去常数项）。 【题型八：证明抽象函数的单调性以及解抽象不等式】 例题精选 【例题1】（2025高一上·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知条件，结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）所得函数单调性解不等式. 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴， ∴是上的增函数； （2）∵， 取，则， 于是等价于，即， 由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为. 【例题2】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴，∴是上的增函数； （2）任意的，都有， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)在R上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值； （2）由得，讨论、，并结合及已知即可证； （3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集. 【详解】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； （2）在R上单调递减，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证. （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 【相似题2】（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，解集为 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，且，得到，再由当时，，即可求证； （3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可. 【详解】（1）因为，， 令，可得，所以． （2）对，且， 则， 因为，，则， 又因为，可得， 且当时，，则，即， 所以在定义域上是增函数． （3）因为函数的定义域为，则，解得． 由，得等价于， 且，可得， 由（2）可知：在定义域上是增函数． 可得，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 【解题策略】 一、抽象函数单调性的证明（定义法，3步核心） 抽象函数无具体解析式，需利用已知条件（如、的关系）结合定义证明，步骤如下： 步骤 核心操作（符号化） 关键提醒 1.取值定域 任取（为定义域），设 必须“任取”，不能用特殊值；明确定义域 2.作差变形 计算，利用已知条件（如）变形，目标是判断符号 变形核心：将转化为含（正，因）的可判号形式 3.判号下结论 若，则在上增；若，则在上减 紧扣定义，结论需明确“区间”和“单调性方向” 示例：已知定义域为，且对任意，有，当时，证明在上增。 1.取值：任取，设，则； 2.变形：，故； 3.判号：因，已知此时，即，故在上增。 二、解抽象不等式的解题坐标（仅用单调性，横轴步骤+纵轴关键） 横轴：解题步骤 纵轴1：关键操作（符号化） 纵轴2：易错提醒 1.标准化 将不等式整理为或（、含） 左右必须均为，无常数项/其他形式 2.单调性转化 若在上增：； 若在上减：； 严格“增同减异”，方向不搞反 3.定义域约束 列不等式组： 抽象函数必加！解超出则无效 4.联立求解 联立步骤2的不等式与步骤3的约束，求的交集 结果用区间/集合表示，避免漏解 示例：已知在上单调递减，解不等式 1.标准化：已为（，）； 2.转化：减； 3.约束：，解得，即； 4.联立：与无交集，故不等式无解。 【题型九：根据单调性求最值或值域】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 【例题2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在区间上的值域为，则 ． 【答案】1 【分析】根据值域判断函数单调性，然后可列方程求解. 【详解】由题意得，且在上的值域为， 所以，在上单调递减，即，故． 故答案为：1 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值． 【详解】由题意得函数的定义域满足，且， 解得，则函数的定义域为． 由得， 则在区间内的最大值为，最小值为． 易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 则函数在处取得最大值，即， 又， 所以函数的最小值为6，即． 所以． 故选：A 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）若存在实数，使得对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】去掉绝对值，先把不等式转化成，根据的存在性和的任意性，进一步将问题转化成，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】由题意知存在实数，使得对任意的，都有， 即， 即成立． 设，，则题意等价于存在实数， 使得，所以， 即． 当时，显然在上单调递增， 则，解得，所以． 当时，根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增. （ⅰ）当时，在上单调递增， ，． 由，解得，所以． （ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增， ，． 因为，所以， 解得，所以． （ⅲ）当时，在上单调递减， ，． 由，解得，与矛盾． 综上所述，实数的取值范围为． 【解题策略】 根据单调性求最值或值域的解题步骤 一、核心逻辑 利用单调性求最值/值域的本质：若函数在区间上单调（增/减），则区间端点（闭区间）的函数值即为最值，值域由两端点函数值（或极限）确定——增函数“左小右大”，减函数“左大右小”。 二、通用解题步骤（4步核心） 步骤 操作要点（符号化） 关键提醒 1.定区间：明确定义域与目标区间 ①求函数的定义域； ②确定待求最值/值域的目标区间，需满足（否则无意义） 目标区间可为闭区间、开区间、半开区间，需先验证是否在定义域内（如的目标区间不能含） 2.判单调：确定在上的单调性 用“性质法”（基本函数规律）、“定义法”或“分段判断法”，确定在上是增函数还是减函数 若含多个单调子区间（如分段函数），需分别判断各子区间的单调性 3.算端点：计算区间端点的函数值（含极限） ①闭区间：计算和（均能取到）； ②开区间：计算和（无法取到，用于定值域）； ③半开区间：计算和 抽象函数（无解析式）可仅指出最值位置（如“时最小”），无需计算具体值 4.定结果：推导最值与值域 ①若在上增： -最值：，（闭区间）；开区间无最值； -值域：（闭）、（开）； ②若在上减： -最值：，（闭区间）；开区间无最值； -值域：（闭）、（开） 分段函数需比较各子区间的最值，取整体的最大/最小值；值域需合并各子区间的值域 三、典型例题演示（覆盖3类函数） 例题1：基本函数（二次函数，闭区间） 已知，求其在上的最值与值域。 1.定区间：定义域，目标区间； 2.判单调：是二次函数（，对称轴），在上减，在上增； 3.算端点/极值点： 减区间端点：，； 增区间端点：； 4.定结果： 最值：，； 值域：。 例题2：分段函数（多单调区间） 已知，求其在上的最值与值域。 1.定区间：定义域，目标区间； 2.判单调： 左段：（减函数）； 右段：（增函数）； 3.算端点/衔接点： 左段：，； 右段：，衔接点； 4.定结果： 最值：（及附近），； 值域：。 例题3：抽象函数（仅知单调性） 已知在上单调递增，且，，求其在上的最值与值域。 1.定区间：目标区间（已知在定义域内）； 2.判单调：在上增； 3.算端点：，； 4.定结果： 最值：（），（）； 值域：。 四、易错提醒 1.忽略“区间⊆定义域”：如求在的最值，未注意无定义，需分和； 2.开区间误判有最值：如在上增，但无最大值（接近6）和最小值（接近3），值域为； 3.分段函数漏比衔接点：如例题2中若未比较与右段最小值，可能误判最小值为； 4.抽象函数无解析式漏说明：若仅知单调性无端点值，需说明“最值存在于区间端点，具体值需解析式”。 【题型十：根据函数的最值求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 【例题2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）设，若的最小值为，则的值为 . 【答案】1 【分析】根据分段函数的性质，分段求解最小值，从而结合二次函数性质列式求解，即得答案. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故时，， 由二次函数性质可知对称轴，且， 解得或（舍去）， 故答案为：1 【相似题2】（21-22高一上·江苏·单元测试）已知函数，且是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时探讨函数的最小值，再探讨当时，函数的取值范围，列式求解作答. 【详解】当时，若，即，有，在上递减，在上递增， 则与是的最小值矛盾， 若，即，有在上递减，，，则， 当时，函数，当且仅当，即时取“=”， 因是的最小值，则有，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 【解题策略】 根据函数最值求参数的解题步骤 一、核心逻辑 根据函数最值求参数的本质：先通过函数单调性（或函数性质）确定“最值对应的自变量点”，再利用“最值=该点函数值”建立含参数的方程（或不等式），求解后验证参数是否满足原函数的单调性、定义域等约束。 二、通用解题步骤（5步核心） 步骤 操作要点（符号化） 关键提醒 1.定条件：明确已知信息与目标 ①函数解析式（含参数，如中为参数）； ②已知最值：包括“最值类型（最大/最小）”“最值数值”“最值对应的区间”； ③目标：求参数的取值（或范围） 需确认区间的定义域，避免后续无意义；若未明确单调性，需先讨论函数在上的单调性 2.判单调：分析函数在区间上的单调性 用“性质法”（基本函数规律）、“定义法”或“分段判断法”，确定： ①函数在上的单调性（增/减/含极值点，如二次函数的顶点）； ②最值点：单调函数的最值在区间端点，含极值点的函数（如二次函数）的最值可能在端点或极值点 含参数的函数需分类讨论单调性（如二次函数需讨论，一次函数需讨论） 3.找最值点：确定最值对应的自变量 根据单调性/函数性质，锁定“产生已知最值的自变量”： ①单调增函数（）：，； ②单调减函数（）：，； ③二次函数（，）：若对称轴，则，最值在端点；若，则最值在端点 分段函数需比较各段的最值，确定整体最值对应的“段”及自变量 4.列关系：建立含参数的方程（或不等式） 根据“已知最值=”（为最值点），列方程： -若已知具体最值（如）：列等式； -若已知最值范围（如）：列不等式 需将代入函数解析式，确保方程/不等式仅含待求参数 5.解参数+验证：求解并验证约束 ①解含参数的方程/不等式，得到参数的初步取值（或范围）； ②验证：将参数值代入原函数，检查： -函数在区间上的单调性是否与步骤2一致； -最值点是否在区间内； -计算的最值是否与已知条件匹配 避免“增根”：部分参数解可能使函数单调性改变或最值点超出区间，必须验证 三、典型例题演示（分段函数：已知整体最值求参数） 例题2：分段函数（已知整体最值求参数） 已知在上的最小值为，求实数的取值范围。 1.定条件：为分段函数（参数），，； 2.判单调：先分析各段单调性及最值： 右段：（二次函数，，对称轴），在上单调递增，最小值为； 左段：（一次函数），单调性由一次项系数决定（时增，时为常数，时减）； 3.找最值点：整体最小值为（右段已取到），需保证左段时（避免左段出现小于1的值，破坏整体最小值）； 4.列关系+解参数：针对左段单调性分类讨论，确保，： 若（左段增）：左段在时趋近于最大值，需（保证左段所有值≥1），解得；结合（），得； 若（左段为常数函数）：此时，，，符合条件； 若（左段减）：左段在时趋近于，会使整体最小值小于1，不符合，舍去； 5.验证： 当时，左段，右段，整体最小值为1，与已知条件一致； 最终。 四、易错提醒 1.忽略函数单调性的分类讨论：如二次函数未讨论（一次函数）、分段函数未讨论一次项系数符号； 2.最值点判断错误：如将开区间的“极限值”当作最值（如在无最小值，参数无解）； 3.漏验证参数约束：如部分参数解可能使函数单调性改变，需代入原函数验证； 4.分段函数漏关联各段最值：如未考虑不同段的最值关联（如例题2中需结合右段已有的最小值，约束左段函数值范围），导致范围偏差。 【题型十一：函数不等式的恒成立问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·山西临汾·阶段练习）已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解，进而根据韦达定理，代入即可求解. 【详解】由题意可得，则， 令，则，故，当且仅当，即时取到等号，此时， 因此，即， 故，代入可得，解得， 故选：C 【例题2】（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】参变分离，由恒成立的充要条件为即可求解. 【详解】对任意，， 即恒成立，令， ， 当且仅当，时取等号，符合定义域， 所以，即实数的取值范围为. 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ； （2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】（1）利用基本不等式可求解，进而利用分离参数法，结合二次函数的性质求解，或者构造二次函数，利用二次函数的性质求解， （2）将其看作是关于的一次函数，即可列不等式，由一元二次不等式化简求解. 【详解】（1）当时，.当时，（当且仅当时取等号），则，即. 由题意知在时恒成立. 方法一  分离参数得在时恒成立， 故�� 需小于等于函数在区间上的下确界. ，故当时，， 所以. 方法二  在时恒成立（*）. 令，则问题（*）等价于在上恒成立，函数的图象的对称轴为直线，且开口向上， 所以在上，，所以，即. （2）不等式对满足的所有都成立，则对任意的，恒成立，令，则即解得. 故答案为：； 【相似题2】（25-26高一上·全国·期中）已知函数，若，则在上的最小值为 ；若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】当，利用作差法求出函数的单调性，即可求出在上的最小值；若对任意，恒成立，将问题转化为大于函数在上的最大值，利用二次函数的最值即可求解. 【详解】当时，，设任意、，且，所以， 因为，所以，，，所以， 即，于是有，所以函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为. 若对任意，恒成立，则，即， 所以问题转化为大于函数在上的最大值，，，易知在上单调递减， 所以在上的最大值为，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：， 【解题策略】 函数不等式恒成立问题的解题步骤 一、核心逻辑 函数不等式恒成立的本质：对区间内的所有自变量，函数值均满足不等式，即函数在上的“极端值（最值）”能覆盖所有情况—— 若在上恒成立，则在上的最小值； 若在上恒成立，则在上的最大值（可为常数或含参数的表达式）。 二、通用解题步骤（5步核心） 步骤 操作要点（符号化） 关键提醒 1.化标准式：整理不等式为“函数≥0”或“函数≤0” 将原不等式整理为（或）的形式，其中是关于的函数（可含参数，如） 确保不等式左边仅含“关于的函数”，右边为0或常数，避免含的项在右边（如将整理为） 2.定区间：明确自变量的取值范围 从题目中提取的定义域（如、），若未明确，需结合函数的定义域确定 恒成立是“对内所有”，需先明确，否则后续最值计算无意义（如的不能含0） 3.判类型+求最值：分析类型，求其在上的最值 根据的类型（一次、二次、分式、抽象函数），用对应方法求最值： ①一次函数：（），在上最值在端点； ②二次函数：（），看开口方向+对称轴与的位置，最值在端点或对称轴； ③分式/对勾函数：用单调性或均值不等式； ④抽象函数：用已知单调性找最值 若是开区间（如），需判断是否存在最值（如一次函数在开区间无最值，需用极限分析趋势） 4.建关系：将恒成立转化为“最值不等式” 根据标准式建立关系： -若在上恒成立⇨； -若在上恒成立⇨； -若含参数（如），则最值表达式含，得到关于的不等式 严格对应“恒成立→最值约束”，避免搞反（如恒成立，不能用最大值≥0，需最小值≥0） 5.解参数+验证：求解参数范围并验证 ①解关于参数的不等式（组），得到初步范围； ②验证：将参数范围代入原函数，检查： -在上的最值是否满足约束； -函数定义域是否仍有效（如参数影响定义域） 二次函数需验证“开口方向”“对称轴位置”是否与求最值时的假设一致，避免分类讨论遗漏 三、典型例题演示（含参数的二次函数恒成立） 例题：已知当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。 解题过程： 1.化标准式：原不等式整理为（是关于的二次函数，参数）； 2.定区间：（题目明确，且定义域为，故）； 3.判类型+求最值：是二次函数（函数二次项系数，开口向上），对称轴，需分3种情况讨论对称轴与的位置： 情况1：对称轴：在上单调递增，最小值； 情况2：对称轴：在上单调递减，在上单调递增，最小值； 情况3：对称轴：在上单调递减，最小值； 4.建关系：恒成立⇨，分情况列不等式： 情况1：时，（恒成立，故）； 情况2：时，⇨⇨（，符合区间范围）； 情况3：时，⇨（与矛盾，舍去）； 5.解参数+验证： 合并有效范围：或⇨； 验证：取（端点），（恒成立）；取（），（恒成立）； 最终的取值范围：。 四、易错提醒 1.忽略函数类型讨论：如二次函数未讨论（一次函数），导致漏解； 2.最值与恒成立关系搞反：如恒成立，误列（例：在上，但，不恒成立）； 3.开区间误判最值：如在上无最值，若要求恒成立，需（而非用端点值）； 4.参数影响定义域未验证：如在上恒成立，需确保分母不为0（已满足），且分子表达式无额外定义域约束。 【题型十二：函数不等式的有解问题】 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意可得，分，和三种情况讨论即可求解. 【详解】对任意，总存在使得成立，等价于. 当时，单调递减，. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递增， ，，解得； ②当时，在上单调递减， ，，解得； ③当时，，， 解得或，这与相矛盾，故舍去. 综上所述，或. 故答案为：或. 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数单调性和最值列式求解即可； （2）根据存在性问题结合二次函数最值可得对任意的都成立，结合一次函数性质分析求解. 【详解】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（1）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 可得，解得或， 故实数的取值范围为． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 【相似题2】（24-25高一上·四川眉山·期末）函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的值域.由题可得在上的值域，以及在上的值域，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，利用集合间的基本关系确定参数的范围即可. 【详解】由题可得，要使，有， 则在上的值域为在上的值域的子集， 在上单调递减，∴函数在上的值域为， 为开口向上的二次函数，其对称轴为， 当，即时，在上单调递增，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上单调递减，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上的值域为， ∴，解得，∴. 综上，的取值范围为. 故选：A. 【解题策略】 函数不等式有解问题的解题步骤 一、核心逻辑（与恒成立问题的关键区别） 函数不等式有解的本质：存在区间内的至少一个自变量，使函数值满足不等式，即函数在上的“极端值（最值）”能触达不等式条件—— 若在上有解，则在上的最大值； 若在上有解，则在上的最小值（可为常数或含参数的表达式）。 二、通用解题步骤（5步核心） 步骤 操作要点（符号化） 关键提醒 1.化标准式：整理为“函数≥0”或“函数≤0” 将原不等式整理为（或），其中是关于的函数（可含参数，如） 确保左边仅含“关于的函数”，右边为0或常数（如将整理为） 2.定区间：明确自变量的取值范围 从题目提取的定义域（如、），或结合定义域确定 有解是“存在至少一个”，需先明确，否则后续最值分析无意义（如的不含0） 3.判类型+求最值：分析类型并求其在上的最值 根据类型选对应方法求最值： ①一次函数（）：上最值在端点； ②二次函数（）：看开口方向+对称轴与的位置，最值在端点或对称轴； ③分式/对勾函数：用单调性或均值不等式； ④抽象函数：用已知单调性找最值 若是开区间（如），需用极限分析趋势（如在上，） 4.建关系：将有解转化为“最值不等式” 根据标准式建立关系： -若有解⇨； -若有解⇨； -含参数时，最值表达式含，得到关于的不等式 严格与“恒成立”区分：有解用“最大值（≥0）”或“最小值（≤0）”，避免与恒成立的“最值反向”混淆 5.解参数+验证：求解参数范围并验证 ①解关于参数的不等式（组），得初步范围； ②验证：将参数范围代入原函数，检查： -函数在上的最值是否满足“有解”条件； -定义域是否仍有效（如参数影响定义域） 二次函数需验证“开口方向”“对称轴位置”与求最值时的假设一致，避免分类讨论遗漏 三、典型例题演示（含参数的二次函数有解） 例题：已知当时，不等式有解，求实数的取值范围。 解题过程： 1.化标准式：原不等式整理为（是关于的二次函数，参数）； 2.定区间：（题目明确，定义域为，故）； 3.判类型+求最值：是二次函数（二次项系数，开口向上），对称轴，分3种情况讨论对称轴与的位置： 情况1：对称轴（即）：在上单调递增，最大值； 情况2：对称轴（即）：在上递减，在上递增，最大值为： ，，故； 情况3：对称轴（即）：在上单调递减，最大值； 4.建关系：有解⇨，分情况列不等式： 情况1：时，⇨（结合，得）； 情况2：时，⇨（结合，得）； 情况3：时，（恒不成立，舍去）； 5.解参数+验证： 合并有效范围：或⇨； 验证：取（端点），，（有解）；取（），（有解）； 最终的取值范围：。 四、易错提醒 1.与恒成立问题混淆：如有解，误列（例：在上，但，实际有解）； 2.开区间忽略极限趋势：如在上有解（因），若误判“无最大值”则漏解； 3.二次函数最值判断错误：如开口向上的二次函数在区间内的最大值，需比较两端点值，而非仅看对称轴处（如例题中时，最大值是而非）； 4.参数影响定义域未验证：如在上有解，需确保分母不为0（已满足），且分子表达式无额外约束。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为0 7．（25-26高三上·江苏常州·开学考试）若函数在区间上值域为，则称为的“倍增区间”，则（   ） A．若为的“1倍增区间”，则 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 三、填空题 8．（24-25高一上·重庆长寿·期末）函数的单调递增区间为 . 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为 ． 10．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 11．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 12．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为 ． 13．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 . 四、解答题 14．（25-26高一上·全国·随堂练习）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 16．（24-25高二下·浙江宁波·期末）设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 17．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 18．（24-25高二下·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A B D B AC ACD 1．D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 2．A 【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】因为 ，所以，， 则，即， 的函数图象如图所示：    由函数图象可知当时，且在上单调递减， 所以等价于，即， 解得，即. 故选：A. 3．B 【分析】由题可得，再结合在区间上单调递增，即可求解. 【详解】由，则得， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增， 所以，故B正确. 故选：B. 4．D 【分析】根据最小值为，可得，进而对进行讨论即可求解. 【详解】由题意知的最小值为，故，即． 当时，，不合题意； 当时，在上的最小值为， 为使为全局最小值，还需在上， 此时的下确界为3，故需， 解得， 综上，实数的取值范围为 故选：D． 5．B 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，则， 若，则， 函数的值域不可能为； 当时，， 在上单调递增， 在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 6．AC 【分析】根据一次函数、二次函数、对勾函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以函数是减函数，故A正确； 函数在上单调递增，且此时有， 根据复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 由对勾函数的性质可知在上单调递增，故C正确； 函数的图象的对称轴为直线且，又函数的图象开口向上， 所以在上的最小值为，故D错误． 故选：AC 7．ACD 【分析】根据函数“倍增区间”的定义，对于A，由，求解即可判断，对于B，假设存在，结合函数单调性得到，求解即可判断，对于C，假设存在“1倍增区间”，结合单调性得到，通过作差得到，再通过换元得到，再结合韦达定理及判别式即可判断，对于D，假设存在“2倍增区间”，由，结合一元二次方程求解即可判断. 【详解】对于A，由题意可知，为的单调递区间，函数值域为， 若为的“1倍增区间”，则，则或 （舍去），A正确； 对于B，函数中x的取值范围为 ， 若存在“1倍增区间”，则必有或， 又因为函数在区间上递减， 则有，则，解得 ，不符合或，所以B错误； 对于C，因为函数在上单调递减， 若存在“1倍增区间”（）， 则有，即， 两式作差得，即， 又，所以，故， 所以，设，则 ， 即是的一个根； 同理也是的一个根， 即在区间上有两个不相等的实数根， 只需 ，解得，C正确； 对于D，若函数存在“2倍增区间”， 设定义域为，值域为， 当 时，函数在定义域上单调递增，则， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或 ， 故存在定义域为 使得值域为 ，D正确， 故选：ACD ． 8． 【详解】由解得或， 则函数的定义域为， 令，其图像的对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为. 故答案为： 9． 【分析】根据单调性的定义得，在上为减函数，不等式化为，利用单调性得，解一元二次不等式即可． 【详解】对于，，有，，所以． 所以函数在上为减函数．令，易得其在上为减函数． 由，得． 由，得， 所以，即，得或． 故不等式的解集为． 故答案为： 10．4 【分析】首先得出函数单调性，画出函数图象，进一步根据题意列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以在R上的最小值为0． 因为函数，图象开口向上且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在R上的最小值为． 综上，对于，当时，在上单调递减，在，上单调递增，且， 则的大致图象如图所示． 由图可知，若存在最小值，则，解得，故m的最大值为4． 故答案为：4. 11． 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 12． 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 函数是定义在上的单调递减函数， 故要求的单调递增区间，即求在上的单调递减区间， 而在上单调递减， 故在上的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 故答案为： 13． 【分析】利用赋值法先求，进而得，利用定义法证单调性，最后利用单调性即可解不等式，进而求解. 【详解】由题意有：令有：， 令有：， 对任意的且，所以，即， 所以， 即，所以， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以， 故答案为：. 14．在上是增函数，证明见解析 【分析】先利用特殊值法猜想的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】对于， 令，得， 故猜想在上是增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 因此在上是增函数. 15．(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； （2）根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 16．(1) (2)1 【分析】（1）转化为，由基本不等式得到，由函数单调性得到，从而得到不等式，求出答案； （2）参变分离得到，变形后，由基本不等式求出的最大值，从而求出答案. 【详解】（1）对于任意的，总存在，使得， 即， 其中，， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 因为是减函数，所以当时，， 所以，解得. （2）时，可得，， 即， 因为，分离参数可得 ， 由题意，不等式在存在解集，则 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，解得， 所以的最大值为1. 17．(1)； (2). 【分析】（1）问题化为的两个根为，且，应用根与系数关系求参数值； （2）问题化为在上恒成立，结合对勾函数的性质求右侧最小值，即可得. 【详解】（1）由题设方程的两个根为，且，则，可得； （2）由（1）及题设知在上恒成立， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上，， 故，即的最大值为. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第11讲：函数的单调性】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、函数单调性的定义法 （一）定义表述 1.增函数：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数，区间称为函数的单调递增区间。 2.减函数：类似地，对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数，区间称为函数的单调递减区间。 （二）定义法判定单调性的步骤 1.取值：任取，，且。这一步要注意“任意”二字，不能用特殊值代替。 2.作差：计算。作差的目的是通过判断差值的正负来比较与的大小。 3.变形：对进行变形，常见的变形方法有因式分解、配方、通分、有理化等，使其易于判断正负。例如，对于二次函数，在判定其在上的单调性时，，通过因式分解就容易判断正负。 4.判断符号：根据变形后的结果，结合的条件，判断的符号。若，则函数在区间上是增函数；若，则函数在区间上是减函数。 5.下结论：根据上述判断，得出函数在区间上的单调性结论。 （三）定义法应用易错点 1.忽略定义域：在判定函数单调性时，首先要明确函数的定义域，单调区间是定义域的子集。例如，函数，其定义域为，不能说它在整个定义域上是减函数，而是在和上分别是减函数。 2.“任意”二字理解不到位：取值时必须是区间上的任意两个自变量的值，不能仅取有限个特殊值进行判断。比如，不能因为，，，就得出函数在某个区间上是增函数的结论。 二、常见函数的单调性（不涉及初等函数） （一）一次函数 1.解析式：（） 2.单调性： 当时，函数在上是增函数。例如，，随着的增大，也随之增大，在上单调递增。 当时，函数在上是减函数。例如，，随着的增大，反而减小，在上单调递减。 （二）二次函数 1.解析式：（） 2.单调性： 当时，函数图像开口向上，对称轴为，函数在上是减函数，在上是增函数。例如，，，对称轴为，则函数在上单调递减，在上单调递增。 当时，函数图像开口向下，对称轴为，函数在上是增函数，在上是减函数。例如，，，对称轴为，则函数在上单调递增，在上单调递减。 （三）反比例函数 1.解析式：（） 2.单调性： 当时，函数在和上分别是减函数。例如，，在上，随着的增大，减小；在上，同样随着的增大，减小。 当时，函数在和上分别是增函数。例如，，在上，随着的增大，增大；在上，也是随着的增大，增大。 （四）对勾函数 1.解析式：（，） 2.定义域：（即） 3.单调性： 先求单调区间分界点：令（），解得，这两个点将定义域分为四个区间：、、、。 各区间单调性： 在上：任取，计算。因为，所以，，则，即，故，函数为增函数。 在上：任取，同理可得，，则，即，故，函数为减函数。 在上：任取，，，，，故，函数为减函数。 在上：任取，，，，，故，函数为增函数。 4.实例：对勾函数（，），分界点为，则函数在上增，上减，上减，上增。 （五）飘带函数 1.解析式：（，），可变形为（为的绝对值） 2.定义域：（即） 3.单调性： 分两个区间分析：和 在上：任取，计算。因为，，所以（，负负得正），故；又，所以，函数为增函数。 在上：任取，同理可得，，，，故，函数为增函数。 4.实例：飘带函数（，），在和上均为增函数。例如，取，（），，，；取，（），，，，符合增函数性质。 三、复合函数的单调性 （一）复合函数的概念 设函数，，则函数称为由函数和复合而成的复合函数，其中称为中间变量，是自变量，是因变量。例如，函数，可以看作是由（）复合而成的。 （二）复合函数单调性的判定法则（“同增异减”法则） 1.若函数在区间上是增函数，函数在区间（表示在区间上的值域）上是增函数，则复合函数在区间上是增函数。 2.若函数在区间上是增函数，函数在区间上是减函数，则复合函数在区间上是减函数。 3.若函数在区间上是减函数，函数在区间上是增函数，则复合函数在区间上是减函数。 4.若函数在区间上是减函数，函数在区间上是减函数，则复合函数在区间上是增函数。 （三）复合函数单调性判定步骤 1.分解复合函数：将复合函数分解为基本函数和。 2.确定定义域：求出复合函数的定义域，同时确定中间变量的定义域和值域，以及外层函数的定义域。 3.判定基本函数单调性：分别判定内层函数在其定义域内的单调区间和单调性，以及外层函数在其对应定义域内的单调区间和单调性。 4.应用“同增异减”法则：根据内层函数和外层函数的单调性，结合“同增异减”法则，确定复合函数的单调区间和单调性。 例如，判定函数的单调性： 1.分解复合函数：令，则。 2.确定定义域：由，解得或，所以复合函数的定义域为。 3.判定基本函数单调性： 内层函数，其对称轴为，在上是减函数，在上是增函数。结合复合函数定义域，在上是减函数，在上是增函数。 外层函数，在上是增函数。 4.应用“同增异减”法则： 当时，内层函数是减函数，外层函数是增函数，“异减”，所以复合函数在上是减函数。 当时，内层函数是增函数，外层函数是增函数，“同增”，所以复合函数在上是增函数。 四、函数单调性的应用 （一）比较函数值大小 若函数在区间上是增函数，对于任意的，，若，则；若函数在区间上是减函数，对于任意的，，若，则。 教材例题：已知函数在上是增函数，且，，比较与的大小。 解：因为函数在上是增函数，且，根据增函数的性质，可得。 （二）解不等式 利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而求解不等式。 高考真题（节选）：已知函数是定义在上的增函数，且，求的取值范围。 解：因为函数在上是增函数，且，根据增函数的性质“若，则”，可得，解得。所以的取值范围是。 （三）求函数的最值 若函数在区间上是增函数，则函数在处取得最小值，在处取得最大值；若函数在区间上是减函数，则函数在处取得最大值，在处取得最小值。 教材例题：求函数在区间上的最值。 解：因为函数中，所以函数在上是增函数，那么在区间上也是增函数。所以当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值。 五、函数单调性的一些结论 1.若函数和在同一区间上都是增函数（或都是减函数），则函数在区间上是增函数（或减函数）。例如，和在上都是增函数，那么在上也是增函数。 2.若函数在区间上是增函数，且，则函数在区间上是减函数；若函数在区间上是减函数，且，则函数在区间上是增函数。例如，在上是增函数，且，则在上是减函数；再如，在上是减函数，且，则在上是增函数，均符合该结论。 3.对勾函数（，）的单调性具有“对称”性：在与上的单调性相同（均为增函数），在与上的单调性相同（均为减函数）。 4.飘带函数（，）在定义域内的两个区间和上单调性一致（均为增函数），且无单调递减区间。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：用定义法证明函数的单调性】 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 【例题2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)试用函数单调性定义证明函数在R上单调递增； (2)求不等式的解集． 相似练习 【相似题1】（2019高三·江苏·专题练习）讨论函数在区间上的单调性． 【相似题2】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，． (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明； (2)求函数，的最大值和最小值． 【解题策略】 用定义法证明函数单调性的解题步骤 一、核心思路 定义法证明函数单调性的本质是：通过“任意取值→作差变形→判断差值符号”，验证函数在给定区间内是否满足“自变量大则函数值大（增函数）”或“自变量大则函数值小（减函数）”的定义，最终得出单调性结论。 二、规范解题步骤（五步走） 步骤1：明确“函数、区间”，写出单调性定义（定目标） 操作要点： 先明确待证函数的解析式，以及需证明的单调区间（需先确认区间是函数定义域的子集）；再根据证明目标，写出对应单调性的定义（增函数/减函数）： 若证“在上是增函数”：需证明“对任意，当时，都有”； 若证“在上是减函数”：需证明“对任意，当时，都有”。 注意事项： 必须先确认区间的合法性（如函数的定义域是，不能直接证明其在“”上的单调性）。 步骤2：任意取值（设变量） 操作要点： 任取，且满足“”。 关键是“任意”二字——不能取特殊值（如仅取），必须用“任意”表示区间内所有可能的自变量对，确保证明的普遍性。 示例表述： “任取，且”。 步骤3：计算“”（作差） 操作要点： 将代入函数解析式，计算的表达式（无需化简，先保留原始形式）。 作差的目的是通过“差值的正负”间接比较与的大小（差值正则，差值负则）。 示例计算： 若，则。 步骤4：对“”变形，判断符号（变形+判号） 操作要点： 1.变形目标：将转化为“可直接判断正负的形式”，常见变形方法： 因式分解（如多项式函数：）； 配方（如二次函数：）； 通分（如分式函数：）； 有理化（如含根号函数：）。 2.判断符号：结合“”和“”的条件，分析变形后每一项的正负，最终确定的整体符号。 示例变形与判号： 对（区间）： 变形：； 判号： 由得； 由得； 因此，，即。 步骤5：下结论（证毕） 操作要点： 根据的符号，结合单调性定义，得出最终结论： 若（即），则在区间上是增函数； 若（即），则在区间上是减函数。 示例结论： “由得，故在上是增函数。” 三、完整证明示例（以“证明在上是增函数”为例） 证明过程： 1.明确目标： 函数的定义域为，需证明“对任意，当时，都有”。 2.任意取值： 任取，且。 3.作差： 计算。 4.变形与判号： 变形：； 判号：由得，因此，即。 5.下结论： 因为，所以，故在上是增函数。 四、常见误区提醒 1.取值时忽略“任意”：仅用特殊值（如）证明，无法覆盖区间内所有情况，结论不成立； 2.变形不彻底：如将停留在“”，未分解为，无法判断符号； 3.忽略定义域：如证明在“”上的单调性，未注意其定义域是，区间不合法。 【题型二：求函数的单调性】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 【例题2】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是 . 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 【题型三：根据单调性求参数范围】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【解题策略】 根据单调性求参数范围的解题步骤 一、核心逻辑 已知函数在某区间的单调性（增/减），求参数范围的本质是：将“单调性条件”转化为“含参数的不等式（组）恒成立问题”——通过函数单调性的性质（如基本函数的单调性规律、定义法中的差值符号、复合函数“同增异减”），建立参数需满足的约束条件，最终求解不等式（组）得到参数范围。 二、通用解题步骤（四步走） 步骤1：明确“已知条件”与“目标”（定边界） 操作要点： 清晰梳理3个关键信息： 1.待分析函数的解析式（含参数，如中为参数）； 2.函数的单调区间（如、）； 3.函数在区间上的单调性方向（增函数/减函数）。 同时确认：区间是函数定义域的子集（需先保证函数在上有意义，避免后续漏定义域约束）。 示例：已知在上是增函数，求实数的取值范围。 关键信息：解析式（参数）、单调区间、单调性“增函数”。 步骤2：根据“函数类型”选择对应方法（选工具） 根据函数解析式的结构，分3类场景选择方法，核心是将单调性转化为参数约束： 函数类型 常用方法 核心逻辑 基本函数（一次、二次、对勾等） 性质法（利用已知单调性规律） 直接套用基本函数的单调性条件（如二次函数看开口方向与对称轴的位置关系） 复合函数（） “同增异减”法 先分析外层函数单调性，再确定内层函数需满足的单调性，进而转化为参数约束 一般函数（无固定类型） 定义法（作差变形+恒成立） 任取，由符号（增→负，减→正）列不等式恒成立 步骤3：转化为“含参数的不等式（组）”（建约束） 这是核心步骤，需结合具体函数类型拆解： 场景1：基本函数（以二次函数、对勾函数为例） 二次函数（）： 单调性由“开口方向（的符号）”和“对称轴”共同决定： 若（开口向上）：函数在减，在增； 若（开口向下）：函数在增，在减。 已知函数在区间上的单调性，需建立“区间与对称轴”的包含关系（注意闭区间端点可取等号）。 示例：已知在上增（，开口向上），则对称轴需满足： ，即，解得。 对勾函数（）： 单调区间分界点为，已知在区间上的单调性，需建立“区间与分界点”的关系： 若或，则函数在上增； 若或，则函数在上减。 示例：已知（）在上增，则分界点，解得。 场景2：复合函数（“同增异减”法则） 操作步骤： 1.分解复合函数：令（内层函数，含参数），（外层函数，单调性已知）； 2.根据“同增异减”确定内层函数的单调性（如外层增、复合增→内层需增；外层增、复合减→内层需减）； 3.结合内层函数的类型（如一次、二次），转化为内层函数中参数的约束，同时需保证外层函数的定义域（即的值域满足的定义域）。 示例：已知在上增，求的范围： 1.分解：（内层），（外层，在时增）； 2.复合增、外层增→内层需在上增，且恒成立； 3.内层增：对称轴（）； 内层恒成立：（）； 综上：。 场景3：一般函数（定义法+恒成立） 操作步骤： 1.任取，计算并变形（因式分解、通分等）； 2.根据单调性确定的符号（增→；减→）； 3.分离参数：将变形后的式子整理为“参数≤某表达式”或“参数≥某表达式”的恒成立形式； 4.求表达式的最值：恒成立问题转化为“参数≤表达式最小值”或“参数≥表达式最大值”（注意：若表达式无最值，需分析趋势）。 示例：已知在上减，求的范围： 1.任取，计算； 2.函数减→，且，故； 3.定义域约束：时，即（避免在区间内）→； 4.由：时，，且，，故不等式恒成立； 综上：。 步骤4：验证端点与定义域（防漏解） 操作要点： 1.验证参数的端点值是否满足单调性（如二次函数对称轴在区间端点时，是否仍满足单调）； 2.检查是否遗漏定义域约束（如复合函数内层函数需保证外层函数有意义，分式函数分母不为0）； 3.整合所有约束条件，最终确定参数范围（用集合或区间表示）。 三、典型例题完整演示（二次函数为例） 题目：已知函数在上是减函数，求实数的取值范围。 解题过程： 1.明确已知条件： 解析式（参数），单调区间，单调性“减函数”。 2.分类讨论函数类型： 当时，（一次函数），，在上减，故在上减，符合条件； 当时，为二次函数，需满足： ①开口方向：减区间在对称轴左侧→开口向上（）； ②对称轴位置：对称轴，需（区间在对称轴左侧）； 解得：。 3.整合约束条件： 当或时，均满足条件，故。 4.验证端点： 时，一次函数减，符合； 时，对称轴，函数在上减，符合； 无定义域遗漏（二次函数定义域为）。 四、常见误区提醒 1.忽略函数类型讨论（如二次函数未考虑时的一次函数情况）； 2.遗漏定义域约束（如复合函数未保证内层函数值满足外层函数定义域）； 3.对称轴位置关系搞反（如二次函数时，误将“减区间”放在对称轴右侧）； 4.恒成立问题最值判断错误（如“参数≥表达式”需找表达式的最大值，而非最小值）。 【题型四：分段函数的单调性】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【相似题2】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 分段函数的单调性解题步骤 一、核心逻辑 分段函数的单调性需满足“局部单调+整体衔接”： 1.每一段子函数在其对应定义域区间内必须单调（增/减，需与整体单调性方向一致）； 2.相邻两段函数在定义域的衔接点处，函数值需满足“增函数不递减、减函数不递增”（避免衔接处出现“断层”或“反向跳跃”）。 本质是将分段函数拆解为多个基本函数，先分别判断局部单调性，再验证整体连续性（从单调性角度）。 二、通用解题步骤（五步走） 步骤1：明确分段函数的“结构要素”（定基础） 操作要点： 先完整梳理分段函数的3个核心要素，避免后续判断遗漏： 1.定义域分段：明确各子函数的定义域区间（如、，需注意区间端点的归属，避免重复或遗漏）； 2.各段解析式：确定每一段子函数的具体形式（如一次函数、二次函数等）； 3.参数情况：若解析式含参数（如中的），需标注参数位置，后续需结合单调性约束求解。 示例：分段函数，要素梳理： 定义域分段：、（端点1归属左段）； 子函数类型：左段二次函数，右段一次函数； 参数：右段含参数。 步骤2：判断“每一段子函数”的单调性（局部分析） 操作要点： 针对每一段子函数，结合其类型（一次、二次、对勾等），沿用此前学过的“性质法”或“定义法”判断单调性，需满足： 若目标是“分段函数整体为增函数”，则每一段子函数需在各自区间内为增函数； 若目标是“分段函数整体为减函数”，则每一段子函数需在各自区间内为减函数； 若仅需判断“是否存在单调区间”，则分别分析每一段的单调区间，再整合。 常用子函数单调性判断方法回顾： 子函数类型 单调性判断依据（性质法） 一次函数（） 增，减 二次函数（） 开口：对称轴左侧减、右侧增；：对称轴左侧增、右侧减 对勾函数（） 增区间、；减区间、 示例（接步骤1）：判断分段函数各段单调性（假设目标是整体增）： 1.左段：（二次函数，，对称轴）； 由二次函数性质，对称轴左侧（）为减函数→不满足“整体增”的局部要求，需记录此矛盾。 2.右段：（一次函数）； 若需右段增，则→暂得约束。 步骤3：验证“相邻两段的衔接点”（整体衔接） 操作要点： 这是分段函数单调性的“关键区别点”——需保证相邻两段在衔接点处的函数值“不破坏整体单调性”，具体规则： 设分段函数在衔接点处分为左段（，解析式）和右段（，解析式）： 1.若整体为增函数：左段在处的函数值≤右段在处的极限值（即，若右段在处连续，则为）； 2.若整体为减函数：左段在处的函数值≥右段在处的极限值（或）； 3.若衔接点处左段为闭区间（）、右段为开区间（），只需计算与右段在趋近于时的函数值关系；若两段均含，需先保证（函数连续），再验证单调性。 示例（接步骤2）：衔接点，验证整体增的衔接条件： 1.左段在处的函数值：； 2.右段在时的函数值：； 3.整体增需满足：→→； 4.结合步骤2中右段增的约束，暂得，但需注意左段本身是减函数，整体无法增，因此该示例需调整目标（如判断是否为减函数）。 步骤4：整合“局部约束+衔接约束”（定范围/下结论） 操作要点： 1.若仅判断“分段函数是否为单调函数”：整合每一段的单调性方向（需一致）和衔接点条件，若均满足则为单调函数，否则不是； 2.若“含参数，求参数范围”：将每一段的单调性约束（如一次函数）和衔接点约束（如）整合为不等式组，求解不等式组得到参数范围； 3.若“求分段函数的单调区间”：分别列出每一段的单调区间，剔除不满足衔接条件的区间，再合并连续的单调区间（注意：不相邻的区间需用“和”连接，不能用“∪”）。 示例调整（判断分段函数是否为增函数）： 1.局部判断： 左段：（，减函数）→不满足整体增，直接结论：不是增函数； 2.若判断是否为减函数： 左段减（），右段：（，增函数）→局部方向不一致，不是减函数。 步骤5：验证“特殊点与定义域”（防漏解） 操作要点： 1.验证定义域端点：如分段函数定义域为，需确认端点处的函数值是否符合单调性（如左端点无左侧值，只需看右侧单调性）； 2.检查分段是否完整：确保没有遗漏某一段的定义域（如是否归属某一段，避免“无定义”点）； 3.含参数时验证端点值：将参数的端点值代入分段函数，验证是否满足单调性（如参数时，一次函数变为常数函数，不满足严格单调）。 三、典型例题完整演示（含参数的分段函数求参数范围） 题目：已知分段函数在上是增函数，求实数的取值范围。 解题过程： 1.明确结构要素： 定义域分段：、；子函数：左段一次函数（含参数），右段一次函数（含参数）；目标：整体增函数。 2.判断每一段的单调性（局部约束）： 左段（一次函数）：增函数需斜率→； 右段（一次函数）：增函数需斜率→。 3.验证衔接点（衔接约束）： 左段在时的函数值：； 右段在处的函数值：； 整体增需满足：→→。 4.整合约束条件： 不等式组：，解得。 5.验证端点与定义域： 当时：左段斜率（增），右段斜率（增），衔接点（满足），整体增； 当时：左段斜率（常数函数，不增），故； 定义域为，无遗漏，最终参数范围：。 四、常见误区提醒 1.忽略“分段单调性方向一致”：如左段增、右段减，直接认为整体单调，未发现局部方向矛盾； 2.衔接点函数值比较错误：增函数时误写为，减函数时误写为； 3.含参数时遗漏“子函数类型讨论”：如左段一次函数未考虑（常数函数，不满足严格单调）； 4.单调区间表示错误：将不相邻的单调区间用“∪”连接（如和是增区间，应写为“和”，而非“”）。 【题型五：复合函数的单调性】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【例题2】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】【多选】（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知函数，，则（   ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【题型六：根据单调性比较大小】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】【多选】（25-26高一上·河北·期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数满足，且时，则（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 根据单调性比较函数值大小的解题步骤 一、核心逻辑 根据单调性比较函数值大小的本质是：利用函数在某区间的“自变量与函数值的对应关系”（增函数：自变量大→函数值大；减函数：自变量大→函数值小），将“函数值大小比较”转化为“自变量大小比较”。 关键前提：两个自变量必须在函数的“同一单调区间”内，若不在同一区间，需先通过函数其他性质（如奇偶性、对称性）转化到同一区间。 二、通用解题步骤（四步走） 步骤1：确定函数的“单调区间及单调性方向”（定基础） 操作要点： 首先明确待分析函数的解析式，通过此前学过的“性质法”（基本函数单调性规律）、“定义法”或“分段函数局部判断法”，确定函数的单调区间（如、）及对应区间内的单调性方向（增函数/减函数）。 （回顾常见函数单调性规律：一次函数看斜率，二次函数看开口与对称轴，对勾函数看分界点，分段函数需分段判断） 示例：函数（二次函数，，对称轴），其单调区间为：上减，上增。 步骤2：验证“两个自变量是否在同一单调区间内”（验范围） 操作要点： 设需比较的两个函数值为和，提取自变量和，判断二者是否落在步骤1确定的“同一单调区间”内： 1.若在同一单调区间内：直接进入步骤3； 2.若不在同一单调区间内：需通过函数其他性质（如奇偶性：或；对称性：）将其中一个自变量转化到另一个自变量所在的单调区间，再验证是否在同一区间。 示例：比较与（对应函数）： 自变量（在），（在），不在同一区间； 利用二次函数对称性（对称轴，），，转化后与在同一区间，可比较。 步骤3：根据单调性方向“转化函数值与自变量的大小关系”（用性质） 操作要点： 设函数在区间上的单调性方向为： 1.若在上是增函数：则“（）”等价于“”； 2.若在上是减函数：则“（）”等价于“”； 需严格对应单调性方向，避免“增减搞反”导致错误。 示例1（增函数）：函数在上增，比较与： 自变量（均在上），故。 示例2（减函数）：函数在上减，比较与： 自变量（均在上），故。 步骤4：得出函数值大小关系的结论（下结论） 操作要点： 结合步骤3的转化结果，直接写出与的大小关系，确保结论清晰（用“$<$”“$>$”或“$=$”表示）。 若步骤2中进行了自变量转化（如利用奇偶性、对称性），需在结论中简要说明转化过程（避免逻辑断层）。 三、典型例题完整演示（覆盖不同函数类型） 例题1：基本函数（二次函数）——比较与，其中 解题过程： 1.定单调区间与方向： （二次函数，，开口向下，对称轴），故： 单调区间：上增，上减。 2.验自变量是否在同一区间： 自变量（在），（在），不在同一区间； 利用对称性（对称轴，），，转化后自变量为和，均在上。 3.用单调性转化关系： 区间上是增函数，且，故。 4.下结论： 因，所以。 例题2：含奇偶性的函数——比较与，其中是上的奇函数且在上增 解题过程： 1.定单调区间与方向： 奇函数性质：，且在对称区间单调性一致； 已知在上增，故在上也增，整体在上增。 2.验自变量是否在同一区间： 自变量（），（），不在同一区间； 用奇函数性质转化：，但需比较与，可直接比较与（因整体在上增），无需额外转化。 3.用单调性转化关系： 在上增，且，故。 4.下结论： 。 例题3：分段函数——比较与，其中 解题过程： 1.定单调区间与方向： 分段判断： 左段：（一次函数，，减函数）； 右段：（二次函数，，对称轴，增函数）。 2.验自变量是否在同一区间： 自变量（左段），（右段），不在同一单调区间，需计算具体函数值（因无直接转化性质）： ； 。 3.用单调性辅助验证： 左段减：，； 右段增：，，但需具体值比较。 4.下结论： 。 四、常见误区提醒 1.忽略“自变量在同一单调区间”：如函数在减、增，直接比较与，误判故（实际）； 2.单调性方向搞反：减函数中误将“”转化为“”，如在减，误判故（实际）； 3.分段函数未对应区间计算：比较分段函数不同段的函数值时，未代入对应解析式计算，直接用单调性硬比（如例题3中若不计算和，无法直接通过单调性判断）； 4.遗漏函数特殊性质转化：含奇偶性、对称性的函数，未利用性质将自变量转化到同一区间，导致无法比较（如例题2中若忽略奇函数在上的单调性，会误判无法比较与） 【题型七：根据函数的单调性解抽象不等式】 例题精选 【例题1】【多选】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B． C．若，则的取值范围是 D．函数的值域为 【例题2】（2025高一·全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是 ． 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，求实数m的取值范围． 【解题策略】 根据函数单调性解抽象不等式的解题步骤 一、核心逻辑 抽象不等式（无具体解析式）的求解关键：利用函数单调性，将“函数值大小关系”转化为“自变量大小关系”，同时严格保证自变量在函数定义域内。 二、四步解题法 步骤1：化“标准式” 将不等式整理为或的形式（为含未知数的表达式），确保左右两侧均为同一函数的函数值。 示例：将化简为。 步骤2：用单调性“去函数符号” 设函数在区间上单调： 若在上增：则；； 若在上减：则；。 关键：严格对应单调性方向，不搞反自变量大小关系。 步骤3：加“定义域约束” 抽象函数需保证且（为的定义域），列出不等式组： 示例：若定义域为，则需列。 步骤4：解不等式组 联立步骤2得到的“自变量不等式”与步骤3的“定义域不等式组”，求解交集，即为未知数的取值范围。 三、典型例题 题目：已知在上单调递增，解不等式。 解题过程： 1.化标准式：已为； 2.去函数符号：在上增，故； 3.定义域约束： 4.联立求解：联立（即）与，得。 四、常见误区 1.漏定义域约束：仅解自变量不等式，忽略需在定义域内； 2.单调性方向搞反：减函数中误将转化为； 3.未化标准式：直接对非“与”形式的不等式用单调性（如未消去常数项）。 【题型八：证明抽象函数的单调性以及解抽象不等式】 例题精选 【例题1】（2025高一上·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【例题2】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【相似题2】（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 【解题策略】 一、抽象函数单调性的证明（定义法，3步核心） 抽象函数无具体解析式，需利用已知条件（如、的关系）结合定义证明，步骤如下： 步骤 核心操作（符号化） 关键提醒 1.取值定域 任取（为定义域），设 必须“任取”，不能用特殊值；明确定义域 2.作差变形 计算，利用已知条件（如）变形，目标是判断符号 变形核心：将转化为含（正，因）的可判号形式 3.判号下结论 若，则在上增；若，则在上减 紧扣定义，结论需明确“区间”和“单调性方向” 示例：已知定义域为，且对任意，有，当时，证明在上增。 1.取值：任取，设，则； 2.变形：，故； 3.判号：因，已知此时，即，故在上增。 二、解抽象不等式的解题坐标（仅用单调性，横轴步骤+纵轴关键） 横轴：解题步骤 纵轴1：关键操作（符号化） 纵轴2：易错提醒 1.标准化 将不等式整理为或（、含） 左右必须均为，无常数项/其他形式 2.单调性转化 若在上增：； 若在上减：； 严格“增同减异”，方向不搞反 3.定义域约束 列不等式组： 抽象函数必加！解超出则无效 4.联立求解 联立步骤2的不等式与步骤3的约束，求的交集 结果用区间/集合表示，避免漏解 示例：已知在上单调递减，解不等式 1.标准化：已为（，）； 2.转化：减； 3.约束：，解得，即； 4.联立：与无交集，故不等式无解。 【题型九：根据单调性求最值或值域】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数在区间上的值域为 ． 【例题2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在区间上的值域为，则 ． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）若存在实数，使得对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【解题策略】 根据单调性求最值或值域的解题步骤 一、核心逻辑 利用单调性求最值/值域的本质：若函数在区间上单调（增/减），则区间端点（闭区间）的函数值即为最值，值域由两端点函数值（或极限）确定——增函数“左小右大”，减函数“左大右小”。 二、通用解题步骤（4步核心） 步骤 操作要点（符号化） 关键提醒 1.定区间：明确定义域与目标区间 ①求函数的定义域； ②确定待求最值/值域的目标区间，需满足（否则无意义） 目标区间可为闭区间、开区间、半开区间，需先验证是否在定义域内（如的目标区间不能含） 2.判单调：确定在上的单调性 用“性质法”（基本函数规律）、“定义法”或“分段判断法”，确定在上是增函数还是减函数 若含多个单调子区间（如分段函数），需分别判断各子区间的单调性 3.算端点：计算区间端点的函数值（含极限） ①闭区间：计算和（均能取到）； ②开区间：计算和（无法取到，用于定值域）； ③半开区间：计算和 抽象函数（无解析式）可仅指出最值位置（如“时最小”），无需计算具体值 4.定结果：推导最值与值域 ①若在上增： -最值：，（闭区间）；开区间无最值； -值域：（闭）、（开）； ②若在上减： -最值：，（闭区间）；开区间无最值； -值域：（闭）、（开） 分段函数需比较各子区间的最值，取整体的最大/最小值；值域需合并各子区间的值域 三、典型例题演示（覆盖3类函数） 例题1：基本函数（二次函数，闭区间） 已知，求其在上的最值与值域。 1.定区间：定义域，目标区间； 2.判单调：是二次函数（，对称轴），在上减，在上增； 3.算端点/极值点： 减区间端点：，； 增区间端点：； 4.定结果： 最值：，； 值域：。 例题2：分段函数（多单调区间） 已知，求其在上的最值与值域。 1.定区间：定义域，目标区间； 2.判单调： 左段：（减函数）； 右段：（增函数）； 3.算端点/衔接点： 左段：，； 右段：，衔接点； 4.定结果： 最值：（及附近），； 值域：。 例题3：抽象函数（仅知单调性） 已知在上单调递增，且，，求其在上的最值与值域。 1.定区间：目标区间（已知在定义域内）； 2.判单调：在上增； 3.算端点：，； 4.定结果： 最值：（），（）； 值域：。 四、易错提醒 1.忽略“区间⊆定义域”：如求在的最值，未注意无定义，需分和； 2.开区间误判有最值：如在上增，但无最大值（接近6）和最小值（接近3），值域为； 3.分段函数漏比衔接点：如例题2中若未比较与右段最小值，可能误判最小值为； 4.抽象函数无解析式漏说明：若仅知单调性无端点值，需说明“最值存在于区间端点，具体值需解析式”。 【题型十：根据函数的最值求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【例题2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）设，若的最小值为，则的值为 . 【相似题2】（21-22高一上·江苏·单元测试）已知函数，且是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 【解题策略】 根据函数最值求参数的解题步骤 一、核心逻辑 根据函数最值求参数的本质：先通过函数单调性（或函数性质）确定“最值对应的自变量点”，再利用“最值=该点函数值”建立含参数的方程（或不等式），求解后验证参数是否满足原函数的单调性、定义域等约束。 二、通用解题步骤（5步核心） 步骤 操作要点（符号化） 关键提醒 1.定条件：明确已知信息与目标 ①函数解析式（含参数，如中为参数）； ②已知最值：包括“最值类型（最大/最小）”“最值数值”“最值对应的区间”； ③目标：求参数的取值（或范围） 需确认区间的定义域，避免后续无意义；若未明确单调性，需先讨论函数在上的单调性 2.判单调：分析函数在区间上的单调性 用“性质法”（基本函数规律）、“定义法”或“分段判断法”，确定： ①函数在上的单调性（增/减/含极值点，如二次函数的顶点）； ②最值点：单调函数的最值在区间端点，含极值点的函数（如二次函数）的最值可能在端点或极值点 含参数的函数需分类讨论单调性（如二次函数需讨论，一次函数需讨论） 3.找最值点：确定最值对应的自变量 根据单调性/函数性质，锁定“产生已知最值的自变量”： ①单调增函数（）：，； ②单调减函数（）：，； ③二次函数（，）：若对称轴，则，最值在端点；若，则最值在端点 分段函数需比较各段的最值，确定整体最值对应的“段”及自变量 4.列关系：建立含参数的方程（或不等式） 根据“已知最值=”（为最值点），列方程： -若已知具体最值（如）：列等式； -若已知最值范围（如）：列不等式 需将代入函数解析式，确保方程/不等式仅含待求参数 5.解参数+验证：求解并验证约束 ①解含参数的方程/不等式，得到参数的初步取值（或范围）； ②验证：将参数值代入原函数，检查： -函数在区间上的单调性是否与步骤2一致； -最值点是否在区间内； -计算的最值是否与已知条件匹配 避免“增根”：部分参数解可能使函数单调性改变或最值点超出区间，必须验证 三、典型例题演示（分段函数：已知整体最值求参数） 例题2：分段函数（已知整体最值求参数） 已知在上的最小值为，求实数的取值范围。 1.定条件：为分段函数（参数），，； 2.判单调：先分析各段单调性及最值： 右段：（二次函数，，对称轴），在上单调递增，最小值为； 左段：（一次函数），单调性由一次项系数决定（时增，时为常数，时减）； 3.找最值点：整体最小值为（右段已取到），需保证左段时（避免左段出现小于1的值，破坏整体最小值）； 4.列关系+解参数：针对左段单调性分类讨论，确保，： 若（左段增）：左段在时趋近于最大值，需（保证左段所有值≥1），解得；结合（），得； 若（左段为常数函数）：此时，，，符合条件； 若（左段减）：左段在时趋近于，会使整体最小值小于1，不符合，舍去； 5.验证： 当时，左段，右段，整体最小值为1，与已知条件一致； 最终。 四、易错提醒 1.忽略函数单调性的分类讨论：如二次函数未讨论（一次函数）、分段函数未讨论一次项系数符号； 2.最值点判断错误：如将开区间的“极限值”当作最值（如在无最小值，参数无解）； 3.漏验证参数约束：如部分参数解可能使函数单调性改变，需代入原函数验证； 4.分段函数漏关联各段最值：如未考虑不同段的最值关联（如例题2中需结合右段已有的最小值，约束左段函数值范围），导致范围偏差。 【题型十一：函数不等式的恒成立问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·山西临汾·阶段练习）已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ； （2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 【相似题2】（25-26高一上·全国·期中）已知函数，若，则在上的最小值为 ；若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 【解题策略】 函数不等式恒成立问题的解题步骤 一、核心逻辑 函数不等式恒成立的本质：对区间内的所有自变量，函数值均满足不等式，即函数在上的“极端值（最值）”能覆盖所有情况—— 若在上恒成立，则在上的最小值； 若在上恒成立，则在上的最大值（可为常数或含参数的表达式）。 二、通用解题步骤（5步核心） 步骤 操作要点（符号化） 关键提醒 1.化标准式：整理不等式为“函数≥0”或“函数≤0” 将原不等式整理为（或）的形式，其中是关于的函数（可含参数，如） 确保不等式左边仅含“关于的函数”，右边为0或常数，避免含的项在右边（如将整理为） 2.定区间：明确自变量的取值范围 从题目中提取的定义域（如、），若未明确，需结合函数的定义域确定 恒成立是“对内所有”，需先明确，否则后续最值计算无意义（如的不能含0） 3.判类型+求最值：分析类型，求其在上的最值 根据的类型（一次、二次、分式、抽象函数），用对应方法求最值： ①一次函数：（），在上最值在端点； ②二次函数：（），看开口方向+对称轴与的位置，最值在端点或对称轴； ③分式/对勾函数：用单调性或均值不等式； ④抽象函数：用已知单调性找最值 若是开区间（如），需判断是否存在最值（如一次函数在开区间无最值，需用极限分析趋势） 4.建关系：将恒成立转化为“最值不等式” 根据标准式建立关系： -若在上恒成立⇨； -若在上恒成立⇨； -若含参数（如），则最值表达式含，得到关于的不等式 严格对应“恒成立→最值约束”，避免搞反（如恒成立，不能用最大值≥0，需最小值≥0） 5.解参数+验证：求解参数范围并验证 ①解关于参数的不等式（组），得到初步范围； ②验证：将参数范围代入原函数，检查： -在上的最值是否满足约束； -函数定义域是否仍有效（如参数影响定义域） 二次函数需验证“开口方向”“对称轴位置”是否与求最值时的假设一致，避免分类讨论遗漏 三、典型例题演示（含参数的二次函数恒成立） 例题：已知当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。 解题过程： 1.化标准式：原不等式整理为（是关于的二次函数，参数）； 2.定区间：（题目明确，且定义域为，故）； 3.判类型+求最值：是二次函数（函数二次项系数，开口向上），对称轴，需分3种情况讨论对称轴与的位置： 情况1：对称轴：在上单调递增，最小值； 情况2：对称轴：在上单调递减，在上单调递增，最小值； 情况3：对称轴：在上单调递减，最小值； 4.建关系：恒成立⇨，分情况列不等式： 情况1：时，（恒成立，故）； 情况2：时，⇨⇨（，符合区间范围）； 情况3：时，⇨（与矛盾，舍去）； 5.解参数+验证： 合并有效范围：或⇨； 验证：取（端点），（恒成立）；取（），（恒成立）； 最终的取值范围：。 四、易错提醒 1.忽略函数类型讨论：如二次函数未讨论（一次函数），导致漏解； 2.最值与恒成立关系搞反：如恒成立，误列（例：在上，但，不恒成立）； 3.开区间误判最值：如在上无最值，若要求恒成立，需（而非用端点值）； 4.参数影响定义域未验证：如在上恒成立，需确保分母不为0（已满足），且分子表达式无额外定义域约束。 【题型十二：函数不等式的有解问题】 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【相似题2】（24-25高一上·四川眉山·期末）函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 函数不等式有解问题的解题步骤 一、核心逻辑（与恒成立问题的关键区别） 函数不等式有解的本质：存在区间内的至少一个自变量，使函数值满足不等式，即函数在上的“极端值（最值）”能触达不等式条件—— 若在上有解，则在上的最大值； 若在上有解，则在上的最小值（可为常数或含参数的表达式）。 二、通用解题步骤（5步核心） 步骤 操作要点（符号化） 关键提醒 1.化标准式：整理为“函数≥0”或“函数≤0” 将原不等式整理为（或），其中是关于的函数（可含参数，如） 确保左边仅含“关于的函数”，右边为0或常数（如将整理为） 2.定区间：明确自变量的取值范围 从题目提取的定义域（如、），或结合定义域确定 有解是“存在至少一个”，需先明确，否则后续最值分析无意义（如的不含0） 3.判类型+求最值：分析类型并求其在上的最值 根据类型选对应方法求最值： ①一次函数（）：上最值在端点； ②二次函数（）：看开口方向+对称轴与的位置，最值在端点或对称轴； ③分式/对勾函数：用单调性或均值不等式； ④抽象函数：用已知单调性找最值 若是开区间（如），需用极限分析趋势（如在上，） 4.建关系：将有解转化为“最值不等式” 根据标准式建立关系： -若有解⇨； -若有解⇨； -含参数时，最值表达式含，得到关于的不等式 严格与“恒成立”区分：有解用“最大值（≥0）”或“最小值（≤0）”，避免与恒成立的“最值反向”混淆 5.解参数+验证：求解参数范围并验证 ①解关于参数的不等式（组），得初步范围； ②验证：将参数范围代入原函数，检查： -函数在上的最值是否满足“有解”条件； -定义域是否仍有效（如参数影响定义域） 二次函数需验证“开口方向”“对称轴位置”与求最值时的假设一致，避免分类讨论遗漏 三、典型例题演示（含参数的二次函数有解） 例题：已知当时，不等式有解，求实数的取值范围。 解题过程： 1.化标准式：原不等式整理为（是关于的二次函数，参数）； 2.定区间：（题目明确，定义域为，故）； 3.判类型+求最值：是二次函数（二次项系数，开口向上），对称轴，分3种情况讨论对称轴与的位置： 情况1：对称轴（即）：在上单调递增，最大值； 情况2：对称轴（即）：在上递减，在上递增，最大值为： ，，故； 情况3：对称轴（即）：在上单调递减，最大值； 4.建关系：有解⇨，分情况列不等式： 情况1：时，⇨（结合，得）； 情况2：时，⇨（结合，得）； 情况3：时，（恒不成立，舍去）； 5.解参数+验证： 合并有效范围：或⇨； 验证：取（端点），，（有解）；取（），（有解）； 最终的取值范围：。 四、易错提醒 1.与恒成立问题混淆：如有解，误列（例：在上，但，实际有解）； 2.开区间忽略极限趋势：如在上有解（因），若误判“无最大值”则漏解； 3.二次函数最值判断错误：如开口向上的二次函数在区间内的最大值，需比较两端点值，而非仅看对称轴处（如例题中时，最大值是而非）； 4.参数影响定义域未验证：如在上有解，需确保分母不为0（已满足），且分子表达式无额外约束。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为0 7．（25-26高三上·江苏常州·开学考试）若函数在区间上值域为，则称为的“倍增区间”，则（   ） A．若为的“1倍增区间”，则 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 三、填空题 8．（24-25高一上·重庆长寿·期末）函数的单调递增区间为 . 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为 ． 10．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 11．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 12．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为 ． 13．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 . 四、解答题 14．（25-26高一上·全国·随堂练习）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 16．（24-25高二下·浙江宁波·期末）设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 17．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 18．（24-25高二下·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $