湖北省潜江市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

潜江市2024—2025学年度上学期期末质量检测 九年级数学试题 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案必须使用0.5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．） 1．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．已知方程有一个根是，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 3．下列事件中是必然事件的是（ ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓮中捉鳖 D．百步穿杨 4．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是 C．与轴交于点（0，6） D．当时，随的增大而减小 5．若是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A．3秒 B．6秒 C．9秒 D．10秒 7．若用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A．20 B．15 C．10 D．5 8．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于4，则的值等于（ ） A． B． C．4 D．8 9．如图，内接于，连接．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 10．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分，请直接将答案填写在答题卡中，不写过程） 11．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__________． 12．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的宽为__________步． 13．一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 14．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，垂足为，路面宽为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度__________m． 15．点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，若，则的面积是__________． 三、解答题（本题9个小题，满分75分．） 16．（6分） 解方程： （1）； （2）． 17．（6分） 某校一年级开设人数相同的三个班级，甲、乙两位同学是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到班”的概率是__________； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学分到同一个班的概率． 18．（6分） 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点顺时针旋转后的并写出点的坐标． 19．（8分） 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个根分别是，且，求的值． 20．（8分） 如图，切于点，是直径，是上一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21．（8分） 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于两点，直线与轴，轴分别交于两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）比较大小：__________（填“”，“”或“”）； （3）当时，请直接写出的取值范围． 22．（10分） 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷灌器喷水口的升降方案 素 材 1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处． 素 材 2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种花，花坛高m，宽m，侧面用大理石包围，矩形是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同且随之上下平移，使花坛的上方从到的区域刚好都能被水柱浇灌（大理石厚度不计），从而达到给花坛喷灌的效果． 问题解决 任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的水平距离； 任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使花坛的上方边上刚好都能被水柱喷灌，直接写出喷水口距离地面的高度的取值范围． 23．（11分） 如图1，在等腰中，，点分别在边上，，连结，取中点，连结． （1）求证：； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：__________； ②求证：． 24．（12分） 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 潜江市2024—2025学年度上学期期末质量检测 九年级数学考答案及评分说明 说明：本评分说明一般只给出一种解法，对其他解法，只要推理严谨，运算合理，结果正确，均给满分；对部分正确的，参照此评分说明，酌情给分． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D B A C A C D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（4，）； 12．24； 13．12； 14．9； 15． 三、解答题（共75分） 16．解：（1）x2－6x－7＝0；(x－7)(x＋1)=0 x1＝－1，x2＝7； （2）x（x－2）＝3x－6．x（x－2）＝3（x－2）．（x－2）（x－3）=0 x1＝2，x2＝3． 17．解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中学生甲分到A班的结果有1种， ∴“学生甲分到A班”的概率是．故答案为：． （2）列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分到同一个班的结果有3种， ∴甲、乙两位同学分到同一个班的概率为． 18．解：（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求；（4，）． 19．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴的取值范围是； （2）∵方程的两个根分别是x1，x2，∴x1＋x2=－（2m＋1），x1x2=m2－1， ∵x12＋x22＋x1x2－6=0，∴(x1＋x2)2－x1x2－6=0，∴(2m＋1)2－(m2－1)－6=0， 解得，（舍）．∴． 20．（1）证明：如图，连接OC， A B C O P D ∵ PA是⊙O的切线，∴．∴． ∵ OCOA，PCPA，OPOP．∴△POC≌△POA（SSS）． ∴．∴． 又点C在⊙O上，∴ PC是⊙O的切线； （2）解：如图，由（1）可得：． 又PAAB，∴△PAD≌△ABC（AAS）．∴ ADBC2，AC2AD4． 在Rt△ABC中，由勾股定理可得： AB． 21．解：（1）将A(1， 4)代入，可得：． ∴反比例函数关系式为：． 将y－1代入可得x－4， ∴n－4； 把A(1，4)，代入y1ax＋b， 得：.∴. ∴一次函数关系式为y1x＋3； （2）； （3）由图可知：当时，y1＞y2． 22．解：（1）如图，以点O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为y＝a（x－2）2＋0．45， 把A（0，0．25）代入得：0.25＝a（0－2）2＋0.45， 解得：a＝－0.05． ∴抛物线的表达式为y＝－0.05（x－2）2＋0.45； （2） 把y＝0代入，得－0.05（x－2）2＋0.45＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣1（舍），∴B（5，0），∴OB＝5， ∴喷灌器OA与围墙的距离OB为5 m； （3）如图，由题意得：CD＝0.4m，BC＝0.8 m， ∴D（4.2，0.4），E（5，0.4）， 设y＝－0.05（x－2）2＋k，把D（4.2，0.4）代入 得，0.4＝－0.05（4.2－2）2＋k， 解得：k＝0.642，∴y＝－0.05（x－2）2＋0.642， 当x＝0时，y＝0.442，∴（OA）min＝0.442 m， 设y＝－0.05（x－2）2＋k′，把E（5，0.4）代入得，0.4＝－0.05（5－2）2＋k′， 解得：k′＝0．85，∴y＝－0.05（x－2）2＋0.85， 当x＝0时，y＝－0.05（0－2）2＋0.85＝0.65， ∴（OA）max＝0.65 m，∴0.442≤OA ≤0.65． 23．（1）证明：在和中， ∵， ∴△ABE≌△CBD（SAS），∴． ∵是Rt△ABE斜边的中点，∴， ∵，∴．∴， ∵，∴．∴； （2）①； 附理由如下：延长到点，使，连结．延长到，使，连接并延 长交于点． 证△AGB≌△BDC（具体证法过程跟②一样）． ∴， ∵是中点，是中点，∴是中位线，∴， ∴，∴，∴． ∵，∴． 故答案为：； ②证明：延长到点，使，连结． ∵，∴△AGF≌△EBF（SAS）， ∴．∴．∴, ∵，∴，∴． ∵，∴． 在和中， ∵，∴△AGB≌△BDC（SAS），∴． ∵．∴． 24．解：（1）二次函数，为常数）的对称轴为直线， ∴．∴．∴抛物线为． 又图象经过点，∴．∴．∴抛物线为． （2）由题意，∵点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， ∴平移后的点为．又在， ∴．∴或（舍）．∴． （3）抛物线为，顶点（，）， 由题意，当时， 最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当时，最大值与最小值的差为， 解得或，不符合题意． 综上所述，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $