12 2026年江西中考夺分训练(四) 圆的证明与计算题-【超级考卷】2026年中考数学（江西专用）

9.解：(1)在Rt△ACH中，CH=3m,∠DAC=36.87°， CH 3 ..AC= sin36.870.6 =5(m), .AC的长约为5m. (2)如图，过点F作FI⊥AD,垂 足为I. :F为钢丝中点，AC=5m,BC =15m, AF=2CAC+BC)=号×(5+15)=10(m) 在Rt△FAI中，∠FAD=60°， 1 AI=AF·cos60°=10X2=5(m). 在Rt△ACH中，CH=3m,∠DAC=36.87°， 3 AH=an36.87≈0.75=4m, ∴.HI=AI-AH=5-4=1(m), .下降的高度HI约为1m. 10.解：(1)根据题意，得h=45+5(n-1)=5n+40, ∴.叠放高度h与凳子张数n的关系式为h=5n十40. (2)甲：5n十40≤150-2×5，解得n≤20： 乙：5n+40≤100-2×5，解得n≤10. 故每个甲纸箱最多能装下20张凳子，每个乙纸箱最 多能装下10张凳子. (3)设甲纸箱选用x个，则乙纸箱选用(90一x)个 由题意，得20x十10(90-x)≥1200， 解得x≥30. 设支出的总包装费用为y,则y=5x十3(90一x)=2x +270. 2>0,∴y随x的增大而增大， ∴.当x=30时，y取最小值，最小值为2×30十270= 330(元)， ∴.选用甲纸箱30个，乙纸箱90一30=60（个），支出的 包装费用最少，最少为330元. 11.解：(1)一次 (2)设这个一次函数的解析式为y=kt十b(k≠0). 当t=0时，y=10:当t=10时，y=30, 10=b, k=2, 解得 30=10k+b, b=10, ∴.y关于t的函数解析式为y=2t十10. (3)当t=110时，y=2×110+10=230. 故这种食用油的沸点是230℃. 12.解：(1)当0<x≤40时，y=30. 当40<x≤100时，设y=kx十b. (40k+b=30, 把(40,30)，(100,15)代入，得 100k+b=15, 1 k=- 解得 4 b=40, .y= 4x+40, 30(0<x≤40)， .y= 4x+40(40<x≤100). (2).甲种花卉种植面积不少于30m2,.x≥30. :乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的 3倍， ∴.360-x≥3x,解得x≤90， ..30≤x≤90 当30≤x≤40时，w=30x+15(360-x)=15x+ 5400. 15>0, .当x=30时，取最小值，最小值为15×30+5400 =5850(元). 当40<x<90时，w=(-x+40)+15(360-) 1 =-4x-50)2+6025. “-4<0,对称轴为直线x=50,且50-40<90 -50, 1 当x=90时0取最小值，最小值为-4×(90- 50)2+6025=5625(元). .5625<5850, ∴.当x=90时，取最小值，最小值为5625元， 此时360一x=270. 答：甲种花卉种植面积为90m2,乙种花卉种植面积为 270m2,才能使种植的总费用心最少，最少 是5625元. 122026年江西中考夺分训练（四） 圆的证明与计算题 【详解详析】 1.解：(1)∠1（答案不唯一）△BCD (2)证明：，△ABC是等边三角形， ∴.AC=BC,.AC=BC,∴∠5=∠6. 又.∠2=∠3， .△AED∽△CEB (3)四边形OAEB是菱形. 理由：∠5=∠ABC=60°，∠6=∠CAB=60°，OA= OE=OB, ∴△AOE和△BOE是边长相等的等边三角形， 参考答案 (97 .∴.OA=AE=BE=OB ,∴.四边形OAEB是菱形 2.证明：(1)：∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC =∠BDC(点拨：同孤所对的圆周角相等)， .∴.∠BDC+∠ABC+∠ACB=180. ∠BDC+2∠ACB=180°， ∴.∠ABC+∠ACB=2∠ACB 即∠ABC=∠ACB,.AB=AC(点拔：等角对等边). (2)如图，作AF⊥CD的延长线于 点F, ∴∠F=90° AE⊥BD, ∴.∠AEB=∠AED=90°， ∴.∠F=∠AED=∠AEB ·AB=AC,∠ACD=∠ABE ∴.△ABE≌△ACF(AAS), .'BE=CF,AE=AF. .'AD-AD, ..Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), ∴.DE=DF, ∴.CD+DE=CD+DF=CF=BE □一题多解法 (1)·∠BDC+2∠ACB=180°，∠ACB=∠BDA, .∠BDC+2∠BDA=180°，即∠ADC+∠BDA =180° ,∠ADC十∠ABC=180°（点拨：圆内接四边形的对 角互补)， ∴∠ABC=∠BDA,∴∠ABC=∠ACB, ∴.AB=AC 3.解：(1)：OE⊥AB,CD∥AB, .OE⊥CD, DF=CF=2CD(点拔：垂直于弦的直径平分孩). CD=60√3cm, .'DF=303 cm. 如图，连接OD. 设⊙O的半径OD=OM=r, ∴.OF=OM-FM=r-30. 在Rt△ODF中，r2=(30√5)2+( -30)2, 解得r=60, 即⊙O的半径为60cm. (2),△OAB为等边三角形， ..AB=OB. 98 中考数学 OELAB.BEO-90,BE-7AB. ,'ME=20cm, ∴.OE=OM+ME=60+20=80(cm). 在R△BOE中，OB=80+(2AB), 0B=1603 3 cm..AB=OB=160/3 3 cm, 1 SAoB=号AB·OE=号×3习 X80=6400V3 3 (cm2). :S扇形0Q= 60π×602 =600π(cm2), 360 ∴.S阴影=S△OAB一S角形P0n=（ 64005-600元)cm2. 3 4.解：(1)AB是直径，CE⊥AB, ∴AB平分CE, ∴△CEP是等腰三角形. ,CE⊥AB,∠CPA=∠EPA. ∠EPA=∠BPD,∴.∠CPA=∠BPD, ∠CPD是CD的“幸运角” (2)如图，连接OC,OD. :CD的“幸运角”为90°， ∴.∠CPD=90°， ∴∠APC=∠BPD=号(180°-90 =45°，∴∠APE=∠BPD=45 CE⊥AB, .∠CED=90°-45°=45°， .∠COD=2∠CED=90. 1 AB=2,C0=D0=2AB=1, .CD=√OC2+OD=√2， 即CD的长为√2， 5.解：(1)如图①，设圆心为点O,则点O在MN上，连接 OA.OB,BM. ,M是AMB的中点， ∴.AM=BM, ∴AM=BM(,点拨：在同圆或等圆中， 如果两条孤相等，那么他们对应的弦 M 相等). 图① AM=AB,∴AM=BM=AB, ∴△ABM是等边三角形， ∴.∠BAM=∠AMB=60°，AO平分∠MAB, .∴.∠OAM=∠OAN=30° 由题意可知AB⊥MN,∴.OA=OM=2ON(点拨：在 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)， 0A=0M-号MN=号×37.5=25(cm. AN=BN=0A·cos30°=25X3-25V3 2(cm), ∴.AB=25√5cm. (2),∠AOB=2∠AMB=120°， AMB的长=240πX25=100m(cm 180 (3)如图②，设水面为DE,交MN于 点F,则MN垂直平分DE,DE= 48cm, ∴DF=2DE=24cm.连接OD,则 OD=25 cm, .OF=√252-24=7(cm). 当DE在点O的上方时， 水深为OM+OF=25+7=32(cm); 当DE在点O的下方时，DE位于D'E'的位置，此时水 深为OM-OF'=25-7=18(cm). 综上所述，当水面的宽度为48cm时，鱼缸内水的深度 为32cm或18cm. 6.解：(1)证明：如图，连接OC ,DC是⊙O的切线 .OC⊥DC. AD⊥DC,.OC∥AD, ∴.∠DAC=∠OCA. OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA, .∠DAC=∠OAC,∴AC平分∠DAB. (2)如图，连接BC. 在Rt△ADC中，DC=4,DA=8. 由勾股定理，得AC=√AD+DC=√82+4=45. :AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∠ADC=∠ACB. :∠DAC=∠CAB,∴△ADC∽△ACB, 记-GA-G-10 _AC? .⊙0的直径为10. 7.解：(1)半径OC⊥AB, ∴AC=BC(点拨：垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条孤)， ∴.∠AOC=∠BOC=42°， 1 ∠D=号∠A0C=号X42=21/A0B=2LA00 =2×42°=84°， .∠OED=∠AOB-∠D=84°-21°=63°， ∴∠D的度数为21°，∠OED的度数为63. (2)如图，连接AC. .OC=OA=3,AG=2, ∴.OG=OA+AG=3+2=5. ,CG与⊙O相切于点C, ∴.CG⊥OC,.∠OCG=90°， ∴.CG=√OG-0C=√5-32=4， 20c·cG= SACG= ×3x4=6 .S△emA_OA3 5m=25am=6= 3 51 :OD=OA,∴.SAm=SaA=5, 18 1848 ∴.SAx=SAcG+SACOD=6+ 5=5 8.解：(1)证明：如图，连接OD. OB=OD,∠OBD=∠ODB. DE是⊙O的切线，.OD⊥DE. 又DE⊥AC,.OD∥AC, ∴.∠C=∠ODB,∴∠OBD=∠C, .∴.AB=AC (2)如图，连接AD,BF ,AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠F=90°， ∴.∠ADC=90°，.∠CDE+∠ADE=90. DE⊥AC,.∠DAE+∠ADE=90°， .∠DAE=∠CDE CE &an∠DAE=E=2.“tan∠CDE=D =2, ,.CE=2DE=12. AB=AC,AD⊥BC,.BD=CD CE CD ∠F=∠CED=9O.DE/BFEF=BD=1, ,∴.EF=CE=12,∴.AF=12-3=9. 9.解：(1)∠OCE=∠OEC(答案不唯一) (2)证明：由题意，可得OC⊥DC, ∴.∠OCE+∠DCF=90. OE⊥AB,.∠OEC+∠EFO=90°. .OE=OC,.∠OCE=∠OEC,.∠EFO=∠DCF. :∠DFC=∠EFO,.∠DCF=∠DFC,∴.DC=DF (3)OE=OC,∠OEC=15°， ..∠OCE=∠OEC=15°， 参考答案 99 .∠E0C=180°-∠OEC-∠OCE=180°-15°-15° =150°，.∠C0D=150°-90°=60°， .∴.DC=OC·tan∠COD=6√3， ∴.S阴5部分=S△D一S第形0B=之 ×6×65- 60π×62 360 =18√3-6π 10.解：(1)证明：连接OE,如图. DE=EF, DE=EF(点拔：在同圆或等圆 中，如果两条弦相等，那么他们对 应的优孤和劣孤分别相等)， ∴∠DOE=∠EOF,∠DOE=2∠DOF. :∠A=2∠D0P, ∴.∠DOE=∠A,∴.OE∥AB, ∴.∠CEO=∠B=90°，∴.OE⊥BC .OE是⊙O的半径， ,∴，BC是⊙O的切线（点拔：经过半径的外端并且垂 直于这条半径的直线是圆的切线). ea海，0eAB器-∴言-+品 .CD=4. 11.证明：(1).BD=BC, ∴∠D=∠BCD(点拨：等边对等角). :∠A=∠D(点拔：在同圆或等圆中，等孤所对的圆 周角相等)， .∠A=∠BCD. (2):⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径， ∴∠ABC=90°（点拔：直径所对的圆周角是直角）， ∴.∠A+∠ACB=90°. CB平分∠DCE,∠BCD=∠BCE. :∠A=∠BCD,∴∠A=∠BCE, ∴.∠BCE+∠ACB=90°， 即∠ACE=90° 又OC是半径，∴.CE为⊙O的切线 12.证明：(1)BC=CD,∴.BC=CD, ∴.∠BAC=∠DAC OA=OC,∴.∠BAC=∠OCA, ∴.∠OCA=∠DAC,∴.OC∥AF. (2),EH平分∠FEG,∴.∠FEG=2∠HEG :∠FEG=∠BAD+∠F,∠HEG=∠BAC+∠H, ∠BAD=2∠BAC, .∠F=2∠H=90°. OC∥AF,∴∠OCE=∠F=90°，.OC⊥EF. 又.OC是⊙O的半径， 100 中考数学 .EF是⊙O的切线」 13.解：(1)设圆的半径是r,则OP=PA十r=1十r,OC =r,PC=√5OC=5r. PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°， ∴.在Rt△PCO中，PC2+OC2=OP2,即(5r)2+r2 =(1+r)2, 解得r1=1,r2=一 (舍去.0C=0B=0A=1, .OP=2,BP=3. 在R△PC0中，sin∠OPC=OC=1 0p=2 .∠0PC=30°. BE⊥PC,.∠PEB=90°， :.BE=PB·sin∠BPE=3X2=2 13 (2)①在△OBD中，OB=OD,∠OBD=90°-30°= 60°，.△OBD是等边三角形，.BD=OB=1, DE-BE-BD-1 1 ②证明：：△OBD是等边三角形，∴.∠BOD= ∠POF=60°. .∠POC=90°-30°=60°，∴.∠POC=∠POF. OC=OF. 在△OPC和△OPF中，{∠POC=∠POF, OP=OP, ∴.△OPC≌△OPF(SAS), .∠OFP=∠OCP=90° 又，OF是⊙O的半径， ∴PF是⊙O的切线. 14.解：(1)证明：如图①，连接AC. 同一平面内垂直于 ,同一条直线的两条 直线互相平行 D 图① AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，.AC⊥BC D为AC的中点，.AC⊥OD,OD∥BC. DE⊥BC,.OD⊥DE 又，OD是⊙O的半径，∴.DE为⊙O的切线. (2)如图②，过点O作OG⊥BC于 点G,则BG=C.设OD与AC 相交于点K, 图② OD 5 OB-OD.BC=6 OB 5 BG 3 “BG=3,则sin∠B0G= OB5 又.AC⊥BC,OG⊥BC, ∴.AC∥OG,∴.∠BAC=∠BOG, sin∠BAC=sim∠BCG=Sin∠OAK=3 设OK=3k,则AO=OD=5k. .OD⊥DE,BE⊥DE,AC⊥BC 四边形DECK是矩形，.DK=CE=2. DK=OD-OK=2k...2k=2. ∴.k=1,.OK=3. :O,K是AB,AC的中点， .OK是△ABC的中位线，.BC=2OK=6. ,BF是⊙O的切线， ∴∠OBG+∠EBF=∠FBO=90° 又：∠OBG+∠BOG=90°，∴.∠FBE=∠BOG, EF .3 六.sin∠FBE-BF=sin∠BOG=5: 设EF=3t,则BF=5t,∴.BE=4. 又BE=BC+CE=6+2=8, ∴.t=2,.BF=5t=10. 名师点拨 (1)连接AC,根据直径所对的圆周角是直角，得出 AC⊥BC.根据垂径定理的推论可得AC⊥OD,进而可 得OD∥BC.根据已知条件DE⊥BC,即可得出OD⊥ DE,即可得证， 2)过点O作OG LBC于点G,则BG=)BC,根 据已知得出sin∠BOG BG 3 OB=亏，进而得出sin∠BAC 3 =sin∠BOG=亏，根据CE=2得出OK=3,再根据中 位线的性质可得BC=6,证出∠FBE=∠BOG,最后解 Rt△BEF,即可求解. 15.解：(1)证明：如图①，连接OB,交AC于点M. :B是AC的中点，OB为⊙O的半径，∴∠A= ∠BCA,AC⊥OB,即∠BMC=∠CMO=90°. OC∥AB,∴.∠A=∠ACO, .∠BCA=∠ACO. 又，CM=CM,.△BCM≌△OCM(ASA), ∴.OM=MB」 .OC=CD,.CM是△OBD的中位线， ∴.MC∥BD,.∠OBD=∠OMC=90°，即OB⊥BD, .BD是⊙O的切线， B 图① 图② (2)如图②，连接OB,过点O作OH⊥AB,垂足为 H,过点B作BN⊥OC,垂足为N. ,BD是⊙O的切线， ∴.OB⊥BD 设⊙O的半径为r,在Rt△OBD中，OB+BD =0D2, r2+32=(r+1)2,解得r=4. 1 1 S△m=2BN·OD=2BD·OB, aN-号 .AB//OC. ∠ABN=180°-∠ONB=90°， ∴.∠BHO=∠ABN=∠ONB=90°， .四边形ONBH为矩形， :.0H=BN=5 12 在Rt△OHB中，BH=VOB-OH= 5 ,OH⊥AB, ∴.AH=BH, AB-28H- 132026年江西中考夺分训练（五） 反比例函数的综合探究 【详解详析】 1.解：1)将点A的坐标代入反比例函数y=冬，得及=2 ×6=12, 12 .反比例函数的解析式为y=二 x (2)k=12,.3m=12,解得m=4,.B(4,3). 设直线AB的解析式为y=s(x一2)十6. 将B(4,3)代入，得3=s(4-2)十6，解得5=-3 ∴.直线AB的解析式为y=一 3 2(x-2)+6= 2x 9,..D(0.9). ∴.SAAOB=S AODE-S△0DA= 2OD·(xB-xA)= 2X9 ×(4-2)=9. -☐一题多解法 3 (2)由直线AB的解析式为y= x+9,得C(6,0), 1 .S△AoB=S△Ac-SABx= 0C·(yA-ya) 2大6 ×(6-3)=9. 参考答案 1012026中考必备试卷（数学） 江西专版 4.如图①，C,D是半圆ACB上的两点，P是直径AB上一点.若满足∠APC=∠BPD,则称∠CPD 是CD的“幸运角” 12 2026年江西中考夺分训练（四） 圆的证明与计算题 类型日 与圆的性质有关的计算与证明 图① 图② 图③ 1.如下图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D,交⊙O于点E,连接 (1)如图②，若弦CE⊥AB,D是BC上的一点，连接DE交AB于点P,连接CP.求证：∠CPD是 EA,EB. CD的“幸运角”. (1)写出图中一个度数为30°的角： :图中与△ACD全等的三角形是 (2)如图③，若直径AB=2,弦CE⊥AB,P,E,D三点共线，CD的“幸运角”为90°，求CD的长. (2)求证：△AED∽△CEB. (3)连接OA,OB.判断四边形OAEB的形状，并说明理由. 6 2.-题多解法已知，△ABC内接于⊙O,点D在⊙O上，连接DA,DB,DC,∠BDC+2∠ACB 5.下图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸的抽象图，其主体部分的纵截面是弓形AMB,开口部分AB =180°. 与桌面平行.将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使玻璃棒底端恰在AMB的中点M处，发现 (1)如图①，求证：AB=AC AM=AB,将玻璃棒竖立起来时，测得MN=37.5cm (2)如图②，过点A作AE⊥BD于点E,求证：CD+DE=BE (1)求∠BAM的度数，并求AB的长 (2)求AMB的长. (3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48cm,求鱼缸内水的深度 图① 图② 3.如图①，日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上.如图②， ⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线1上，△OAB为等边三角形，OA,OB与 ⊙O分别交于P,Q两点.C,D是⊙O上两点，CD∥AB,过点O作OE⊥AB于点E,交CD于点F, 交⊙0于点M.已知CD=60√3cm,FM=30cm,ME=20cm. (1)求⊙0的半径. (2)求图中阴影部分的面积， A 图① 图② 中考·数学 21-1 中考·数学21一2 类型已 与切线的性质有关的计算与证明 6.如下图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D (1)求证：AC平分∠DAB. (2)若DC=4,DA=8,求⊙O的直径. 7.已知AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB,CD与OB交于点E. (1)如图①，若∠BOC=42°，求∠D和∠OED的度数. (2)如图②，过点C作⊙O的切线，与OA的延长线相交于点G,OC与AB的交点为H.若OA=3, AG=2,求△DGC的面积. 图① 图② 8.如下图，已知△ABC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE是⊙O的切线，且DE⊥AC,垂足为 E,延长CA交⊙O于点F. (1)求证：AB=AC (2)若AE=3,DE=6,求AF的长. 中考·数学21一3 21 9.如下图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，连接OC,CD是⊙O的切线，交AB的延长线于点D, 12.如下图，已知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，且BC=CD,E是线段AB延长线上一点.连接 半径OE⊥AB,CE交AB于点F. EC并延长交射线AD于点F,点G在线段BE的延长线上，∠FEG的平分线EH交射线AC于点 (1)写出图中任意一组相等的角： H,∠H=45°，连接OC. (2)求证：DC=DF. (1)求证：OC∥AF. (3)若∠OEC=15°，OE=6,求图中阴影部分的面积. (2)求证：EF是⊙O的切线， 类型目与切线的判定有关的计算与证明 10.如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D是AC上一点，以AD为直径的⊙O交BC,AB于点E,F, 连接OF,EF,DE,且DE=EF (1)求证：BC是⊙O的切线. (2)若AB=6,⊙O的半径为4，求CD的长. 类型四切线的性质与判定的综合 13.如下图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P,过点P作⊙O的切线PC,切点为C,连接OC,BC.过 点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E,BE交⊙O于点D.已知PA=1,PC=√OC. (1)求BE的长. (2)连接DO,延长DO交⊙O于点F,连接PF. ①求DE的长； ②求证：PF是⊙O的切线， 11.如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，D是⊙O上的一个点，且BD=BC. (1)求证：∠A=∠BCD. (2)E是DB延长线上的一点，连接CE.若CB恰好平分∠DCE,求证：CE为⊙O的切线 22 中考·数学22-1 中考·数学22一2 14.如下图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC的中点，连接OD,过点D作DE⊥BC,交BC 延长线于点E (1)求证：DE为⊙O的切线. (2)过点B作⊙0的切线交DE延长线于友上.若C-号，CE=2,求BD的长. D 15.⊙O是△ABC的外接圆，OC∥AB,延长OC至点D,连接BD. (1)如图①，若OC=CD,且B为AC的中点，求证：BD是⊙O的切线. (2)如图②，若BD是⊙O的切线，且BD=3,CD=1,求⊙O的半径及弦AB的长. B D 0 D 图① 图② 中考·数学22一3