9-10 2026年江西中考夺分调练(一、二) 分类讨论与三解填空题 创新作图题-【超级考卷】2026年中考数学（江西专用）

2026中考必备试卷（数学） 江西专版 中考夺分训练(B层) 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，正方形ABCD中，AB=4,E是边AD的中点，对角线AC,BD交于点O.若F为正方形AB 9 2026年江西中考夺分训练（一） CD对称轴上一点，且∠AEF=60°，则OF的长为 分类讨论与三解填空题 9.定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做“等腰直角四边形”.如图，在矩形 ABCD中，AB=6,BC=9,P是对角线AC上一点，且AP：PC=2:3.过点P作直线分别交边 类型特殊三角形 AD,BC于点E,F,使四边形ABFP是“等腰直角四边形”，则AE的长是 1.一副三角板按如图所示的方式叠放在一起.若固定三角板AOB,将三角板ACD绕着公共顶点A,按 10.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60°.点P以每秒2个单位长度的速度沿折线A-B-D-A 顺时针方向旋转a(0°<a<180°).当三角板ACD的边CD与三角板AOB的某一边平行时，相应的 运动，运动时间为ts,连接CP,将CP绕点C顺时针旋转60°得到CQ,连接DQ.若DQ=2√3，则t 旋转角α的度数是 的值为 11.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=2∠BAD,E,F分别是AD,AB的中 点，连接BD,EF.动点P从点B出发，沿着B→A→D→C运动到点C.当△PEF 为直角三角形时，BP的长度为 第11题图 B(D) 12.定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这 第1题图 第3题图 第4题图 第5题图 个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”.已知在“等腰四边形”ABCD中，AB=BC 2.在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转a(0°<a< =AD,∠BAD=90°，且AC为“界线”，则∠BCD的度数为 180°)，得到OP.当△ACP恰为轴对称图形时，a为 1B.在口ABCD中，AB=10,BC=15,1anA-专P为AD边上任意一点，连接PB,将PB绕点P逆时 3.如图，在△ABC中，AB=BC=4,AO=BO.P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB 针旋转90°得到线段PQ.若点Q恰好落在口ABCD的边所在的直线上，则BQ的长为 为直角三角形时，AP的长为 4.如图，在△ABC中，AB=AC=4,∠BAC=30°，AD是BC边上的高.图中线段上有一动点E,若满 类型目圆 足AE=CE,则以AE为边的正方形的面积是 14.如图，已知A,B为⊙O上的两点，且∠A=40°，直线1经过圆心O,与AB相交于点P.若直线1绕 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=8,BD为边AC上的中线，点E在边BC上，且BE: 点O旋转，当△OBP为等腰三角形时，∠AOP的度数为 BC=3:8,点P在Rt△ABC的边上运动.当PD:AB=1:2时，EP的长为 E E\O 6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12,D,E分别是边BC,AB上的动点.将△BDE沿 D 直线DE翻折，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，若△AEB'是等腰三角形，则DB的长是 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 15.如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H,连接OB.已知OB=2cm,∠OBC=30°.动点E 类型二特殊多边形 从点O出发，在直径AD上沿路线O→D→O→A→O以1cm/s的速度做匀速往返运动，运动时间 为ts.当∠OBE=30°时，t的值为 7.如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=4√3，E是BC的中点，点F在AB上，∠BFE=60°，P是矩形 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D,连 边上一动点.若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE=30°时，FP的长为 接AD,BE=3,BD=3√5.P是直线AB上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 中老·数学17一1 中考·数学17一2 17.如图所示，已知⊙O的直径AB=4,弦AC=2,E是直线AB上的一动点，直线CE与⊙O交于点 D.当△ACD为等腰三角形时，AE的长为 18.如图，正方形ABCD的边长为2，以AB边上的动点O为圆心，OB长为半径作圆，将△AOD沿OD 翻折至△A'OD.若⊙O过△A'OD一边上的中点，则⊙O的半径为 B 0 第18题图 第19题图 第20题图 第21题图 19.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E为AD边上一点，且AE=2,F为BC边上的动点，以 EF为直径作⊙O.当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为 类型四 函数 20.如图，在平面直角坐标系中，点C(0,4),射线CE:轴，直线y=二x十b交线段0C于点B,交0 轴于点A,D是射线CE上一点.若存在点D,使得△ABD恰为等腰直角三角形，则b的值为 21.如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在直线x=6和射线y=2x一3(x≥0)上运动.若△OAB 是等腰直角三角形，则点B的坐标为 9 9 22.如图所示的是反比例函数y=二(x>0)的图象，点C的坐标为(0,2).若A是函数y=二(x>0)图 象上的一点，B是x轴正半轴上一点.当△ABC是等腰直角三角形时，点B的坐标为 第22题图 第23题图 第24题图 23,如图，在平面直角坐标系中，直线y=一专x十12与x轴y轴分别交于A,B两点，C是x轴正半 轴上一点.设a,3分别是△ABC的两个内角，若a,3满足2a+B=90°，则点C的坐标为 24.如图，已知抛物线y=(x一1)2一4与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.将 抛物线沿x轴向左（或向右）平移|b|(b≠0)个单位长度，使得以平移后的抛物线与x轴、y轴的三 个交点为顶点的三角形的面积为6，则|b的值为 中考·数学17一3 17 2026中考必备试卷（数学） 江西专版 (2)在图②中，作出GD关于直线CD对称的线段HD 10 2026年江西中考夺分训练（二） 创新作图题 图① 图② 类型一以三角形为辅助作图 5.如图，C为线段AB上一点（不与A,B两点重合），分别以AC,BC为边向AB的同侧作含60°角的 1.如图，已知△ABC≌△DEC,且点B,C,D在同一直线上.请仅用无刻度的直尺按下列要求作图 菱形，连接DF.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）. (1)在图①中，若AC=BC,作出线段DF的中点M. 1)在图D中，作出∠a,使∠。-号∠ACB。 (2)在图②中，若AC≠BC,作出线段DF的中点N. (2)在图②中，在直线BC的上方作出∠B,使∠B=∠ACB. 图① 图② 图① 图② 2.如图，已知O为AB的中点，C,D位于AB的异侧，且∠BAC=∠BAD=∠B=∠D=30°.请仅用 类型目以圆为辅助作图 无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）. 6.请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）. (1)在图①中，作出一个矩形. (1)如图①，已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC相交于点D,请作出∠ABC的平分 (2)在图②中，作出将△ABC绕点C顺时针旋转120°后得到的三角形 线BP. (2)如图②，已知△ABC,以AB为直径的⊙O经过点C,D是AC的中点，请作出∠ABC的平分 线BM. 图① 图② 类型已以特殊多边形为辅助作图 图① 图② 3.如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点.请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留 7.如图所示，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是半圆O的直径，C是BD的中点.请仅用无 作图痕迹，不写作法). 刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，若∠ABC=90°，请在BC边上找点G,使EG⊥BC. (1)在图①中，作一个等腰三角形ABE. (2)如图②，P为AB边上一点，请在CD边上找点K,使CK=BP (2)在图②中，作一个以OD为对角线的矩形OMDN. 4 图① 图② 图① 图② 4.如图，已知正方形ABCD与正方形EFGB,E为AB的中点，点G在线段BC的反向延长线上.请仅 8.已知△ABC内接于⊙O,且∠B=75°，∠C=45°，⊙O的半径为R.请仅用无刻度的直尺按下列要求 用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）. 作图（保留作图痕迹，不写作法）. (1)在图①中，作出AD的中点P. (1)在图①中，作出一条长度为R的弦. 18 中考·数学18一1 中考·数学18一2 (2)在图②中，作出一个内接于⊙O的正方形. 图① 图② 类型四 以网格为辅助作图 9.图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A,B均 在格点上.请只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图（不写画法，保留画图痕迹）. (1)在图①中画一个锐角三角形ABC,使其面积为6. (2)在图②中的线段AB上找到一点M,使AM=4MB. 图① 图② 10.图①、图②均是5X5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点A,B,C和点D均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法. 1)在图@中的边BC上找到一格点E,连接DE,使DE=2AB. (2)在图②中的△ABC外部找到一个格点F,画四边形BFCD,使该四边形只有一组对角为90°. D 图① 图② 11.图①、图②均是7×10的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的交点称为格点. 请仅用无刻度的直尺按下列要求作图， (1)如图①，点A,B在格点上，作出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段AB. (2)如图②，点A,B,C,O均在格点上，以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋 转180°，得到△A2B2C2,请作出△A2B2C2 图① 图② 中考·数学 183为品×10%=2,4%.6分) (3)①10(7分) ②示例：“双减”政策宣传落实到位，参加校外学科补 习班的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果（合 理即可).(9分) 22.解：(1)66(1分) (2)0:a=- 9 一50b=0 1 9 六y=-50r+10x+66, :基准点K到起跳台的水平距离为75m,即x=75, y=×75+号×5+6=21， ∴.基准点K的高度为21m.(4分) ②b>10(6分) (3)他的落地点能超过K点.(7分)理由如下： :运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大 高度76m, ∴抛物线的顶点为(25,76). 设抛物线的表达式为y=m(x-25)2+76. 把(0,66)代入，得66=m(0-25)2+76, 2 解得m= 125 2 六抛物线的表达式为y=一125-25)+76. 2 当x=75时y=-125×(75-25)2+76=36. .36>21. ∴.他的落地点能超过K点.(9分) 28.解：111S,=53分) (2)①△OMN是等边三角形.(4分)理由如下： 如图①，过点O作OT⊥BC O是正方形ABCD的中心， ∴.BT=CT. .'BM=CN,∴.MT=TN. 又.'OT⊥MN,∴.OM=ON. :∠MON=60, ∴.△MON是等边三角形.(6分) O(F 图① 图② ②如图②，连接OC,过点O作OJ⊥BC于点J. .CM=CN,∠OCM=∠OCN=45°，OC=OC, 84 中考数学 .△OCM≌△OCN(SAS), ∴.∠COM=∠CON=30°， ∴.∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°. .OJ⊥BC, .∠J0M=90°-75°=15. .BJ=JC=0J=1, ∴.JM=OJ·tanl5°=2-√3， .CM=JC-JM=1-(2-√3)=√3-1， ∴Smav=2Saau=2X2CM·0J=B-L.(I0分) (3)S:的最小值为am号，最大值为1-tam(45°-号). (12分)》 【解析】(3)如图③，当BG=CH时，S2的值最小，过 点O作OQ⊥BC于点Q. 易得OG=OH, ∠G0Q=2∠c0H=2,GQ=QH. 在Rt△GOQ中，GQ=OQ·ang=tang, GH-2GQ=2tan2 1 六S:水=SacH=2GH·0Q=tan2 G Q H 图③ 图④ 如图④，当CG=CH时，S2的值最大，连接OC,过点 O作OQ⊥BC于点Q. 同(2)②可得，△C0G2△C0H,∠C0G=2 :∠C0Q=45,∠G0Q=45°-号， ∴QG=0Q·tan(45-2)=tan(45°-g)）. CG=CQ-QG=1-1an(45°-g）,∴S,大 2S%em=2×2CG·0Q=1-tan(46°-g）: 中考夺分训练(B层)】 92026年江西中考夺分训练（一） 分类讨论与三解填空题 【详解详析】 1.165或30°或75°【解析】由题意可知，∠ACD=60°， ∠ADC=30°，∠BAO=∠ABO=45°，∠CAD= ∠AOB=90°， 分以下三种情况讨论： ①当CD∥OB时，过点A作AM∥D CD,如图①，则AM∥OB. CD∥AM, 0 ∴.∠DAM=∠ADC=30°. 图① :AM∥OB,∴∠MAO=∠AOB=90°， .∠OAD=90°+30°=120°， .∠BAD=∠BAO+∠OAD=165°，即a=165°； ②当CD∥AB时，如图②，∠DAB=∠ADC=30°，∴a =30°： 图② 图③ ③当CD∥AO时，如图③，∠OAD=∠ADC=30°， .∴.∠BAD=∠BAO+∠OAD=45°+30°=75°， a=75°. 综上所述，a的度数为165°或30°或75°. 2.50°或65°或80°【解析】，△ACP为轴对称图形， .△ACP为等腰三角形. 在Rt△ACB中，：∠ACB=90°，O是AB的中点， ∴.OC=OA=OB, .∠OAC=∠AC0=25°，∴.∠COB=50°，∠AOC =130° 由旋转的性质，得OP=OB,∴.OP=OA=OC. ①如图①，当AC=AP时， (OA=OA, 在△AOC和△AOP中，{AC=AP, OC=OP, ..△AOC≌△AOP ,∴.∠AOC=∠AOP=130°， ∴.a=∠POB=50°： ②如图②，当PC=PA时，同理可证△OPA≌△OPC, ∠P0A=∠P0C=2(360-∠A00)=15, ∴.a=∠POB=∠POC-∠COB=65; ③如图③，当CA=CP时， 同理可证△COA≌△COP, ∴.∠COA=∠COP=130°， ∴.a=∠POB=∠POC-∠COB=80°. 综上所述，a为50°或65或80. 3.23或2或2√7【解析】①当∠APB=90°时， 情况一：如图①. AO=BO,∠APB=90°，∴.PO=BO. ∠AOC=60°，∴.∠BOP=60°， ∴△BOP为等边三角形，∠OBP=60°. .AB=BC=4, ∴AP=AB·sn60'=4x =25; 情况二：如图②.AO=BO,∠APB=90°， .∴.PO=AO :∠AOC=60°，.△AOP为等边三角形， 3AP=A0=2AB=2: ②当∠ABP=90°时，如图③. ∠AOC=∠BOP=60°，∴.∠BPO=30°， OB 2 ∴.BP tan30°√3 =23 在Rt△ABP中， AP=√W(23)2+4=2√7； ③当∠PAB=90°时，此时点P在射线OC上，不符合 题意 综上所述，AP的长为23或2或27. 图① 图② 16 4.3或32-16V3或4【解析】：AE=CE, ,.点E在AC的垂直平分线上 如图，作AC的垂直平分线，分别交AB,AD,AC于点 E1,E2Eg,则点E1,E2,E都是符合题意的点E, 1 且AE,=2AC=2, AE 2 4√3 E3... ∴.AE1= F」 cos∠BAC cos3:0° 3 “E,E EE,=AE,·sin∠BAC=4EX1 3×2 B D C 23 3 如图，过点E2作E2F⊥AB于点F. AB=AC,AD⊥BC, .∴.AD平分∠BAC. 又E2F⊥AB,E2Ea⊥AC,∴.E2F=E2Ea. 设E2F=E2Eg=x, 则E,E,=E,E,-E,E=2y 3 一x 参考答案 85 E1Ea⊥AC,∠BAC=30°， ∠AE1Ea=60°， E,F .sinAE,E,=EE欧 x 223 一x 3 解得x=4-2√5，即E2F=EE,=4-2√3， .AE2=√AE+E2Eg=√22+(4-23)月 =√32-165. 综上.AE的长是或V2-16后或2. 以AE为边的正方形的面积是或32-16,5或4 【解析】：在Rt△ABC中，∠ABC =90°，∠C=30°，AC=8, AB=号AC=4,BC=45,∠A=60 PD:AB=1:2, .PD=2 如图，过点D作DF⊥AB于点F, 则DF∥BC. :BD为边AC上的中线， AD=CD=BD= 2AC=4, ∴.AF=BF=2, .DF=25. 点P在Rt△ABC的边上运 G EP 动，PD=2<23, ∴.当PD:AB=1:2时，点P在AC和BC上. 当点P,在BC上时，如图 P,D=2=合AB, ∴P,为BC的中点， B即，=号C=28. .BE:BC=3:8 .BE=3/3 2· EP,=BP,-BE二 当点P,在线段AD上时，过点P2作P,G⊥BC于点 G,如图 P2D=2,AD=4, .AP2=2. ∠ABC=90°，∴.P,G∥AB ,.△CP2Gc∽△CAB, 胎器贵 86 中考数学 ..P:G_CG6 4458P,G=3,CG=3. .CE=BC-BE= 53 2 √3 ..EG=CG-CE= 2 ·EP,=√P,G+bO=3丽 2 当点P,在线段CD上时，如图，过点P,作PH⊥BC 于点H. P3D=2,CD=4,∴.PC=2. ∠C=30°， ∴P,H=1,CH=3, EH=CE-CH-33 2, EP,=/P,H+EHF=3 2 综上所述，即的长为或或回 2 6.6或12-6√2或3【解析】：∠ACB=90°，∠A=30°， AB=12,.∠B=60°，BC=6. B 分以下三种情况讨论： ①当AB'=EB'时，如图①，∠A= ∠AEB'=30°， C(D) B' ∴.∠CB'E=∠B'EA+∠A=30° 图① +30°=60°， .∠B=∠DB'E=∠CB'E=60°， ∴.点D与点C重合，此时DB=BC=6: ②当AB'=AE时，如图②，则∠AEB'=∠AB'E= 180°-30=75， 2 由折叠可知，∠DB'E=∠B=60°， .∠DB'C=45°， ∴△DCB'是等腰直角三角形. 设CB'=x,则DC=x,DB=DB'=6一x, .在Rt△DCB'中，x2+x2=(6-x)2, 解得x1=6√2-6，x2=-6-6√2（舍去）， .DB=12-6√2； B C(B') 图② 图③ ③当EB'=AE时，如图③，∠EB'A=∠A=30°. ∠DB'E=∠B=60°， .∠DB'E+∠EB'A=90°， ∴.DB'⊥AB',即点B与点C重合. .DB=DB'. DB-BC=3. 综上所述，当△AEB'是等腰三角形时，DB的长是6 或12-6√2或3. 7.4或8或43【解析】如图，连AP P. 接DF,AE,DE,取DF的中点 O,连接OA,OE. ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=∠B=90°，AD=BC =45. ,E是BC的中点， ∴BR-=2BC=2原 在△BEF中，∠BFE=60°， .∠BEF=30°， ∴.BF=tan30°·BE=2, ∴.AF=6-2=4,EF=√BE2+BF2=4, ..DF=VAF2+AD=8 ,O是DF的中点， ..OA=OD=OF=4 :E是BC的中点， ∴易知0E=2×2+6)=4 以点O为圆心，OE的长为半径画⊙O,交CD于点 P,则⊙O经过点A,D,F BE=23,AB=6,.tan∠BAE=3、 ∠BAE=30°，∴点A与点P1重合. :∠FDE=∠BAE=30°，.点D与点P2重合， ∴∠FP,E=∠FP,E=∠FP,E=30°， .P1F=4,P2F=8. ,DF是⊙O的直径，点P,在圆上， .∠FP3D=90°， ∴.四边形AFPD是矩形， .P3F=AD=43 综上所述，FP的长为4或8或4√3. 8后-区政我后+区【解折】苏一步：确定点P的 位置，求出图中的相关量 如图，设直线11，l2,l3,l4是正方 形ABCD的4条对称轴，将点A A 绕点E顺时针旋转60°到点A, 逆时针旋转60°到点A2.连接 EA,EA2. :∠AEF=60°， 乃BH 点F在射线EA1或射线EA?上.又：F为正方形 ABCD对称轴上一点，∴.射线EA2与l2,l3,L4的交点 即为点F的位置.：AB=4,E是边AD的中点，∴.AE =OE=2,∴.A0=22. 第二步：分情况求出OF的长 ①当点F位于点F,处时，过点F,作F,G⊥AD于点 G,如图.设AG=GF,=x,则GE=2-x,AF1=√2x. :GF,=GE·tan60°=√3GE,∴x=√5(2-x),解得 x=3-3,∴AF1=√2x=3√2-√6，∴OF1=AO- AF,=2√2-(3√2-√6)=√6-√2. ②当点F位于点F:处时，易知△OFF2∽△AF,E (线茂8年型有0.限-限用医= √6-√2 0F,=25 3√2-√6 3 ③当点F位于点F,处时，过点F,作F,H⊥l1于点 H.设l1与BC的交点为I,HI=a,则OH=2+a, EH=4+a.:∠FOH=45°，F3H⊥OH,.OH= F,H=2+a.∠AEFa=60°，.∠FaEH=30°， 六EH=EH-B,H-5F,H,即4+a=5(2+ tan30°= 3 3 a),解得a=√3-1，∴.OH=√3+1，∴.OF3=√2OH= √6+√2 第三步：总结 综上所述，0F的长为后-巨或2或后+厄 9.2或3.6或5.2【解析】.四边形ABCD是矩形， .∴.AD∥BC,∠ABC=∠BAD=90°， ..AE CF=AP CP=2:3. ①当BF=AB=6时，如图①，四边形ABFP是“等腰 直角四边形”， ,∴.CF=BC-BF=9-6=3, 由AE：CF=2：3,得AE=2: ②当AE=AB=6时，如图②.由AE:CF=2:3,得 CF=9=BC,此时点F与点B重合，故不符合题意； ③若EF⊥BC,如图③，则四边形ABFE是矩形， ∴.EF∥AB,∠BFP=90°，AE=BF, ∴.PF:AB=CF:CB=CP:CA=3:5,即PF:6 =3:5,CF:9=3:5,解得PF=3.6,CF=5.4, ∴.AE=BF=BC-CF=9-5.4=3.6; 图① 图② 图③ ④当EF⊥AC时，如图④，此时AP=PF. AB=6,BC=9, ∴AC=VAB+BC=√62+9 313. 图④ 参考答案87 又AP2 PC-3' ..AP=6v1 ,PC=9☒ 5 5 AD∥BC,∴.∠EAP=∠FCP ∠APE=∠CPF,∴.△APE∽△CPF, EP AP 2 Fp=Cp=3 即n=号Fn-号AP-号xE-4 5 5 AE=Ap:+PE=36X13+16X134X13 25 25 25 AE=26 5 5.2. 综上所述，当AE为2或3.6或5.2时，四边形ABFP 是“等腰直角四边形”. 10.2-√3或2+3或5【解析】，DQ=2√3， ∴.满足题意的点Q在以点D为圆心，2√3为半径的 圆上 :CQ由CP绕点C顺时针旋转60°得到， ∴，满足题意的点Q的对应点P在将⊙D绕点C逆时 针旋转60得到的圆上. ,在菱形ABCD中，∠C=∠A=60°， ∴.将CD绕点C逆时针旋转60°得到CB, .满足题意的点P在以点B为圆心，2√3为半径的圆 与折线A-B-D-A的交点处，如图. ,四边形ABCD为菱形， ∴.AB=AD=BC=CD=4 :∠A=60°， ∴.△ABD是等边三角形， .在等边三角形ABD中，AD边上的高为2√3， .⊙B与AD边相切. ①当点P在AB边上时，点P在点P,处，此时AP =AB-BP1=4-23 ∴.t=(4-23)÷2=2-√3； ②当点P在BD边上时，点P在点P2处，此时BP, =23, ∴.t=(4+23)÷2=2+√3； ③当点P在AD边上时，点P在点P。处，连接BP,, 则BP⊥AD, 1 DP,=2AD=2, ∴.t=(4+4+2)÷2=5. 88 中考数学 综上所述，若DQ=2√3，则t=2-3或2+√3或5. 11.3或√13或2√3【解析】：四边形ABCD为菱形， AB=4, ..AD=CD=BC=AB=4,AD//BC, .∠BAD+∠ABC=180° '∠ABC=2∠BAD, .∠BAD+2∠BAD=180°， ∴.∠BAD=60° E,F分别是AD,AB的中点， :.AE=AF=2, ∴△AEF是等边三角形.分以下三种情况讨论： ①当点P在AB边上且P是AF 的中点时，△PEF为直角三角形， 如图①，连接PE.此时AP= 2AF=1, A P F 图① .BP=AB-AP=4-1=3: ②当点P在AD边上且P是AE D 的中点时，△PEF为直角三角 形，如图②，连接PF, 此时AP=PE=AE=1.连接 B 图② BE.BP. :AB=AD,∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， .BE⊥AD 由勾股定理，得BE2=AB2-AE2=42-22=12, ∴PB=√BE+PE=√I2+I=√/I3; ③当点P在CD边上且P是CD 的中点时，如图③，连接AC,PE, PF.PB 此时PC=2CD=2. 图③ P,E,F分别为CD,AD,AB的中点， ∴PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线， ∴.PE∥AC,EF∥BD. ,四边形ABCD为菱形， .AC⊥BD,.PE⊥EF, ∴.△PEF为直角三角形 :CD=BC,∠BCD=∠BAD=60°， ∴△BCD是等边三角形， .BP⊥CD 由勾股定理，得PB2=BC2-PC2=16-4=12, ∴PB=25. 综上所述，BP的长为3或√13或2√5， 12.135°或90或45°【解析】，AC为“等腰四边形”AB- CD的“界线”， ∴.△ABC和△ACD为等腰三角形. 如图①，当AD=AC时，∠ACD=∠D. .AB=AD=BC, 图① 图② 图③ ..AB=AC=BC, ∴.△ABC为等边三角形， .∠BAC=∠BCA=60°. ∠BAD=90°， ∴.∠CAD=30°， ∴.∠ACD=∠D=75°， ∴.∠BCD=60°+75°=135°； 如图②，当AD=CD时， AB=AD=BC=CD. ∠BAD=90°， ∴.四边形ABCD为正方形， ..∠BCD=90°： 如图③，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于点E, 过点B作BF⊥CE于点F. .AC=CD. ∴AE=AD,∠ACE=∠DCE. :∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°， .四边形ABFE为矩形， ∴.AB∥CE,BF=AE ∴.∠BAC=∠ACE .AB=AD=BC. :BF=BC.∠ACB=∠BAC, ,.∠BCF=30°， 1 ∠ACB=∠ACE=2∠BCF=15, ∴.∠BCD=15°×3=45 综上，∠BCD的度数为135°或90°或45°. 13.16或4√10或8√2【解析】①如图①，当点Q落在 直线BC上时，分别过点B,P作BE⊥AD于点E, PF⊥BC于点F,则四边形BEPF为矩形. 在Rt△AEB中， BE 4 tanA-AE-3AB-10. .BE=8,AE=6, ..PF=BE=8. 由旋转的性质可得△BPQ为等腰直角三角形， ..PF=BF=FQ=8, ..BQ=BF+FQ=16: 0 D E人 图① 图② ②如图②，当点Q落在CD上时，分别过点B,Q作 BE⊥AD于点E,QF⊥AD交AD的延长线于点F, 则易得△PBE≌△QPF(AAS).由①，得BE=8,AE =6. 设PE=x, 则PE=QF=x,BE=PF=8, ..DF=AE+PE+PF-AD=x-1. CD∥AB, ∴.∠FDQ=∠A, 4 QF ∴.tan∠FDQ=tanA=3=DF, x 4 小3 解得x=4. 经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意， ∴PE=4 在Rt△PEB中，PB=√4+8=45. :△PBQ为等腰直角三角形， PB ∴.BQ= sin45=4 10; ③如图③，当点Q落在AD上时，PB⊥AD. 由①可得PB=8, PB ..BQ= sin45=82: .0 A(P) EB 图③ 图④ ④如图④，当点Q在线段CD的延长线上时，过点D 作DE⊥AB,垂足为E. ·△BPQ为等腰直角三角形， .AQ=AB=10. tan/DAE-E=3AD=BC=15.:DE=12, ∴.PQ=AQ=12≠10， .不符合题意，舍去 综上所述，BQ的长为16或4√10或8√2. 14.0°或60或30°【解析】：OA=OB, .∠A=∠B=40°， 参考答案 89 ∴.∠AOB=100. 分三种情况讨论： ①当OP=OB时，此时点P与点A重合， ∠AOP=0°； ②当OP=BP时，∠POB=∠B=∠A=40°， ∴.∠AOP=∠AOB-∠POB=100°-40°=60°； ③当OB=BP时，：∠B=∠A=40°， ∴.∠BOP=∠OPB=70°， ∴.∠A0P=100°-70°=30° 综上所述，∠AOP的度数为0°或60°或30°. 15.1或3或6【解析】分以下三种情况： ①当点E第一次与点H重合时， BC⊥AD,∠OBC=30°， 0H=20B=1em, t的值为1÷1=1： ②当点E第二次与点H重合时， 由①，得OH=1cm, .DH=OD-OH=2-1=1(cm), ,.点E运动的路程为OD十DH=3cm, .t的值为3÷1=3； ③当点E继续向OA运动时，在Rt△OBH中，由勾股 定理，得BH=√OB-OH=√22-1下=√5(cm). :∠OBE=30°，∠OBC=30°，∠EHB=90°， .∠BEH=30°， .EH=√3BH=3cm, ..OE=EH-OH=3-1=2(cm). 即点E与点A重合， ∴.点E运动的路程为OD十AD=2十4=6(cm), t的值为6÷1=6. 综上所述，当∠OBE=30°时，t的值为1或3或6. 16.6或2/30或20 P 【解析】如图，连接OD, DE. O(P)。 ,BD是半圆O的切线， ∴.∠ODB=90°， ∴.∠BDE+∠ODE=90°. ,AE是半圆O的直径， ∴.∠ADE=90°，OA=OD, ∴.∠ODE+∠ODA=90°，∠ODA=∠OAD, ∴.∠BDE=∠BAD 又：∠DBE=∠ABD,.△BDE∽△BAD, 毁-器A=6 ..AE=AB-BE=12 ①当点P与圆心O重合时，△APD是等腰三角形， ∴.AP1=AO=6; 90 中考数学 ②当AP=AD时，点P在点P2,P。处. ∠C=90°，∠ODB=90°， .OD∥AC,DC=OA BD BO AE=12,.OA=OE=6, ,359 .OB=OE+BE=9,心DC=6' ..DC=25,..BC=BD+DC=55 .AC=VW152-(55)2=10, ∴.AD=√DC+AC=W(25)2+102=2√30， ..AP,=AP;=AD=2 /30; ③当AD=DP时，点P在点P,处，过点D作DH⊥ AB于点H. 由②知，AC=10,AD=2√/30 1 SABm=zBD·AC=2AB·DH, ÷DH=BD:AC_35X10=25. AB 15 在Rt△ADH中，由勾股定理，得 AH=√JAD-DH=10. .AD=DP,..AP.=2AH=20. 综上所述，AP的长是6或2√30或20. 17.1或3+1或√5-1【解析】：AB=4,AC=2, ..AO=CO=AC=2, ,.△ACO是等边三角形 .∠CAO=∠AOC=∠ACO=60°. 如图①，当AC为腰时，AC=AD, .AO⊥CD, ∴.在Rt△ACE1中，∠ACE,=30°， AE,=2AC=1: 图① 图② 如图②，当AC为底边且点E2在⊙O内部时，直线 CE:与⊙O交于点D1,此时AD,=CD. ∠AOC=60, ∠AD1C=30° 连接OD,,易得△COD12△AOD1(SSS), ∴∠CD1O=∠AD1O=15°. C0=D1O,∴∠CD1O=∠D1C0=15 过点C作CF⊥AB于点F,则AF=OF=1, ∴.CF=√CO-OFz=√5. ∠AC0=60°，.∠FCO=30°， .∠FCE2=45°， ∴E2F=CF=3,AE2=3+1; 如图②，当AC为底边且点E在⊙O外部时，直线 CE,与⊙O交于点D2,此时AD2=CD2· A,D1,C,D2四点共圆，∠AD2C=150°， ∠ACD2=15°，∴.∠ECF=45°， ∴.E3F=CF=√3，∴.AE3=E3F-AF=3-1. 综上所述，AE的长为1或3+1或3-1. 18号或支272【解析如图，当以0B长为半 径的⊙O过△A'OD的边OA'的中点E时，OA' =2OB. 由折叠的性质可知OA=OA', 2 ·AB=30B,.0B=3AB= 图① 图② 图③ 如图②，当以OB长为半径的⊙O过△A'OD的边 OD的中点E时， OD=2OB.设OB=x,则OD=2x,OA=2-x. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2+AD=OD2, 即(2一x)2+22=(2x)2, 解得，=二2+2 3 万=二227（合去） 3 即0B=27-2 3 如图③，当以OB长为半径的⊙O过△A'OD的边 A'D的中点E时， 1 A'E=2AD=1.设OB=,则OE=y,OA'=0A= 2-y. 在Rt△A'OE中，由勾股定理，得OA?+A'E2= 0E,即(2-y)2+1=y2,解得y= 4,即OB=5 4 综上所述，00的半径为号或或 52√7-2 3 913 19.2或2或2 【解析】当⊙O与BC边相切时，如图①， BC⊥OF. :四边形ABCD为矩形， .∠A=∠B=∠EFB=90°，CD=AB=6,AD=BC =8, ∴四边形ABFE为矩形， ∴.BF=AE=2,此时⊙O与AD边也相切； 当⊙O与AB边相切时，如图②.设切点为G,连接 OG,EG,FG,则AB⊥OG,∠EGF=90°， ∴.∠OGB=∠OGA=∠A=90°， .∴.OG∥AD∥BC EF为⊙O的直径， AG EO EO=FOBG-FO=1. 六AG=BG=2AB=2X6=3. ∠B=∠A,∠BFG=∠AGE=90°-∠BGF, ∴△BGGE-e ∴BF=AG:BG3X39 AE 2 =29 当⊙O与CD边相切时，如图③.设切点为M,连接 OM,EM,FM,则CD⊥OM,∠EMF=90°， ,∴.∠OMD=∠OMC=∠D=∠C=90°， .∴.OM∥AD∥BC, 8Y-0. DM=CM=2CD=3. :∠C=∠D,∠CMF=∠DEM=90°-∠DME, ∴.△CFM∽△DME, CF CM ∴DMDE' ∴CF= DM·CM3X3_3 DE 8-22 313 ·BF=BC-CF=8-2=2 综上所述，BF的长为2或2或号 13 图① 图② 图③ 20.专或或2【解析1D如图①，当 ∠ABD=90°时，∠DBC+ ∠ABO=90°. :∠BAO+∠ABO=90°， 图① ∴.∠DBC=∠BAO. 1 由直线y=一2x十b交线段OC于点B,交x轴于点 A可知，OB=b,OA=2b. C(0,4),∴.OC=4,∴.BC=4-b 在△DBC和△BAO中， (∠DBC=∠BAO, ∠DCB=∠BOA, BD=AB. 参考答案 (91 .△DBC≌△BAO(AAS). BC=A0,即4-b=2b,.b=3 ②如图②，当∠ADB=90°时，过 点A作AF⊥CE于点F 同理可证△BDC≌△DAF(AAS), ∴.CD=FA=4,BC=DF .OB=6,OA=2b, 图② ∴.BC=DF=2b-4. BC=4-b,.2b-4=4-b,∴.b 8 3 ③如图③，当∠DAB=90°时，过 y↑ 点D作DF⊥OA于点F. E 同理可证△AOB≌△DFA (AAS),∴.OA=FD, ∴.2b=4 图③ ∴.b=2 综上所述6的值为政或2。 21.(3,3)或(4.5,6)或(5,7)【解析】设A(6,m).分以 下三种情况讨论： ①当∠ABO=90°时，如图①，此时OB=AB,∠BOA =45° OA=6,.OB=3√2，∴.B(3,3) 将x=3代入y=2x一3，得y=3,符合题意； ②当∠AOB=90°时，如图②，过点A,B作y轴的垂 线，垂足为C,D 易证△AOC≌△OBD, ..AC=OD=6,0C=BD=-m, .B(-m,6. :点B在射线y=2x-3(x≥0)上， .6=-2m-3,解得m=-4.5,即B(4.5,6)； ③当∠OAB=90时，如图③，过点B作EF⊥y轴，分 别交直线x=6和y轴于点E,F,则EF⊥AE.易证 △ABE≌△OAD, ∴.BE=AD=m,AE=OD=6, .BF=6-m,DE=6+m, .∴.B(6-m,6+m). 点B在射线y=2x-3(x≥0)上， ∴.6+m=2(6-m)-3,解得m=1,即B(5,7). 综上，点B的坐标为(3,3)或(4.5,6)或(5,7). 图① 图③ 92 中考数学 2.(4.0)或（号0）或(-1+V而，0)【解折】当∠CAB =90时，如图①，过点A作AE⊥x轴于点E,AD⊥y 轴于点D,则∠DAE=90°. :∠DAE=∠CAB=90°，∠DAC=∠EAB. ∠ADC=∠AEB, 在△ADC和△AEB中，〈 ∠DAC=∠EAB, AC=AB. .△ADC≌△AEB(AAS), ..AD=AE,CD=BE. 设点A的坐标是(a,a).代人函数解析式得a=a 9 解得a1=3,a2=-3(舍去)， ∴.点A的坐标是(3,3)， .OD=3,.CD=OD-OC=3-2=1, ..BE=CD=1,0B=OE+BE=3+1=4, 点B的坐标是(4,0)； 当∠ACB=90°时，如图②，过点A作AD⊥y轴于 点D ,∠ACB=90°，∴.∠ACD+∠BCO=90 又：∠ACD+∠CAD=90°，∴.∠CAD=∠BCO. ∠CAD=∠BCO, 在△ACD和△CBO中，∠ADC=∠COB, AC=CB. ∴.△ACD≌△CBO(AAS),∴.AD=CO=2, 点A的横坐标是2把=2代入y=》,得y 9 2 9 9 .5 0D=2CD=0D-0C=2-2=2, ÷OB=CD=2∴点B的坐标是（号0）： 5 当∠ABC=90°时，如图③，过点A作AD⊥x轴于 点D 同理可证△OBC≌△DAB, ∴CO=BD=2,OB=DA. 设OB=AD=b,则OD=b+2, 六点A的坐标是(6+2，b),代人y=立，得6=6十2 解得b1=-1+√10，b2=-1-√10（舍去）， 点B的坐标是(-1十√0,0). 5 综上所述，点B的坐标为(4,0)或(？，0)或(-1+ √10,0) 28.4,0或(.0)或16,0)【解折】第-：分别求 出点A,B的坐标及OA,OB的长. 4 在y=一3x+12中，当x=0时y=12: 当y=0时，x=9, ∴.A(9,0),B(0,12),.OA=9,OB=12,.AB=15 第二步：根据动点C的位置，分情况讨论. ①若点C在点A左侧，如图①，则∠ACB=∠AOB+ ∠OBC>90°，∠OBA+∠OAB=90°.：OB>OA, ∠OAB>∠OBA,.45°<∠BAO<90°.：a,B分 别是△ABC的两个内角，且2a十B=90°，∴.∠BAO= B,∠ABC=a,∴.∠OBC=90°-(a+B)=a= ∠ABC,∴.BC平分∠ABO. 过点C作CD⊥AB于点D,则OC=DC(点拨：角平 分线上的点到角两边的距离相等)，∴.BD=BO=12, ∴.AD=AB一BD=3.设OC=DC=m,则AC=9一 m.在Rt△ACD中，CD2+AD2=AC2,.m2+32= (9一m)2,解得m=4,∴.点C的坐标是(4,0)： D OC A C x 图① 图② ②若点C在点A右侧，则∠BAC>90°，.∠BAC≠a 或B.当∠ABC=a,∠BCA=B时，如图②，同理可得 BA平分∠CBO.过点A作AE⊥CB于点E,则OA =EA=9,∴.BE=BO=12.:∠COB=∠CEA, CO BO ∠OCB=∠ECA,△COBn△CEA.CE=AE 服是号-号0c-学点c的生 标是(28.o0): ③若点C在点A右侧，则∠BAC >90°，∴.∠BAC≠a或B.当 B ∠ABC=B,∠BCA=a时，如图 ③，同理可得∠OBA=a.又 '∠COB=∠BOA,.△BCO∽ CO BO ,CO12 图③ △AB0B0-A0,即12=9· C0=16,∴.点C的坐标是(16,0). 第三步：总结 综上所述，点C的坐标为4,0)或(2s80)或16,0)。 24.√7-1或√7+1或2【解析】当y=0时，(x-1)2-4 =0,解得x1=一1，x2=3,则点A的坐标为（一1,0），点 B的坐标为(3,0)，∴.AB=3-(一1)=4.当抛物线沿x 轴向左（或向右）平移|b个单位长度时，抛物线与x 轴的两交点的距离不变，为4. ①当抛物线沿x轴向右平移|b|个单位长度时，抛物 线的解析式为y=(x一1一|b|)2-4.当x=0时，y= (1+1b)2一4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，(1 +161)-4.若1+16)-4>0，则分×4×[1+ 1b1)2一4幻=6，解得|b|=√7-1（负值已舍去）；若(1 +61)2-4<0,则2×4×[4-(1+1b1)2]=6,解得 |b=0(负值已舍去)，不符合题意，舍去； ②当抛物线沿x轴向左平移b个单位长度时，抛物线 的解析式为y=(x一1+|b)2一4.当x=0时，y= (b川一1)2一4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，(b一 1)2-4).若(b61-1)2-4>0,则2×4×[(b1-1)2 -4]=6,解得|b|=√7+1（负值已舍去）；若(1b|- 1D2-4<0,则2×4×[4-(161-1D]=6,解得161 =2或b|=0(不符合题意，舍去). 综上所述，b的值为√7-1或√7+1或2. 满分技巧 解答位置不确定的多解题的常用技巧 1.点的位置不确定. (1)点在直线AB上的三种可能情况：点在线段 AB上，点在线段AB的延长线上，点在线段BA的延 长线上 (2)点在三角形、四边形上需分点在三角形、四边 形的各条边上进行讨论（点在四边形对角线上时，因为 四边形有两条对角线，所以要讨论两种情况)。 (3)点在弧上的两种可能情况：点在优弧上，点在 劣弧上 (4)点在抛物线上的两种可能情况：点在对称轴左 侧，点在对称轴右侧. 注意：涉及平面直角坐标系时，也可分象限进行讨 论，但不要忘记讨论该点在坐标轴上的情况. 2.线段位置不确定. (1)三角形中高的位置不确定时分两种情况讨论： 高在三角形内，高在三角形外， (2)圆的切线位置不确定时分情况讨论：当圆与三 角形的边相切时，应将切线是三角形的三条边的三种 情况逐一分析：当圆与四边形相切时，应将切线是四边 形的四条边的四种情况逐一分析 (3)圆中两条弦的位置不确定时分三种情况讨论： 一条弦经过圆心，两条弦在圆心的同侧，两条弦在圆心 的两侧. 3.图形位置不确定. 涉及平移或旋转时，应注意区分变换后图形在原 先图形的内部还是外部这两种情况： 参考答案 (93