重难点07 一元一次方程解法的十大典型问题 【精英班课程】2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义（沪教版（五四制）2024）

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点7 一元一次方程解法的十大典型问题 题型01：一元一次方程的解求参数或代数式的值 【例1】若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【例3】若方程的解与关于x的方程的解互为倒数，则k的值是_________． 【例4】若关于的方程与关于的方程的解互为相反数，则____． 题型02：由代数条件列一元一次方程 【例5】已知，解答下列问题： (1)当取何值时，与的值互为相反数？ (2)当取何值时，的值比的值大7？ 【例6】已知关于的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于的方程的解比方程的解小3，试求的值． 题型03：一元一次方程的同解问题 【例7】已知方程与方程的解相同，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【例8】若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【例9】若关于的方程的解与的解相同，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【例10】关于的方程与的解相同，则的值为 ． 【例11】（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？ （2）取何值时，关于的方程和的解相同？ 题型04： 一元一次方程的遮挡问题 【例12】方程，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【例13】小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是他很快就补好了这个常数，这个常数应是 ． 【例14】解方程 (1) (2)在做作业时，有一个方程“”中的■没印清，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与方程的解相同，”小聪很快补上了这个常数，同学们，你们能补上这个常数吗? 【例15】方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例16】小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数字被墨水污染了：，是被污染的内容，是哪个数字呢？他很着急，翻开练习册看后面的答案，发现这道题的解是，很快补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应该是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例17】已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是 ． 题型05： 一元一次方程的错解问题 【例18】小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，请你试着求出的值，并求出方程正确的解． 【例19】小明解方程时粗心大意，去分母时方程左边的1没有乘10，由此得到方程的解是；求出的值． 【例20】小庄在解关于的方程时，在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6，因而求得方程的解为，求原方程的正确解． 题型06：绝对值方程 【例21】如果，则 ． 【例22】解方程： 【例23】先阅读下列解题过程，再解答问题． 解方程∶． 解∶当时，原方程可化为， 解得； 当时，原方程可化为， 解得． 所以原方程的解是或． 解方程∶． 【例24】先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程：． 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 题型07：一元一次方程的整数解问题 【例25】已知关于 的方程 的解都是正整数，则整数 的所有可能的取值的积为(   ) A． B． C． D． 【例26】若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A．5 B．3 C．6 D．2 【例27】若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值（   ） A．1 B．1或 C．0或 D．0或1或 【例28】已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 【例29】若关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值之和为 ． 题型08：一元一次方程解的关系 【例30】已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【例31】若关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【例32】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【例33】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程 的解为（  ） A． B． C． D． 【例34】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【例35】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 题型09：探究一元一次方程解的情况 【例36】关于的方程有无数解，则 ． 【例37】解关于的方程： 【例38】已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（   ） A．时方程无解 B．无论b的值为多少，方程的解不可能是 C．时，方程解为 D．时 题型10： 一元一次方程的解与参数无关 【例39】若关于的方程，无论为何值，它的解总是，则代数式_________． 【例40】已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点7 一元一次方程解法的十大典型问题 题型01：一元一次方程的解求参数或代数式的值 【例1】若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出，代入代数式计算即可． 【详解】解：是一元一次方程 的解 ， ， 故选：A ． 【例2】关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：方程4x-2m=3x-1， 解得：x=2m-1， 方程x=2x-3m， 解得：x=3m， 根据题意得：2m-1=6m， 解得：m=-． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【例3】若方程的解与关于x的方程的解互为倒数，则k的值是_________． 【答案】-3 【分析】求出第一个方程的解，利用倒数定义求出第二个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， 解得：x=1， 1的倒数为1， 把x=1代入， 得：， 解得：， 故答案为：-3． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【例4】若关于的方程与关于的方程的解互为相反数，则____． 【答案】4 【分析】先解出x的值，再根据相反数的定义得到y的值，最后代入方程求出m的值． 【详解】解：解方程，解得， ∵这两个方程的解互为相反数， ∴是方程的解， 将代入原方程，得到，解得． 故答案是：4． 【点睛】本题考查一元一次方程的解和相反数的定义，掌握方程的解和解一元一次方程是解答本题的关键． 题型02：由代数条件列一元一次方程 【例5】已知，解答下列问题： (1)当取何值时，与的值互为相反数？ (2)当取何值时，的值比的值大7？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，根据题意，列出方程，是解题的关键． （1）根据互为相反数的和为零，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案； （2）根据整式的差，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵与的值互为相反数， ∴， ， 解得：； （2）解：∵的值比的值大7， ∴， ， 解得． 【例6】已知关于的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于的方程的解比方程的解小3，试求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查一元一次方程的求解与代数式求值，解题关键是通过代入已知解或求解方程，利用等式关系计算未知量； （1）把代入原方程，求出的值，再代入代数式计算． （2）分别解两个方程，用含的式子表示解，根据“解的大小关系”列等式，求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴； （2）解方程得， ， 解方程得， ， ∵方程的解比方程的解小3， ∴， 解得． 题型03：一元一次方程的同解问题 【例7】已知方程与方程的解相同，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出方程的解，再把，代入，即可求解． 【解析】解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程得基本步骤是解题的关键． 【例8】若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程解，解一元一次方程等知识点，先求方程的解，再代入求得k的值即可，熟练掌握一元一次方程解，解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 解得， 故选：C． 【例9】若关于的方程的解与的解相同，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，先解得出，代入即可求解． 【详解】， 解得， 代入， 即， 解得． 故选：D． 【例10】关于的方程与的解相同，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程同解问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据解一元一次方程的方法得到的解，再代入方程中即可求解． 【详解】解：， 移项，合并得，， 系数化为1得，， ∵关于的方程与的解相同， ∴把代入方程得，， 解得，， 故答案为：3 ． 【例11】（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？ （2）取何值时，关于的方程和的解相同？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意得，进行计算即可得； （2）计算方程得，解为，即可得的解为，将代入进行计算即可得． 【解析】解：（1）因为与的值互为相反数， 所以， 解得． （2）， ， ， ， 所以的解为， 所以， 解得． 【点睛】本题考查了相反数，方程的解，解题的关键是掌握这些知识点，准确计算． 题型04： 一元一次方程的遮挡问题 【例12】方程，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，再解方程即可得到答案． 【解析】解：把代入得， ， 解得． 故选：A 【点睛】此题考查了方程的解和解一元一次方程，准确计算是解题的关键． 【例13】小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是他很快就补好了这个常数，这个常数应是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解求参数，把代入方程，再解一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：把代入， 则， 解得：， 则常数为2， 故答案为：2 【例14】解方程 (1) (2)在做作业时，有一个方程“”中的■没印清，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与方程的解相同，”小聪很快补上了这个常数，同学们，你们能补上这个常数吗? 【答案】(1)； (2)这个常数为． 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）先求出第二次方程的解，根据两个方程同解得出第一个方程的解是，再把代入第一个方程，即可求出答案． 【解析】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）解：设“■”表示的数是， 解方程，得， 两方程的解相同， ， 把代入方程，得， 解得：， 即这个常数为． 【例15】方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入方程■即可求出的值． 【详解】解：把代入方程■得： ■， 解得：■， 故选：D． 【例16】小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数字被墨水污染了：，是被污染的内容，是哪个数字呢？他很着急，翻开练习册看后面的答案，发现这道题的解是，很快补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应该是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程的拓展，正确理解方程的解及解一元一次方程的解法是解题的关键． 设，将代入方程即可求解． 【详解】解：设， 将代入方程，得， 得， 故选C． 【例17】已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，可列出关于▲的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， ∴▲处的数字是10， 故答案为：10． 题型05： 一元一次方程的错解问题 【例18】小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，请你试着求出的值，并求出方程正确的解． 【答案】， 【分析】根据“小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出”，分析出“是方程的解”，把代入方程中，求出的值，再把的值代入原方程中，正确去分母，求出方程正确的解即可． 【解析】解：∵小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出， ∴是方程的解， ∴把代入方程中， 得：， 解得：， 把代入原方程中， 得：， 方程左右同乘、去分母，得：， 移项、合并同类项，得， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，本题先根据错误运算的思路列方程求出的值是解题的关键． 【例19】小明解方程时粗心大意，去分母时方程左边的1没有乘10，由此得到方程的解是；求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 先根据小明错误的去分母操作，列出错误去分母后的方程；再将已知的错误解代入该错误方程，通过求解关于a的方程，得出a的值。 【详解】根据错误的去分母方法列出方程得 因为方程的解是 所以将代入方程得 所以． 【例20】小庄在解关于的方程时，在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6，因而求得方程的解为，求原方程的正确解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，由题意可知是方程的解，然后可求得，然后将代入原方程得，再进行求解即可，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6， ∴ 将代入， 得， ∴ ∴ 解得：， ∴ 方程去分母得， ∴ ∴ 解得． 题型06：绝对值方程 【例21】如果，则 ． 【答案】或4 【分析】根据题意，得或，解方程即可． 本题考查了绝对值，解方程，熟练掌握解绝对值方程是解题的关键． 【详解】解：由， 得或， 解得或， 故答案为：或4． 【例22】解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，化简绝对值，分情况讨论，分别解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 【例23】先阅读下列解题过程，再解答问题． 解方程∶． 解∶当时，原方程可化为， 解得； 当时，原方程可化为， 解得． 所以原方程的解是或． 解方程∶． 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解∶移项，得． 当，即时， 原方程可化为，解得； 当，即时， 原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． 【例24】先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程：． 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据题中提供的思路解方程，即：利用绝对值的意义将原方程化为两个一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：， ， ，且， 原方程可化为或， 由，解得：， 由，解得：， 原方程的解是或． 题型07：一元一次方程的整数解问题 【例25】已知关于 的方程 的解都是正整数，则整数 的所有可能的取值的积为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为正整数，分情况进行讨论即可． 【解析】解： 即， 解得： ∵的解都是正整数， ∴是正整数， ∴或或 解得：或或， ∴整数 的所有可能的取值的积为， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意得出是正整数是解题的关键． 【例26】若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A．5 B．3 C．6 D．2 【答案】C 【分析】先求出此方程的解，再利用方程的解是整数，k也是整数，即可判断k的取值． 【解析】解：， ， ， ， 解得：， ∵方程的解是整数，k也是整数， ∴k可以为-4或-2或-1或1或2或4，共有6个数，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是方程的解，根据方程的解为整数和k为整数，求出当k为整数，也是整数时，k的值，是解决此题的关键． 【例27】若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值（   ） A．1 B．1或 C．0或 D．0或1或 【答案】D 【分析】本题考查根据方程的解，求参数的值，先求出方程的解，再根据方程有非负整数解，列出方程求出的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∵方程有非负整数解， ∴， ∴； 故选D． 【例28】已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 【答案】或/1或 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据“关于的方程的解为正整数”求出所有情况，即可得到答案． 【详解】解：， ， 关于的方程的解为正整数， 且要为的倍数， ∵为整数， 或． 故答案为：或． 【例29】若关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解和整数的特征是解题的关键．先解方程求解，得，再利用为整数，解为整数，得出，，，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得：， 化简，得：， 解得：， ∵为整数，解为整数， ∴，，， 解得：，，，，，， 和为：， 故答案为：． 题型08：一元一次方程解的关系 【例30】已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程， 通过变量替换，将关于的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解． 【详解】∵ ∴ ∵关于的一元一次方程的解是 ∴ ∴． 故选：D． 【例31】若关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，掌握理解方程的解，代入计算是解题关键． 把代入计算得，再根据题意得即可求解． 【详解】解：关于的方程的解为， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【例32】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握整体换元法成为解题的关键． 将化为，由代入的解，即，据此求得y的值即可． 【详解】解：∵关于y的一元一次方程 ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴，解得：． 故答案为：2024． 【例33】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程 的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对比两个方程后可以得出关于的一元一次方程的解为，从而求出的值．本题考查了一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解满足， ， 故选：A． 【例34】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，可得出，进而可求出y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴． 故答案为：2023． 【例35】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】2024 【分析】根据关于x的一元一次方程的解，可以得到m的值，把m的值代入关于y的方程式中，可以得到y的解． 【解析】法一：∵的解为， ∴， 解得：， ∴方程可化为 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2024． 法二：将所求方程两边同乘-1， 对照 比较发现， x=y-5,而x=2019, 所以y=2024 【点睛】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解题的关键． 题型09：探究一元一次方程解的情况 【例36】关于的方程有无数解，则 ． 【答案】30 【分析】先整理方程得出，根据已知得出，，求出a、b的值即可． 【解析】解：关于的方程， 整理得：， ∵关于x的方程有无数个解， ∴，， 解得：a=5，b=-25， ∴a-b=30， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【例37】解关于的方程： 解：去括号，得 移项，化简，得 ， 1） 当时，方程变为0＝5，等式不成立，所以原方程无解。 2） 当时，两边同时除以的系数，得 所以当时，原方程无解，当时，原方程的解为。 【例38】已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（   ） A．时方程无解 B．无论b的值为多少，方程的解不可能是 C．时，方程解为 D．时 【答案】D 【分析】本题考查一元一次参数方程解的情况，正确理解一元一次参数方程解的情况是解题的关键． 根据题意逐项求解判断即可． 【详解】A．当时，，不符合题意，故方程无解，选项正确； B．当时，，不符合题意，故无论b的值为多少，方程的解不可能是，选项正确； C．当时， 去括号得， 移项得， 系数化为1得，，故选项正确； D．当时，，不符合题意，故方程无解，选项错误． 故选：D． 题型10： 一元一次方程的解与参数无关 【例39】若关于的方程，无论为何值，它的解总是，则代数式_________． 【答案】9 【分析】将代入，化简得：，再根据方程有无数解的条件求解即可． 【详解】将代入，得： ， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键． 【例40】已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则_________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk）， ∴2kx-2a=6-6x-3bk， 整理得（2x+3b）k+6x=2a+6， ∵无论k为何值，方程的解总是2， ∴2a+6=6×2，2×2+3b=0， 解得a=3，， ∴-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $