重难点06：简单代数式的6类综合问题 【精英班课程】2025-2026学年 沪教版（五四制）（2024）六年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点05 简单代数式的6类综合题 题型一、整体代换求代数式的值 【例1】已知代数式的值为3，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例2】若，则 ． 【例3】已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【例4】数学思想·整体思想  已知代数式的值是8，那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例5】当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【例6】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【例7】同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则＝； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【例8】【教材呈现】 例1已知，求的值． 分析：将看作一个整体，则问题就可迎刃而解了． 解：． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在数与式、方程与不等式等方面都有广泛的应用． 【解决问题】 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)当时，代数式的值是2025，当时，求代数式的值． 【例9】数学思想·整体思想  阅读理解，并解决问题：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例：当代数式的值为7时，求代数式的值． 解：因为，所以．所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 题型二、用字母表示一些复杂图形的面积 【例10】用字母表示图中阴影部分的面积． 【例11】在一个小镇上，有一个社区公园，公园的一角有一个长方形的花坛．这个花坛被设计成不同的区域，用于种植各种植物．为了增加公园的美观性，公园管理员决定在花坛中创建一个阴影区域，这个区域将种植特殊的夜间开花植物．花坛的尺寸如图所示．    (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，，求的值． 【例12】如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新矩形． (1)求拼成新矩形的周长（用含m或n的代数式表示）； (2)当m＝7，n＝3时，求拼成新矩形的面积． 【例13】为创建国家卫生提名城，我县将在锦阳广场修建一个长方形花坛，面向全县人民征集设计方案，我校同学积极参与，如图所示是七（1）班小辰同学设计的得意之作（结果保留）． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【例14】【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图与图两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．     (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 ；（填“图”或“图”） (2)已知图中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积； (3)已知图，图中裁去的小正方形边长分别为和，分别求出按图，图方式裁得的纸盒底面周长． 【例15】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用x、y的代数式表示地面总面积； (2)已知铺1平方米地砖的平均费用为240元，当时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少元？ 题型三、一次式化简与求值 【例16】计算：(1) 【例17】先化简，再求值： ，其中，． 【例18】（2024－25位育实验中学六上期末）先化简再求值：，其中 【例19】（2024-2025下松江区期末）先化简，再求值：，其中，． 题型四、一次式的新定义计算 【例26】新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例27】现定义一种新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，若，那么的值为 ． 【例28】对于任意代数式A、B，定义，例如． (1)的值为__________； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式M，并求当时，M的值． ． 【例29】我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求代数式的值． 题型五、一次式加减的实际应用 【例20】新年拜年方式越来越多，有见面拜年、电话拜年、短信拜年，现如今又增加了QQ拜年、微信拜年等。小云的微信钱包里有125元，2024年元旦她给12个好朋友每人发了a元的新年祝福红包。 （1）用含有字母a的式子表示小红微信钱包里的余额。 （2）当a＝6.66时，此时余额是多少元？ 【例21】某食品厂打折后出售食品，第一天卖出千克，第二天卖出的比第一天的2倍还多3.7千克，第三天卖出的比第一天的3倍少2千克． （1）用含的代数式表示这个食品厂三天共卖出食品的数量； （2）当时，则这个食品厂三天共卖出食品多少千克？ 【例22】如图①是某校操场实物图，图②是操场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，活动小组对学校操场跑道最内圈长为米的跑道进行规划设计，且最内圈两端半圆弧的半径为米（取）． （1）当米时，则两条直的跑道的总长度是 米； （2）在活动中发现最外沿跑道周长随跑道宽度（距最内圈的距离）的变化而变化，若表示跑道宽度，则最外沿跑道周长可表示为 米， 【例23】如图1是某学校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为．如图2是体育组设计了“铁饼投郑”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地．    (1)用含，的代数式表示跑道的周长为______（结果保留）； (2)用含，，的代数式表示两项比赛场地的总面积（图2中阴影部分面积的和）； (3)当，，时，求的值（取3）． 【例24】小明家的窗户形状如图所示，窗框的上部是半圆，下部是长方形，窗框、把长方形分割成四个形状大小相等的长方形，窗户全部安装玻璃，窗框是铝合金材质（铝合金窗框宽度忽略不计），已知为米，为米 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲品牌 180 不超过50平方米的部分90元/平方米，超过50平方米的部分70元/平方米 乙品牌 200 80元/平方米，每购买一平方米玻璃送0.2米铝合金 (1)一扇这样的窗户需要玻璃多少平方米？（用、的代数式表示） (2)一扇这样的窗户需要铝合金多少米？（用、的代数式表示） (3)小明家要购买10扇这样的窗户，甲、乙两个品牌分别给出了上表中的报价，当米，米时，小明家选择哪个品牌购买窗户划算？（取3） 【例25】某果园投入元对果树苗进行扦插，今年大获丰收，水果总产量达千克，该果园分别用以下两种不同的方式进行销售． 方式一：将水果运到批发市场销售，每千克售价元，平均每天卖出千克，需雇人帮忙，每人每天佣金元，运费及其他各项税费平均每天元； 方式二：通过电商平台在网上销售，每千克售价元()，且无其他费用． (1)当时，水果以方式一全部售完的纯收入是多少元？（纯收入＝总收入－总支出） (2)用分别表示出两种方式售完水果的纯收入各是多少元？ (3)若两种销售方式都在相同的时间内售完全部水果，已知，（为正整数），试求为何值时选择哪种销售方式的纯收入更高？ 题型六、阅读理解问题 【例30】下面是某月的日历。 （1）蓝色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其他这样的方框成立吗？再找2组试一试。 （3）用含有字母的式子表示这个关系。 【例31】阅读下列材料并填空：在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来计算．比如在一个小组中有4个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就设这四个队分别为 A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如下图： 因为单循环比赛就是每两个队之间都要比赛一场，这就相当于，在上述图形中四个点连接线段，按一定规律得到的线段有： ，，………………3 条 ，……………………2 条 …………………………1 条 总的线段条数是， 所以可知4个队进行单循环比赛共比赛6场． (1)类比上述想法，若一个小组有6个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (2)类比上述想法，若一个小组有n个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (3)我们知道2018年世界杯共有32支代表队参加比赛，共分成8个小组，每组4个代表队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． (4)若分成m个小组，每个小组有n个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． 【例32】阅读下列材料并解决问题 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进制． 现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字进行记数，特点是逢十进一． 对于任意一个用进制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一． 我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数，记作：； 七进制数，记作：． (1)请将以下两个数转化为十进制：______；______． (2)若一个正数可以用七进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示． 【例33】出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 起步价 里程费 时长费 远途费 单价 13元 （包含里程3公里，包含时长9分钟） 2元/公里 0.4元/分钟 0.6元/公里 （超过20公里后，加收远途费） 注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成． 例如，乘坐出租车，行车里程为25公里，行车时间为30分钟，则需付车费为：（元）． (1)若小淇乘坐出租车，行车里程为10公里，行车时间为20分钟，则需付车费_____元． (2)若小尧乘坐出租车，行车里程为a公里，行车时间为分钟． ①若，则小尧应付车费_____元；（用含a、b的代数式表示，并化简） ②若，则小尧应付车费_____元．（用含a、b的代数式表示，并化简） (3)小淇与小尧各自乘坐出租车去市区内某景点（汽车市区内限速40公里/小时），行车里程分别为19公里与22公里，受路况情况影响，小淇反而比小尧乘车时间多用18分钟，利用代数式的知识说明谁付的车费多． 1．图为“”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如果，那么代数式的值是 ． ． 3．若，则的值是 . 4.已知，且互为倒数，则的值为 ． 5．当时，整式的值为，则当时，整式的值是 ． 6.化简求值：，其中， ． 7.先化简，再求值：，其中，； 8.先化简，再求值：，其中 9．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_____； (2)若代数式的值为12，求代数式的值． 10.【阅读理解】 若代数式的值为9，求代数式的值．小明采用的方法如下： 由题意得： ； 代数式的值为11． 【方法运用】 （1）若代数式的值为6，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为7，当时，求代数式的值： 【拓展应用】 （3）若，，则的值为__________． ． 11．【问题背景】 （1）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知 ，求代数式 的值； 【尝试运用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知 求代数式 的值． 12．【阅读材料】在湘教版七年级数学上册P126页“多知道一点——整体思想的应用”的描述中知道，整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由得，， 所以代数式的值为5． 【学以致用】（1）若，求代数式的值； （2）已知当时，，求当时，代数式的值； 【拓展延伸】（3）若，求代数式的值． 13．求下列图形阴影部分的面积： 14．小明家给新房窗户设计了两种装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径都分别相同），小明想选采光面积大些的装饰物（窗框面积不计）．你觉得他应选用哪种？请列式计算加以说明． 15．学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 16．下图是一个正方形的募捐箱盖子，中间开了一个长方形的口子。 （1）用字母表示这个募捐箱盖子的面积：（    ）。 （2）如果a＝30厘米，m＝18厘米，n＝4厘米，这个募捐箱盖子的面积是多少？ 17.小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，如图，每张白板纸有三种剪裁方法，其中种裁法：裁成4个侧面；种裁法：裁成3个侧面与2个底面；种裁法：裁成2个侧面与4个底面．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按种方法剪裁的白板纸有张，按种方法剪裁的白板纸有张． (1)按种方法剪裁的白板纸有______张．（用含的式子表示） (2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含的式子表示，结果要化简） 18.学校计划给每个班安装直饮水机，某商场的报价为每台元，已知该校共有个班级，当购买数量超过台时，商场给出如下两种优惠方案（学校选择其中一种方案进行购买）： 方案一：学校先交元定金后，每台元； 方案二：台免费，其余每台按报价打九折（九折即按报价的收费）． (1)用含的代数式分别表示按两种方案购买的费用； (2)若该校共有个班级，学校选择哪种方案购买直饮水机更省钱? 19．某车队组织50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，每辆货车只能装运一种原材料，且必须装满，设装运沙子的货车为m辆，根据表中提供的信息，解答下列问题． 原材料种类 沙子 水泥 每吨所需运费（元） 150 100 每辆汽车运载量 5 4 (1)装运水泥的货车为_______辆？（用含的式子m表示） (2)50辆货车共装运了多少吨原材料？（用含的式子m表示） (3)装运这批原材料的总费用为多少元？（用含的式子m表示） (4)当时，求此次运输原材料所需的总20.（1）小明每季度有零花钱a元，拿出b元捐给爱心基金，平均每月剩余的零花钱是多少？ （2）七年级（1）班共有a名学生，其中有b名男生，男生的三分之一去参加篮球比赛了，班级剩余多少人？ （3）某商品原价每件a元，商场打折．现价每件b元，现买3件可以省多少元？ （4）某种汽车油箱装满后有油a升，每小时耗油b升，行驶了3小时，油箱剩余油量是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点05 简单代数式的6类综合题 题型一、整体代换求代数式的值 【例1】已知代数式的值为3，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是代数式求值．先把所求代数式化为的形式，再把代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 【例2】若，则 ． 【分析】本题考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题的关键；将已知的等式变形为，然后整体代入所求式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 【例3】已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了代数式求值，由已知得，再代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【例4】数学思想·整体思想  已知代数式的值是8，那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是熟练运用整体代入的思想解决问题． 根据的值为8，得，然后对代数式进行变形后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 【例5】当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．将代入可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵当时，代数式的值为2026， ∴， ∴， ∴当时， ， 故选：B． 【例6】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：，， ． 【例7】同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则＝； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值．将所给代数式进行适当变形，利用整体思想代入是解题关键． （1）根据即可求解； （2）将化简可得，根据即可求解； （3）根据即可求解． 【详解】（1）解：（1）， ∵， ∴原式， 故答案为：； （2） ， ∵， ∴原式 ； （3）∵， ∵，， ∴， 故答案为：． 【例8】【教材呈现】 例1已知，求的值． 分析：将看作一个整体，则问题就可迎刃而解了． 解：． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在数与式、方程与不等式等方面都有广泛的应用． 【解决问题】 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)当时，代数式的值是2025，当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）将看作一个整体，再合并同类项，代入求值． （2）将看作一个整体，将所求的代数式变形为进行计算即可． （3）将代入代数式中，求出的值，将看作一个整体，代入要求的式子中计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）当时，， ∴， ∴当时，． 【例9】数学思想·整体思想  阅读理解，并解决问题：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例：当代数式的值为7时，求代数式的值． 解：因为，所以．所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项、求代数式的值，熟练掌握运算法则，运用整体代入的思想进行计算是解此题的关键． （1）把看做整体，合并同类项即可； （2）把看做整体，从中提出一个，再代入即可求解； （3）因为，所以，再从中因式分解提出，再两次代入计算即可求解． 【详解】（1） （2）（2）因为， 所以； （3）（3）因为， 所以， 所以 ． 故答案为：2072 题型二、用字母表示一些复杂图形的面积 【例10】用字母表示图中阴影部分的面积． 【答案】（1）ab﹣bx；（2）R2πR2 【分析】（1）读图可得，阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积； （2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形的面积． 【详解】解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣bx； （2）阴影部分的面积＝R2πR2． 【点睛】本题考查代数式的应用，解决问题的关键是看懂图，找到所求的阴影部分的面积和各部分之间的等量关系． 【例11】在一个小镇上，有一个社区公园，公园的一角有一个长方形的花坛．这个花坛被设计成不同的区域，用于种植各种植物．为了增加公园的美观性，公园管理员决定在花坛中创建一个阴影区域，这个区域将种植特殊的夜间开花植物．花坛的尺寸如图所示．    (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，，求的值． 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：当，，时， ． 【例12】如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新矩形． (1)求拼成新矩形的周长（用含m或n的代数式表示）； (2)当m＝7，n＝3时，求拼成新矩形的面积． 【答案】(1)4m (2)40 【分析】（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可． （2）把m＝7，n＝3代入矩形的长与宽中，再利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：（1）新矩形的长为：m+n， 新矩形的宽为：m﹣n， 新矩形的周长＝2[（m+n）+（m﹣n）]＝4m． （2）新矩形的面积为：（m+n）（m﹣n）， 把m＝7，n＝3代入（m+n）（m﹣n）＝10×4＝40， 即拼成新矩形的面积是40． 【点睛】此题考查列代数式问题，关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答． 【例13】为创建国家卫生提名城，我县将在锦阳广场修建一个长方形花坛，面向全县人民征集设计方案，我校同学积极参与，如图所示是七（1）班小辰同学设计的得意之作（结果保留）． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值： （1）利用矩形的面积减去两个扇形的面积即可得到答案； （2）将数字代入（1）的式子中即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：当，时， ， 答：阴影部分的面积为． 【例14】【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图与图两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．     (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 ；（填“图”或“图”） (2)已知图中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积； (3)已知图，图中裁去的小正方形边长分别为和，分别求出按图，图方式裁得的纸盒底面周长． 【答案】(1)图2 (2)做成的纸盒的体积为 (3)图1的底面周长为，图2的底面周长为 【分析】本题考查了认识立体图形的展开图，列代数式，整式的加减运算等知识，理解题意是解题关键． （1）根据长方形展开图的特征，判断即可； （2）根据长方形的体积公式求解即可； （3）根据展开图的特点分别求出图1的底面周长和图2的底面周长． 【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2； （2）解：图1中裁去的小正方形边长为， 做成的纸盒的体积； （3）解：图1的底面周长为， 图2的底面周长为． 【例15】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用x、y的代数式表示地面总面积； (2)已知铺1平方米地砖的平均费用为240元，当时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)21600元 【分析】（1）首先求得各部分的面积，然后再相加即可； （2）将x、y的值代入所得代数式计算即可． 本题主要考查的是求代数式的值和列代数式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：客厅面积为，卧室面积为，厨房面积为，卫生间面积为． 故总面积． （2）解：当时， 总费用为（元）． 所以总费用为21600（元）． 题型三、一次式化简与求值 【例16】计算：(1) 【详解】（1）解： ； (2)． （2）原式 ． 【例17】先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后把m、n的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 【例18】（2024－25位育实验中学六上期末）先化简再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据整式的加减运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【例19】（2024-2025下松江区期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，利用去括号和合并同类项法则先对整式进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 题型四、一次式的新定义计算 【例26】新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据新运算可得，再根据，把代入，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 故选：A 【例27】现定义一种新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，若，那么的值为 ． 【分析】本题主要考查了定义新运算，代数式求值，理解新运算是解题的关键． 根据，，得到，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ． 故答案为：9． 【例28】对于任意代数式A、B，定义，例如． (1)的值为__________； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式M，并求当时，M的值． 【答案】(1) (2)28 (3)27 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及整式运算以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算求解即可； （2）根据新定义的运算求解即可； （3）首先根据新定义进行运算化简，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， 故． （3）解： ， 当时， 原式 ． 【例29】我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求代数式的值． 【答案】(1)①③ (2)24 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值； （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是“和积等数对”， ∵， ∴不是“和积等数对”， ∵， ∴数对是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）解： ， ∵是“和积等数对” ∴， ∴原式 ． 题型五、一次式加减的实际应用 【例20】新年拜年方式越来越多，有见面拜年、电话拜年、短信拜年，现如今又增加了QQ拜年、微信拜年等。小云的微信钱包里有125元，2024年元旦她给12个好朋友每人发了a元的新年祝福红包。 （1）用含有字母a的式子表示小红微信钱包里的余额。 （2）当a＝6.66时，此时余额是多少元？ 【答案】（1）（125－12a）元 （2）45.08元 【分析】（1）将a元乘12，求出给12个好朋友一共发了多少钱。将微信钱包的余额减去发去的红包钱，表示出还剩下多少钱； （2）将a＝6.66代入（1）得出的式子中，求出具体的余额是多少元。 【解答】（1）小红微信钱包里的余额用含有字母a的式子表示为（125－12a）元。 （2）当a＝6.66时， 125－12×6.66 ＝125－79.92 ＝45.08（元） 答：此时余额是45.08元。 【例21】某食品厂打折后出售食品，第一天卖出千克，第二天卖出的比第一天的2倍还多3.7千克，第三天卖出的比第一天的3倍少2千克． （1）用含的代数式表示这个食品厂三天共卖出食品的数量； （2）当时，则这个食品厂三天共卖出食品多少千克？ 【答案】（1）这个食品厂三天一共卖出食品为千克； （2）当时，则这个食品厂三天共卖出食品61.7千克． 【分析】（1）由题意，第二天卖出千克，第三天卖出千克，由此即可得出答案； （2）把代入（1）的式子中，求出值即可． 【解答】解：（1）由题意得：第二天卖出千克，第三天卖出千克， （千克）． 这个食品厂三天一共卖出食品为千克； （2）当时， ． 答：当时，则这个食品厂三天共卖出食品61.7千克． 【点评】本题考查了整式加减的应用，属于基础题，难度不大，关键是正确表示出每天卖出的量． 【例22】如图①是某校操场实物图，图②是操场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，活动小组对学校操场跑道最内圈长为米的跑道进行规划设计，且最内圈两端半圆弧的半径为米（取）． （1）当米时，则两条直的跑道的总长度是 米； （2）在活动中发现最外沿跑道周长随跑道宽度（距最内圈的距离）的变化而变化，若表示跑道宽度，则最外沿跑道周长可表示为 米， 【答案】 【分析】本题考查了列代数式的问题，关键利用圆的周长公式来解答． （1）根据图形结合圆的周长公式解答； （2）先表示出直道的长度，再表示出两个半圆形跑道的长度，最后相加并化简； 【详解】解：（1）两端半圆形跑道的总长度为（米）， 直道的总长度为（米）， 故答案为：； （2）跑道周长， 故答案为：． 【例23】如图1是某学校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为．如图2是体育组设计了“铁饼投郑”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地．    (1)用含，的代数式表示跑道的周长为______（结果保留）； (2)用含，，的代数式表示两项比赛场地的总面积（图2中阴影部分面积的和）； (3)当，，时，求的值（取3）． 【答案】(1) (2) (3)的值是 【分析】（1）根据题意，校操场最内侧的跑道长两端直道长两端半圆形的弯道长，即可求解； （2）两项比赛场地的总面积圆的面积四边形阴影面积圆的面积长方形面积的一半三角形的面积，即可求解， （3）代入，即可求解． 本题主要考查了列代数式，等式的性质22，整式的加减运算，代数式求值，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握圆的周长公式、圆的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， （2）解：． （3）解：将，，代入，得． 答：的值是． 【例24】小明家的窗户形状如图所示，窗框的上部是半圆，下部是长方形，窗框、把长方形分割成四个形状大小相等的长方形，窗户全部安装玻璃，窗框是铝合金材质（铝合金窗框宽度忽略不计），已知为米，为米 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲品牌 180 不超过50平方米的部分90元/平方米，超过50平方米的部分70元/平方米 乙品牌 200 80元/平方米，每购买一平方米玻璃送0.2米铝合金 (1)一扇这样的窗户需要玻璃多少平方米？（用、的代数式表示） (2)一扇这样的窗户需要铝合金多少米？（用、的代数式表示） (3)小明家要购买10扇这样的窗户，甲、乙两个品牌分别给出了上表中的报价，当米，米时，小明家选择哪个品牌购买窗户划算？（取3） 【答案】(1)玻璃平方米 (2)铝合金米 (3)选择甲品牌购买划算，见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，有理数四则混合运算的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式和周长公式． （1）根据圆的面积和周长公式，长方形的面积和周长公式进行求解即可； （2）根据圆的面积和周长公式，长方形的面积和周长公式进行求解即可； （3）先把，代入求出一扇这样的窗户需要玻璃和需要铝合金，然后分别求出两个品牌店需要的费用，然后再进行比较即可。 【详解】（1）解：一扇这样的窗户需要玻璃为：平方米； 答：一扇这样的窗户需要玻璃平方米； （2）解：需要铝合金：米； 答：一扇这样的窗户需要铝合金米； （3）解：把，代入得， 一扇这样的窗户需要玻璃为：（平方米）； 需要铝合金为：（米）； 买10扇这样的甲品牌窗户需要的费用为： （元）， 买10扇这样的乙品牌窗户需要的费用为： （元）， ∵， ∴小明家选择乙品牌购买窗户划算． 【例25】某果园投入元对果树苗进行扦插，今年大获丰收，水果总产量达千克，该果园分别用以下两种不同的方式进行销售． 方式一：将水果运到批发市场销售，每千克售价元，平均每天卖出千克，需雇人帮忙，每人每天佣金元，运费及其他各项税费平均每天元； 方式二：通过电商平台在网上销售，每千克售价元()，且无其他费用． (1)当时，水果以方式一全部售完的纯收入是多少元？（纯收入＝总收入－总支出） (2)用分别表示出两种方式售完水果的纯收入各是多少元？ (3)若两种销售方式都在相同的时间内售完全部水果，已知，（为正整数），试求为何值时选择哪种销售方式的纯收入更高？ 【分析】本题考查了列代数式，代数式的应用，根据题意正确列式计算是解题的关键. （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）根据题意求出或，分别列式计算即可得到结论. 【详解】（1）解：当时，总收入为（元）， 销售时间为（天）， 纯收入为（元）， 答：当时，水果以方式一全部售完的纯收入是元. （2）解：方式一纯收入为（元）； 方式二纯收入为（元）； 用分别表示出两种方式售完水果的纯收入各是元、元. （3）解：，为正整数， 或， 当时，， 方式一纯收入为元， 方式二纯收入为元， ， 当时，选择方式二的纯收入更高； 当时，， 方式一纯收入为元， 方式二纯收入为元， ， 当时，选择方式一的纯收入更高； 综上：当时，选择方式二的纯收入更高；当时，选择方式一的纯收入更高. 题型六、阅读理解问题 【例30】下面是某月的日历。 （1）蓝色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其他这样的方框成立吗？再找2组试一试。 （3）用含有字母的式子表示这个关系。 【答案】（1）9倍 （2）成立；举例见详解 （3）9a 【分析】（1）用加法算出蓝色方框中的9个数之和，再用这9个数之和除以方框正中间的数，即可得出它们之间的关系。 （2）仿照例子，在日历中选举9个数用方框框起来，用加法算出这9个数的和，再除以方框中间的数，验证是否能得出与上一题一样的关系。 （3）从方框中的9个数发现规律，与中间数在同一行的左边的数比它小1，右边的数比它大1；在中间数上一行的三个数分别比它小8、小7、小6；在中间数下一行的三个数分别比它大8、大7、大6；用含字母的数表示这9个数，再用加法求出它们的和，并用含字母的式子表示。 【解答】（1）2＋3＋4＋9＋10＋11＋16＋17＋18＝90 90÷10＝9 答：蓝色方框中的9个数之和是该方框正中间的数的9倍。 （2）如：红色方框和黄色方框 6＋7＋8＋13＋14＋15＋20＋21＋22＝126 126÷14＝9 即红色方框中的9个数之和是该方框正中间的数的9倍。 10＋11＋12＋17＋18＋19＋24＋25＋26＝162 162÷18＝9 即黄色方框中的9个数之和是该方框正中间的数的9倍。 答：这个关系对其他这样的方框成立。 （3）如果用a表示方框中间的数，其它8个数分别表示a－8、a－7、a－6、a－1、a＋1、a＋8、a＋7、a＋6； a－8＋a－7＋a－6＋a－1＋a＋a＋1＋a＋8＋a＋7＋a＋6＝9a 那么方框中的9个数之和为9a。（答案不唯一） 【例31】阅读下列材料并填空：在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来计算．比如在一个小组中有4个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就设这四个队分别为 A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如下图： 因为单循环比赛就是每两个队之间都要比赛一场，这就相当于，在上述图形中四个点连接线段，按一定规律得到的线段有： ，，………………3 条 ，……………………2 条 …………………………1 条 总的线段条数是， 所以可知4个队进行单循环比赛共比赛6场． (1)类比上述想法，若一个小组有6个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (2)类比上述想法，若一个小组有n个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (3)我们知道2018年世界杯共有32支代表队参加比赛，共分成8个小组，每组4个代表队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． (4)若分成m个小组，每个小组有n个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． 【答案】(1)15 (2) (3)48 (4) 【分析】本题考查了列代数式，理解题目中得到的规律是解题关键． （1）根据题目中得到的规律列式计算即可； （2）根据题目中得到的规律列式计算即可； （3）根据题目中得到的规律求出每组4个代表队需要比赛场，再求出8个小组共需要比赛场次即可； （4）根据题目中得到的规律求出每个小组有n个队，需要比赛场，再求出m个小组共需要比赛场次即可； 【详解】（1）解：（场）， 故答案为：15； （2）解：（场）， 故答案为： （3）解：每组4个代表队需要比赛场， 则8个小组共需要比赛场， 故答案为：48； （4）解：每个小组有n个队，需要比赛（场）， 则m个小组共需要比赛场， 故答案为： 【例32】阅读下列材料并解决问题 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进制． 现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字进行记数，特点是逢十进一． 对于任意一个用进制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一． 我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数，记作：； 七进制数，记作：． (1)请将以下两个数转化为十进制：______；______． (2)若一个正数可以用七进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示． 【分析】本题考查有理数乘方的应用．正确理解十进制和其它进制转化为十进制的方法是解题的关键． （1）根据进制的计算规则列式计算即可得； （2）由题意得出，即，结合，，，且a、b、c均为整数得出a、b、c的值，表示成十进制即可． 【详解】（1）解：由题意得：；； 故答案为：，； （2）解：∵ ， ， 根据题意，得：， 整理得：， ∵，，；且a、b、c均为整数， ∴满足关系的整数a、b、c共有两种情形 ，，，此数用十进制表示为：51； ，，，此数用十进制表示为：102． 【例33】出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 起步价 里程费 时长费 远途费 单价 13元 （包含里程3公里，包含时长9分钟） 2元/公里 0.4元/分钟 0.6元/公里 （超过20公里后，加收远途费） 注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成． 例如，乘坐出租车，行车里程为25公里，行车时间为30分钟，则需付车费为：（元）． (1)若小淇乘坐出租车，行车里程为10公里，行车时间为20分钟，则需付车费_____元． (2)若小尧乘坐出租车，行车里程为a公里，行车时间为分钟． ①若，则小尧应付车费_____元；（用含a、b的代数式表示，并化简） ②若，则小尧应付车费_____元．（用含a、b的代数式表示，并化简） (3)小淇与小尧各自乘坐出租车去市区内某景点（汽车市区内限速40公里/小时），行车里程分别为19公里与22公里，受路况情况影响，小淇反而比小尧乘车时间多用18分钟，利用代数式的知识说明谁付的车费多． 【答案】(1)31.4 (2)①；② (3)见解析 【分析】（1）根据出租车计价规则列式计算即可； （2）①若，应付车费起步价超过3公里的里程费+超过9分钟的时长费； ②若，应付车费起步价超过3公里的里程费超过9分钟的时长费超过20公里后的远途费； （3）根据题意分别计算两人的车费，再作比较． 【详解】（1）（元）； （2）①当时，（元）； ②当时，（元）； （3）设小尧乘车时长为分钟，则小淇乘车时长为分钟． 小淇应付车费：（元）， 小尧应付车费：（元）， 因此，两人付费一样． 【点睛】本题考查有理数的混合运算的实际应用，列代数式、整式的加减运算的应用等知识，正确理解题意是解题关键． 1．图为“”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式表示，整式的混合运算，根据图形中的字母，可以表示出“”型钢材的截面的面积，本题得以解决．解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由图可得， “”型钢材的截面的面积为：，故选项B正确； 由图可得， “”型钢材的截面的面积为：，故选项C正确； 由图可得， ， “”型钢材的截面的面积为：，故选项D正确，选项A错误， 故选：A． 2．如果，那么代数式的值是 ． 【分析】本题考查了代数式求值．将代数式进行变形，再整体代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若，则的值是 . 【答案】8 【分析】该题主要考查了代数式求值，解题的关键是对已知条件进行化简．先根据题意得出，再代入求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∵， 故答案为：8. 4.已知，且互为倒数，则的值为 ． 【答案】   【分析】根据已知条件得出的值，然后将所求代数式进行变形，最后整体代入求值. 【详解】解：互为倒数， 原式 【点睛】本题考查了倒数的定义以及整体代入法求代数式的值，解决本题的关键理解倒数的概念以及整体代入的思想, 5．当时，整式的值为，则当时，整式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，先根据已知条件式得到，进而得到，再把代入整式进行求解即可．利用整体代入的思想求解是解题的关键． 【详解】解：∵当时，整式的值为， ∴， ∴， ∴当时， 即 故答案为： 6.化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【点睛】本题考查整式加减的化简求值，注意去括号时符号变化是解题的关键． 7.先化简，再求值：，其中，； 【规范解答】（1）解：原式． 当，时， 原式 8.先化简，再求值：，其中 【答案】，9 【分析】先根据单项式与多项式的乘法法则和平方差公式计算，再去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算以及求值，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 9．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_____； (2)若代数式的值为12，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2)2002 【分析】此题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入方法． （1）将整体代入求解即可； （2）根据题意得到，然后将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵ ∴； （2）∵ ∴ ∴． 10.【阅读理解】 若代数式的值为9，求代数式的值．小明采用的方法如下： 由题意得： ； 代数式的值为11． 【方法运用】 （1）若代数式的值为6，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为7，当时，求代数式的值： 【拓展应用】 （3）若，，则的值为__________． 【答案】（1）40；（2）0；（3）9 【分析】本题考查了求代数式的值，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，再将式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可求出，再将代入计算即可得解； （3）将式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：（1）∵代数式的值为6， ∴， ∴， ∴； （2）∵当时，代数式的值为7， ∴， ∴， ∴当时，； （3）∵，， ∴． 11．【问题背景】 （1）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知 ，求代数式 的值； 【尝试运用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知 求代数式 的值． 【答案】（1）2025；（2）；（3）或 【详解】本题主要考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题关键． （1）将原式变形为，再把代入即可； （2）由得到，再代入计算即可； （2）由得到，再分别代入计算即可． 解：（1）， ； （2）， ， ； （3）， 当时，则； 当时，则； 综上，代数式 的值为或． 12．【阅读材料】在湘教版七年级数学上册P126页“多知道一点——整体思想的应用”的描述中知道，整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由得，， 所以代数式的值为5． 【学以致用】（1）若，求代数式的值； （2）已知当时，，求当时，代数式的值； 【拓展延伸】（3）若，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13 【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可． （1）用整体代入法求解即可； （2）根据当时，得，把代入后用整体代入法求解； （3）把原式变形为用整体代入法求解即可； 【详解】解：（1）， （2）当时，， ， 当时， （3），， ． 13．求下列图形阴影部分的面积： 【答案】（1）    （2） 【分析】（1）根据图示，用长是4y，宽是3x的长方形的面积减去长是3y，宽是2x的长方形的面积，求出阴影部分的面积是多少即可； （2）根据图示，用边长是x的正方形的面积减去两个半径是的半圆的面积，求出阴影部分的面积是多少即可． 【详解】（1）阴影部分的面积为3x·4y－3y（3x－x）=12xy-6xy=6xy； （2）圆的半径等于， ∴S圆＝π（）2， 故阴影部分的面积为x2－π（）2= 【点睛】此题考查了不规则图形的面积的计算方法，一般都是转化到规则图形中，利用面积公式计算解答． 14．小明家给新房窗户设计了两种装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径都分别相同），小明想选采光面积大些的装饰物（窗框面积不计）．你觉得他应选用哪种？请列式计算加以说明． 【答案】乙，具体解析如下 【分析】观察图可知两个房间窗户的面积相等，都是；想要知道采光面积的大小，先利用圆的面积r2分别求出两个窗户的面积，也就是遮住阳光的面积，再用总面积减去遮住的面积，然后再利用作差比较大小即可． 【详解】甲窗户采光面积： 乙窗户采光面积： 所以乙窗户的采光面积更大，小明应该选用乙窗户的设计． 【点睛】此题考查列代数式，解决此题的关键是用窗户的面积减去窗帘的面积，即为采光面积． 15．学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 【答案】(1) (2)1437 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，根据图形列出相应代数式是解题关键． （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆及两个小长方形的面积即可； （2）将已知值代入（1）中代数式即可． 【详解】（1）解：根据题意得，圆的半径为， ∴； （2）解：当，，，，取3时， ， ∴阴影部分的面积是1437． 16．下图是一个正方形的募捐箱盖子，中间开了一个长方形的口子。 （1）用字母表示这个募捐箱盖子的面积：（    ）。 （2）如果a＝30厘米，m＝18厘米，n＝4厘米，这个募捐箱盖子的面积是多少？ 【答案】（1）a2－mn；（2）828平方厘米 【分析】（1）根据盖子的面积＝正方形的面积－长方形的面积，根据正方形、长方形的面积公式，代入数据解答。 （2）把a＝30厘米，m＝18厘米，n＝4厘米代入解答即可。 【解答】（1）用字母表示这个募捐箱盖子的面积：a2－mn；     （2）当a＝30厘米，m＝18厘米，n＝4厘米时， a2－mn ＝30×30－18×4 ＝900－72 ＝828（平方厘米） 答：这个募捐箱盖子的面积是828平方厘米。 17.小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，如图，每张白板纸有三种剪裁方法，其中种裁法：裁成4个侧面；种裁法：裁成3个侧面与2个底面；种裁法：裁成2个侧面与4个底面．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按种方法剪裁的白板纸有张，按种方法剪裁的白板纸有张． (1)按种方法剪裁的白板纸有______张．（用含的式子表示） (2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含的式子表示，结果要化简） 【答案】(1) (2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出个侧面与个底面 【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减的应用，理解题目中的数量关系，是解题的关键． （1）用50减去A、B种裁法，即可得到答案； （2）根据侧面数种裁法种裁法种裁法，底面数种裁法种裁法，即可求解． 【详解】（1）由题意得：按C种方法剪裁的有张白板纸 故答案是：； （2）由题意得：可以裁出的侧面：（个）． 可以裁出的底面：（个）． 18.学校计划给每个班安装直饮水机，某商场的报价为每台元，已知该校共有个班级，当购买数量超过台时，商场给出如下两种优惠方案（学校选择其中一种方案进行购买）： 方案一：学校先交元定金后，每台元； 方案二：台免费，其余每台按报价打九折（九折即按报价的收费）． (1)用含的代数式分别表示按两种方案购买的费用； (2)若该校共有个班级，学校选择哪种方案购买直饮水机更省钱? 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）当时，分别计算方案一和方案二得费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：（1）方案一收费为元，                         方案二收费为：（元）； （2）解：当时， 选择方案一需要的费用为（元），   选择方案二需要的费用为（元）， 因为， 所以学校选择方案二购买直饮水机更省钱． 19．某车队组织50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，每辆货车只能装运一种原材料，且必须装满，设装运沙子的货车为m辆，根据表中提供的信息，解答下列问题． 原材料种类 沙子 水泥 每吨所需运费（元） 150 100 每辆汽车运载量 5 4 (1)装运水泥的货车为_______辆？（用含的式子m表示） (2)50辆货车共装运了多少吨原材料？（用含的式子m表示） (3)装运这批原材料的总费用为多少元？（用含的式子m表示） (4)当时，求此次运输原材料所需的总费用． 【答案】(1) (2) (3) (4)24200元 【分析】本题考查列代数式、代数式求值，整式的加减运算，根据题意列代数式是解题的关键． （1）根据50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，即可列出代数式； （2）根据“每辆汽车沙子的运载量装运沙子货车的数量每辆汽车水泥的运载量装运水泥货车的数量”列式计算即可； （3）根据“每吨沙子所需运费每辆汽车沙子的运载量装运沙子货车的数量每吨水泥所需运费每辆汽车水泥的运载量装运水泥货车的数量”列式计算即可； （4）将代入（3）中得到的代数式并计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，装运水泥的货车为辆， 故答案为：； （2）解：（吨． 所以50辆货车共装运了吨原材料； （3）解：（元． 所以装运这批原材料的总费用为元； （4）解：当时， （元． 答：此次运输原材料所需的总费用为24200元． 20.（1）小明每季度有零花钱a元，拿出b元捐给爱心基金，平均每月剩余的零花钱是多少？ （2）七年级（1）班共有a名学生，其中有b名男生，男生的三分之一去参加篮球比赛了，班级剩余多少人？ （3）某商品原价每件a元，商场打折．现价每件b元，现买3件可以省多少元？ （4）某种汽车油箱装满后有油a升，每小时耗油b升，行驶了3小时，油箱剩余油量是多少？ 【分析】本题考查根据实际问题列代数式的能力，列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来． （1）用一个季度零花钱的总数除以3即可； （2）全班总人数减去参加篮球赛的人数即可得出剩余人数； （3）用一件剩的钱数乘以3即可得出答案； （4）用油的总体积减去用去油的体积，即可得出剩余油的数量． 【详解】解：（1）解：小明每季度有零花钱a元，拿出b元捐给希望工程，一个季度有3个月，则平均每月剩余零花钱元； （2）解：七年级（1）班共有a名学生，其中有b名男同学，男生的三分之一去参加篮球比赛，则班里还有人； （3）解：某商品原价每件a元，商场打折，现价每件b元，现买3件可以省元； （4）解：某种汽车油箱装满后有油升，每小时耗油升，行驶了，油箱剩余油量升． 1 学科网（北京）股份有限公司 $