精品解析：浙江省宁波市储能学校丽园校区2025-2026学年上学期浙八年级9月月考数学试卷

储能学校丽园校区重点班 8年级月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分教） 1. 以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（ ） A. 3，5，8 B. 3，4，6 C. 10，9，1 D. 5，2，2 2. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A. 3a＜3b B. ac2＞bc2 C. a﹣c＞b﹣c D. ﹣ac＜﹣bc 3. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是( ) A. 6 B. 8 C. 4 D. 12 5. 在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ， 6. 下列尺规作图中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则；②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式组有解，则． 其中正确的结论个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A. 27 B. 36 C. 40 D. 45 10. 如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分数） 11. 要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是________（写出一个即可）． 12. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______ 13. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为 F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC 的周长是_____． 14. 已知3x﹣2y＝5，且x＞﹣1，y≤2，若k＝x﹣y，则k的取值范围是_____________ 15. 如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为______． 16. 如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为________． 三、解答题（共7题，共52分） 17. 下面是小明解一元一次不等式的解题过程，他的求解过程是否有误，如果有误请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ （1）小明的解答过程从第_______步开始出现错误．（只填序号） （2）正确的解答过程． 18. 如图，，，，垂足分别为点，，且．证明： （1）； （2）． 19. 如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作答并画出下列图形： （1）的长为______； （2）如图，点D、P分别是与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q； （3）请在图中画出的角平分线． 20. 如图，在四边形中，，分别是对角线的中点． （1）求证：； （2）若，请判断与的数量关系，并说明理由． 21. 某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元． （1）求A型空调和B型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 22. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． （1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． （2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． （3）在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数． 23. 已知：为等边三角形，点D、E分别为、边上一点，、相交于点F，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，连接并延长，与相交于点G，点M为延长线上一点，，点N为延长线上一点，，，求证：； （3）在（2）的条件下（可使用备用图），若的面积为2，，直接写出点A到的距离与点N到的距离之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 储能学校丽园校区重点班 8年级月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分教） 1. 以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（ ） A. 3，5，8 B. 3，4，6 C. 10，9，1 D. 5，2，2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，能组成三角形，故B符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 2. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A. 3a＜3b B. ac2＞bc2 C. a﹣c＞b﹣c D. ﹣ac＜﹣bc 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】A、若a＞b，两边同乘以3得3a>3b，故本选项不符合题意； B、若a＞b，则ac2≥bc2（当c=0时，ac2=bc2），故本选项不符合题意； C、若a＞b，两边同减去c得：a﹣c＞b﹣c，故本选项符合题意； D、若a＞b，当c＜0时，则-c>0得-ac>-bc，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是( ) A. 6 B. 8 C. 4 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线， ∴BD=BC=3，AD⊥BC， ∴BD==4 ∵同底等高的三角形面积相等， ∴， ∴=6． 故选A． 5. 在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 是直角三角形，本选项不符合题意； B、，，， ， ， 是直角三角形，本选项不符合题意； C、，， ， ， 是直角三角形，本选项不符合题意． D、，， 不能得出是直角三角形，本选项符合题意， 故选：D． 6. 下列尺规作图中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握4种基本作图（作一条线段等于已知线段；作已知角的角平分线；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线）．利用基本作图，逐一判断推导，从而得到只有选项C可以得到． 【详解】解：A．根据尺规作图，可知作一条线段等于已知线段，，故选项不符合题意； B．根据尺规作图，可知作已知角的角平分线，得不到，故选项不符合题意； C．根据尺规作图，可知作一个角等于已知角，可得，即，故选项符合题意； D．根据尺规作图，可知作已知线段的垂直平分线，可得，得不到，故选项不符合题意． 故选：C． 7. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解． 【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为， 这箱苹果共个， 每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键． 8. 已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则；②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式组有解，则． 其中正确的结论个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ①若它的解集是，即，解得：，故①正确． ②当，不等式②的解集为， ∵不等式①的解集为， ∴不等式组无解，故②错误． ③若它的整数解仅有3个，则， ∴a的取值范围是，故③正确， ④若不等式组有解，则， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论共3个． 9. 中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A. 27 B. 36 C. 40 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，设交于G，交于H，可证明，得到；再证明三点共线，则可证明，得到，根据，得到，则，由勾股定理可得，则正方形的面积是45． 【详解】解：如图所示，设交于G，交于H， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点恰好是的中点， ∴； 由正方形的性质可得， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积是45， 故选：D． 10. 如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定与性质，直角三角形的性质，过作交于，交于，交于，连接，由和的角平分线可得，则平分，，，得到的周长，再由等边，得到，，，再求出，得到，可以得到的周长是的周长的两倍，即可求解． 【详解】解：如图，过作交于，交于，交于，连接，则， ∵和的角平分线交于点， ∴， ∴平分，，， ∴，， ∴的周长， ∵等边， ∴，， 设， ∵平分，， ∴， 在中，，则， ∴， 同理可得，， ∴的周长， ∵的周长， ∴的周长是的周长的两倍， ∴若要知道的周长，只需要知道的周长， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分数） 11. 要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，要说明命题是假命题，那么根据不等式的性质可得不等式两边同时乘以a后，不等号的方向发生改变，据此可得答案． 【详解】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴， ∴反例的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______ 【答案】如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，找出已知命题的题设和结论，即可写出其逆命题． 【详解】解：“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的题设为：如图一个三角形是等腰三角形，结论为：那么它底边上的高线和中线互相重合 ∴该命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 故答案为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形． 【点睛】此题考查的是写一个命题的逆命题，掌握逆命题的定义是解决此题的关键． 13. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为 F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC 的周长是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）可得出AG＝CF，再证明Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），得出BG＝BF，则可求出答案 【详解】解：连接AD、DC． ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG＝DF． ∵D在AC的中垂线上， ∴DA＝DC． 在Rt△DGA与Rt△DFC中， ∵DG＝DF，DA＝DC， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）． ∴AG＝CF． 又∵BD＝BD，DG＝DF． ∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）． ∴BG＝BF． 又∵AG＝CF， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BG﹣AG+BF+FC+AC＝2BG+AC＝2×5+6＝16． 故答案为：16． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型． 14. 已知3x﹣2y＝5，且x＞﹣1，y≤2，若k＝x﹣y，则k的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】先把3x﹣2y＝5变形得到，由y≤2得到，解得，所以x的取值范围为，再用x变形得到，然后可确定k的范围． 【详解】， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 当x=-1时，k=3， 当x=3时，k=1， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，也考查了代数式的变形． 15. 如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，分、、三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，； 如图，当时， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故答案为：或或． 16. 如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故答案为：． 三、解答题（共7题，共52分） 17. 下面是小明解一元一次不等式的解题过程，他的求解过程是否有误，如果有误请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ （1）小明的解答过程从第_______步开始出现错误．（只填序号） （2）正确的解答过程． 【答案】（1）① （2） 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）第①步中，去分母时不等号右边的2没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【小问1详解】 解：由题意得，小明的解答过程从第①步开始出现错误，错误原因是去分母时不等号右边的2没有乘以6； 【小问2详解】 略 18. 如图，，，，垂足分别为点，，且．证明： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用可证明，则，再由线段的和差关系可证明结论； （2）利用证明，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作答并画出下列图形： （1）的长为______； （2）如图，点D、P分别是与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q； （3）请在图中画出的角平分线． 【答案】（1）5 （2） 点Q即为所求． （3） 即为所求． 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用勾股定理求解即可； （2）连接，交过点P的横格线于点Q，由图形可知，点在的垂直平分线上，则，再结合，可得出，则点在的垂直平分线上，即点Q即为所求； （3）取格点F，使，连接，取的中点E，根据等腰三角形三线合一的性质，即为所求． 【小问1详解】 解：由图形可知，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，勾股定理，垂直平分线的判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． 20. 如图，在四边形中，，分别是对角线的中点． （1）求证：； （2）若，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，点是的中点， ， 同理可得，， ， 又∵点是的中点， ； （2） 解：，理由如下： 如图，连接， ，点是的中点， ， ， 同理可得，， ∴， ， ， ∵点是的中点， ． 【解析】 【分析】（）连接，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，，即得，再根据等腰三角形的性质即可求证； （）连接，由可得，即得，同理可得，即得到，再根据直角三角形的性质即可得到结论； 本题考查了直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元． （1）求A型空调和B型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 【答案】（1）A型空调每台需元，B型空调每台需元 （2） 解：对应方案为： ①，，费用：（元）； ②，，费用：（元）； ③，，费用：（元）， 因此共有三种采购方案． 【解析】 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，不等式组的方案选择问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设型空调单价为元，型空调单价为元，根据题意，列出方程组求解； （2）设型空调购台，则型空调购台，根据题意，列出不等式组求解，再求出正整数解即可得方案． 【小问1详解】 解：设型空调单价为元，型空调单价为元， 则， 解得：， 答：A型空调每台需元，B型空调每台需元； 【小问2详解】 解：设型空调购台，则型空调购台， 则， 解得：， 对应方案为： ①，，费用：（元）； ②，，费用：（元）； ③，，费用：（元）， 因此共有三种采购方案． 22. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． （1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． （2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． （3）在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数． 【答案】（1） 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条等腰分割线； （2）如图当是腰时，都是等腰三角形： 如图当是底时，都是等腰三角形： （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形． （1）证明，，从而得出结论； （2）是腰时，，；是底时，，，可画出图形； （3）分为，及三种情形，画出对应的示意图讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图当是腰时，， ∴，， ∴， ∴， ∴此时都是等腰三角形； 如图，当是底时，，， ∴，， ∴， ∴此时都是等腰三角形； 【小问3详解】 解：如图2， 当，时，则， ∴， ∴是等边三角形， ∴当时，是等边三角形，即此时； 如图3， 当，时，则， ∴； 如图4， 当，时，则， ∴； 综上所述：的度数为或或． 23. 已知：为等边三角形，点D、E分别为、边上一点，、相交于点F，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，连接并延长，与相交于点G，点M为延长线上一点，，点N为延长线上一点，，，求证：； （3）在（2）的条件下（可使用备用图），若的面积为2，，直接写出点A到的距离与点N到的距离之和． 【答案】（1） （2） 证明：延长到，使，连接，如图， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）4 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，根据角和关系得出，等量代换可得出，再根据三角形外角的定义和性质得出． （2）延长到，使，先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，通过三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，即可得出． （3）过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，设，和，根据等边三角形得，即，由得，即有，则有，进一步证得，则，由（2），有，即可求得，结合，解得即可． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，如图， 设，和， ∵为等边三角形， ∴，即， 由， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 由（2）， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点A到的距离与点N到的距离之和4． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉倍长中线和半角求解的常见做法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $