3.3.3一元一次方程的应用 学案　2025-2026学年沪教版（2024）六年级数学上册

该初中数学导学案围绕一元一次方程的应用展开，重点引导学生通过画线段示意图寻找等量关系解决实际问题。从相向而行、同向追及到环形跑道等行程问题，逐步扩展到包饺子等非行程情境，以线段示意图为学习支架，连接方程概念与实际应用。 资料突出几何直观与模型意识的培养，每个例题均结合线段示意图分析“各部分量的和=总量”“同一量的不同式子相等”等基本数量关系，例题与练习难度递进，帮助学生提升运算能力和解决问题能力，落实用数学思维思考现实世界的核心素养。

　　 　　　　　　　　　　　 一元一次方程的应用 ——画线段示意图寻找等量关系 【学习目标】 1．能够通过画线段示意图，设未知数列方程来解决简单的行程问题； 2．通过方程解决实际问题，提高分析问题，解决问题的能力. 【课堂学习】 例1 沪宁高速公路全长约270 km,一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地出发，沿沪宁高速公路相向而行.轿车先行54km后，客车再出发.轿车的速度为100 km/h,客车的速度为80 km/h.问：客车出发后多久两车相遇? （1）分析 根据题意，画出示意图. （2）通过线段示意图可以发现 “轿车行驶的第一段路程+轿车行驶的第二段路程十客车行驶的路程=两地相距路程”。 （“各部分量的和=总量”是一个基本的数量关系.） （3） 设客车出发后xh两车相遇，这里的xh也是轿车第二段路程行驶的时间，那么轿车行驶的第二段路程可以用100x km表示，客车行驶的路程可以用80x km表示. 解 设客车出发后xh两车相遇.根据题意，可以列出方程54+100x+80x=270. 整理，得180x=216. 解得x=1.2. 答：客车出发后1.2h两车相遇. 例2 一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先行50 km后轿车出发，客车的速度为80km/h,轿车的速度为100 km/h.问：经过多久轿车追上客车? 分析 ： （1）根据题意，画出示意图. （2）由线段示意图易发现：“客车行驶的第一段路程十客车行驶的第二段路程=轿车行驶的路程”。 （“表示同一个量的两个不同的式子相等”——这一基本的数量关系.） 解 设经过xh轿车追上客车. 根据题意，可以列出方程 80x+50=100x. 解得 x=2.5 答：经过2.5h轿车追上客车. 例3 小华和妈妈一起包饺子.小华平均每分钟包3.5个饺子，妈妈平均每分钟包6个饺子.小华先包好50个饺子后妈妈开始包.多久后妈妈包的饺子和小华一样多? 分析 设x min后妈妈包的饺子和小华一样多，由于小华先包好50个饺子后再用x min和妈妈一起包饺子，因此小华一共包了(50+3.5x)个饺子，妈妈包了6x个饺子. 根据“小华包的饺子和妈妈包的饺子一样多”，可列出方程， （“表示同一个量的两个不同的式子相等”——这一基本的数量关系.） 解 设x min后妈妈包的饺子和小华一样多. 根据题意，可以列出方程 50+3.5x=6x. 解之得 x=20 答：20min后妈妈包的饺子和小华一样多. 例4 小华、乐乐在400 m长的环形跑道上练习跑步.已知小华的速度为180m/min,乐乐的速度为220m/min. (1)如果两人同时由同一起点反向出发，问：多久后两人第一次相遇? (2)如果两人同时由同一起点同向出发，问：多久后两人第一次相遇? 分析 （1） 设两人出发x min后相遇，那么小华跑的路程可以表示为180x m,乐乐跑的路程可以表示为220x m.问题(1)中，乐乐、小华在环形跑道上同时同地反向而行， 所以小华跑的路程十乐乐跑的路程=400 m. （2） 问题(2)中，乐乐、小华在环形跑道上同时同地同向而行，乐乐跑得较快， 所以乐乐跑的路程一小华跑的路程=400m. 解(1)设两人同时由同一起点反向出发，x min后两人第一次相遇. 根据题意，可以列出方程 180x+220x=400. 解得 x=1. 答：如果两人同时由同一起点反向出发，1min后两人第一次相遇. (2) 设两人同时由同一起点同向出发，x min后两人第一次相遇. 根据题意，可以列出方程220x—180x=400. 解得 x=10. 答：如果两人同时由同一起点同向出发，10min后两人第一次相遇. 总结：用方程解实际问题时，我们还常常通过画线段示意图分析数量关系，再建立方程求解。 【课内练习】 1. 甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地同时出发，沿相同道路相向而行，途中甲车休息了2.5h,结果乙车出发5.5h后与甲车在途中相遇.已知乙车的平均速度为48 km/h,求甲车的平均速度. 2. 小海和乐乐从学校出发沿相同道路去图书馆，小海先行2min后乐乐再出发.已知乐乐的平均速度为75 m/min,8min后追上小海.求小海的平均速度. 3.小华和欢欢练习打字，小华平均每分钟打字31个，欢欢平均每分钟打字38个.小华先打了7 min后，欢欢才开始打.问：欢欢打字多久后，两人打的字一样多? 【课后练习】 1. 甲、乙两人在400 m长的环形跑道上练习跑步.已知甲的平均速度为200 m/min,乙的平均速度为220m/min.如果两人同时由同一起点反向出发，多久后两人第一次相遇? 2. 甲、乙两地相距30km,一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时沿着同一方向行驶.已知货车的平均速度是70km/h,2h后轿车追上了货车.求轿车的平均速度. 3. A,B两地相距260千米，甲、乙两车分别从A,B两地出发，相向而行，甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇。已知甲车每小时比乙车少行5千米，问：甲、乙两车的速度分别是多少? 4.甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道跑步，甲的速度是乙速度的5倍。他们从同一起点、朝同一方向同时出发，5分钟后甲第一次追上乙。求甲、乙两人跑步的速度。 5.一收割机队每天收割小麦12公顷，收割完一片麦地的3后，该收割机队改进操作，效率提高到原来的·5倍，因此比预定时间提早1天完成收割任务。问：这片麦地有多少公顷? 学科网（北京）股份有限公司 $