精品解析：2024年北京市中考三模数学试题

北京市 2024 中考数学三模试题 一、选择题(共16分，每题2分)第 1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 圆柱 C. 长方体 D. 五棱锥 2. 小星同学在“百度”搜索引擎中输入“庆祝国庆”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. 617×105 B. 6.17×106 C. 6.17×107 D. 0.617×108 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是（　　） A. 点A与点D B. 点B与点D C. 点B与点C D. 点C与点D 5. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（　　） A. ∠BCA＝45° B. AC＝BD C. BD的长度变小 D. AC⊥BD 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 8. 如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题(共16分，每题2分) 9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ________． 10. 分解因式：＝________________． 11. 如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DEBC交AC于点E，若，AE=6，则EC=____． 12. 某项工程，甲、乙两队合作需m天完成，甲单独做需要n天完成，那么乙队单独完成的时间是_______天． 13. 如图，为等边三角形，点O在过点A且平行于的直线上运动，以的高为半径的分别交线段、于点E、F，则所对的圆周角的度数__________ 14. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其译文为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设木长x尺，绳子长y尺，可列方程组为___________． 15. 图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为，正方形DEFG的面积为，则的值为______． 16. 已知某种道具加工完成共需A， B， C， D， E， F， G七道工序，加工要求如下： ①各道工序所需时间如下表所示：②工序 C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D 都完成后进行；③一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种道具的加工，则需要_______分钟；若由3名学生合作完成2件此种道具的加工，则最少需要_______分钟． 工序 A B D C E F G 所需时间/分钟 8 8 6 8 6 9 1 三、解答题(共68分， 第17—20题， 每题5分， 第21—22题， 每题6分， 第23题5分， 第24题6分， 第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 18. 解不等式组并写出它的所有整数解． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，四边形是矩形，点E是边上一点，． （1）求证：； （2）F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，求的长． 21. 随着人们节能意识的增强，节能产品进入千家万户，今年1月小明家将天燃气热水器换成了太阳能热水器．去年12月份小明家的燃气费是96元，从今年1月份起天燃气价格每立方米上涨25%，小明家2月份的用气量比去年12月份少10立方米，2月份的燃气费是90元．问小明家2月份用气多少立方米． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 23. 甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩（百分制）统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲剧社中一名学生的声乐成绩是85分，表演成绩是60分，按声乐成绩占60%，表演成绩占40%计算学生的综合成绩，求这名学生的综合成绩； （2）入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件：首先，两项测试成绩都低于60分的人数占比不超过10%；其次，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分．那么乙剧社______（填“符合”或“不符合”）入选参加展演的条件； （3）主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有______人，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率是______． 24. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据： x/m 0 10 20 30 40 50 60 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； （2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是　　的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为　　m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； （3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点　　（填写“高”或“低”）约　　m（结果保留小数点后一位）． 25. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：． （1）求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； （2）点，在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于都有，直接写出t的取值范围． 27. 已知，点在边上，点是边上一动点，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作于点． （1）如图1，． ①依题意补全图形： ②连接，求的度数； （2）如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点． 备用图 （1）在，，中，点P的等和点有________； （2）点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标； （3）已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市 2024 中考数学三模试题 一、选择题(共16分，每题2分)第 1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 圆柱 C. 长方体 D. 五棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案． 【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱， 故选A． 【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图． 2. 小星同学在“百度”搜索引擎中输入“庆祝国庆”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. 617×105 B. 6.17×106 C. 6.17×107 D. 0.617×108 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：61700000用科学记数法表示为， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义； 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是（　　） A. 点A与点D B. 点B与点D C. 点B与点C D. 点C与点D 【答案】C 【解析】 【分析】根据互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，可得答案. 【详解】解：∵|-2|=2，|-1|=1，|1|=1，|3|=3， ∴-1与1的绝对值相等，即点B与点C表示的两个实数绝对值相等. 故选C. 【点睛】本题考查了实数的性质，利用互为相反数的两个数绝对值相等是解题关键. 5. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入扇形的面积公式直接进行计算即可． 【详解】解：钢板的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，解答本题的关键是熟练记忆扇形的面积的计算公式及公式内字母表示的含义． 6. 为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（　　） A. ∠BCA＝45° B. AC＝BD C. BD的长度变小 D. AC⊥BD 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质即可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识．解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5． 故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0． 8. 如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质、三角形的三边关系、完全平方公式等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，则可得，利用勾股定理可得，再根据三角形的三边关系即可得①正确；在中，利用勾股定理即可得②正确；利用直角梯形的面积公式即可得③正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，结论①正确； 在中，，即， ∴，结论②正确； 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是直角梯形， ∴， ∴，结论③正确； 综上，所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 二、填空题(共16分，每题2分) 9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得，且， 解得：且， 故答案为：且． 10. 分解因式：＝________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DEBC交AC于点E，若，AE=6，则EC=____． 【答案】9 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理得出=，然后将EC代入计算即可． 【详解】解：∵DEBC， ∴=， ∴，即，解得EC=9． 故答案为9． 【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理等知识点，根据DEBC得到=是解答本题的关键． 12. 某项工程，甲、乙两队合作需m天完成，甲单独做需要n天完成，那么乙队单独完成的时间是_______天． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式加减的应用，分式的除法，理解题意正确列出算式是解题的关键． 由题意得，甲乙合作的工作效率是，甲单独做的工作效率是，两者相减得出乙单独做的工作效率，然后用工作量除以工作效率即可得出答案． 【详解】解：， ∴乙队单独完成的时间是天． 故答案为：． 13. 如图，为等边三角形，点O在过点A且平行于的直线上运动，以的高为半径的分别交线段、于点E、F，则所对的圆周角的度数__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，注意数形结合思想的应用．根据是等边三角形，得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵点O在过点A且平行于的直线上运动， ∴， 作关于直线的对称点，在圆上，连接，， 则， ∴，， ∴， ∴B，A，G三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆周角的度数是， 故答案为：． 14. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其译文为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设木长x尺，绳子长y尺，可列方程组为___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”即可列出方程组． 【详解】根据题意可直接列出方程组：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．理解题意找出等量关系是解答本题的关键． 15. 图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为，正方形DEFG的面积为，则的值为______． 【答案】﹣9cm2 【解析】 【分析】根据题意，得∠DCE=90°，结合勾股定理的性质，计算得CD2+CE2=DE2；再根据正方形的性质，得S1= CD2，S2= DE2，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得：∠DCE=90°， ∴CD2+CE2=DE2 ∵正方形ABCD的边长为CD，面积为S1；正方形DEFG的边长为DE，面积为S2， ∴S1= CD2，S2= DE2， ∵CE的长为3cm， ∴， ∴S1－S2=﹣9cm2， 故答案为：﹣9cm2． 【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理、正方形的性质，从而完成求解． 16. 已知某种道具加工完成共需A， B， C， D， E， F， G七道工序，加工要求如下： ①各道工序所需时间如下表所示：②工序 C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D 都完成后进行；③一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种道具的加工，则需要_______分钟；若由3名学生合作完成2件此种道具的加工，则最少需要_______分钟． 工序 A B D C E F G 所需时间/分钟 8 8 6 8 6 9 1 【答案】 ①. 46 ②. 24 【解析】 【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，甲学生工序D完成后接着做工序G；乙学生工序完成后，做工序F，最后甲学生做工序E，然后可得答案． 本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得一名学生单独完成此种道具的加工，则需要（分钟）； ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要8分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要8分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，甲学生工序D完成后接着做工序G，需要7分钟，乙学生工序完成后，做工序F，最后甲学生做工序E，需要9分钟， ∴若由两名学生合作完成此道具的加工， 最少需要（分钟）， 故答案为：①46，②24． 三、解答题(共68分， 第17—20题， 每题5分， 第21—22题， 每题6分， 第23题5分， 第24题6分， 第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根据、负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】原式 ， 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18. 解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为﹣1，0，1 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①得， ． 解不等式②得， . ∴原不等式组的解集为 ∴原不等式组的所有整数解为﹣1，0，1． 【点睛】本题主要考查了不等式组的解法和整数解的确定.求不等式的解集,应遵循以下原则:同大取大,同小取小,小大大小中间找,大大小小解不了 19. 已知，求代数式的值． 【答案】2. 【解析】 【分析】先求出，算乘法，合并同类项，再代入求出即可． 【详解】∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 20. 如图，四边形是矩形，点E是边上一点，． （1）求证：； （2）F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和垂直的定义，得到，，即可得到结论成立； （2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出，，再证明，再利用相似三角形的性质，即可求出的长． 【详解】（1）证明： ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：∵由（1）， ∴． ∵矩形中，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，以及垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的进行解题． 21. 随着人们节能意识的增强，节能产品进入千家万户，今年1月小明家将天燃气热水器换成了太阳能热水器．去年12月份小明家的燃气费是96元，从今年1月份起天燃气价格每立方米上涨25%，小明家2月份的用气量比去年12月份少10立方米，2月份的燃气费是90元．问小明家2月份用气多少立方米． 【答案】30立方米. 【解析】 【分析】设小明家2月份用气x立方米，根据明家2月份的用气量比去年12月份少10立方米，去年12月份小明家的燃气费是96元，可先求出原来燃气费的价格，再根据从今年1月份起天燃气价格每立方米上涨25%，2月份的燃气费是90元，可列方程求解． 【详解】解：设小明家2月份用气x立方米， （1+25%）x=90， 解得，x=30， 经检验x=30是方程的解， 答：小明家2月份用气30立方米． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【小问1详解】 解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于4， 所以如图所示，当过点时满足题意， 代入得：， 解得：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键． 23. 甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩（百分制）统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲剧社中一名学生的声乐成绩是85分，表演成绩是60分，按声乐成绩占60%，表演成绩占40%计算学生的综合成绩，求这名学生的综合成绩； （2）入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件：首先，两项测试成绩都低于60分的人数占比不超过10%；其次，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分．那么乙剧社______（填“符合”或“不符合”）入选参加展演的条件； （3）主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有______人，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率是______． 【答案】（1）75 （2）符合 （3）4； 【解析】 【分析】（1）利用加权平均数的运算公式直接计算就可得到结果； （2）准确识图，统计相应数据计算百分比和相应加权平均数即可； （3）准确识图，用列举法求解概率． 【小问1详解】 解：该生的综合成绩为：， 答：这名学生的综合成绩为75分； 【小问2详解】 解：由图可知：乙剧社两项成绩都低于60分的有1人，所占比例约为6.7%，低于10%，满足第一个条件； 乙剧社声乐成绩统计表如下： 范围 频数 1 3 5 5 1 乙剧社声乐的平均成绩为： ， 大于75分，满足第二个条件．所以乙剧社符合入选参加展演的条件 故答案为：符合； 【小问3详解】 解：甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有4人． 80分以上的4人中，甲剧社2人，乙剧社2人，抽取情况如下表： 甲1 甲2 乙1 乙2 甲1 甲1，甲2 甲1，乙1 甲1，乙2 甲2 甲2，甲1 甲2，乙1 甲2，乙2 乙1 乙1，甲1 乙1，甲2 乙1，乙2 乙2 乙2，甲1 乙2，甲2 乙2，乙1 抽出的结果共有12种可能，而来自不同剧社的结果又8种可能，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率为：(分别来自不同剧社) ． 故答案为：4；． 【点睛】本题考查了加权平均数、列举法求概率、数形结合的思想等知识．准确的识图和精确地计算是解决本体的关键． 24. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据： x/m 0 10 20 30 40 50 60 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； （2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是　　的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为　　m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； （3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点　　（填写“高”或“低”）约　　m（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）图见解析 （2）抛物线；14.5 （3）高；2.8 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据在平面直角坐标系描出各点，用光滑曲线将各个点连接起来即可； （2）观察图象可得出，曲线可看作抛物线的一部分，结合图象，可得出抛物线的解析式，即可得出甲运动员何时达到最高点； （3）在（2）的基础上，可得出甲的最高点，再比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）根据表中的数据在平面直角坐标系描出个点，用光滑曲线将各个点连接起来，如图所示： 【小问2详解】 解：由图象可知，曲线可看作抛物线的一部分， 设该抛物线的解析式为：， 将，，代入，得， 解得， ∴． 当时，y最大， ∴当水平距离为时，达到最高； 故答案为：抛物线；14.5； 【小问3详解】 解：甲最高为， ∴， 故答案为：高；2.8． 【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数的性质，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． 25. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合题意可得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：． （1）求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； （2）点，在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于都有，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）①12；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）①根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为，结合的范围可知当时，有最小值，则有，再根据二次函数的性质即可求出的最大值；②利用二次函数的性质求出的最大值以及的值，再结合列出关于的不等式，即可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，有最小值， ∵的最小值是， ∴， ∴，， ∵，，， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为12； ②当时，， ∵，，， ∴当时，有最大值， ∵对于都有， ∴， 解得或； ∴t的取值范围为或． 27. 已知，点在边上，点是边上一动点，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作于点． （1）如图1，． ①依题意补全图形： ②连接，求的度数； （2）如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题干描述作图即可； ②由旋转可得且，进而证明是等边三角形，推出，再结合可得答案； （2）如图，连接，，同（1）可证是等边三角形，再证，推出，，进而证明，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①补全图形如下； ②如图，连接， 线段绕点A逆时针旋转， 且， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 证明：如图，连接，， 由（1）②知是等边三角形， ，， 线段绕点O顺时针旋转，得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点． 备用图 （1）在，，中，点P的等和点有________； （2）点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标； （3）已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）设点的等和点为，则，设，则点的等和点为，则，即可求； （3）由题意可得点的等和点在直线上，点的等和点在直线上，设直线与轴的交点为，再由，可得点在以为圆心，半径为1的圆上，则点的等和点是两条直线之间的区域，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点，由的最小值为5，可得最小值为4，在中，，可求，同理当点在轴左侧时， 【小问1详解】 ，则， 是点的等和点； ，则， 不是点的等和点； ，则， 是点的等和点； 故答案为：，； 【小问2详解】 设点的等和点为， ， 设，则点的等和点为， ， ， ； 【小问3详解】 ， 点的等和点在直线上， ， 点的等和点在直线上， 设直线与轴的交点为， ， 点在以为圆心，半径为1的圆上， 点的等和点是两条直线之间的区域， 如图，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点， 的最小值为5， 最小值为4， 在中，， ， ， 同理当点在轴左侧时， 或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与圆相结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $