专题07 轴对称章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题07 轴对称章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 轴对称中的光线反射问题 题型二 最短路径问题 题型三 根据30度角直角三角形的性质求最值 题型四 根据30度角直角三角形的性质证明 题型五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系 题型六 垂直平分线常见辅助线添加 题型七 等腰三角形的性质和判定综合应用 题型八 等边三角形动点问题 【经典例题一 轴对称中的光线反射问题】 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）小明家中客厅的南北长度是，在客厅西墙上装了一面很大很大的镜子，客厅的门在东墙.某日小敏去小明家，刚进门就说：“呀，你家客厅好大呀，估计有50多平方米吧？”小明说：“没有，不足30平方米.”请你解释，两人的估算怎么会差别如此之大？究竟谁说错了呢？ 【答案】小敏说错了 【分析】根据平面镜成像原理：镜子中的客厅的面积是实物面积的虚像，虚像的面积与实像的面积相等，故小敏看到的是实像与虚像的面积之和，从而可判定小敏说错了，小明说的是实际面积. 【详解】小敏把镜子里看到的都算在一起了，镜子里的虚像使的室内空间在视觉上加倍了，所以小敏误认为有50多平方米，小敏说错了.小明说的是实际面积. 【点睛】此题考查的是平面镜成像问题，掌握平面镜成像原理：镜子中的客厅的面积是实物面积的虚像，虚像的面积与实像的面积相等，是解决此题的关键. 3．（2025八年级上·全国·专题练习）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】有，捷径见解析 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】解：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 4．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；② 【分析】本题考查了角的和差，轴对称反射问题，以及三角形内角和等知识，解题的关键是利用镜面反射中反射角等于入射角的性质，结合角的和差关系进行推导． （1）根据镜面反射中“法线垂直镜面”得出，再结合“反射角等于入射角”，利用角的和差关系，即，推导出． （2）①由（1）的结论，设，，先得出；再根据平角定义求出，；最后利用三角形内角和，求出，进而推导出．②设，，先求出，；再根据角的差求出，同时得出，从而推导出． 【详解】（1）证明：根据题意，得，， ， ， 即． （2）解：①由（1）可知． 设， ． ，， ； ， 即． ②设，． ，．．． ． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A（1,3），B（2,1），C（5,1）． （1）直接写出点B关于x轴对称的对称点的坐标为______，直接写出点B关于y轴对称的对称点的坐标为_____，直接写出的面积为_______； （2）在y轴上找一点P使最小，则点P坐标为_______；说明理由． 【答案】（1），，7；（2）；理由见解析． 【分析】（1）根据关于x轴、y轴对称的点的坐标特征即可得到B1、B2坐标，利用分割法即可求得△AB1B2面积； （2）根据轴对称的性质得到B3（﹣2，﹣1），求得直线B3A解析式继而令时即可求解． 【详解】（1）关于x轴对称点B， 坐标为 关于y轴对称点 坐标为 ∴S△AB1B2面积＝ 故的面积为7， （2）点P坐标为， 理由如下：∵B1（2，﹣1）关于y轴对称点B3（﹣2，﹣1）， 连接B3A交于y轴于P则P为所求， 设直线B3A表达式为， 把B3（﹣2，﹣1），A（1，3）代入得 解得 当时 【点睛】本题考查轴对称有关知识，解题的关键是熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征及轴对称的性质． 7．（2025·江苏泰州·模拟预测）【背景】如图1，光的反射定律告诉我们，光线经平面镜反射，入射角＝反射角． 【定义】如图2，点、在直线同侧，点在直线上，，则称点为、在直线上的反射点．    【应用】 (1)如图3，在中，，点在上，，，垂足分别为、．求证：点为、在直线上的反射点； (2)如图4，在正方形网格中，点，，三点均在格点上，请用没有刻度的直尺在上画出点，在上画出点，使，在上的反射点满足； (3)如图5，在点处放置两面夹角为的平面镜、，，光从点射出，在平面镜上点处反射，反射光线在平面镜上点处再次反射后经过点，画出示意图，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和可得，即可求得； （2）根据矩形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行四边形的判定和性质可得，根据相似三角形的判定和性质可得，根据三角形的中位线的判定和性质可得，即点为点关于的对称点，根据全等三角形的判定和性质可得，即，即可求得点； （3）根据题意可得，根据正方形的判定和性质可得，，，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得． 【详解】（1）∵在中， ∴为等腰三角形 ∴ 在中， 在中， ∴ ∴点为、在直线上的反射点 （2）如图：    在格点中找到点，使得为矩形，连接与交于点，延长，确定点，使，在格点中找到点，使得，连接，，两直线交于点，即点为点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求． 证明：令与交于点，    ∵，，且 ∴四边形为矩形 ∵，为矩形的对角线 ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 即 ∵， ∴四边形为平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴为的中位线 ∴ 故点为点关于的对称点 ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ 故点即为所求 （3）如图：    作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接与交于点，与交于点，即点，是所求作． 证明：连接，，，，    ∵点和点关于的对称，点和点关于的对称 ∴，，， ∵， ∴ ∴四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等，正确作出图形是解本题的关键． 【经典例题二 最短路径问题】 8．（2025八年级上·全国·专题练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 【答案】见解析 【分析】本题考查了最短路径问题．用轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与的交点上，即，，三点共线）． 【详解】解：如下图，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明：如下图，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点，的对称轴，点，在上， ∴，， ∴． 在中，∵， ∴，即最小． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 【答案】(1)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 (2)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 【分析】（1）连接交河岸于点，点为所选的位置；（2）作点关于直线的对称点，连接交河岸于点,点为所选的位置。 【详解】（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求； 理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。 答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。 （2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点,点即为所求。 理由：点与点关于直线对称， . . 即：. 由两点之间线段最短， 点M为所选择的位置。 答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。 【点睛】本题考查了两点之间线段最短求点的位置，掌握对称点作法及轴对称性质与两点之间线段最短是解题的关键。 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 11．（24-25八年级上·江西南昌·期末）网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上． (1)请画出向上平移5个单位后的； (2)请画出，使它与关于直线对称； (3)请在直线l上画出一点P，使得线段的长度和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了图形的平移、轴对称以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握这些图形变换的性质进行作图． （1）根据平移的性质，将的每个顶点向上平移5个单位，再连接各顶点得到平移后的三角形． （2）根据轴对称的性质，找到各顶点关于直线l的对称点，再连接各对称点得到对称后的三角形． （3）作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点， 因为和关于直线对称，所以，则， 根据两点之间线段最短，的长度就是的最小值，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，交直线于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． ①作，使它与关于直线l对称； ②在直线l上找一点P，使的和最短．（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）． （2）观察下图①~③中涂色部分构成的图案．（每个小三角形面积均为1） ①写出这三个图案都具有的两个共同特征： __________________，____________________ ②借助图④⑤中的网格，请你设计另外两个新的图案，使新的图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①都是轴对称图形；阴影部分的面积都是4；②见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）①根据轴对称的性质作图即可； ②连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （2）①根据轴对称图形的性质，结合网格特点求解即可； ②根据①中发现的特征，设计符合要求的图案即可． 【详解】解：（1）①如图，即为所求作： ②如图，点P即为所求作： （2）①根据图案特征，可得三个图案都具有的两个共同特征：都是轴对称图形；阴影部分的面积都是4； ②新的图案如图所示： 13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）课本再现 （1）如图（）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？请确定奶站的位置并说明理由； 类比思考： （2）如图（），，点在内且，为上一点，为上一点，求周长的最小值； 拓展应用： （3）如图（），四边形是某市一休闲广场，其中，，，，点，，，分别在，，，上，且，现小明从点出发，沿四边形走一圈回到点处，求小明行走的最短路程． 【答案】（1）见解析； （2）周长的最小值是；（3）小明行走的最短路程是． 【分析】（1）如图中，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时的值最小，根据三角形的三边关系可说明理由； （2）如图中，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，于，此时的周长最小，将周长问题转化为线段长度的问题解答即可； （3）如图，根据中作图可知：当点共线时，四边形的周长最小，根据勾股定理和含角的直角三角形的性质即可解答， 【详解】解如图，奶站应建在点处，才能使，到它的距离之和最短； 理由是∶在街道上任取一点异于点的点，连接，，， ∵点与关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴． 中，． ∴， 奶站应建在点处，才能使，到它的距离之和最短； 如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，于，此时的周长最小， 连接， 由对称得∶，，， ∵， ∴ ∴ ∴的周长， 即周长的最小值是； 如图，分别作点关于，的对称点，分别作点，于的对称点，延长，交于点，过点作，过点作于点， ∴，， ∴四边形的周长 ∴当点，共线时，四边形的周长最小， ∵， ∴， 在中，，， ∵． ∴， 在中，，． ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴． 由勾股定理得∶； 即小明行走的最短路程是． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了轴对称的最短路径问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，掌握轴对称的最短路径问题正确作图是解答此类题目的关键． 14．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴______，________， ∴_____ 在中， ∵， ∴． ∴，即最小， 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米． 【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值． 【答案】任务一：，，； 任务二：500 任务三： 【分析】任务一：根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； 任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到△的周长的最小值为，再证得△为边长为500的等边三角形即可得出答案； 任务三：过点作交于点，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质得到，这时有最小值，即的长度，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】任务一：证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在△中， ， ． ， 即最小， 故答案为：，，； 任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ，， 的周长为， 此时的周长取得最小值，且最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， △为边长为500的等边三角形， ， △的周长的最小值为500米， 故答案为：500； 任务三：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 是的平分线． ， ， 这时有最小值，即的长度， ，，，， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查轴对称，三角形的面积公式，三角形的三边关系，等边三角形的判定与性质，最短路径问题，角平分线的性质，文字量多，读懂题意是解题的关键． 15．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，中，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．    (1)请补全图形； (2)直接写出在点运动过程中，线段的最大值为______，线段的最小值为______． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】（1）根据题意作图即可求解； （2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到，可证点三点共线，点三点共线，点运动过程中，当点与点重合时，点与点重合，则；当点与点重合时，点与点重合，则；可求出最大值，当时，的值最小，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下，    （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，    ∵中，， ∴， 将绕点顺时针旋转得到，则与重合， ∴，则点三点共线， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，且，即， ∴，且，， ∴， ∴， ∴同理可得，， ∴， ∴点三点共线， ∴点运动过程中，当点与点重合时，点与点重合，则；当点与点重合时，点与点重合，则； 根据题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； 根据旋转可得，，且点与点重合，则， ∴是等边三角形， ∴； 综上所述，线段的最大值为； ∴当时，的值最小， 根据上述证明可知，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴线段的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段最大值，最小值的计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 16．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 【答案】(1)； (2)，3； 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （1）证明，进而解答即可． （2）根据当时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ，， ． （2）解， ， ，，， ， 当时，x最小，最大，， ，， ， ， 时，有最大值，即． 【经典例题三 根据30度角直角三角形的性质求最值】 17．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点E． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，点P在上，则的最小值为______．（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）先证明，再证明，即可求证； （2）求出，利用直角三角形角所对直角边等于斜边的一半即可求解； （3）连接交于点，连接的最小值为，求出即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接交于点，连接， ∵是的垂直平分线， ∴、关于对称， 的最小值为 是的中点， 故答案为：6． 18．（24-25八年级上·全国·期末）是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)①见详解；②3 (2)见详解 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识． （1）①由等边三角形的性质得出，，，，证明，由全等三角形的性质得出； ②由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）过点A作交的延长线于点P，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵，都是等边三角形， ∴，，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵，F为的中点， ∴， 当时，的长取最小值， 此时，，， ∴； （2）证明：过点A作交的延长线于点P，连接，， ∴， ∵N是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 19．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）【问题发现】如图①，在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，连接， _______， ______（用含的代数式表示）； 【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，点为内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，求证：； 【结论应用】如图③，在【问题探究】的条件下，连接，，的最小值为____． 【答案】问题发现：，；问题探究：见解析；结论应用：12 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 问题发现：作于，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再由含角的直角三角形的性质及勾股定理计算即可得出； 问题探究：由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，证明，从而即可证明； 结论应用：连接，由全等三角形的性质可得，证明是等边三角形，得到，从而得到，当点、、、共线时，最小，连接，作于，由含角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】问题发现： 解：如图，作于， 在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； 问题探究： 证明：、为等边三角形， ，， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ； 结论应用： 解：如图，连接， ， ， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， 是等边三角形， ， ， 当点、、、共线时，最小， 连接，作于， ，边长为， ，， ， ， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，已知等腰直角中，，以为边在点的另一侧作等边，点分别在线段上，，且与相交于点，延长交于． (1)求∠ECH的度数； (2)试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)若点是边上的动点，，求周长的最小值，结果用含的整式表示． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，结合图形得出求解即可； （2）连接，根据等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可； （3）延长交的延长线于，连接．根据全等三角形的判定和性质得出≌，再由轴对称得出周长的最小值即为，然后求解即可． 【详解】（1）证明：如图中， 是等边三角形， ． ， ≌， ， ． ， ， ， （2）解： 如图中，连接． ， 是等边三角形． ， ． ， ≌， ， ． 在中， ， ， ． （3）如图中，延长交的延长线于，连接． ， ≌， ∴，AE⊥ ， ， 的最小值为， 的周长最小值 ． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键． 21．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图1，平面内有三个点A，B，C，，，则的长度的最小值为_____，最大值为_____ (2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． (3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角，，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据、的长度即可求出长度的取值范围，即可得解； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明)得到 ，再利用等腰三角形的三线合一得到，然后利用勾股定理分别求解即可； （3）过作，且，连接，， 则，要使最大，只需最大即可；证明)，得到，由，当、、共线时取等号得到的最大值，进而可求解． 【详解】（1）解：∵， (当点在线段上和在的延长线上时取等号)， ∵，， ∴， 即， ∴ 的长度的最小值为，最大值为， 故答案为：，； （2）解：如图， 设与相交于， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在中， ； （3）解：线段的长度存在最大值；理由如下：如图，在上方，过作，且，连接，， ， 即， 要使的长最大，只需的长最大即可， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时取等号， ∴的长的最大值为， ∵，， 则的长的最大值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解答本题的关键． 【经典例题四 根据30度角直角三角形的性质证明】 22．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）在中，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，进而可知，根据等角对等边证明即可； （2）过点作于，根据等腰三角形三线合一可知，根据角平分线的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，进而可知． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：过点作于， ， ， 是的角平分线，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到 即可证明，从而证明； （2）根据直角三角形的性质求出，，，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，平分，点B，D分别在，上 (1)如图1，若，请你探索是否成立，并给出证明． (2)如图2，若，则是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)成立，见解析 (2)仍成立，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得，，从而证明； （2）在上截取，连接，证明，则，然后证明为等边三角形，则． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴ ∵ ∴在中，，中， ， ∴， ∴ ∴． （2）解：（1）中的结论成立， 理由如下：如图2，在上截取，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴ ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，证明选段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．正确作出辅助线是解题的关键． 25．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在第一、二象限，轴于点，连接、、，且． (1)如图1，若，，，探究、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若，，探究线段、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质及其判定，全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线进行证明是解题关键； （1）过点作轴于，利用定理证明，从而得到 ，，然后利用等腰直角三角形的判定与性质得到，即，从而求出，的关系； （2）在轴上取一点，使得，根据含角的等腰三角形是等边三角形判定，是等边三角形，然后利用定理证明，从而得到，，然后利用含的直角三角形的性质求证． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于， 则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ， ∵，则， 又 ∴ ∴ ∴ ∴． （2）如图2，在轴上取一点，使得 ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴   ∵   ∴是等边三角形 ∴   ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 26．（24-25八年级上·江西赣州·期末）学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 【答案】（1）见解析，知道就可知道的长；（2），见解析；（3） 【分析】（1）作交l于点D，延长交于点，证明即可得到结论； （2）延长到G，使得，由得，，根据平行线的性质得到，求得，证明即可得到结论； （3）如图4，延长到F使，证明得，，再证明，得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）①补充如图，作交l于点D，延长交于点M，则，即知道就可知道的长； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；        （2），理由如下： 延长到G，使得，则， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）如图4，延长到F使， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 27．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知均为等边三角形． （1）如图1，点在线段上，分别连接．求证：． （2）【知识理解】 在通过构造全等三角形解决问题中，有一种方法叫“倍长中线法”．如图2，是的中线，延长到点，使得，连接，则根据“”可判定． 【知识应用】请应用以上方法解决问题： 如图3，点在内，是的中点，连接．若，且． ①求证：； ②判断线段与的数量关系并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）【知识应用】①证明见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质； （1）根据等边三角形的性质得出进而可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①延长到点，使，连接．倍长中线法证明，进而证明，根据全等三角形的性质得出，即可得证； ②由①可知：，设，则，分别表示出，根据得出，建立方程得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：均为等边三角形 ． 即： . （2）【知识应用】①证明：如图3，延长到点，使，连接． 是的中点 ． 又 又 由（1）同理可证： 又 ． ． ②， 由①可知： 设，则 又 即：解得： 在中， 而 28．（24-25八年级上·广东佛山·期中）【问题提出】 如图1，通过拼摆两个含角的全等的三角尺，发现两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为，则它所对的直角边等于斜边的一半． 通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？ 【思路启迪】 从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？ 已知：如图，中，，，求证：． 请在图中添加辅助线，将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法（后续论证方法不同）在图2、图3添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线的． 分类 方法一（图2） 方法二（图3） 画图及描述 【逻辑论证】在上述图形中，选择其中一种方法，完成证明． 【触类旁通】 以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．反过来思考：它的逆命题是否成立呢？ （1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果__________，那么__________．” （2）请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形，矩形的综合，掌握全等三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质是解题的关键． 添加辅助线将含的直角三角形转化为等边三角形即可证明． 【详解】逻辑论证：证明：方法一：延长至点，使得，连接， 中，，，， ， 在中与中， 有， ， ，， ， 是等边三角形，， ， ，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 方法二：如图所示，分别过点，作，，交点为，连接，交于点， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，， ，是等腰三角形，则， 且， 是等边三角形，即， ， ，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 触类旁通：（1）在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于． （2）该命题成立．理由如下： 设直角三角形，，． 延长至点，使得，连接， 垂直平分， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于． 【经典例题五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】 29．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)线段和有什么数量关系，为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接、，根据角平行线的性质定理得到，根据线段垂直平分线的性质得，证明，从而得到； （2）先证明得到，设，则，而，则，然后解方程求出即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接、， 平分，，， ， 又垂直平分， ， 在和中 ， ， ； （2）在和中 ， ， ， 设，则， ， ， 解得， 即． 30．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，平分． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点．分别交于点，．连接（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，猜想线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴． 31．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习） (1)如图1，在△ABC中，D为BC的中点，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围； (2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，D是线段BC上一动点，F为BD的中点，AD＝AE且AD⊥AE，求AF与EC的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，E是BD的中点，连接AE，作AE⊥EF，若DF＝CF，直接写出∠BAC与∠DFC的之间关系是 ． 【答案】(1)1<AD<4 (2)CE=2AF，理由见解析 (3)∠DFC+∠BAC=180° 【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，证明△ADC≌△EDB（SAS），再根据三角形的三边关系可得AB+AC>2AD，得出5-3<2AD<5+3，再计算即可； （2）延长AF至G，使AF=FG，连接BG，证明△BGF≌△DAF（SAS），由全等三角形的性质可得出∠G=∠DAF，BG=AD，证出∠GBA=∠EAC．证明△ABG≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质可得出CE=AG=2AF； （3）延长AE至G，使AE=EG，连接DG，GF，AF，证明△AEB≌△GED（SAS），由全等三角形的性质可得出AB=DG，∠BAE=∠EGD，证明AACF≌△GDF（SSS），由全等三角形的性质可得出∠AFC=∠GFD，∠FAC=∠DGF，证出∠DFC=∠GFA，由三角形内角和定理可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长AD至点E，使DE=AD， ∵D为BC的中点， ∴DB=CD， 在△ADC和△EDB中， ∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，DB=CD， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE=AC， 在△ABE中，AB+BE>AE＞AB-BE， ∴AB+AC>2AD＞AB-AC， ∵AB=5，AC=3， ∴5-3<2AD<5+3， ∴1<AD<4； （2）解：CE=2AF，理由如下： 如图，延长AF至G，使AF=FG，连接BG， ∵F为BD的中点， ∴BF=DF， ∵∠AFD=∠BFG， ∴△BGF≌△DAF（SAS）， ∴∠G=∠DAF，BG=AD， ∴， ∴∠GBA+∠BAD=180°， ∵AD=AE， ∴AE=BG， ∵AB⊥AC，AD⊥AE， ∴∠EAD=∠BAC=90°， ∴∠EAD+∠BAD+∠DAC=180°， ∴∠EAC+∠BAD=180°， ∴∠GBA=∠EAC． 又∵AB=AC， ∴△ABG≌△CAE（SAS）， ∴CE=AG=2AF； （3）解：如图，延长AE至G，使AE=EG，连接DG，GF，AF， ∵AE⊥EF，AE=EG， ∴AF=GF， ∴∠GAF=∠AGF， ∵AE=EG，∠AEB=∠DEG，BE=ED， ∴△AEB≌△GED（SAS）， ∴AB=DG，∠BAE=∠EGD， ∵AB=AC， ∴AC=DG， 又∵GF=AF，DF=CF， ∴△ACF≌△GDF（SSS）， ∴∠AFC=∠GFD，∠FAC=∠DGF， ∴∠AFC-∠AFD=∠GFD-∠AFD， ∴∠DFC=∠GFA， ∵∠GFA+∠GAF+∠AGF=180°， ∴∠DFC+∠GAF+∠AGF=180°， ∵∠AGF=∠AGD+∠DGF=∠BAE+∠FAC， ∴∠DFC+∠GAF+∠BAE+∠FAC=180°， ∴∠DFC+∠BAC=180°． 故答案为：∠DFC+∠BAC=180°． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形三边关系，三角形内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 32．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，．点在边上，点在延长线，且满足．连接，．已知． (1)若，求的度数． (2)小真同学通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：与之间的等量关系，并给出证明． (3)探究，，三者之间的等量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先根据等边对等角可得，再由三角形外角的性质得，最后由直角三角形的性质与角的和差关系即可解答； （2）设，，如图2，延长至点F，使，连接，先证明是的垂直平分线，得，，再证明，即可解答； （3）由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图1，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：猜想：与之间的等量关系为：， 证明如下： 设，， 如图2，延长至点F，使，连接， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：，，三者之间的等量关系是：， 证明如下： 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理是解本题的关键． 33．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图1，，其中，．      (1)若两个三角形按图2方式放置，、交于点，连接、，则与的数量关系为______，与的位置关系为_______；并证明； (2)若两个三角形按图3方式放置，其中C、B（D）、F在一条直线上，连接，为中点，连接、．探究线段与之间的关系，并证明． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】（1）利用全等三角形的性质，线段的垂直平分线的判定定理即可解决问题； （2）结论：，．如图3中，延长交的延长线于．想办法证明是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，      ∵（已知）， ，， ， ，， ， ， ， 垂直平分线段． ， 故答案为：，； （2）结论：，． 理由：如图，延长交的延长线于．      ，，，共线， ∴， ， ，， ， ，， ， ， 即， ∵（已知）， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 【答案】(1)①证明见解析②证明见解析 (2)，画图见解析 【分析】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形全等等知识，解题的关键是对垂直平分线、三角形全等的运用． （1）①作的平分线交于点Q， 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点，易得，，结合对顶角的知识解答即可；通过证明、，进而解答即可；②由①可得，，运用等量代换，进而解答即可； （2）通过证明、，得到，，运用等量代换，进而解答即可． 【详解】（1）证明：①如图．作的平分线交于点Q， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，， ． ，， 在与中 ． 在与中 ． ． ， ． ． ． ②，， ，． ， ． （2）证明∶如图．作的平分线交于点K．， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，即． 在和中 ． ，． 在和中 ． ． ， ． 35．（25-26八年级上·江西南昌·开学考试）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得， 再连接（或将绕点D 逆时针旋转得到）， 把集中在中， 利用三角形的三边关系可得， 则． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图， 在中， 点D是边的中点， 点E在边上， 过点D作；交边于点 F， 连接． (1)求证：． (2)若， 则线段之间的等量关系为 ． (3)【应用拓展】如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长到G，使得， 再连接，由可证明，则，从而有，再由线段垂直平分线的性质得，即可证明结论成立； （2）与（1）同理得，得，，从而有，得，由勾股定理即可得线段之间的等量关系； （3）连接，过点C作交的延长线于点H，连接，先证明，得；在中由勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，延长到G，使得，连接， ∵D点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，与（1）同理得， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即线段之间的等量关系为：， 故答案为：； （3）解：如图，连接，过点C作交的延长线于点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵D点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵点D为边的中点，点M为线段的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【经典例题六 垂直平分线常见辅助线添加】 36．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 【答案】(1)在中，； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了写出命题的已知求证、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 【详解】（1）解：已知：在中，． 求证： ． 故答案为：在中，． （2）证明：如图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 37．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都是格点． (1)点D到的距离为__________________； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．（友情提醒：辅助线用虚线，求作的线用实线，并加粗加黑） ①在图2中，作矩形，使得点E、F分别在、上； ②在图3中，在上找一点P，使得； ③在图4中，在上找一点M，使得平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）运用勾股定理求得，运用面积法求解； （2）运用勾股定理及逆定理：①如图，连接格点，交于点F，同法得到点E；②法一：如图，连接格点，延长交于点P,即为所求，法二：如图，连接格点，，，交于点P，即为所求； ③如图，连接格点，,点M即为所求． 【详解】（1）如图，过点D作，过点D作，垂足为F，E，    ∴ ∵， ∴； （2）①如图，连接格点，交于点F，同法得到点E； ②法一：如图，连接格点，延长交于点P,即为所求 由勾股定理知，， ∴ ∴是等腰直角三角形， 法二：如图，连接格点，，，，交于点P，即为所求； 由勾股定理得，，， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ③如图，连接格点，,点M即为所求 由勾股定理知， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即得平分． 【点睛】本题考查勾股定理及逆定理，平行四边形性质，等腰三角形性质，灵活运用勾股定理在网格图中求线段长度是解题的关键． 38．（24-25八年级上·北京·期中）根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，点E为垂足，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM＝CN． 证明：连接DB，DC ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN ∴DM＝①　 　（②　 　） ∵DE是BC的垂直平分线 ∴DB＝③　 　（④　 　） 在⑤　 　和⑥　 　中 ∴⑦　 　≌⑧　 　（⑨　 　） ∴BM＝CN（⑩　 　） 【答案】①DN；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③DC；④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；⑤Rt△BDM；⑥Rt△CDN；⑦Rt△BDM；⑧Rt△BDM；⑨HL；⑩全等三角形的对应边相等． 【分析】连接BD，DC，利用线段垂直平分线的性质得出BD＝CD，利用角平分线的性质得出DM＝DN，进而证明△BMD与△CDN全等即可． 【详解】证明：（1）连接BD，如图： 证明：连接DB，DC， ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN， ∴DM＝DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝CD（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）， 在Rt△BDM和Rt△CDN中， ∴Rt△BDM≌Rt△BDM（HL）， ∴BM＝CN（全等三角形的对应边相等）， 故答案为：①DN；②角平分线上的点到角两边的距离相等； ③DC；④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ⑤Rt△BDM；⑥Rt△CDN；⑦Rt△BDM；⑧Rt△BDM；⑨HL； ⑩全等三角形的对应边相等． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是证明△BDM与△CDN全等． 39．（25-26八年级上·全国·单元测试）【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为 ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及线段垂直平分线性质， （1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接，证明是等边三角形，得出即可； （2）先证明，进而证明，证明是的垂直平分线即可证明结论； （3）取的中点F，连接，得出，再证明，得出是的垂直平分线即可证明结论． 【详解】解：（1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ，即． （2）．理由如下： F是的中点， ∴． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ，即． 在和中， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． （3）．理由如下： 取的中点F，连接， ． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即． 在和中，， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． 40．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，中，在上取，使，延长至，使得． （1）求证：． （2）判断与的位置关系，并说明理由． （3）若的延长线过的中点，求的度数． 迁移应用：如图，中，，，点在线段上，，，垂足为E，与相交于．直接写出线段与的数量关系，并在图中画出探究时所需要的辅助线． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；迁移应用： ，辅助线见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质． （1）通过“”证明即可得证结论； （2）由得到，从而得到，即可得证结论； （3）连接，在等腰直角中，可求得．又由垂直平分得到，从而，根据三角形的内角和定理即可求解； 迁移应用：过D作交延长线于H，交于点G．可证得是等腰直角三角形，从而，，又得到，从而，因此．根据， ，，证得，因此． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ 在和中， ， ， ． （2） 理由： 延长，交于点F， ， ， ∵ ， ∴， ∴． （3）连接， ， ∴， ∵，                  过中点 垂直平分 ， ∴， ∵， ． 迁移应用： 理由：过D作交延长线于H，交于点G． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图是课上老师呈现的一个问题： 已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．    下面提供三种思路： 思路一：过点作（如图甲）； 思路二：过点作，交于点； 思路三：过点作，交于点．    解答下列问题： (1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________； (2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线； (3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）过点作，可得，从而得到、，即可求解； （2）根据题意作图即可； （3）过点G作，根据题意可求出，根据平角的定义可得，然后即可求出答案；过点作，交于点，根据平行线的性质和垂直的定义即可求解 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意作图如下.    （3）解：∵， ∴， 如图乙，过点G作，交于点E，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图丙，过点作，交于点，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并熟悉相关模型的辅助线是解题关键． 42．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边，，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，中垂线的性质，两点之间线段最短，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边； ；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 【经典例题七 等腰三角形的性质和判定综合应用】 43．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，点在线段上，点在左侧，连接，，，且，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角性质、平行线的判定及性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用三角形外角性质，结合已知角的关系推出角相等，再根据判定三角形全等，进而证明线段相等； （2）由（1）中三角形全等得到 ，进而得，再根据平行线的性质求出． 【详解】（1）证明：∵ 是的外角， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ （）， ∴ ， （2）解：由（1）知， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ． 44．（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握相关知识． （1）依题意得：，，当为等腰三角形时，只有，列出方程即可求解； （2）恰好把的面积平分，则可知，由此列方程解题即可 【详解】（1）解：依题意得：，， ， 当为等腰三角形时，， ， 解得：， 当时，为等腰三角形； （2）解：不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分；理由如下： 依题意得：， ， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分． 45．（24-25八年级上·北京·期末）如图，两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接．请找出图2中的全等三角形，并给予证明（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）． (1)你找到的全等三角形是： ； (2)证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）观察图形，根据图形特点找出全等三角形即可； （2）由等腰直角三角形的性质可得，，且．再证明，最后利用证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得，找到的全等三角形是：； （2）证明：∵、为等腰直角三角形， ∴，，且． 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 46．（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（顶点是网格线的交点） (1)以格点O为对称中心，画出关于点O成中心对称的图形（点A，B，C的对应点分别为点）； (2)以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出（点A，B，C的对应点分别为） (3)描出线段上的点D，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等且都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对应点即可． （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点即可． （3）利用网格构造等腰直角三角形，得到角． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：点D如图所示． 47．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积不变．见解析 (3)仍为等腰直角三角形．见解析 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大． （1）连接，可通过证和全等来求本题的结论． （2）可将四边形的面积分成和的面积和求解，由（1）证得和全等，因此四边形的面积可转化为的面积，由此得证． （3）与（1）题的思路和解法一样． 【详解】（1）证明：连接 ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形； （2）解：四边形面积不变． 理由：∵由（1）可知， ∴， 而， ∵D为的中点， ∴， ∵面积不变， ∴不会发生变化； （3）解：仍为等腰直角三角形． 理由：连接， ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形． 48．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①利用即可证明；②延长交于F，设交于G，由全等三角形的性质可得，再导角可证明，据此可得答案； （2）①根据（1）②的结论可得答案；②同理可证明，则，由三线合一定理可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①∵与均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图所示，延长交于F，设交于G， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①同（1）②可证明， ∵A、E、D三点共线， ∴； ②，证明如下： 同理可证明， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵为中边上的高， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 49．（24-25八年级上·吉林四平·期中）如图1，中，平分交边于点E，于F，，在线段上取点H，使． (1)若，请求出的长度； (2)若，，则（1）中的长度是否发生变化，并说明理由； (3)如图2，若，，过点A作交的延长线于G，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)不变，见解析 (3)，见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明全等三角形是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质即可求出答案； （2）证明，即可得到结论； （3）证明，则，，证明，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：不变． 理由：∵，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）， 理由如下：∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中，     ， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 等边三角形动点问题】 50．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，是等边三角形，平分，为边上一动点，为射线上一点．给出下列信息：①；②；③． (1)请在上述条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． 【答案】(1)①②（答案不唯一）；③（答案不唯一），理由见解析 (2) 【分析】（1）当选择条件为①②，结论为③时，连接，先证明，证明得，由此得是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得出结论；当选择条件为①③，结论为②时，连接，先证明，证明得，由此得是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得出结论；当选择条件为②③，结论为①时，连接，证明是等边三角形得，，进而得，证明，再根据全等三角形的性质可得出结论； （2）根据及（1）的结论得，则，再根据等边三角形的性质及勾股定理可求出，，由此可得的面积． 【详解】（1）解：当选择条件为①②，结论为③时， 如图，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故命题正确； 当选择条件为①③，结论为②时， 如图，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故命题正确； 当选择条件为②③，结论为①时， 如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故命题正确； 故答案为：①②；③；（答案不唯一） （2）如图所示， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴的面积为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 51．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，为锐角．点D为射线上一动点，以为边且在的右侧作等边三角形． (1)如果． 当点在线段上时，如图1，线段、的数量关系为 ， ． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点在线段上运动．当时，求的度数． 【答案】(1) ， 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，理由见解析； (2) 的度数为． 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理． （1）根据等边三角形的性质，证明，对应边相等，对应角相等，即可得线段、的数量关系，的度数；根据等边三角形的性质，证明，对应边相等，对应角相等，可得线段、的数量关系，的度数，与中的结论进行对比即可； （2）在上截取，连接，与的交点即为点，由三角形的内角和定理，可得，证明，可得，，可得是等边三角形，可得，从而可得的度数． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴线段、的数量关系为，， 故答案为：，． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，理由： ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴线段、的数量关系为，， ∴当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立． （2）解：在上截取，连接，与的交点即为点， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 52．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，过点A作直线平行于，点D是直线上一动点，连接，射线绕点D顺时针旋转交直线于点E． (1)如图1，若，当点E在线段上时，请直接写出线段，，之间的数量关系，不用证明； (2)如图2，若，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)如图3，若，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)不成立， (3)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）证明是等边三角形，得出，，由边角边的证明方法证明，由全等三角形的性质可得出，即可得出结论； （2）在的延长线上取点F，使，连接，由角边角的证明方法证明，由全等三角形的性质得出，由此可得结论； （3）分两种情况讨论，由边角边的证明方法证明与全等，根据全等三角形的性质与直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 连接，如图， ∵线段绕点D顺时针旋转交直线于点E．且， 又∵，且， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：不成立，， 在的延长线上取点F，使，连接，如图， 当使，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵，， 在与中， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：的长或， 当点E在线段上，过点D作直线l的垂线，交于点F，如图所示， ∵在中，，， ∴， ∵直线， ∴， ∵直线l， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，过点D作直线l的垂线，交于点M，如图所示， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴; 综上，的长或． 53．（24-25八年级上·四川成都·期中）等边中，点D为边上一动点，连接，作点A关于直线的对称点E，连接， (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，若，，求的长度； (3)如图3，若，点D在边上运动的过程中，存在点E使，求此时的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和折叠的性质可得的度数，进而可得的度数，证明，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）可导角求出，则可证明，进而得到，则，证明，推出，设，则，，进而得到，解方程即可得到答案； （3）当点E在上方时，设交于H，可证明平分，得到，求出，；进而得到，根据可得答案；当点E在下方时，过点A作于G，设交于F，可求出；由折叠的性质可得，， 可证明；根据，可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图3-1所示，当点E在上方时，设交于H， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点E在下方时，过点A作于G，设交于F， ∵是等边三角形， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ； 综上所述，的面积为或． 54．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）如图：已知为等腰直角斜边上的一个动点与、均不重合，连接，是等腰直角三角形，为斜边，连接，求的度数． （2）当（1）中、都改为等边三角形，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？请探求点的位置，试说明理由，并求出此时的度数． （3）在（2）的条件下，当点运动到使的周长最小时，点是此时射线上的一个动点，以为边，在直线的下方画等边三角形，若的边长为，请直接写出长度的最小值． 【答案】（1）；（2）当点运动到的中点时，周长最小，此时；（3）1 【分析】本题主要考查的是等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等有关知识． （1）由等腰直角、易证≌，即可得出，进而求出， （2）证明，推出，推出，，由的周长，为定值，推出值最小时，得到周长最小，根据此线段最短即可解决问题． （3）如图中，取的中点，连接，则是等边三角形．作于证明，推出，推出值最小时，的值最小，当与重合时，的值最小． 【详解】解：（1）如图中， ，，， ，， ， ， ． （2）如图中， ，，， ，， ， ， ，， 的周长， 为定值， 值最小时，得到周长最小， ， 时，值最小，此时， ， 当点运动到的中点时，周长最小，此时． （3）如图中，取的中点，连接，则是等边三角形．作于． ，，， ， ， ， 值最小时，的值最小， 当与重合时，的值最小， ，是等边三角形， ， ， ， ， 的长度的最小值为． 55．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）如图，是边长为的等边三角形，有一个点D从点C出发，沿线段向点B运动，另一个点E从点A出发，沿线段向点C运动，它们同时出发，速度相同均为1厘米每秒，设运动时间为t秒．动点F在线段上，且一直保持． (1)当时，的长为 ； (2)在运动过程中，有成立，请证明； (3)当时，与有什么位置关系？请猜想并证明． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得为的中位线，从而得到，进而得到为等边三角形，即可解答； （2）结合等边三角形的性质以及可得， ，即可解答； （3）过点E作于点G，则，根据直角三角形的性质可得，，由（2）得：，可得，，再由勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图， 当时，， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴点D，E分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：3 （2）解： 根据题意得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴； （3）解：，证明如下： 当时，， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， 如图，过点E作于点G，则， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 56．（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．      (1)如图1，若旋转角．求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值：;最大值： 【分析】（1）通过旋转角得出及，利用等腰三角形性质结合已知求． （2）由得内错角相等确定旋转角，结合条件证为等边三角形，建系求点坐标及直线方程，通过交点坐标求三角形面积． （3）利用中点得，分别求点到直线的最小垂距（结合到直线距离与共线关系）和到的最大距离（利用三点共线时线段和）． 【详解】（1）解：∵将绕绕顶点顺时针旋转，旋转角为且， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2） ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴在中，三个内角都为， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 又∵为的直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 过点作的高， ， ∴． （3）∵为中点， ∴， 最小值： 点到直线的垂距。由旋转性质，到的距离为， 当、与垂足共线时，垂距为：． 最大值： 到的最远距离。当在正下方且、、共线时， 距离为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质和等腰三角形的性质。掌握旋转前后对应边相等、对应角相等以及等腰三角形两底角相等是解题的关键． 本题主要考查旋转的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、直线方程求解及三角形面积计算。掌握旋转前后点坐标的计算方法、直线方程联立求交点，以及准确利用几何性质转化角度和边长关系是解题的关键． 本题主要考查点到直线的距离公式、旋转的性质及线段最值问题。掌握利用直角三角形面积法求高，以及三点共线时线段和差的最值判定方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 轴对称章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 轴对称中的光线反射问题 题型二 最短路径问题 题型三 根据30度角直角三角形的性质求最值 题型四 根据30度角直角三角形的性质证明 题型五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系 题型六 垂直平分线常见辅助线添加 题型七 等腰三角形的性质和判定综合应用 题型八 等边三角形动点问题 【经典例题一 轴对称中的光线反射问题】 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）小明家中客厅的南北长度是，在客厅西墙上装了一面很大很大的镜子，客厅的门在东墙.某日小敏去小明家，刚进门就说：“呀，你家客厅好大呀，估计有50多平方米吧？”小明说：“没有，不足30平方米.”请你解释，两人的估算怎么会差别如此之大？究竟谁说错了呢？ 3．（2025八年级上·全国·专题练习）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 4．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 6．（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A（1,3），B（2,1），C（5,1）． （1）直接写出点B关于x轴对称的对称点的坐标为______，直接写出点B关于y轴对称的对称点的坐标为_____，直接写出的面积为_______； （2）在y轴上找一点P使最小，则点P坐标为_______；说明理由． 7．（2025·江苏泰州·模拟预测）【背景】如图1，光的反射定律告诉我们，光线经平面镜反射，入射角＝反射角． 【定义】如图2，点、在直线同侧，点在直线上，，则称点为、在直线上的反射点．    【应用】 (1)如图3，在中，，点在上，，，垂足分别为、．求证：点为、在直线上的反射点； (2)如图4，在正方形网格中，点，，三点均在格点上，请用没有刻度的直尺在上画出点，在上画出点，使，在上的反射点满足； (3)如图5，在点处放置两面夹角为的平面镜、，，光从点射出，在平面镜上点处反射，反射光线在平面镜上点处再次反射后经过点，画出示意图，求的值． 【经典例题二 最短路径问题】 8．（2025八年级上·全国·专题练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 11．（24-25八年级上·江西南昌·期末）网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上． (1)请画出向上平移5个单位后的； (2)请画出，使它与关于直线对称； (3)请在直线l上画出一点P，使得线段的长度和最小． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． ①作，使它与关于直线l对称； ②在直线l上找一点P，使的和最短．（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）． （2）观察下图①~③中涂色部分构成的图案．（每个小三角形面积均为1） ①写出这三个图案都具有的两个共同特征： __________________，____________________ ②借助图④⑤中的网格，请你设计另外两个新的图案，使新的图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征． 13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）课本再现 （1）如图（）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？请确定奶站的位置并说明理由； 类比思考： （2）如图（），，点在内且，为上一点，为上一点，求周长的最小值； 拓展应用： （3）如图（），四边形是某市一休闲广场，其中，，，，点，，，分别在，，，上，且，现小明从点出发，沿四边形走一圈回到点处，求小明行走的最短路程． 14．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴______，________， ∴_____ 在中， ∵， ∴． ∴，即最小， 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米． 【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值． 15．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，中，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．    (1)请补全图形； (2)直接写出在点运动过程中，线段的最大值为______，线段的最小值为______． 16．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 【经典例题三 根据30度角直角三角形的性质求最值】 17．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点E． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，点P在上，则的最小值为______．（直接写出结果）． 18．（24-25八年级上·全国·期末）是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 19．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）【问题发现】如图①，在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，连接， _______， ______（用含的代数式表示）； 【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，点为内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，求证：； 【结论应用】如图③，在【问题探究】的条件下，连接，，的最小值为____． 20．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，已知等腰直角中，，以为边在点的另一侧作等边，点分别在线段上，，且与相交于点，延长交于． (1)求∠ECH的度数； (2)试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)若点是边上的动点，，求周长的最小值，结果用含的整式表示． 21．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图1，平面内有三个点A，B，C，，，则的长度的最小值为_____，最大值为_____ (2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． (3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角，，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 根据30度角直角三角形的性质证明】 22．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）在中，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 23．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，平分，点B，D分别在，上 (1)如图1，若，请你探索是否成立，并给出证明． (2)如图2，若，则是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 25．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在第一、二象限，轴于点，连接、、，且． (1)如图1，若，，，探究、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若，，探究线段、之间的数量关系，并证明你的结论． 26．（24-25八年级上·江西赣州·期末）学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 27．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知均为等边三角形． （1）如图1，点在线段上，分别连接．求证：． （2）【知识理解】 在通过构造全等三角形解决问题中，有一种方法叫“倍长中线法”．如图2，是的中线，延长到点，使得，连接，则根据“”可判定． 【知识应用】请应用以上方法解决问题： 如图3，点在内，是的中点，连接．若，且． ①求证：； ②判断线段与的数量关系并证明． 28．（24-25八年级上·广东佛山·期中）【问题提出】 如图1，通过拼摆两个含角的全等的三角尺，发现两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为，则它所对的直角边等于斜边的一半． 通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？ 【思路启迪】 从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？ 已知：如图，中，，，求证：． 请在图中添加辅助线，将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法（后续论证方法不同）在图2、图3添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线的． 分类 方法一（图2） 方法二（图3） 画图及描述 【逻辑论证】在上述图形中，选择其中一种方法，完成证明． 【触类旁通】 以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．反过来思考：它的逆命题是否成立呢？ （1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果__________，那么__________．” （2）请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由． 【经典例题五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】 29．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)线段和有什么数量关系，为什么？ (2)若，，求的长． 30．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，平分． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点．分别交于点，．连接（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，猜想线段与的关系，并说明理由． 31．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习） (1)如图1，在△ABC中，D为BC的中点，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围； (2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，D是线段BC上一动点，F为BD的中点，AD＝AE且AD⊥AE，求AF与EC的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，E是BD的中点，连接AE，作AE⊥EF，若DF＝CF，直接写出∠BAC与∠DFC的之间关系是 ． 32．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，．点在边上，点在延长线，且满足．连接，．已知． (1)若，求的度数． (2)小真同学通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：与之间的等量关系，并给出证明． (3)探究，，三者之间的等量关系，并给出证明． 33．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图1，，其中，．      (1)若两个三角形按图2方式放置，、交于点，连接、，则与的数量关系为______，与的位置关系为_______；并证明； (2)若两个三角形按图3方式放置，其中C、B（D）、F在一条直线上，连接，为中点，连接、．探究线段与之间的关系，并证明． 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 35．（25-26八年级上·江西南昌·开学考试）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得， 再连接（或将绕点D 逆时针旋转得到）， 把集中在中， 利用三角形的三边关系可得， 则． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图， 在中， 点D是边的中点， 点E在边上， 过点D作；交边于点 F， 连接． (1)求证：． (2)若， 则线段之间的等量关系为 ． (3)【应用拓展】如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，则的长为 ． 【经典例题六 垂直平分线常见辅助线添加】 36．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 37．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都是格点． (1)点D到的距离为__________________； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．（友情提醒：辅助线用虚线，求作的线用实线，并加粗加黑） ①在图2中，作矩形，使得点E、F分别在、上； ②在图3中，在上找一点P，使得； ③在图4中，在上找一点M，使得平分． 38．（24-25八年级上·北京·期中）根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，点E为垂足，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM＝CN． 证明：连接DB，DC ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN ∴DM＝①　 　（②　 　） ∵DE是BC的垂直平分线 ∴DB＝③　 　（④　 　） 在⑤　 　和⑥　 　中 ∴⑦　 　≌⑧　 　（⑨　 　） ∴BM＝CN（⑩　 　） 39．（25-26八年级上·全国·单元测试）【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为 ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 40．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，中，在上取，使，延长至，使得． （1）求证：． （2）判断与的位置关系，并说明理由． （3）若的延长线过的中点，求的度数． 迁移应用：如图，中，，，点在线段上，，，垂足为E，与相交于．直接写出线段与的数量关系，并在图中画出探究时所需要的辅助线． 41．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图是课上老师呈现的一个问题： 已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．    下面提供三种思路： 思路一：过点作（如图甲）； 思路二：过点作，交于点； 思路三：过点作，交于点．    解答下列问题： (1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________； (2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线； (3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程． 42．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【经典例题七 等腰三角形的性质和判定综合应用】 43．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，点在线段上，点在左侧，连接，，，且，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 44．（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 45．（24-25八年级上·北京·期末）如图，两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接．请找出图2中的全等三角形，并给予证明（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）． (1)你找到的全等三角形是： ； (2)证明． 46．（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（顶点是网格线的交点） (1)以格点O为对称中心，画出关于点O成中心对称的图形（点A，B，C的对应点分别为点）； (2)以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出（点A，B，C的对应点分别为） (3)描出线段上的点D，使． 47．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 48．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 49．（24-25八年级上·吉林四平·期中）如图1，中，平分交边于点E，于F，，在线段上取点H，使． (1)若，请求出的长度； (2)若，，则（1）中的长度是否发生变化，并说明理由； (3)如图2，若，，过点A作交的延长线于G，判断、、的数量关系，并说明理由． 【经典例题八 等边三角形动点问题】 50．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，是等边三角形，平分，为边上一动点，为射线上一点．给出下列信息：①；②；③． (1)请在上述条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． 51．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，为锐角．点D为射线上一动点，以为边且在的右侧作等边三角形． (1)如果． 当点在线段上时，如图1，线段、的数量关系为 ， ． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点在线段上运动．当时，求的度数． 52．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，过点A作直线平行于，点D是直线上一动点，连接，射线绕点D顺时针旋转交直线于点E． (1)如图1，若，当点E在线段上时，请直接写出线段，，之间的数量关系，不用证明； (2)如图2，若，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)如图3，若，，，请直接写出的长． 53．（24-25八年级上·四川成都·期中）等边中，点D为边上一动点，连接，作点A关于直线的对称点E，连接， (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，若，，求的长度； (3)如图3，若，点D在边上运动的过程中，存在点E使，求此时的面积． 54．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）如图：已知为等腰直角斜边上的一个动点与、均不重合，连接，是等腰直角三角形，为斜边，连接，求的度数． （2）当（1）中、都改为等边三角形，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？请探求点的位置，试说明理由，并求出此时的度数． （3）在（2）的条件下，当点运动到使的周长最小时，点是此时射线上的一个动点，以为边，在直线的下方画等边三角形，若的边长为，请直接写出长度的最小值． 55．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）如图，是边长为的等边三角形，有一个点D从点C出发，沿线段向点B运动，另一个点E从点A出发，沿线段向点C运动，它们同时出发，速度相同均为1厘米每秒，设运动时间为t秒．动点F在线段上，且一直保持． (1)当时，的长为 ； (2)在运动过程中，有成立，请证明； (3)当时，与有什么位置关系？请猜想并证明． 56．（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．      (1)如图1，若旋转角．求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $