专题05 等边三角形重难点题型专训（2个知识点+6大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题05 等边三角形重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 等边三角形的定义 题型二 等边三角形的性质 题型三 等边三角形的判定 题型四 等边三角形的判定和性质 题型五 尺规作图等边三角形 题型六 最短路径问题 拓展训练一 根据等边三角形的性质求长度 拓展训练二 根据等边三角形的性质求角度 拓展训练三 等边三角形翻折问题 拓展训练四 等边三角形存在性问题 拓展训练五 等边三角形动点问题 知识点一：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ，，是的三条边， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形 ． 知识点二：等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） 如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，再证明，进一步可得答案． 【详解】解：在等边中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形的角平分线，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ． 如 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得，根据等腰直角三角形的性质得，结合图形计算即可． 【详解】解：是等边三角形的角平分线， ． 以为斜边作等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【经典例题一 等边三角形的定义】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（   ） A．等边三角形的三条边都相等 B．等边三角形的三个内角都等于 C．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D．等腰三角形具有等边三角形的性质 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质；根据等边三角形，等腰三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：等边三角形的三条边都相等，三个内角都等于，等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形， 故D选项错误；符合题意．其他选项均正确． 故选：D． 1．（2025·江西·模拟预测）如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东汕头·单元测试）等边三角形的对称轴有 条． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的轴对称性，熟练掌握等边三角形的三线合一性质是解决此题的关键．根据轴对称图形的特点，结合等边三角形的性质特征，可知结果答案． 【详解】解：根据等边三角形特征：等边三角形的对称轴有3条，是底边中线所在直线， 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据三边相等得出等边三角形的周长，即可作答． 【详解】解：∵等边三角形的边长为3， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：9 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，高为，可能是整数吗？可能是分数吗？ 【答案】不可能是整数，也不可能是分数 【分析】根据等边三角形三线合一即可求得D为BC的中点，即BD=1，在Rt△ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的值，即可解题． 【详解】解：∵等边三角形三线合一 ∴D为BC的中点，且AD⊥BC， 即BD=CD=1， ∵AB=2， ∴AD=， 即= 故不可能是整数，也不可能是分数． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形三线合一的性质，本题中根据勾股定理求的长是解题的关键． 【经典例题二 等边三角形的性质】 【例2】（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，．以为边在的外侧作两个等边三角形和，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵、都是等边三角形，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到，，，则，则根据“”可证明，从而可对①进行判断；再证明，则可根据“”判断，从而可对②进行判断，所以，接着根据“”证明，从而可对③进行判断；由于不是等边三角形，为等边三角形，从而可对④进行判断． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，所以①正确； ， ， ， 在和中， ， ，所以②正确； ， 在和中， ， ，所以③正确； ， 不是等边三角形， 而为等边三角形， 与不能全等，所以④错误． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 【答案】25 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵三角形是等边三角形，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：25． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若，则的值为 秒． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的性质，由等边三角形的性质得，得出，由全等三角形的性质得，再根据“时间=路程÷速度”求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 4．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】此题主要考查等边三角形的性质及三角形外角的性质；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． （2）由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴． ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵，由（1）知，， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 【经典例题三 等边三角形的判定】 【例3】（24-25八年级·全国·单元测试）下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理：有两个角都是的三角形或有三边相等的三角形或有一个角是的等腰三角形是等边三角形，分析并作答即可． 【详解】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④；正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．由题意得，从而得出，可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出，从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出，所以，再求解即可判断④． 【详解】解：关于，的对称点分别是点，点， ， ， 故②正确， ，的大小没有确定， 的大小没有确定， 不一定是等边三角形， 故①错误， 关于，的对称点分别是点，点， 为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， ， 的周长， 故③正确， 如图，设与交于点E，与交于点F， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ； 故④正确， 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，若 ，则是等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，根据等边三角形的定义进行分析，即可求解． 【详解】解：当或或或或时，是等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）（1）如图1四边形中，点、、分别是四边形的、、边上的点，，，是 ； （2）如图2，为等边三角形，点、、分别是的、、边上的点，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，中，，点从点向点以运动，点从点向点以运动，点从点向点以运动，三点同时运动秒，试问：当和分别为多少时，与全等． 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）当，或，时，与全等 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，根据同角的余角相等，得到，根据等腰直角三角形的概念解答； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据等边三角形的判定定理证明； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】解：（1）在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）证明：为等边三角形， ． 在和中， ， ，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形； （3）解：当时，， ，， ，； 当时，，， ，， ，， 答：当，或，时，与全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，等边三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． 【经典例题四 等边三角形的判定和性质】 【例4】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的中线，B、C分别是的中点，连接，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据等边三角形及是边上的中线，可得判断选项A；通过证明可判断选项B、C；可证明都为等边三角形，得到，即可判断D． 【详解】解：因为是等边三角形，是边上的中线，所以，A 选项正确； 是等边三角形，是边上的中线， ，， ∵B、C分别是的中点， ∴， 又∵， ， ∴， 故B、C 选项正确； 是等边三角形，B、C分别是的中点， ，， 即都为等边三角形， ， 所以，D 选项错误， 故选：D． 1．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知：如图，在中，点D在边上，，，则 度． 【答案】60 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及等边三角形的判定与性质，由题意得，进而得是等边三角形，即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边中，E，D分别为边，上两动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当时，的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先证明，推出，，证明是等边三角形，求得，取的中点，连接，证明是等边三角形，求得，求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 4．（2025八年级·全国·模拟预测）如图1，在等边中，是边上一点，连接，将沿翻折至，为上一点，． (1)求证：； (2)如图2，为上一点，连接，，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过连接，利用等边三角形性质（三边相等、角为）和翻折性质（对应边、角相等），推导角的等量关系，证明，从而得出，进而结合及，证明． （2）利用点在垂直平分线上的性质（到线段两端距离相等），构造全等三角形（如等），结合等边三角形判定（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）、翻折性质，证明为等边三角形，可得，， 进而证明，结合可得，进而可得，由，由此即可解题． 【详解】（1）证明：连接， 为等边三角形 ， 由翻折性质得， ，则 又 ， 即， 即； （2）解：在上截取，连接，，， ，， ， ， ∵， ， 又（平角）且 ， ∴在四边形中， 又，即， ， 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ， ， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定及性质，灵活运用翻折前后边与角的对应关系是解题的关键． 【经典例题五 尺规作图等边三角形】 【例5】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点A、B为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；②连接，作直线，且与相交于点，则下列说法不正确的是（    ）    A．是等边三角形 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质．利用基本作图得到垂直平分，，则可对A选项、B选项和C选项进行判断；然后根据等边三角形的性质可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得垂直平分，， ∴为等边三角形，，所以A、B、C选项符合题意； ∴．所以D选项不符合题意； 故D． 1．（24-25八年级上·天津和平·开学考试）如图，已知，按以下步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作；交射线于点D；②连接，分别以点C、D为圆心，长为半径作弧，交于点M、N；③连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的有（   ）个 ① ②点M与点D关于直线对称 ③若，则 ④ ⑤ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据等弧所对圆周角相等可以判断①；根据，，可得垂直平分，可以判断②；根据平行线的判定可以判断；证明出为等边三角形，然后由得到，进而判断③；根据同弧所对的圆周角相等得到，即可判断④；根据圆周角定理即可判断⑤． 【详解】解：由作法得， ， ，故①正确； ，， 垂直平分， 点与点关于对称，故②正确； 如图所示，连接 ， 为等边三角形， ， ∵ ∴，故③正确； 如图所示，连接， ， ， ，故④正确； 如图所示，连接， ∵ ∴ 又∵ ∴，故⑤错误． 综上所述，错误的有1个． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，平行线的判定，同弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A，B为圆心、以的长为半径作弧，两弧交于点C；②连接．观察尺规作图的痕迹，的度数为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了尺规作图，等边三角形的判定和性质．由作法得：，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：60 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图所示，已知，现按照以下步骤作图：①在，上分别截取线段、，使；②分别以D、E为圆心，以长为半径画弧，在内两弧交于点C；③作射线；④连接、．则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了作图-基本作图的理解：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．利用基本作图得到，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再判断为等边三角形得到，然后计算即可． 【详解】解：连接， 由作法得，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． ∴； 故答案为． 4．（2025·广东·模拟预测）如图，是等边三角形． (1)请用尺规作图法，作出的中点D，并在的延长线上找一点E，使得；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在（1）的条件下，连接，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，尺规作图---线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识点． （1）先作出线段的垂直平分线与交点即为点，然后在的延长线上截取即可； （2）由等腰三角形得到，由等边三角形得到，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题六 最短路径问题】 【例6】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 把此正方体的一面展开，然后在平面内，根据两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示， 故选B． 1．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 【答案】B 【分析】本题考查的是比较线段的长短，先根据题意求出各点间的距离并在图上表示出来，再分别计算出各村到选项中所给的村的路程和，再比较出其大小即可． 【详解】解：A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，， ∴ 又村庄G正好是的中点， ∴， ∴各村间的距离如图所示： 各村到A村的路程和为：， 各村到E村的路程和为：， 各村到C村的路程和为：； 各村到G村的路程和为：． ， 故活动中心应建在C村． 故选B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过A作，且，连接，，设与交点为， 先证明得到，则，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合，再证明得到 即可求解． 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 【拓展训练一 根据等边三角形的性质求长度】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，为等边三角形，于点，点是线段上的一点，过点作的垂线分别交和延长线于点，过点作，垂足为，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了含有角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求出相关角度，通过角度关系得到边的关系，进而求出线段长度． 【详解】∵为等边三角形，， 又∵， ， 又 故答案为：6． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积存在最大值，； (3)能，的值为4或16 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）利用等边三角形证明，由可证明； （2）证明，要使最大，则需要最小，则可得出答案； （3）分两种情况，①当时，②当时，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ； （2）解：的面积存在最大值， 由（1）得， ， 又， ， 若最大，则需要最小， 当时，CD的长最小，最小， ； （3）解：当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，如图， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ． 综上，当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为4或． 【拓展训练二 根据等边三角形的性质求角度】 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线，等腰直角和等边在，之间，点A，D分别在，上，点B，C，E，F在同一直线上．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，关键是掌握平行线的性质． 延长交于G，得出，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质得出相关角的度数，然后利用四边形的内角和求出，最后利用邻补角即可求解． 【详解】解：延长交于G， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，证出，证明，则即可得解答； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，AE=BD，求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可得出； 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， ， ∴， ∴ ． （2）证明：由（1）得：， ，，， ， ∴， ， ∴， ． 【拓展训练三 等边三角形翻折问题】 1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图所示，在等边中，，将线段沿翻折得到线段，连接交于点N，连接，，，以下说法：①；②是等边三角形；③；④；⑤中，正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】根据题意证明出，得到，，然后结合折叠的性质得到，即可判断①；推出，证明出是等边三角形，即可判断②；根据题意无法证明，即可判断③；推出垂直平分线段，求出，得到，即可判断④；根据题意证明出，得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵线段沿翻折，得到线段， ∴，，， ∴，故①正确； ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形，故②正确； 根据题意无法证明，故③错误； ∵将线段沿翻折得到线段 ∴垂直平分线段， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵，，， ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的是①②④⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=6，点E，F分别在AB，AC上，沿EF将△AEF翻折，使顶点A的对应点D落在BC边上，若FD⊥BC，求EF的长． 【答案】2 【分析】根据直角三角形的性质得到∠CFD＝60°，DF＝FC，由折叠的性质得到∠AFE＝∠DFE＝60°，AF＝DF，得到△AEF是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵FD⊥BC，∠C=30°， ∴∠CFD=60°，DF=FC，                                   由折叠的性质可知，∠AFE=∠DFE=60°，AF=DF， ∵∠B=90°，∠C=30°， ∴∠A=60°， ∴△AEF是等边三角形，                             ∴EF=AF=FC， ∴EF=AC=2． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、等边三角形的判定与性质、含30°直角三角形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 【拓展训练四 等边三角形存在性问题】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在， 【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，可得BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°，再由∠MBN＝60°，可推出∠MBA＝∠NBE，由此即可证明； （2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，可以推出当AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF，由此求解即可． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得BN=BM， 如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形， ∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°； ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN＝∠ABE， ∴∠MBA＝∠NBE； 在△AMB与△ENB中， ， ∴△AMB≌△ENB（SAS）； （2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M， ∴，，PC=EF，∠PBC=∠EBF，BC=BF ∴为等边三角形， 即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC=BF， ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=150° ∴∠BAF=∠AFB＝15°， ∴∠MBF=∠BAF+∠AFB=30° ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． (1)①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． (2)如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【答案】(1)①画图见解析；②不存在 (2)或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键是： （1）①作的平分线即可，然后根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求解即可； ②根据“等腰线段”的定义和等边三角形的判定与性质判定即可； （2）分三种情况讨论：①；②；③三种情况讨论，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴、是等腰三角形， ∴是的“等腰线段”； ②若等边三角形存在“等腰线段”，如图， 则，都是等腰三角形， 又是等边三角形， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴D和A或D和C重合， 此时不存在或， ∴等边三角形不存在“等腰线段”， 故答案为：不存在； （2）解∶∵存在“等腰线段”， ∴、是等腰三角形， ①当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ②当时，如图， ∴ ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上，的度数为或或． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知是边长为4的等边三角形，点D是射线上的动点，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，猜想是什么三角形？___________；（直接写出结果） (2)如图2，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)①当___________时，；（直接写出结果） ②点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)①或 ② 【分析】（1）根据旋转的性质得到，根据等边三角形的判定定理解答； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）①分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据得到，根据垂线段最短解答． 【详解】（1）由旋转变换的性质可知，， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）， 证明：由旋转的性质可知，， 是等边三角形 ， ， ，即， 在和中， , ， ； 故答案为：； （3）①为或时，， 当点在线段上时，， ， ， ， ， ， 当点在线段的延长线上时，， ， ， ， ， ， 为或时，； 故答案为：或； ②点在运动过程中，的周长存在最小值，最小值为， 理由如下：， ， 则的周长， 当最小时，的周长最小， 为等边三角形， ， 的最小值为， 的周长的最小值为． 故答案为：； 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【拓展训练五 等边三角形动点问题】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）在边长为的等边三角形中，是上一点，是上一动点，并以每秒1个单位长度的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图①，若，求的值； (2)如图②，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点经点向点运动（当点到达点时，两点同时停止运动），求：当为何值时，为等边三角形． 【答案】(1)当时， (2)当时，为等边三角形 【分析】本题是等边三角形综合题，以动点问题为背景，根据等边三角形的判定与性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ∵是边长为的等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由题意可知， ． ， 解得， ∴当时，； （2）解：①当点在边上时，如图所示： 此时，不可能为等边三角形； ②当点在边上时，如图所示： 若为等边三角形，则， 由题意可知，， ， 即，解得， ∴当时，为等边三角形． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段， (1)如图1，若，连接，．求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及几何最值问题，解题的关键是通过构造辅助线（如延长线段构造全等三角形）转化线段和角的关系，利用全等三角形和特殊三角形的性质解决问题． （1）由推出是等边三角形，得；结合等边的性质，证；用证，得出． （2）延长至H使，证，得；证，得；由，推出． （3）延长至Q使，证，得且；结合，证是等腰直角三角形，得，利用（2）的结论分析角度关系，求出． 【详解】（1）解：， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）如图，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ，则， 在和中， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接， 因，则， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时， 取最小值，即取最小值，此时． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，点D是所在直线上的动点，连接，点E是点B关于直线的对称点，直线与直线交于点F． (1)当，点D移动到如图1的位置时，直接写出线段，，之间的数量关系； (2)当，点D移动到如图2的位置时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由； (3)当时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，；当点D在线段延长线上时，． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）延长至点，使，证明≌即可得出结论； （2）延长至点，使，证明≌即可得出结论， （3）分三种情况讨论，用（1）（2）中的方法证明即可． 【详解】（1）解：； 如图：延长至点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 如图，延长至点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）解：①如图，当点D在线段上时， 延长至点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； ②如图，当点D在线段延长线上时， 在上取点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ③如图，当点D在线段延长线上时， 在上取点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，； 当点D在线段延长线上时，． 1．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）若等边三角形的边长是，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等，由此即可计算． 【详解】解：∵等边三角形的边长是， ∴的周长． 故选：A． 2．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，基本作图． 根据作图可得，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 连接，交于点P，利用等边三角形的性质可得，，从而得到当点B，P，E三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点P， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 即当点B，P，E三点共线时，取得最小值， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2025·山东临沂·模拟预测）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）等边三角形的判定1： 都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定2： 都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定3：有一个角 的 三角形是等边三角形． 【答案】 三条边 三个角 是 等腰 【分析】根据等边三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：等边三角形的判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形； 故答案为：三条边；三个角；是；等腰． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定定理，熟知定理是解本题的关键． 7．（24-25八年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率是 ． 【答案】 【分析】连接OC、OD，如图，设⊙O的半径为r，利用圆的内接正六边形的性质得到∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，再判断S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，所以阴影部分的面积＝S扇形BOD，然后利用几何概率的计算方法求解． 【详解】解：连接OC、OD，如图所示： 设⊙O的半径为r， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°， ∴△OBC和△OCD都为等边三角形， ∴BC＝OC＝CD，∠BCO＝∠COD＝60°， ∴S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD， ∴阴影部分的面积＝S扇形BOD＝＝πr2， ∴在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率：某事件的概率＝相应的面积与总面积之比，即通过计算长度比、面积比或体积比得到某事件的概率，熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键． 8．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，则△PCD的周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】连接BD，由于AB=BC，点D是AC边的中点，故BD⊥AC，再根据三角形的面积公式求出BD的长，再根据直线l是线段BC的垂直平分线可知，点C关于直线l的对称点为点B，故BD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接BD， ∵AB=BC，点D是BC边的中点， ∴BD⊥AC， ∴S△ABC=AC•BD=×2×BD=3， 解得BD=3， ∵直线l是线段BC的垂直平分线， ∴点C关于直线l的对称点为点B， ∴AB的长为CP+PD的最小值， ∴△CDP的周长最短=（CP+PD）+CD=BD+AC=3+1=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；由题意易得为等边三角形，再证明，则． 【详解】解：∵, ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 11．（2025·福建福州·模拟预测）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边三角形得到，然后证明出，进而证明出． 【详解】证明：为等边三角形， ， ， ， 在和中， ． 12．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【答案】4秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．设运动的时间为，则，，，由是等边三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒， ，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动， ，，， ∵是等边三角形， ∴，即， 解得：． 答：运动的时间是4秒． 13．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图－垂直平分线，等边三角形的判定，等边对等角等性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）作边的垂直平分线，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得的度数，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——轴对称变换及最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点即可； （2）连接交y轴于P点，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件，从而得到P点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如图，根据轴对称的性质可知，，连接交y轴于P点，此时点P即为所求作，P点坐标为． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为 ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及线段垂直平分线性质， （1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接，证明是等边三角形，得出即可； （2）先证明，进而证明，证明是的垂直平分线即可证明结论； （3）取的中点F，连接，得出，再证明，得出是的垂直平分线即可证明结论． 【详解】解：（1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ，即． （2）．理由如下： F是的中点， ∴． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ，即． 在和中， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． （3）．理由如下： 取的中点F，连接， ． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即． 在和中，， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等边三角形重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 等边三角形的定义 题型二 等边三角形的性质 题型三 等边三角形的判定 题型四 等边三角形的判定和性质 题型五 尺规作图等边三角形 题型六 最短路径问题 拓展训练一 根据等边三角形的性质求长度 拓展训练二 根据等边三角形的性质求角度 拓展训练三 等边三角形翻折问题 拓展训练四 等边三角形存在性问题 拓展训练五 等边三角形动点问题 知识点一：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 知识点二：等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） 如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等 A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形的角平分线，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ． 如 【经典例题一 等边三角形的定义】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（   ） A．等边三角形的三条边都相等 B．等边三角形的三个内角都等于 C．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D．等腰三角形具有等边三角形的性质 1．（2025·江西·模拟预测）如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 2．（24-25八年级上·广东汕头·单元测试）等边三角形的对称轴有 条． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为 ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，高为，可能是整数吗？可能是分数吗？ 【经典例题二 等边三角形的性质】 【例2】（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，．以为边在的外侧作两个等边三角形和，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若，则的值为 秒． 4．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直，垂足为F，若，求的周长． 【经典例题三 等边三角形的判定】 【例3】（24-25八年级·全国·单元测试）下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④；正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，若 ，则是等边三角形． 3．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    4．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）（1）如图1四边形中，点、、分别是四边形的、、边上的点，，，是 ； （2）如图2，为等边三角形，点、、分别是的、、边上的点，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，中，，点从点向点以运动，点从点向点以运动，点从点向点以运动，三点同时运动秒，试问：当和分别为多少时，与全等． 【经典例题四 等边三角形的判定和性质】 【例4】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的中线，B、C分别是的中点，连接，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 1．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知：如图，在中，点D在边上，，，则 度． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边中，E，D分别为边，上两动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当时，的值为 ． 4．（2025八年级·全国·模拟预测）如图1，在等边中，是边上一点，连接，将沿翻折至，为上一点，． (1)求证：； (2)如图2，为上一点，连接，，若，，求线段的长． 【经典例题五 尺规作图等边三角形】 【例5】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点A、B为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；②连接，作直线，且与相交于点，则下列说法不正确的是（    ）    A．是等边三角形 B． C． D． 1．（24-25八年级上·天津和平·开学考试）如图，已知，按以下步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作；交射线于点D；②连接，分别以点C、D为圆心，长为半径作弧，交于点M、N；③连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的有（   ）个 ① ②点M与点D关于直线对称 ③若，则 ④ ⑤ A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A，B为圆心、以的长为半径作弧，两弧交于点C；②连接．观察尺规作图的痕迹，的度数为 ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图所示，已知，现按照以下步骤作图：①在，上分别截取线段、，使；②分别以D、E为圆心，以长为半径画弧，在内两弧交于点C；③作射线；④连接、．则的度数为 ． 4．（2025·广东·模拟预测）如图，是等边三角形． (1)请用尺规作图法，作出的中点D，并在的延长线上找一点E，使得；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在（1）的条件下，连接，则 ． 【经典例题六 最短路径问题】 【例6】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是 （填序号）． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 4．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【拓展训练一 根据等边三角形的性质求长度】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，为等边三角形，于点，点是线段上的一点，过点作的垂线分别交和延长线于点，过点作，垂足为，若，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【拓展训练二 根据等边三角形的性质求角度】 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线，等腰直角和等边在，之间，点A，D分别在，上，点B，C，E，F在同一直线上．若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 【拓展训练三 等边三角形翻折问题】 1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图所示，在等边中，，将线段沿翻折得到线段，连接交于点N，连接，，，以下说法：①；②是等边三角形；③；④；⑤中，正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=6，点E，F分别在AB，AC上，沿EF将△AEF翻折，使顶点A的对应点D落在BC边上，若FD⊥BC，求EF的长． 【拓展训练四 等边三角形存在性问题】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由． 2．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． (1)①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． (2)如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知是边长为4的等边三角形，点D是射线上的动点，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，猜想是什么三角形？___________；（直接写出结果） (2)如图2，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)①当___________时，；（直接写出结果） ②点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【拓展训练五 等边三角形动点问题】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）在边长为的等边三角形中，是上一点，是上一动点，并以每秒1个单位长度的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图①，若，求的值； (2)如图②，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点经点向点运动（当点到达点时，两点同时停止运动），求：当为何值时，为等边三角形． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段， (1)如图1，若，连接，．求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，点D是所在直线上的动点，连接，点E是点B关于直线的对称点，直线与直线交于点F． (1)当，点D移动到如图1的位置时，直接写出线段，，之间的数量关系； (2)当，点D移动到如图2的位置时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由； (3)当时，请直接写出，，之间的数量关系． 1．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）若等边三角形的边长是，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东临沂·模拟预测）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）等边三角形的判定1： 都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定2： 都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定3：有一个角 的 三角形是等边三角形． 7．（24-25八年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率是 ． 8．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，则△PCD的周长的最小值是 ． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为 11．（2025·福建福州·模拟预测）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 12．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 13．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，若，求证：是等边三角形． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为 ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $