专题01 轴对称及其性质重难点题型专训（3个知识点+6大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题01 轴对称及其性质重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 成轴对称的两个图形的识别 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型五 台球桌面上的轴对称问题 题型六 轴对称中的光线反射问题 拓展训练一 根据成轴对称性质求角度 拓展训练二 轴对称中折叠问题 拓展训练三 轴对称性质的规律问题 知识点一：两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）轴对称图形的对称轴 连结两个对称点的线段． 成轴对称的两个图形是 图形． 【答案】 垂直且平分 全等 【分析】根据轴对称图形的性质，对称轴是对称点所连线段的垂直平分线，以及成轴对称的两个图形是全等图形，进行作答即可． 【详解】解：轴对称图形的对称轴垂直且平分连结两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形． 故答案为：垂直且平分；全等． 【点睛】本题考查轴对称图形以及成轴对称的两个图形的性质．熟练掌握对称轴是对称点所连线段的垂直平分线，成轴对称的两个图形是全等图形，是解题的关键． 知识点二：两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，对所给选项依次进行判断即可．熟知轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形关于所在的直线对称，且点为上一点， ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； 而与不一定相等，故D选项不一定正确，符合题意． 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，和关于直线对称，点的对称点是 ． 【答案】点 【分析】此题考查了轴对称，准确找到对应点是解题的关键．根据轴对称的性质进行解答即可， 【详解】解：和关于直线对称， 点的对称点是点， 故答案为：点． 知识点三：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【即时训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）在英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是 ． 【答案】A、E、M、U． 【分析】根据轴对称图形的概念对各字母分析判断． 【详解】解：英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是：A、E、M、U． 故答案为：A、E、M、U． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【经典例题一 轴对称图形的识别】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·开学考试）下面四幅图是天气图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，B、C、D均不是轴对称图形，故不符合要求； A中是轴对称图形，故符合要求； 故选：A． 1．（2025·北京房山·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期中）请列举三个最简单的轴对称图形： ． 【答案】等腰三角形，角和线段（答案不唯一） 【分析】本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，解答即可． 【详解】解：轴对称图形有等腰三角形，角和线段， 故答案为：等腰三角形，角和线段． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形 轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【答案】 不是 8 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义求解即可，熟练掌握轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：由轴对称图形的定义并结合图形可得该图形不是轴对称图形， 如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形，即选择的方案最多有种， 故答案为：不是，． 4．（2025·浙江宁波·模拟预测）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．选出的三个图案是 （填写序号）；它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）； (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性． 【答案】(1)①③⑤；轴对称； (2)见解析 【分析】（1）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据定义进行判断选择即可； （2）根据轴对称图形的定义将1个小方格涂上阴影即可． 【详解】（1）解：①③⑤三个图案是轴对称图形， 故答案为：①③⑤；轴对称； （2）解：如图所示（答案不唯一）， 【点睛】本题考查了中心对称图形轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 【经典例题二 成轴对称的两个图形的识别】 【例2】（24-25八年级上·河南周口·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（） A．(A) B．(B) C．(C) D．(D) 【答案】B 【详解】A、 是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选B． 点睛：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 轴对称图形的概念:如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形关于这条直线对称(轴对称)，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线就是对称轴. 1．（24-25八年级上·河北衡水·期中）如图，线段AB与（）不关于直线l成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质仔细观察各选项图形即可得解． 【详解】观察可知，B选项中，线段AB与A′B′（AB=A′B′）不关于直线l成轴对称， A、C、D选项线段AB与A′B′（AB=A′B′）都关于直线l成轴对称． 故选：B． 【点睛】此题考查轴对称的性质，熟记轴对称的性质并准确识图是解题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）对于 ,如果沿一条直线对折后，它们能够 ,那么这两个图形成轴对称，这条直线是 . 【答案】 两个图形 完全重合 对称轴 【详解】因为成轴对称的概念是:将两个图形沿着某条直线翻折后,他们能够完全重合,那么这两个图形成轴对称,这条直线是对称轴,故答案为:两个图形,完全重合,对称轴. 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 【答案】都是轴对称图形 【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征． 【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形， 故答案为：都是轴对称图形． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴． A． B． C． D． 【答案】图形B，对称轴见解析 【分析】根据成轴对称的概念可作答． 【详解】解：根据轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合，则图形B与它构成轴对称； 对称轴如图： 【点睛】考查了轴对称的概念，注意轴对称和轴对称图形的区别：轴对称指的是两个图形；轴对称图形指的是一个图形． 【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例3】（2025·北京通州·模拟预测）如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断作答即可. 【详解】解：由图可知，由5个“○”和3个“□”组成的图形仅关于对称． 故选：C. 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连接的线段．根据轴对称的性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， A．，则此项正确，不符合题意； B．，则此项正确，不符合题意； C．，则此项正确，不符合题意； D．不一定正确，则此项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川广元·期末）如图，等腰三角形的面积是18，底边长为4，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若D为的中点，G为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】11 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 解：连接， △ABC是等腰三角形，点是边的中点， ， ∴S△ABC= ， 解得， EF是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， AM+DM≥AD， 的长为的最小值，的周长最短． 故答案为11． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 3．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B= 度． 【答案】50或65 【分析】连接AP、BP，由点P为AB和BC垂直平分线的交点，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又点Q与点P关于AC对称，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ＝∠CQP，分两种情况：①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，同理可得∠ABC＝65°． 【详解】解：连接AP、BP，如图： ∵点P为AB和BC垂直平分线的交点， ∴PA＝PB＝PC， ∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA， ∵点Q与点P关于AC对称， ∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA， ∴∠CPQ＝∠CQP， ①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°， ∴∠PCA＝40°， ∴∠PAC＝40°， ∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°， ∴2∠ABP+2∠PBC＝100°， ∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°， ②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°， ∴∠PAC＝25°， ∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°， ∴2∠ABP+2∠PBC＝130°， ∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°， 综上所述，∠ABC为50°或65°， 故答案为：50或65． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理的应用及轴对称的性质． 4．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，则是最短路线．能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，， ∴，， ∴， 根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为， ∴所走路线即为． 【经典例题四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例4】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的特征，由题意得：，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故选：C． 1．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，最小，为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，点D是上一动点（点D与点B不重合），连接，作B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积等知识，能得出当时面积最大是解答的关键． 在点的运动过程中，点，关于对称，，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当时，点到的距离最大，的面积最大．在中利用面积公式求出，再求，可得的面积． 【详解】解：在点的运动过程中，点，关于对称， ， 点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当时，点到的距离最大， 的面积最大． ， ． ． ． 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在正方形中，点，分别是，上的点，将四边形沿直线折叠后，点A落在线段上点处．若正方形的边长为，则图中阴影部分的周长为 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了翻折变换，根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长为，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为， ∴， ∵将四边形沿直线折叠，使点A落在点处， ∴，，， ∴图中阴影部分的周长为： ， 故答案为：12． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的内部有两点A，B，在两边上各取两点C，D，使得四边形的周长最小，请在图中确定C，D的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称−最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键． 分别作出点关于的对称点，连接与的交点即为点，再顺次连接即可，根据两点之间线段最短即可得到最小，继而四边形的周长最小． 【详解】解：如图，四边形即为所求： 【经典例题五 台球桌面上的轴对称问题】 【例5】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（   ） A．① B．② C．⑤ D．⑥ 【答案】A 【详解】如图，根据入射线与水平线的夹角等于反射线与水平线的夹角，可求最后落入①球洞． 故选A． 1．（2025·河北·模拟预测）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 2．（24-25八年级上·四川自贡·期中）球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿 45°角击出，恰好经过5次碰撞到B处，则AB:BC= ． 【答案】2:5 【分析】根据题意画出图形，再根据轴对称的性质求出矩形的长与宽的比值即可． 【详解】 先作出长方形ABCD，小球从A沿45度射出，到BC的点E，AB=BE． 从E点沿于BC成45度角射出，到AC边的F点，AE=EF． 从F点沿于AD成45度角射出，到CD边的G点，DF=DG． 从G沿于DC成45度角射出，到BC边的H点，HF垂直于AD．AB=2GC=2CH 从H点沿于CB成45度角射出，到AC边的M点，EM垂直于AD， 从M点沿于CA成45度角射出，到B点， 看图是2个半以AB为边长的正方形， 所以1：2.5=2：5． 故答案为2:5． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，解答此题的关键是画出图形，再根据对称的性质求解． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】作A关于BC和CD的对称点A′、A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即ΔAMN为的周长最小值，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决． 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为的周长最小值， ， ， ∴∠A′+∠A″=70°， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=140°. 故答案为140° 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 4．（24-25八年级上·北京·阶段练习）作图题（不写作法，保留作图痕迹，画出路径即可） （1）请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边反射后，撞到球Q； （2）请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边反射后，撞到球Q． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作点P关于AB是对称点，连接Q交AB于M，点M即为所求． （2）作点P关于AB是对称点，点Q关于BC的对称点，连接Q交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求． 【详解】解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求． （2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【经典例题六 轴对称中的光线反射问题】 【例6】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余求出，进而可得，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 故选：B． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是求解． 【详解】解：如图： 由反射规律可知：，，， 又∵ ∴， 即 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的的关系的使用． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是 ． 【答案】65° 【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．根据垂线的性质可得∠CDH+α=90°，根据平行线的性质可得∠AGC=∠CDH，根据入射角等于反射角可得，从而可得夹角的度数． 【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D． ∴∠CDH+α=90°， 根据题意可知：AG∥DF， ∴∠AGC=∠CDH， ， ∴∠CDH=25°， ∴α=65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是掌握平行线的性质、明确法线CG平分∠AGB． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜之间来回反射．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，三角形内角和定理，根据镜面反射原理，入射角等于反射角得出，，，根据三角形内角和是，即可求解． 【详解】解：如图：分别过入射点做垂线，根据结合反射定律可知，，， 故，，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】分别作出点A关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点． 【详解】①分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″； ②连接A′、A″，分别交OM，ON于点B、点C，连接AB、AC、BC，则△ABC即为所求． 【点睛】此题主要考查了作图−复杂作图，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 【拓展训练一 根据成轴对称性质求角度】 1．（2025·广东江门·模拟预测）无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由光的反射定律可知，，再由平行线的性质推出，从而得出结论． 【详解】解：如图： 由光的反射定律可知， ， ， 两平面镜平行， 两直线平行，内错角相等， 由光的反射定律可知， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，三角形外角的性质等知识，根据，求出，即可． 【详解】解：∵和关于直线对称，和关于直线对称， ∴，， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知在中，． (1)如图1，点P在内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________． (2)如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数． (3)如图3，若点P在的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质． （1）由轴对称的性质可知，进而可得的度数； （2）由轴对称的性质可知，则，，求出，即可求出的度数； （3）同（2）得，，根据角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵是点P分别关于，的对称点， ∴， ∵ ∴ 故答案为： （2）解：因为分别为点P关于AB，BC的对称点， 所以由轴对称可知， 所以． 同理可得． 因为， 所以， 所以； （3）解：同（2）可得，， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【拓展训练二 轴对称中折叠问题】 1．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到与交于点，连接交于点．若的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 先求出的面积，根据折叠的性质，三角形的面积公式求解即可． 【详解】∵，的面积为， ∴， ∴， 由翻折可知：，， ，， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，，，D为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质．如图，由，当A、P、C三点共线时取等号，此时最小，过D作于G，作于F，，，由对折可得：，，可得，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，∵，当A，P，C三点共线时取等号，此时最小， 过D作于G，作于F，，， 由对折可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）翻折是一种常见的图形变换，请利用轴对称和角平分线的知识解答下列问题： (1)如图1，在中，点D在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点P． ①若，，求的度数； ②如图2，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图，，点D为上一定点，点E为上一动点，F、G为上两动点，当最小时，直接写出的值（用含有的代数式表示）． 【答案】(1)①；②，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识． （1）①利用角平分线的定义结合三角形的外角性质求解即可；②由外角定理和角平分线的定义，得，求得，同理求得，结合轴对称性质，得； （2）作点G关于的对称点，连接，作点关于的对称点，连接，当，E，F，四点在同一直线上，且时，的值最小，据此利用轴对称的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵是的角平分线，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； ②猜想． 证明如下： 是的外角， ， 同理可证：， 分别平分， ， ， ∵平分，平分， ∴， ∴ ． 又由轴对称性质知：， ∴； （2）解：如图，作点G关于的对称点，连接，作点关于的对称点，连接， ∵点是定点， ∴点也是定点， ∴当，E，F，四点在同一直线上，且时，的值最小， 由轴对称性质可得：， ∴，， ∴， 由轴对称性质可得：， ∴， ∴． 【拓展训练三 轴对称性质的规律问题】 1．（2025·山东威海·模拟预测）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果． 【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示： 由图可得MN是法线，为入射角 因为入射角等于反射角，且关于MN对称 由此可得反射角为 所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，对应线段和所在的直线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴l有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l有什么关系？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？ 【答案】对应线段和所在的直线相交，对应线段和所在的直线相交，交点都在对称轴l上；对应线段和所在的直线不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l平行．规律：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线的位置关系：平行或者相交，交点一定在对称轴上． 【分析】利用轴对称图形的性质可知：对应线段所在的直线相交于对称轴上一点，如果不相交，对应线段所在直线与对称轴l平行，由此得出答案即可． 【详解】对应线段和所在的直线相交，对应线段和所在的直线相交，交点都在对称轴l上；对应线段和所在的直线不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l平行．规律：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线的位置关系：平行或者相交，交点一定在对称轴上． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 3．（24-25八年级上·山西太原·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 【答案】 （1）3 （2）5 （3）7 （4） 【分析】本题考查了折射的提醒，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系， 根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可. 【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 故答案为：3. （2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5． 故答案为：5. （3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7． 故答案为：7. （4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为． 故答案为：. 1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形知识，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．据此解答即可． 【详解】解：A、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）将一张长与宽的比为的长方形纸片按如图①，图②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④中的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质和空间观念，准确理解折叠的性质是解题的关键． 根据图示的裁剪方式，由折叠的性质，可知此图最后剪去了两个角和一边的中间被剪，即可得到答案． 【详解】解：根据图示的裁剪方式，由折叠的性质，可知此图最后剪去了两个角和一边的中间被剪，因此答案为A． 故答案为：A 3．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（ ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称，根据成轴对称的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点所连线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，直线垂直平分，， ∴直线平分， 综上，正确的有①②③； 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东青岛·自主招生）如图，内有一点P，点D、E、F分别是点P关于、、对称的点．若的内角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质；作出辅助线得到三对角相等是正确解答本题的关键．连接，，后，根据轴对称的性质，可得到角相等，结合周角的定义可知答案． 【详解】解：连接，，，如图所示： ∵点D、E、F分别是点P关于、、对称的点， ∴，，， ，，， ∴． 故选C． 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，与关于直线对称，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，熟练掌握该知识点是关键．先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数． 【详解】解：由条件可知， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图所示的图案是一个轴对称图形，过圆心的直线是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，圆的面积，根据题目中的图案是一个轴对称图形，则阴影部分面积之和是最大圆的面积的一半，又因为最大圆的半径为2，故结合圆面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵题目中的图案是一个轴对称图形，过圆心的直线是它的一条对称轴，且最大圆的半径为2， ∴阴影部分面积之和是， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的 ． 【答案】角平分线 【分析】本题考查了翻折变换的性质，角平分线的定义． 根据翻折的性质和图形，可以判断出l与的关系． 【详解】解：如图， 由已知可得，， 则l是的角平分线． 故答案为：角平分线． 10．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为 ．      【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形求解是解题关键．过点D作，根据平行线的性质得出，，结合图形求解即可． 【详解】解：过点D作， 根据题意得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？ 【答案】三角形1，3，5，7与阴影三角形成轴对称，对称轴分别为直线，直线，直线，直线． 【分析】本题考查的是轴对称的识别，根据轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：由轴对称的性质可知，阴影三角形与三角形1，3，5，7可形成轴对称图形，阴影三角形与1关于直线为对称轴，阴影三角形与3关于直线为对称轴，阴影三角形与5关于直线为对称轴，阴影三角形与7关于直线为对称轴． 12．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）已知：如图，外有一点P，作点P关于直线的对称点为，再作点关于直线的对称点为，试探索与的大小关系并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 连接，根据轴对称的性质得到，，然后利用等量代换求解即可． 【详解】解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵点P关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， ∴， ∴ ． ． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于对称． (1)与A，B，C，D的对称点分别是 ，线段的对应线段分别是 ， ， ， ； (2)连接与平行吗？为什么？ (3)对称轴与线段有何关系？ 【答案】(1)E，F，G，H；，；；； (2)，理由见解析 (3)对称轴垂直平分 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解轴对称的性质，难度不大，属于基础题． （1）根据图形写出对称点和对应线段、对应角即可； （2）对称图形的对应点的连线平行，据此求解； （3）根据“对应点的连线段被对称轴垂直平分”求解； 【详解】（1）解：、、、的对称点分别是，，，，线段、的对应线段分别是，，，，； 故答案为：，，，；，；；；． （2）解：，根据对应点的连线互相平行或共线，这里不共线，所以平行； （3）解：对称轴垂直平分．理由是对称轴垂直平分对称点的连线段． 14．（2025八年级上·河南郑州·专题练习）如图，将长方形纸片的，分别折叠，顶点A落在处，使顶点B落在处，，为折痕，点E，，在同一条直线上． (1)猜想折痕和的位置关系，并说明理由． (2)的反向延长线与交于F，若，求和的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查的是轴对称的性质，垂直的定义； （1）由折叠可得，，再结合平角的定义证明即可得到结论； （2）结合对顶角的性质与对折的性质，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解： ，理由如下： 由折叠可得，， ∵点E，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；② 【分析】本题考查了角的和差，轴对称反射问题，以及三角形内角和等知识，解题的关键是利用镜面反射中反射角等于入射角的性质，结合角的和差关系进行推导． （1）根据镜面反射中“法线垂直镜面”得出，再结合“反射角等于入射角”，利用角的和差关系，即，推导出． （2）①由（1）的结论，设，，先得出；再根据平角定义求出，；最后利用三角形内角和，求出，进而推导出．②设，，先求出，；再根据角的差求出，同时得出，从而推导出． 【详解】（1）证明：根据题意，得，， ， ， 即． （2）解：①由（1）可知． 设， ． ，， ； ， 即． ②设，． ，．．． ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 轴对称及其性质重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 成轴对称的两个图形的识别 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型五 台球桌面上的轴对称问题 题型六 轴对称中的光线反射问题 拓展训练一 根据成轴对称性质求角度 拓展训练二 轴对称中折叠问题 拓展训练三 轴对称性质的规律问题 知识点一：两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）轴对称图形的对称轴 连结两个对称点的线段． 成轴对称的两个图形是 图形． 知识点二：两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，和关于直线对称，点的对称点是 ． 知识点三：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【即时训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）在英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是 ． 【经典例题一 轴对称图形的识别】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·开学考试）下面四幅图是天气图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 1．（2025·北京房山·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期中）请列举三个最简单的轴对称图形： ． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形 轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 4．（2025·浙江宁波·模拟预测）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．选出的三个图案是 （填写序号）；它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）； (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性． 【经典例题二 成轴对称的两个图形的识别】 【例2】（24-25八年级上·河南周口·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（） A．(A) B．(B) C．(C) D．(D) 1．（24-25八年级上·河北衡水·期中）如图，线段AB与（）不关于直线l成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）对于 ,如果沿一条直线对折后，它们能够 ,那么这两个图形成轴对称，这条直线是 . 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴． A． B． C． D． 【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例3】（2025·北京通州·模拟预测）如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川广元·期末）如图，等腰三角形的面积是18，底边长为4，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若D为的中点，G为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 3．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B= 度． 4．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【经典例题四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例4】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，点D是上一动点（点D与点B不重合），连接，作B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接，则面积的最大值为 ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在正方形中，点，分别是，上的点，将四边形沿直线折叠后，点A落在线段上点处．若正方形的边长为，则图中阴影部分的周长为 cm． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的内部有两点A，B，在两边上各取两点C，D，使得四边形的周长最小，请在图中确定C，D的位置． 【经典例题五 台球桌面上的轴对称问题】 【例5】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（   ） A．① B．② C．⑤ D．⑥ 1．（2025·河北·模拟预测）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级上·四川自贡·期中）球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿 45°角击出，恰好经过5次碰撞到B处，则AB:BC= ． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 4．（24-25八年级上·北京·阶段练习）作图题（不写作法，保留作图痕迹，画出路径即可） （1）请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边反射后，撞到球Q； （2）请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边反射后，撞到球Q． 【经典例题六 轴对称中的光线反射问题】 【例6】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 (    ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是 ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜之间来回反射．已知，，则 ． 4．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）． 【拓展训练一 根据成轴对称性质求角度】 1．（2025·广东江门·模拟预测）无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与交于点，若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知在中，． (1)如图1，点P在内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________． (2)如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数． (3)如图3，若点P在的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数． 【拓展训练二 轴对称中折叠问题】 1．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到与交于点，连接交于点．若的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，，，D为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是 ．    3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）翻折是一种常见的图形变换，请利用轴对称和角平分线的知识解答下列问题： (1)如图1，在中，点D在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点P． ①若，，求的度数； ②如图2，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图，，点D为上一定点，点E为上一动点，F、G为上两动点，当最小时，直接写出的值（用含有的代数式表示）． 【拓展训练三 轴对称性质的规律问题】 1．（2025·山东威海·模拟预测）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，对应线段和所在的直线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴l有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l有什么关系？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？ 3．（24-25八年级上·山西太原·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）将一张长与宽的比为的长方形纸片按如图①，图②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④中的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（ ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．（24-25八年级上·山东青岛·自主招生）如图，内有一点P，点D、E、F分别是点P关于、、对称的点．若的内角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，与关于直线对称，则 ． 8．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图所示的图案是一个轴对称图形，过圆心的直线是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积之和是 ． 9．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的 ． 10．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为 ．      11．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？ 12．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）已知：如图，外有一点P，作点P关于直线的对称点为，再作点关于直线的对称点为，试探索与的大小关系并说明理由． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于对称． (1)与A，B，C，D的对称点分别是 ，线段的对应线段分别是 ， ， ， ； (2)连接与平行吗？为什么？ (3)对称轴与线段有何关系？ 14．（2025八年级上·河南郑州·专题练习）如图，将长方形纸片的，分别折叠，顶点A落在处，使顶点B落在处，，为折痕，点E，，在同一条直线上． (1)猜想折痕和的位置关系，并说明理由． (2)的反向延长线与交于F，若，求和的度数． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 学科网（北京）股份有限公司 $