专题03 画轴对称的图形重难点题型专训（2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题03 画轴对称的图形重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 画轴对称图形 题型二 钟表的镜面对称 题型三 车牌号码的镜面对称 题型四 电子钟示数的镜面对称 题型五 坐标系中的对称 题型六 坐标与图形变化——轴对称 题型七 设计轴对称图案 题型八 轴对称线段问题 题型九 轴对称面积问题 题型十 轴对称角度问题 拓展训练一 根据坐标的轴对称求对称点坐标 拓展训练二 与轴对称有关最值问题 拓展训练三 轴对称综合应用 知识点一：坐标与图形变化-对称 1、关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． 2、关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． 3、关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课前预习）在平面直角坐标系中，点A的横坐标不变，纵坐标乘，得到点，则点A与点的关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知点与关于x轴对称，则 ． 知识点二：设计轴对称图形 问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′? 作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA, 垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点. 问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法： 1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA， 点A′就是点A关于直线l的对称点； 2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B′； 3.连结A′B′. 问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？ 作法： △ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点 关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形. ∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形. 归 纳 一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤: 1.找点（确定图形中的一些特殊点）； 2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）； 3.连线（连结对称点）. 二．设计轴对称图案的步骤： （1）画出对称轴； （2）画出图形的基本形状的部分线条； （3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形； （4）按照另一条对称轴继续画对称图形； （5）完成对称图案设计. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 【经典例题一 画轴对称图形】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字： ． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是 ． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点）． (1)利用网格画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使，保留作图痕迹，并标出点P位置． 【经典例题二 钟表的镜面对称】 【例2】（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图，在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的实际时间应该是（  ）    A．8：15 B．21：02 C．15：20 D．21：05 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如右图所示，则这时的实际时间应是（  　　）． A．3:20 B．3:40 C．4:40 D．8:20 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）小明从平面镜子中看到镜中电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 ． 4．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，镜子右边是计算器显示屏上的数字“2”，则它在镜子中显示出的数字是 ． 【经典例题三 车牌号码的镜面对称】 【例3】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（ ） A．W17639 B．W17936 C．M17639 D．M17936 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     2．（2025八年级上·江苏·专题练习）一轿车的车牌在水中的倒影是  ，则该车的牌照号码为 ． 3．（24-25八年级上·安徽铜陵·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是： ． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示是某一日小明从镜中看到的一串数字，请你说出实际上述数字是什么？ 【经典例题四 电子钟示数的镜面对称】 【例4】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下列4个时刻中，是轴对称图形的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在镜子中看到的数字，则实际数字是 3．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数为，则电子表的实际时刻是 ． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【经典例题五 坐标系中的对称】 【例5】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点 D．以上都不对 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（24-25八年级上·湖北随州·期中）点关于x轴对称的点的坐标是 ． 3．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）已知点，； (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 【经典例题六 坐标与图形变化——轴对称】 【例6】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，如果图中点E的坐标为，则关于y轴对称的点F的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）已知点，关于y轴对称，则 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，是关于轴对称的轴对称图形，点的坐标为，则的面积为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在直角坐标系中，点是第一象限内的点，点是轴上的一个动点，且，三点不在同一条直线上，在直线轴上求作一点，使的周长最小． 【经典例题七 设计轴对称图案】 【例7】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图是由三个相同的小正方形组成的图形，在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形的方法有(     )． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（    ）    A．1种 B．3种 C．5种 D．7种 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有 个，请在下面所给的格纸中一一画出 ．（所给的六个格纸未必全用）． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形．请你在图②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设计一个图案，使该图案为轴对称图形． 【经典例题八 轴对称线段问题】 【例8】（24-25八年级上·江西南昌·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CMMN的最小值是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 3．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别为直线上的动点，过点A做，且. （1）的最小值为 ； （2）的最小值为 .    4．（24-25八年级下·甘肃兰州·阶段练习）作图题（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作线段的垂直平分线； (2)如图2，作的角平分线； (3)如图3，要在公路上修一个车站，使得与，两个地方的距离和最小，请在图中画出的位置． 【经典例题九 轴对称面积问题】 【例9】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，是边上的高，点E，F是上的两点，，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 4．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于轴对称． (1)在图中画出并连接，； (2)求的面积． 【经典例题十 轴对称角度问题】 【例10】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 2．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 3．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 度． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 【拓展训练一 根据坐标的轴对称求对称点坐标】 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．已知点，点B是点A关于x轴的对称点，在围成的内部（不包含边界），整点的个数共有 个． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线．点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点的坐标为______，二次反射点的坐标为______． (2)当点在第三象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是______．（填写“”、“”或“Q”） (3)点在第二象限，射线与y轴正半轴所夹锐角的度数为，点分别是点的一次、二次反射点，则______． 【拓展训练二 与轴对称有关最值问题】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为，记作．已知点，，线段关于直线的对称线段为．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形． (2)写出点，，的坐标（直接写答案）________；________；________ (3)在x轴上找出点P，求的最小值（保留作图痕迹） 【拓展训练三 轴对称综合应用】 1．（2025八年级上·广东肇庆·模拟预测）内有一点，在的两边上各找一点，，使的周长最小，用尺规作图法，在图中作出 （不写作法，保留作图痕迹）． 2．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，和的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称． (1)直接写出的面积； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴直线； (3)请在直线上作一点，使得最小．保留必要的作图痕迹 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）综合与实践 (1)某数学小组用尺规作图在内求作一点，使得． 经过讨论，得到如下两种作法，补全表格中的证明过程和依据． 方法一 方法二 作图步骤 在上任取一点，作． 在射线上作点即为所求． 在和上分别取点，，使得． 作的垂直平分线． 作的垂直平分线，与直线交于点．点即为所求． 图示 理由 证明：，（已作） ，（______） ______． ，（已作） ______， ． 证明：连接，． 垂直平分，（已作） ______， 同理可得， ． 又已作，， ≌，（______） ． 请你用不同于上面的尺规作图方法在图中求作点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． (2)在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”．如图，设两面镜子的夹角，物体在的角平分线上，则在镜子中一共形成______个物体的像． 1．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在直角坐标系中，点的横坐标不变，纵坐标乘，得到点，则与的关系是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．将点向轴负方向平移一个单位 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ） A．cm B．13cm C．cm D．cm 6．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知点与点关于x轴对称，则 ． 8．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 9．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，在四边形ABCD中，，，在边AB，BC上分别找一点E，F使周长最小，此时 ． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点关于直线的对称点分别为． （1）点的坐标为 ；点的坐标为 ； （2）点关于直线的对称点的坐标为 ；点关于直线的对称点的坐标为 ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将各图形补成关于直线l对称的图形． 12．（25-26八年级上·全国·课前预习）分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标： 坐标点 关于x轴对称的点 关于y轴对称的点 13．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，．在图中作出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l上作点P，使的值最小，此时 ； (3)在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 15．（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 画轴对称的图形重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 画轴对称图形 题型二 钟表的镜面对称 题型三 车牌号码的镜面对称 题型四 电子钟示数的镜面对称 题型五 坐标系中的对称 题型六 坐标与图形变化——轴对称 题型七 设计轴对称图案 题型八 轴对称线段问题 题型九 轴对称面积问题 题型十 轴对称角度问题 拓展训练一 根据坐标的轴对称求对称点坐标 拓展训练二 与轴对称有关最值问题 拓展训练三 轴对称综合应用 知识点一：坐标与图形变化-对称 1、关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． 2、关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． 3、关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课前预习）在平面直角坐标系中，点A的横坐标不变，纵坐标乘，得到点，则点A与点的关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查轴对称与坐标变化，掌握轴对称与坐标变化的关系是解题的关键． 关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此判定． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A的横坐标不变，纵坐标乘，得到点， ∴点的坐标为， ∴点A与点关于x轴对称， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知点与关于x轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此即可求解． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴， 故答案为：． 知识点二：设计轴对称图形 问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′? 作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA, 垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点. 问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法： 1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA， 点A′就是点A关于直线l的对称点； 2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B′； 3.连结A′B′. 问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？ 作法： △ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点 关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形. ∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形. 归 纳 一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤: 1.找点（确定图形中的一些特殊点）； 2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）； 3.连线（连结对称点）. 二．设计轴对称图案的步骤： （1）画出对称轴； （2）画出图形的基本形状的部分线条； （3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形； （4）按照另一条对称轴继续画对称图形； （5）完成对称图案设计. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形：轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．根据定义即可求解． 【详解】解：如图所示： 故选：B 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 【答案】13 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故答案为：13． 【经典例题一 画轴对称图形】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则点D的个数是4， 故选：B． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 【答案】B 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于画出图形. 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有三种位置，与成轴对称的格点三角形有3个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字： ． 【答案】共 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握相关知识．根据轴对称图形的特征即可求解． 【详解】解：由题意可得这个字是共， 故答案为：共． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是 ． 【答案】书，图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是根据轴对称的性质作出图形． 根据轴对称图形的性质画出图形即可解答． 【详解】解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点）． (1)利用网格画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使，保留作图痕迹，并标出点P位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，线段垂直平分线的性质． （1）根据题意作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，点P即为所求； 【经典例题二 钟表的镜面对称】 【例2】（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图，在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的实际时间应该是（  ）    A．8：15 B．21：02 C．15：20 D．21：05 【答案】D 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【详解】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为21：05； 故选：D． 【点睛】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如右图所示，则这时的实际时间应是（  　　）． A．3:20 B．3:40 C．4:40 D．8:20 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的性质，即可得到答案． 【详解】∵镜中看到的图形，为时钟显示的镜像，即左右镜像 又∵从镜中看到时针在8点到9点之间 ∴实际时钟的时针在3点到4点之间 ∵从镜中看到分针显示为20分 ∴实际时钟的分针显示为40分 ∴实际时间应是：3:40 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质并运用到生活中的实际问题，从而完成求解． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 【答案】810076 【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这串数字应为 810076． 故答案为：810076． 【点睛】此题主要考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）小明从平面镜子中看到镜中电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 ． 【答案】16:25:08 【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是16:25:08. 故答案为16:25:08. 【点睛】本题考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 4．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，镜子右边是计算器显示屏上的数字“2”，则它在镜子中显示出的数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是利用轴对称的性质作图，作出对称图形是解题的关键．先得到数字“2”的轴对称图形，根据图形即可求解． 【详解】解∶如图， 根据轴对称图形的定义可知，数字“2”的轴对称图形是数字5． 故答案为∶5． 【经典例题三 车牌号码的镜面对称】 【例3】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（ ） A．W17639 B．W17936 C．M17639 D．M17936 【答案】D 【分析】根据镜面对称的特点可直接得出答案． 【详解】根据汽车车牌在水中的倒影与实际的车牌成镜面对称，可知该车的牌照号码是M17936， 故选：D． 【点睛】本题主要考查镜面对称的应用，掌握镜面对称的特点是关键． 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     【答案】D 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有D与原图形成镜面对称． 故选：D． 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）一轿车的车牌在水中的倒影是  ，则该车的牌照号码为 ． 【答案】鄂 【分析】根据轴对称的定义求解，对称轴取原图象下方的水平直线． 【详解】解：如图所示：该车的牌照号码为鄂．   ． 故答案为：鄂． 【点睛】本题考查轴对称的定义，理解轴对称的定义是解题的关键． 3．（24-25八年级上·安徽铜陵·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是： ． 【答案】K62897 【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是K62897． 故答案为K62897． 【点睛】本题考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示是某一日小明从镜中看到的一串数字，请你说出实际上述数字是什么？ 【答案】2006 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下颠倒，且关于镜面对称，分析可得答案． 【详解】图中所示是某一日小明从镜中看到的一串数字，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下颠倒，且关于镜面对称，即从左到右是2006，即实际上述数字是2006． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【经典例题四 电子钟示数的镜面对称】 【例4】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下列4个时刻中，是轴对称图形的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念分别对各个图形进行判断即可. 【详解】解：第1个，不是轴对称图形，故本选项不合题意； 第2个，是轴对称图形，故本选项符合题意； 第3个，是轴对称图形，故本选项符合题意； 第4个，不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形，能根据轴对称的概念找出图形的对称轴是解决此题的关键. 1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 【答案】C 【分析】根据镜子中看到的像正好与现实相反可得答案． 【详解】解：从车子的后视镜里看到了后面的公交车为路公交， 该公交车是路， 故选：C． 【点睛】本题考查了镜面对称的知识，熟知在镜中看到的像与现实的像正好相反是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在镜子中看到的数字，则实际数字是 【答案】 【分析】利用作轴对称图形即可求解． 【详解】解：如图所示：实际数字是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称，解题关键是会作轴对称图形． 3．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数为，则电子表的实际时刻是 ． 【答案】10：50 【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的2实际应为5． 【详解】解：电子表的实际时刻是10：50，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数． 故答案为10：50 【点睛】此题考查镜面对称，解题关键在于掌握对于这类题型常用的解题方法为把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【答案】120＋85＝205 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由题意可知，该算式的实际情况是：120＋85＝205. 【点睛】本题考查了镜面对称，物体平行对着镜子时，镜中的成像改变了物体的左右位置，即关于一条竖直的直线对称，镜中的像与原像之间实际上只是进行了左右翻折. 【经典例题五 坐标系中的对称】 【例5】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中直线的位置与点坐标的关系，解题的关键是根据两点纵坐标相同判断直线与轴的位置关系． 通过观察、两点坐标的特征，根据坐标与直线位置关系来判断直线情况． 【详解】两点的纵坐标相等，横坐标不相等，所以过两点的直线一定平行于轴． 故选：B． 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以每个点作为原点建立直角坐标系判断是否满足题意即可． 【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标轴对称，如图所示： 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北随州·期中）点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，在坐标系中，两个点关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点坐标与轴对称变换规律可得，，则可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 4．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）已知点，； (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点A、B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴，； （2）解：∵点A、B关于y轴对称， ∴， 解得， ∴． 【经典例题六 坐标与图形变化——轴对称】 【例6】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征，根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标为， 故选：A． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，如果图中点E的坐标为，则关于y轴对称的点F的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可得出结果． 【详解】解：由题意，点F的坐标为； 故选D． 2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）已知点，关于y轴对称，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，解题关键是掌握坐标变化规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，可得，，代入可得到的值． 【详解】解：∵点，关于x轴对称， ∴，， 即：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，是关于轴对称的轴对称图形，点的坐标为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，根据成轴对称图形的特征进行求解，直接利用关于轴对称点的性质“关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是关于轴对称的轴对称图形，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在直角坐标系中，点是第一象限内的点，点是轴上的一个动点，且，三点不在同一条直线上，在直线轴上求作一点，使的周长最小． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称---最短路径问题，利用轴对称的作图是解题的关键． 作出点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点．根据轴对称的性质可得，而长不变，则的周长最小转化为的最小值，即为的最小值，再根据两点之间线段最短即可确定连接与轴交点即为点． 【详解】解：如图，点C即为所求： 【经典例题七 设计轴对称图案】 【例7】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图是由三个相同的小正方形组成的图形，在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形的方法有(     )． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】此题考查了利用轴对称设计图案的知识．掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，且对称轴为折痕所在的这条直线是解题关键．根据轴对称图形的定义，画出图形，即可求得答案． 【详解】解：如图所示．， 使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形的方法有4种． 故选：D． 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（    ）    A．1种 B．3种 C．5种 D．7种 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示，    一共有3种涂法， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步． 【答案】3 【分析】根据题意：分别计算出两种跳法所需要的步数，比较就可以了． 【详解】如图中红棋子所示，根据规则： ①点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内； ②点A从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内． 所以跳行的最少步数为3步． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题关键是熟记对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有 个，请在下面所给的格纸中一一画出 ．（所给的六个格纸未必全用）． 【答案】 5； 如图，见解析． 【分析】轴对称图形是如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 【详解】解：与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形如图： 共5个 【点睛】本题考查的知识点是作图－轴对称变换，解题关键是是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合. 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形．请你在图②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设计一个图案，使该图案为轴对称图形． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查利用平移和轴对称设计图案，利用基本图形结合轴对称以及平移得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图，借助轴对称和平移可以得到下图，该图案为轴对称图形． （答案不唯一） 【经典例题八 轴对称线段问题】 【例8】（24-25八年级上·江西南昌·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CMMN的最小值是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先作CE⊥AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值． 【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N， ∵BD平分∠ABC， ∴ME=MN， ∴CM+MN=CM+ME=CE． ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB， ∴， ∴10CE=6×8， ∴CE=4.8． 即CM+MN的最小值是4.8， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质，找到使CM+MN最小时的动点M和N是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 【答案】16 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键 根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．可得，，根据三角形周长的定义即可解答． 【详解】点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M， ，， ∵的周长， ， ， 故答案为：16． 3．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别为直线上的动点，过点A做，且. （1）的最小值为 ； （2）的最小值为 .    【答案】 【分析】（）根据垂线段最短即可求出的最小值； （）作点A关于的对称点E，连接，交于点M，此时，最小，求出即可． 【详解】解：（）当时，最小，此时， ∵， ∴， 则， ∴； 故答案为：    （）作点A关于的对称点E，连接，交于点M，此时，最小，由（1）得，即， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了轴对称和最短路径，解题关键是明确垂线段最短和利用轴对称确定最短路径，能够熟练运用勾股定理求出线段长． 4．（24-25八年级下·甘肃兰州·阶段练习）作图题（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作线段的垂直平分线； (2)如图2，作的角平分线； (3)如图3，要在公路上修一个车站，使得与，两个地方的距离和最小，请在图中画出的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了基本作图，轴对称的性质，掌握基本作图以及轴对称的性质是解题的关键； （1）根据中垂线的尺规作图法即可得到直线； （2）根据角平分线的尺规作图方法作出的角平分线 （3）找到点关于的对称点，再连接，与交于一点，就是点所在位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：如图所示，点即为所求 【经典例题九 轴对称面积问题】 【例9】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】由折叠的性质得到，继而得到，根据题意，据此判断①错误；由折叠的性质得到DC=DE，BE=BC=6，求得的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，可判断②；设点D到AB的距离为h，根据三角形面积公式得到，可判断③；设点B到AC的距离为m，根据三角形面积公式得到，可判断④． 【详解】解：沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处， 不垂直AB，故①错误； 由折叠的性质可知DC=DE，BE=BC=6 的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，故②正确； 设点D到AB的距离为h， ，故③正确； 设点B到AC的距离为m， ，故④错误， 故选：Ｂ． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形周长的求法、三角形的面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，是边上的高，点E，F是上的两点，，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得为轴对称图形，所在的直线为的对称轴，根据轴对称的性质可得，并求出，然后即可求出结论． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴为轴对称图形，所在的直线为的对称轴， ∴ ∴ 故选C． 【点睛】此题考查的是轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 4．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于轴对称． (1)在图中画出并连接，； (2)求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)18 【分析】（1）先求出，，关于轴的对称点，，，画出，，，连接即可； （2）根据点坐标求出三角形的高和底边长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，关于轴的对称点为，，， ∴如下图所示， （2）解：∵，， ∴在边上的高为6，的长为6， ∴． 【点睛】本题考查轴直角坐标系和轴对称，解题的关键是求出关于轴的对称点坐标． 【经典例题十 轴对称角度问题】 【例10】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 【答案】B 【分析】此题考查了对称的性质，找点关于的对称点，连接，延长交于点，则有，，解题的关键是熟练掌握对称的性质及其应用． 【详解】如图，找点关于的对称点，连接，延长交于点， ∴，， 当在在内部时，即， ∴， 故选：． 2．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点、，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为：． 3．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 度． 【答案】84 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据要求作出图形， （2）证明即可， 本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵关于对称， ， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴共线． 【拓展训练一 根据坐标的轴对称求对称点坐标】 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于轴对称点的性质，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得点的坐标，在根据关于轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为， 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．已知点，点B是点A关于x轴的对称点，在围成的内部（不包含边界），整点的个数共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整点的定义，坐标与图形变化-轴对称，先确定点的坐标，再明确三角形的顶点坐标，然后根据整点的定义，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于轴对称称的点，依次连接，根据整点的定义可知，在围成内部（不包含边界），整点的个数共有个， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线．点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点的坐标为______，二次反射点的坐标为______． (2)当点在第三象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是______．（填写“”、“”或“Q”） (3)点在第二象限，射线与y轴正半轴所夹锐角的度数为，点分别是点的一次、二次反射点，则______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称， （1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解； （2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断的位置即可； （3）根据点在第二象限，可知点在第一象限，进而可知也在第一象限，由，可得，据此求解可得结论． 【详解】（1）解：点的一次反射点为，二次反射点为； 故答案为：，； （2）解：∵点在第三象限时， ∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限， ∴点，，中可以是点A的二次反射点的是； 故答案为：； （3）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【拓展训练二 与轴对称有关最值问题】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为，记作．已知点，，线段关于直线的对称线段为．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了轴坐标与图形变化——对称，线段“轴距”的定义等知识，分两种情况讨论：当，当，分别求出的值即可，理解新定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，， ∴，关于直线的对称点，， ∵当，， ∴， ∴或（舍去）； 当，， ∴， ∴或（舍去）， 综上可知的值为：或， 故选：． 2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，理解转化思想和掌握三角形的面积公式是解题的关键．先根据轴对称的性质和垂线段最短确定最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：过A作于F，交于E，连接， ∵是边的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值即为线段的长， ∵的面积为：， 解得：， 则的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形． (2)写出点，，的坐标（直接写答案）________；________；________ (3)在x轴上找出点P，求的最小值（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【分析】本题考查轴对称作图，根据轴对称写出点的坐标； （1）分别作出A，B，C关于y轴的对应点，，，然后连接得到即可． （2）根据，，的位置写出坐标即可． （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：，，的坐标分别为，，， 故答案为：，，； （3）解：如图，点P即为所作． 【拓展训练三 轴对称综合应用】 1．（2025八年级上·广东肇庆·模拟预测）内有一点，在的两边上各找一点，，使的周长最小，用尺规作图法，在图中作出 （不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】利用轴对称的性质，找到点关于两边的对称点，将三角形周长转化为两点间的线段，从而确定使周长最小的点、． 本题主要考查了轴对称 - 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，为所求． 2．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，和的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称． (1)直接写出的面积； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴直线； (3)请在直线上作一点，使得最小．保留必要的作图痕迹 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用割补法，用一个正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （2）利用网格特点作的垂直平分线即可得到对称轴； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）的面积； （2）如图，直线为所作； （3）如图，点为所作． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，割补法求面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）综合与实践 (1)某数学小组用尺规作图在内求作一点，使得． 经过讨论，得到如下两种作法，补全表格中的证明过程和依据． 方法一 方法二 作图步骤 在上任取一点，作． 在射线上作点即为所求． 在和上分别取点，，使得． 作的垂直平分线． 作的垂直平分线，与直线交于点．点即为所求． 图示 理由 证明：，（已作） ，（______） ______． ，（已作） ______， ． 证明：连接，． 垂直平分，（已作） ______， 同理可得， ． 又已作，， ≌，（______） ． 请你用不同于上面的尺规作图方法在图中求作点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． (2)在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”．如图，设两面镜子的夹角，物体在的角平分线上，则在镜子中一共形成______个物体的像． 【答案】(1)方法一：同位角相等，两直线平行，，；方法二：，；见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）方法一：利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可；方法二：利用全等三角形的判定和性质证明即可； 利用构造全等三角形解决问题即可； （2）设两面镜子的夹角，即为像的数量，利用轴对称变换的性质作出图形即可． 【详解】（1）方法一：证明：，已作 ，同位角相等，两直线平行 ． 已作， ， ． 故答案为：同位角相等，两直线平行，，； 方法二：证明：连接，． 垂直平分已作， ， 同理可得， ． 又已作，， ， ． 故答案为：，； 如图中，射线即为所求． 理由：由作图可知，， ， ， ； （2）如图中，一共形成个物体的像． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换--轴对称，熟练掌握轴对称性质是解题的关键，根据平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案. 【详解】解：∵点坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为. 故选：B. 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题． 利用轴对称的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点， 点即为点，此时，，最小， 故选：B． 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在直角坐标系中，点的横坐标不变，纵坐标乘，得到点，则与的关系是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．将点向轴负方向平移一个单位 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与轴对称，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标不变，纵坐标乘，得到点， ∴点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点与点关于轴对称， 故选：． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ） A．cm B．13cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短即可知A′B的长度即为最短距离．利用勾股定理求出A′B即可． 【详解】如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，A′E=AE=3，BD＝12﹣3+A′E＝12cm， ∴A′B＝＝＝13cm． 故选：B． 【点睛】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键． 6．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，将其左右翻转后，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知点与点关于x轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】点与点关于x轴对称， ，， ，， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 【答案】6 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 9．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，在四边形ABCD中，，，在边AB，BC上分别找一点E，F使周长最小，此时 ． 【答案】112°/112度 【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E'，交BC于F'，则点即为所求，利用轴对称的性质结合四边形的内角和即可得出答案． 【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E'，交BC于F'，则点E'，F'即为所求． ∵四边形ABCD中，   ∴， 由轴对称知，∠ADE'=∠P，∠CDF'=∠Q， 在△PDQ中，∠P+∠Q=180°-∠ADC =， ∴∠ADE'+∠CDF'=∠P+∠Q=34°， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点关于直线的对称点分别为． （1）点的坐标为 ；点的坐标为 ； （2）点关于直线的对称点的坐标为 ；点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，正确掌握相关性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，对称点到对称轴的距离相等，进行列式计算，即可作答． （2）根据轴对称的性质，对称点到对称轴的距离相等，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，； （2）依题意，， ∴点关于直线的对称点的坐标为； 依题意， ∴点关于直线的对称点的坐标为， 故答案为：，． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将各图形补成关于直线l对称的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始． 根据轴对称图形的性质，先找出各关键点关于直线l的对称点，再顺次连接即可． 【详解】解：关于直线l对称的图形如图所示． 12．（25-26八年级上·全国·课前预习）分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标： 坐标点 关于x轴对称的点 关于y轴对称的点 【答案】见解析 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标； 根据关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解： 坐标点 关于x轴对称的点 关于y轴对称的点 13．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，．在图中作出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标． 【答案】见解析，的坐标为 【分析】本题考查了作关于坐标轴对称的图形，写出对称点的坐标等知识，作出关于坐标轴对称的对称点是关键；分别作出点A、B、C关于x轴对称的对称点，再依次连接即可，由此也可写出点的坐标。 【详解】解：如图，即为所求； 的坐标为． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l上作点P，使的值最小，此时 ； (3)在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、正方形的性质、等腰三角形的三线合一、角平分线的性质定理，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）连接，与直线l的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求． 根据题意得：，，， ∴， ∴为直角三角形，且； 故答案为： （3）解：如图，点Q即为所求． 15．（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示） 【答案】(1)8 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点G，于点H，根据角平分线的性质及三角形面积法求解即可； （2）过点D作，交于点N，利用全等三角形的判定和性质证明即可； （3）延长交于点K，则，再倍长至点，过点作于点Q，交于点P，利用轴对称的性质及图形求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点G，于点H，如图所示： ∵， ∴，即 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴； （2）过点D作，交于点N，如图所示：    ∴， ∵，即 ∴ 在和中 ∴ ∴     ∵， ∴ 即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴     在和中 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴； （3），理由如下：    由（2）可知 延长交于点K，则 再倍长至点，过点作于点Q，交于点P 由轴对称性得 ∴最小，即 在中， ∴ 又在中， ∴． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，理解题意，作出相应辅助线综合运用这些知识点是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $