专题02 线段的垂直平分线重难点题型专训（4个知识点+9大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题02 线段的垂直平分线重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 画对称轴 题型二 求对称轴条数 题型三 写出命题的逆命题 题型四 判断是否为互逆命题 题型五 互逆定理 题型六 线段垂直平分线的性质 题型七 线段垂直平分线的判定 题型八 作已知线段的垂直平分线 题型九 作垂线(尺规作图) 拓展训练一 根据垂直平分线的性质求长度 拓展训练二 根据垂直平分线的性质求周长 拓展训练三 根据垂直平分线的性质求角度 拓展训练四 垂直平分线的判定与性质综合应用 知识点一：逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）命题“如果或，那么”的逆命题是 ． 知识点二：尺规作图 过一点作已知线段的垂线 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在直角中，，按以下步骤作图：以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D；分别以点D，B为圆心，大于线段长的一半为半径作弧，两弧交于点P；连接交与点E；则________． 知识点三：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 知识点四：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上． 【经典例题一 画对称轴】 【例1】（24-25八年级上·陕西安康·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·云南楚雄·期中）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（　　） A．中线 B．底边上的中线 C．底边上的高 D．底边上的中线所在的直线 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有 个． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它们的对称轴．                   【经典例题二 求对称轴条数】 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中只有两条对称轴的是（   ） A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．等边三角形 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知如图，有 条对称轴． 3．（24-25八年级上·四川自贡·期末）一个正多边形的对称轴共有6条，则这个正多边形的边数是 ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？ 【经典例题三 写出命题的逆命题】 【例3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的三个角都是60° 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同位角相等 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 3．（24-25八年级上·广东梅州·期末）命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【经典例题四 判断是否为互逆命题】 【例4】（24-25八年级上·广西桂林·期末）下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列定理中，没有逆定理的是(     ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90° 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【经典例题五 互逆定理】 【例5】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 1．（24-25八年级上·天津·期中）下列命题中正确的是（    ） A．如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数 B．如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：2：3 C．如果直角三角形的两边分别是3，4，那么斜边一定是5 D．任何一个定理都有逆定理 2．（24-25八年级上·浙江·期末）请写出一个存在逆定理的定理： ． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 【经典例题六 线段垂直平分线的性质】 【例6】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点．若的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，，为的垂直平分线，为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果，，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来． 【经典例题七 线段垂直平分线的判定】 【例7】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（    ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）经过线段 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 ． 3．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图，在中，分别是边的垂直平分线，，则的周长是________． （2）如图，，连接交于点，则________． 【经典例题八 作已知线段的垂直平分线】 【例8】（24-25八年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）在如图所示的四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图中，，请依据尺规作图的作图痕迹计算 ． 3．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； (2)如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 【经典例题九 作垂线(尺规作图)】 【例9】（2025·河北·模拟预测）如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　） A． B． C． D． 1．（2025·海南海口·模拟预测）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，分别交、与点、，若的周长是，则的长等于（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果AC＝5cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 cm． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）下面是黑板上列出的尺规作图题． 已知：直线和上的一点，请用尺规作的垂线，使它经过点． 作法： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点和点（如图）． ②作直线，就是直线的垂线． ③分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点．    (1)以上作法步骤是混乱的，正确的排序是________； (2)步骤③中，的长满足的条件是_________； (3)以下是的说理过程，请补全． 解：如图，连接．    由作图知，， ． 又因为， 所以 ． 所以． 根据平角的定义，所以 = ， 所以，所以直线． 【拓展训练一 根据垂直平分线的性质求长度】 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【拓展训练二 根据垂直平分线的性质求周长】 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，， (1)如图，已知，请你用尺规作图法作出边的垂直平分线，分别交，于点，．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求的周长． 【拓展训练三 根据垂直平分线的性质求角度】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【拓展训练四 垂直平分线的判定与性质综合应用】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南·期中）平面内到不在同一条直线的三个点的距离相等的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·河南开封·模拟预测）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 6．（24-25八年级上·全国·期中）正六边形有 条对称轴． 7．（24-25八年级上·浙江温州·期中）写出命题“同角的余角相等”的逆命题： ． 8．（24-25八年级上·广东湛江·期中）在△ABC中，∠BAC＝100°，ME垂直平分边AB垂足为点E，NF垂直平分边AC垂足为点F，则∠MAN＝ 度． 9．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，已知的周长为19，的周长为13，则 ．    10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为 cm． 11．（24-25八年级上·山东淄博·期末）画出下面图形的所有对称轴． (1) (2) 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 13．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，两条公路，途经，两个村庄，为了振兴乡村经济，有关部门规划利用内部的空地建一个养殖基地，基地需要满足到村庄，距离相等，并且到公路，距离也相等，请你用尺规作图的方法确定出养殖基地的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．证明： 15．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）下面是小东设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：中边上的高线． 作法：如图，以点为圆心，的长为半径作弧，以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点；连接交于点． 所以线段是中边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵_________，________， ∴点，分别在线段的垂直平分线上（   ）（填推理依据）． ∴垂直平分线段． ∴线段是中边上的高线． (3)如图已知：，求作：中边上的高线． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 线段的垂直平分线重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 画对称轴 题型二 求对称轴条数 题型三 写出命题的逆命题 题型四 判断是否为互逆命题 题型五 互逆定理 题型六 线段垂直平分线的性质 题型七 线段垂直平分线的判定 题型八 作已知线段的垂直平分线 题型九 作垂线(尺规作图) 拓展训练一 根据垂直平分线的性质求长度 拓展训练二 根据垂直平分线的性质求周长 拓展训练三 根据垂直平分线的性质求角度 拓展训练四 垂直平分线的判定与性质综合应用 知识点一：逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）命题“如果或，那么”的逆命题是 ． 【答案】如果，那么或 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换命题的题设和结论之后即可写出原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果或，那么”的逆命题是：如果，那么或． 故答案为：如果，那么或． 知识点二：尺规作图 过一点作已知线段的垂线 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：解：由作图可得：， 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在直角中，，按以下步骤作图：以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D；分别以点D，B为圆心，大于线段长的一半为半径作弧，两弧交于点P；连接交与点E；则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的基本作图、与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形面积不变是解题的关键． 利用三角形面积的不变性计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 知识点三：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质．根据是边的垂直平分线得，再根据的周长是即可得到答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为（）， 故答案为：． 知识点四：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上． 【答案】 M N 【分析】根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可得点M、N都在AB的垂直平分线上． 【详解】解：∵ ∴点M在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点N在线段的垂直平分线上，即点M、N在线段的垂直平分线上． 故填M、N、AB． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线定理，掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解答本题的关键． 【经典例题一 画对称轴】 【例1】（24-25八年级上·陕西安康·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的意义和性质解答． 【详解】解：A、如图，A是轴对称图形； B、如图，B是轴对称图形； C、找不到一条直线，使得C沿这条直线对折后两边完全重合，所以C不是轴对称图形； D、如图，D是轴对称图形； 故选C ． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别与对称轴的绘制，熟练掌握轴对称图形的意义和性质是解题关键． 1．（24-25八年级上·云南楚雄·期中）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（　　） A．中线 B．底边上的中线 C．底边上的高 D．底边上的中线所在的直线 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的性质和等腰三角形“三线合一”的性质解答即可． 【详解】根据轴对称图形的性质可知，等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线、底边上的高所在的直线、底边上的中线所在的直线． 故选D． 【点睛】本题考查轴对称图形的性质，等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 【答案】 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条， 故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n． 【点睛】此题考查图形的对称轴定义，熟记定义是解题的关键． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它们的对称轴．                   【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，画对称轴等知识点，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可得出答案，然后画出轴对称图形的对称轴即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，除了第二个和最后一个图形不是轴对称图形，其余都是轴对称图形， 画对称轴如下： 【经典例题二 求对称轴条数】 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中只有两条对称轴的是（   ） A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】此题考查对称轴，根据对称性及图形的特点确定对称轴条数，即可得到答案． 【详解】解：A.矩形只有两条对称轴，符合题意； B.平行四边形没有对称轴，不符合题意； C.正方形有四条对称轴，不符合题意； D.等边三角形有三条对称轴，不符合题意； 故选：A． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和对称轴的定义，准确找出组合图形的所有对称轴是解题的关键； 找出每个组合图形的对称轴，然后比较即可得出答案． 【详解】 A．该图有两条对称轴， B．该图有一条对称轴， C． 该图有三条对称轴， D． ，该图有两条对称轴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知如图，有 条对称轴． 【答案】 【分析】根据轴对称的定义即可得到答案． 【详解】解：由题可知，共有条对称轴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的定义，掌握轴对称的定义是解决本题的关键． 3．（24-25八年级上·四川自贡·期末）一个正多边形的对称轴共有6条，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】根据正六边形的对称轴有6条即可得到答案． 【详解】解：∵一个正多边形的对称轴有6条， ∴这个正多边形为六边形， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正多边形的对称轴，熟知正多边形的性质是解题的关键． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？ 【答案】3条，4条，5条，6条，8条；一个正n边形有n条对称轴． 【分析】根据图形的性质，分别找出对称轴的条数 【详解】正三角形的对称轴为三条高线所在的直线，共3条对称轴， 正方形的对称轴为两条对角线所在的直线，和两条对边中点连线所在的直线，共4条对称轴， 正五边形的对称轴为各边中点与其所对的角的顶点的连线所在的直线，共5个顶点，则共5条对称轴， 正六边形的对称轴与正方形的类似，3条对角线所在的直线，和3条对边中点连线所在的直线，共6条对称轴， 正八边形的对称轴与正方形，正六边形的类似，4条对角线所在的直线，和4条对边中点连线所在的直线，共8条对称轴， 一般地，一个正n边形有n条对称轴． 【点睛】本题考查了正多边形的对称轴的条数，理解轴对称的性质是解题的关键． 【经典例题三 写出命题的逆命题】 【例3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的三个角都是60° 【答案】C 【分析】逐一分析各选项的原命题及其逆命题，判断逆命题的真假．本题考查了命题的判断，熟练掌握解题要领是解题的关键． 【详解】A. 原命题：“等腰三角形的两个底角相等”． 逆命题：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 根据等腰三角形的判定，逆命题为真． B. 原命题：“内错角相等，两直线平行”． 逆命题：“两直线平行，内错角相等”． 这是平行线的性质，逆命题为真． C. 原命题：“全等三角形的对应角相等”． 逆命题：“对应角相等的三角形全等”． 对应角相等仅能判定相似，不能保证全等，逆命题为假． D. 原命题：“等边三角形的三个角都是60°”． 逆命题：“三个角都是60°的三角形是等边三角形”． 根据等边三角形的判定，逆命题为真． 故选：C． 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题与逆命题的知识，能够写出命题的逆命题是解题的关键． 根据题意写出逆命题，然后进行判断真假即可． 【详解】解：、“若，，则”逆命题为“若，则，”，为假命题，符合题意； 、“若，则”逆命题为“若，则”，为真命题，不符合题意； 、“全等三角形的对应边相等”逆命题为“对应边相等的三角形全等”，为真命题，不符合题意； 、“两直线平行，同位角相等”逆命题为“同位角相等，两直线平行”，为真命题，不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键． 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可． 【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 3．（24-25八年级上·广东梅州·期末）命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了判断真假命题，逆命题，先写出原命题的逆命题，再进行判断即可． 【详解】解：如果，那么的逆命题是：如果，那么，是假命题， 故答案为：假． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【答案】(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键． （1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解． 【详解】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【经典例题四 判断是否为互逆命题】 【例4】（24-25八年级上·广西桂林·期末）下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据性质定理进行判断，即可得出答案． 【详解】①若x=y，则|x|=|yt|的逆命题是如果|x|=|y|，则x=y，错误； ②两直线平行,内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，正确； ③对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误. 故选B. 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列定理中，没有逆定理的是(     ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90° 【答案】B 【详解】解：A、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题，所以A选项有逆定理； B、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此命题为假命题，所以B选项没有逆定理； C、三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为：全等的两个三角形的三边对应相等，此逆命题为真命题，所以C选项有逆定理； D、直角三角形的两锐角的和为90°的逆命题为：两锐角的和为90°的三角形为直角三角形，此逆命题为真命题，所以D选项有逆定理． 故选B． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【经典例题五 互逆定理】 【例5】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【分析】分别写出个命题逆命题，即可求解． 【详解】解：A、逆定理为：两直线平行，同旁内角互补，故本选项不符合题意； B、逆定理为：两直线平行，内错角相等，故本选项不符合题意； C、逆定理为：两直线平行，同位角相等，故本选项不符合题意； D、逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，即该定理没有逆定理，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了逆定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·天津·期中）下列命题中正确的是（    ） A．如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数 B．如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：2：3 C．如果直角三角形的两边分别是3，4，那么斜边一定是5 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、因为a，b，c是一组勾股数，所以，，也是一组勾股数，则是真命题，故本选项符合题意； B、设这一个三角形的三个内角的度数分别为 ，因为，则 ，即这一个三角形的三个内角的度数分别为 ，即该三角形为直角三角形，设最短边长为 ，则斜边长为 ，较长直角边为 ，所以这个三角形三个内角所对的边之比 ，则是假命题，故本选项不符合题意； C、4也可能为斜边，则是假命题，故本选项不符合题意； D、任何一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，则是假命题，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识，属于基础题，比较简单． 2．（24-25八年级上·浙江·期末）请写出一个存在逆定理的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【分析】写出任意一个存在逆定理的定理即可． 【详解】“两直线平行，同位角相等”的逆定理为“同位角相等，两直线平行” 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【点睛】本题考查逆定理，熟记各种定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补 (2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． 【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 【经典例题六 线段垂直平分线的性质】 【例6】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点．若的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．由题意易得，然后根据三角形的周长公式及题意可进行求解．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：B． 1．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得，从而可得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∵，， ∴ ∴的周长为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，，为的垂直平分线，为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则由三角形周长公式可得的周长，则当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵为的垂直平分线，点为直线上的任意一点， ∴， ∴的周长， 当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果，，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形，线段垂直平分线的性质，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据题意，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，将已知三角形划分为三个全等的三角形即可． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则、和大小、形状都相同． 证明：∵，， ∴， 如图，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴、和大小、形状都相同． 【经典例题七 线段垂直平分线的判定】 【例7】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（    ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的判定，根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 【详解】解：∵基站到三个村庄A，B，C的距离相等， ∴点P应设计在三条边的垂直平分线的交点上； 故选C． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据，，得到垂直平分，分割法求面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，故①②正确； 无法得到平分，故③错误； 四边形的面积为；故④正确； 故选C． 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）经过线段 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 ． 【答案】 中点 垂直平分线 【解析】略 3．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可． 【详解】解：，， ∴点C，点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 故答案为：5 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图，在中，分别是边的垂直平分线，，则的周长是________． （2）如图，，连接交于点，则________． 【答案】（1）11；（2）2 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）本题需要利用线段垂直平分线的性质，将的周长转化为已知线段的和来求解； （2）本题要根据线段垂直平分线的判定与性质，确定是的垂直平分线，从而得出的长度． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为：． （2）∵，根据线段垂直平分线的判定，可知点都在的垂直平分线上． ∴是的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． 【经典例题八 作已知线段的垂直平分线】 【例8】（24-25八年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，由作图可知是的边的垂直平分线，则有，，即，然后通过的周长为，则有，再代入即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图步骤可得是的边的垂直平分线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）在如图所示的四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：②的痕迹是作的垂直平分线交于点D，连接，不能得到是的角平分线；①的痕迹是作的平分线；③④均可通过证三角形全等得是的平分线． 故选D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图中，，请依据尺规作图的作图痕迹计算 ． 【答案】/83度 【分析】先根据三角形内角和定理求出，由作法可知，是的平分线，得到，由作法可知，是的平分线，得到，再由三角形外角定理即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 由作法可知，是的平分线， ∴， 由作法可知， 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 3．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图，基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握五种基本作图方法，是解答本题的关键． 由作图得：垂直平分，故，，然后利用等线段代换计算的周长，由此得到答案． 【详解】解：由作图得： 垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， 的周长是： ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； (2)如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图—角平分线的作法、作图—线段垂直平分线的作法： （1）作出的角平分线，要求的点为该角平分线与的交点； （2）作出三角形任意两边的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图： 以为圆心画圆弧与分别交于，以分别为圆心，的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接并延长交于，点即为所求； （2）解：如图： 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 和交于即为所求点． 【经典例题九 作垂线(尺规作图)】 【例9】（2025·河北·模拟预测）如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、三角形内角和定理等知识．由尺规作图的作法得到，根据三角形内角和定理代入数据计算即可得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，， 即， ∵， ∴， 故选：C． 1．（2025·海南海口·模拟预测）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，分别交、与点、，若的周长是，则的长等于（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】根据作图可得，根据的周长是，，即可求解．求得的长． 【详解】解：根据作图，是的垂直平分线， ， 的周长， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，理解题意是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，再代入数值即可． 【详解】解：从作法可知：是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果AC＝5cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 cm． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）结合图形，AE+EP＝AC，则需使EP＝EC，根据垂直平分线的作法作图即可； （2）△APE的周长为AP+PE+AE，由（1）可知AE+EP＝AC，则△APE的周长为AP+ AC，代入求值即可. 【详解】解:（1）作法：如图所示， ①连接， ②作的垂直平分线交于， ③点即为所求， （2）∵， ∴， ∴△APE的周长为：AP+AE+PE=AP+AC=3+5=8． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的作法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）下面是黑板上列出的尺规作图题． 已知：直线和上的一点，请用尺规作的垂线，使它经过点． 作法： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点和点（如图）． ②作直线，就是直线的垂线． ③分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点．    (1)以上作法步骤是混乱的，正确的排序是________； (2)步骤③中，的长满足的条件是_________； (3)以下是的说理过程，请补全． 解：如图，连接．    由作图知，， ． 又因为， 所以 ． 所以． 根据平角的定义，所以 = ， 所以，所以直线． 【答案】(1)①③② (2)大于 (3)CB；；；； 【分析】本题主要考查了垂线的作法，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握垂线的作法和全等三角形的判定方法． （1）利用垂线的作法进行排序即可； （2）根据垂线的作法即可得出答案； （3）根据尺规操作，得出相等的线段，根据条件得出，然后根据对应角相等即可得出直角，得出垂直． 【详解】（1）解：正确的顺序为：①③②， 故答案为：①③②； （2） 解：的长满足的条件是：大于， 故答案为：大于； （3）证明：连接， 由作图知，，CB ， 又因为， 所以， 所以， 根据平角的定义， 所以，，所以， 所以直线， 故答案为：CB；；；；． 【拓展训练一 根据垂直平分线的性质求长度】 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出、是解此题的关键． 根据线段垂直平分线性质得出，，求出即可． 【详解】解：∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故答案为：32． 3．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论； （2）由题意可得，再结合，求解即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 【拓展训练二 根据垂直平分线的性质求周长】 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件即可得到的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为13， ， ， ， 的周长为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为 ． 【答案】/25厘米 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，先由作图得出是中垂线，则，，得到的周长，进而可得答案． 【详解】解：由题意得到：是中垂线， ∴，， ∴， ∵的周长为，即， ∴周长． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，， (1)如图，已知，请你用尺规作图法作出边的垂直平分线，分别交，于点，．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键， （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质得到，即可推出的周长求出答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【拓展训练三 根据垂直平分线的性质求角度】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．由线段垂直平分线的性质可知，．再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵点E，F分别在，的垂直平分线上， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 【答案】30°/30度 【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分，从而可求出． 【详解】如图连接BP． 　 ∵为等边三角形， ∴AD为BC的垂直平分线， ∴BP=CP， ∵△PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE， ∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小， ∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图． 又∵点E为中点，AD为高，为等边三角形， ∴P点即为等边角平分线的交点， ∴CP平分， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的三线合一解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，D为线段的中点， ∴， ∴． 【拓展训练四 垂直平分线的判定与性质综合应用】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，先证明，则，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）理由见解析；（2）相等，理由见解析；（3）对，理由见解析；（4），理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）过A点作于D，证明即可求解； （2）先证明，再根据证明即可求解； （3）可证点A，C在线段的垂直平分线上，进而可说明垂直并且平分线段； （4）由得，等量代换得，从而可证． 【详解】解：（1）如图，过A点作于D， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴． （3）∵E是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴C在线段的垂直平分线上． ∵， ∴A在线段的垂直平分线上． ∴是线段． （4），理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴对称图形的对称轴．确定每个图形的对称轴的数量，进行判断即可．掌握对称轴是使轴对称图形翻折后能够重合的直线，是解题的关键． 【详解】解：A中有无数条对称轴，B中有3条对称轴，C中有4条对称轴，D中有6条对称轴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南·期中）平面内到不在同一条直线的三个点的距离相等的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质. 根据线段垂直平分线的性质可知平面内到不在同一条直线的三个点的距离相等的点有1个． 【详解】解：到距离相等的点在的垂直平分线上， 到距离相等的点在的垂直平分线上， 到距离相等的点在的垂直平分线上， 而三角形三边的垂直平分线交于一点． 故选A． 3．（2025·河南开封·模拟预测）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：①作图是尺规作图作角的平分线，故①正确； ②作图不能得到射线是的平分线，故②错误； ③作图可以得到射线是的平分线，故③正确； ④作图可以得到是的中线，故④错误； 故选：． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得，即可求解. 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴， 故选：B. 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题． 写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项． 【详解】解：①若，则，错误，为假命题； 其逆命题为若，则，错误，为假命题； ②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题； 逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题； ③如果，那么，正确，为真命题； 其逆命题为若，那么，错误，为假命题； ④互为相反数的两个数和为0，是真命题， 它的逆命题是：和为0的两个数互为相反数，是真命题． 原命题和逆命题均是真命题的是②④． 故选：B． 6．（24-25八年级上·全国·期中）正六边形有 条对称轴． 【答案】6/六 【分析】本题主要考查对称轴，熟练掌握正多边形的特点、轴对称图形的定义是解决本题的关键． 根据轴对称图形的定义解决此题． 【详解】解：如图． ∴正六边形共有6条对称轴． 故答案为： 6． 7．（24-25八年级上·浙江温州·期中）写出命题“同角的余角相等”的逆命题： ． 【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角 【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论．把命题的条件和结论交换即可得其逆命题． 【详解】解：“同角的余角相等”的逆命题是，如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角 故答案为：如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角． ． 8．（24-25八年级上·广东湛江·期中）在△ABC中，∠BAC＝100°，ME垂直平分边AB垂足为点E，NF垂直平分边AC垂足为点F，则∠MAN＝ 度． 【答案】20． 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=80°，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MB，得到∠MAB=∠B，结合图形计算，得到答案． 【详解】∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°， ∵ME垂直平分边AB， ∴MA＝MB， ∴∠MAB＝∠B， 同理可得，∠NAC＝∠C， ∴∠BAC﹣（∠MAB+∠NAC）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝20°， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，已知的周长为19，的周长为13，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意知，是线段的垂直平分线，则，，由，，可得，即，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为13， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质，可得，，结合“的周长为”，即可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·山东淄博·期末）画出下面图形的所有对称轴． (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查对称轴的画法，画出的对称轴是一条直线，这条直线两旁的图形能够完全重合；有些图形的对称轴有多条，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是一个轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，据此解答即可． （）这个图形是由两个大小不同且相切的圆组成；根据对称轴的定义，只有一条对称轴，就是经过两个圆圆心的直线；沿着这条直线对折，两个圆能够完全重合； （）这个图形是由三个大小相同且两两相切的圆组成；根据对称轴的定义，通过观察和对折想象来确定对称轴． 【详解】（1）解：有条对称轴，为经过两圆圆心的直线； （2）有条对称轴，分别为经过上方圆的圆心与下方两圆圆心连线中点、经过左下方圆的圆心与另外两圆圆心连线中点、经过右下方圆的圆心与另外两圆圆心连线中点的直线． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 13．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，两条公路，途经，两个村庄，为了振兴乡村经济，有关部门规划利用内部的空地建一个养殖基地，基地需要满足到村庄，距离相等，并且到公路，距离也相等，请你用尺规作图的方法确定出养殖基地的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．作平分，作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明． 连接点P与的中点O，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，所以可证是的垂直平分线． 【详解】连接点P与的中点O， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点在线段的垂直平分线上． 15．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）下面是小东设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：中边上的高线． 作法：如图，以点为圆心，的长为半径作弧，以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点；连接交于点． 所以线段是中边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵_________，________， ∴点，分别在线段的垂直平分线上（   ）（填推理依据）． ∴垂直平分线段． ∴线段是中边上的高线． (3)如图已知：，求作：中边上的高线． 【答案】(1)作图见解析； (2)，，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； (3)作图见解析． 【分析】本题主要考查了尺规作图——作垂线，线段的垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据要求画出图形即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题； （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求； （2）证明：∵，， ∴点，分别在线段的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， ∴垂直平分线段． ∴线段是中边上的高线， 故答案为：，，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； （3）解：如图， 以点为圆心，的长为半径作弧，以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点； 连接交延长线于点， ∴线段是中边上的高线． 学科网（北京）股份有限公司 $