第十五章 轴对称 重难点检测卷 -2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

第十五章 轴对称重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册第十五章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2025·江西南昌·模拟预测）下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）在中，，则的度数是（　　）． A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2025·陕西·模拟预测）2025年4月3日，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在参加首都义务植树活动时强调，植树造林是生态文明建设的重要一环．绿化祖国必须坚持扩绿兴绿护绿“三绿”并举，推动森林水库钱库粮库碳库“四库”．下面的汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．三 B．绿 C．四 D．库 5．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（ ） A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分 C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25八年级上·新疆克拉玛依·期中）如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点F，有以下结论：；；．其中正确的有（     ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 10．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点和点关于轴对称，则 ， ． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 ．    13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中， ，，，则 ． 14．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在中，的周长为17，则的周长为 ； 16．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为 ． 17．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 18．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若，的周长为17，求线段的长？ 20．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，点E、F位于的内部．请利用尺规作图在的内部画一点P，使点P到点E、F的距离相等，且到的两边距离相等． 21．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图所示，已知为等边三角形，点为延长线的一点，平分，，求证：是等边三角形． 22．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，画出关于直线l对称的． 23．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 24．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，已知中，于点D． (1)请作出的垂直平分线，分别交于点E，F； (2)若点D为线段的中点，，求的度数． 25．（24-25八年级上·吉林白山·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由． 解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′ ∵ ∠ACB＝90°（已知） ∴ 　 （垂直的定义） ∴ PB＝　 （线段垂直平分线的性质） ∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质） ∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′， 在△ABC和△AB′C中， ∵ AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， 　 　∴ △ABC≌△AB′C（理由：　 　） ∴ S△ABB′＝S△ABC+ 　 ＝2S△ABC（全等三角形面积相等） ∵ S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D 又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48 ∴ 　 （同一三角形面积相等） ∴ B′D＝ ∴ 　 　 26．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【概念认知】 在凸四边形中（内角度数都小于），若其中有三个顶点构成的三角形是等腰直角三角形，则称该四边形为直等腰四边形． 【理解应用】 （1）如图1，如图所示，请用无刻度的直尺和圆规作出点D（只需作出一个即可），使A、B、C、D四个点构成的四边形是直等腰四边形； （2）如图2，在中，，，，点D是边上的一个动点（不与B、C重合），将沿着翻折得到，当A、D、E、C四个点构成的四边形是直等腰四边形时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在直等腰四边形中，，，为等腰直角三角形，且，若，则的长为__________（直接写出答案）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册第十五章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2025·江西南昌·模拟预测）下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了：轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）． 解题的关键是：根据轴对称图形的定义，逐一判断每个选项的图形是否存在这样的对称轴，无对称轴的即为答案． 分别观察选项 A、B、C、D 的图形；对每个图形尝试寻找对称轴，判断沿某条直线折叠后两边是否完全重合． 【详解】解：A、该图形能找到三条对称轴，沿对称轴折叠后两边完全重合，是轴对称图形,此选项不符合题意； B、该图形能找到二条对称轴，沿对称轴折叠后两边完全重合，是轴对称图形,此选项不符合题意； C、该图形无法找到任何一条对称轴，沿任意直线折叠后两边均不能完全重合， 不是轴对称图形,此选项符合题意； D、该图形能找到一条对称轴，沿对称轴折叠后两边完全重合，是轴对称图形,此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）在中，，则的度数是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和定理等知识点，掌握等边对等角是解题的关键． 根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理可求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，首先算出的长，再以O为圆心，长为半径画圆，交y轴于两点，再作出的垂直平分线，与y轴交点也可以构造出等腰三角形，此时为点，得出只有两点即为P所在位置． 【详解】解：过点A作轴于点C， ∵， ∴，， ∴， 以O为圆心，2为半径画圆，交y轴于两点，， 作的垂直平分线，此时交点正好与点重合， 故使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有2个， 故选：C． 4．（2025·陕西·模拟预测）2025年4月3日，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在参加首都义务植树活动时强调，植树造林是生态文明建设的重要一环．绿化祖国必须坚持扩绿兴绿护绿“三绿”并举，推动森林水库钱库粮库碳库“四库”．下面的汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．三 B．绿 C．四 D．库 【答案】A 【分析】该题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义，逐一分析选项中的汉字是否存在一条直线，使得图形沿该直线对折后两部分完全重合． 【详解】解：A是轴对称图形，符合题意； B不是轴对称图形，不符合题意； C不是轴对称图形，不符合题意； D不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（ ） A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，即可确定观景台的位置． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点． 故选：． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分 C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，如果把两个图形沿着某条直线折叠后，两个图形能完全重合，这两个图形关于这条直线轴对称，这条直线是对称轴，对称轴是对应点连线段的垂直平分线． 【详解】解：与关于直线成轴对称， 是对称轴，点和点是对应点， 是线段的垂直平分线， 故A选项错误，不符合题意； 是线段的垂直平分线， 线段被直线垂直平分， 故B选项正确，符合题意； 是线段的垂直平分线， 直线经过线段的中点，且垂直于线段， 故C选项错误，不符合题意； 是线段的垂直平分线， 直线与线段垂直，且经过线段的中点， 故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图. 根据角平分线、垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可． 【详解】解：由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下： 图②和图③作法正确， 故选：C． 8．（24-25八年级上·新疆克拉玛依·期中）如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点F，有以下结论：；；．其中正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，根据等腰三角形三线合一，即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形，是等边三角形， ，，，， ∵是角平分线， ， ，故①正确，， ，，故②正确 ，故③正确， 故选：D． 9．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】连接OC，过点O作于F，求得，，再根据条件得出，得到，即可得解； 【详解】连接OC，过点O作于F，如图， ∵，， ∴， 在Rt△CDE中，， ∴，， ∵D为AC的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在Rt△OEF中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． 10．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质和中线的定义，根据此来逐一分析选项； 【详解】解： 折叠的性质是折叠前后的图形全等，对应边相等，点C的对应点在点B处，则点D为 的中点，故是的中线，则选项A正确； 由折叠可知， ​​，不能得出，所以无法判定是的中线，该选项B错误； 由折叠可知，且点落在上，此时也不能推出，因此不能确定是的中线，该选项C错误； 由折叠可知，点C与点A重合，无法判断出，故该选项D错误； 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点和点关于轴对称，则 ， ． 【答案】 3 【分析】本题考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】解∶∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴，， 故答案为∶3，． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 ．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质画图即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质画出图形即可：    13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中， ，，，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，解题的关键是先判定为等边三角形得到的度数，再利用等腰三角形三线合一得出平分，进而求出． 先根据和判定是等边三角形，得出；再由，结合等腰三角形三线合一（等腰三角形底边上的高也是顶角平分线），可知平分；最后计算的一半即为的度数． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）， ∴（等边三角形的三个内角都为． ∵， ∴平分（等腰三角形三线合一：底边上的高平分顶角）， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键．由轴对称的性质可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与关于直线对称，，， ，， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在中，的周长为17，则的周长为 ； 【答案】25 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 由作图可得垂直平分，则，，那么把的周长转化为求解即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，， ∵为17， ∴ ∴的周长为， 故答案为：25． 16．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 由题意可得，推出，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查三角形中的翻折变换，根据将、分别沿、向外翻折至、，可得是等腰直角三角形，要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高，根据，且，可得最小为6，即可得面积的最小值为． 【详解】解：∵将、分别沿、向外翻折至、， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高， ∵，且， ∴最小为，即的最小值为6， ∴面积的最小值为， 故答案为：18． 18．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故答案为：． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若，的周长为17，求线段的长？ 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的周长，由翻折可得，再由的周长为17，可得，即可求解，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合， ∴， ∵，的周长为17， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，点E、F位于的内部．请利用尺规作图在的内部画一点P，使点P到点E、F的距离相等，且到的两边距离相等． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线和线段垂直平分线的作图．作线段的垂直平分线，作的角平分线，交点即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所求， 21．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图所示，已知为等边三角形，点为延长线的一点，平分，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状．利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形． 【详解】证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ， 即， ， 为等边三角形． 22．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，画出关于直线l对称的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，根据轴对称的性质分别找出点、、关于直线的对称点、、，再顺次连接即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图：即为所作， 23．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，M，N两点重合，此时两点重合在点C处 (2)存在，此时M，N运动的时间为 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点N第一次运动到点B的时间，再结合M，N两点重合，进行列式，解出，即可作答． （2）先根据等腰三角形的性质得，再结合等边三角形的性质得，证明，得．当点M，N在BC边上运动，是等腰三角形时，．结合进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：点N第一次运动到点B用时为， 由题意，得， 解得， ∴当时，M，N两点重合， 则， 此时两点重合在点C处． （2）解：存在． 理由如下：如图，点M，N在上，连接， ∵是以为底边的等腰三角形， ， ． ∵是等边三角形， ． 在和中， ． 当点M，N在边上运动，是等腰三角形时，． ， 解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰， 此时M，N运动的时间为． 24．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，已知中，于点D． (1)请作出的垂直平分线，分别交于点E，F； (2)若点D为线段的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键． （1）如图，作出线段的垂直平分线即可； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，为的垂直平分线， （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ． 25．（24-25八年级上·吉林白山·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由． 解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′ ∵ ∠ACB＝90°（已知） ∴ 　 （垂直的定义） ∴ PB＝　 （线段垂直平分线的性质） ∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质） ∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′， 在△ABC和△AB′C中， ∵ AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， 　 　∴ △ABC≌△AB′C（理由：　 　） ∴ S△ABB′＝S△ABC+ 　 ＝2S△ABC（全等三角形面积相等） ∵ S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D 又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48 ∴ 　 （同一三角形面积相等） ∴ B′D＝ ∴ 　 　 【答案】AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；AB•B′D＝48；PB+PD的最小值为 【分析】作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP=B′P，证明△ABC≌△AB′C，根据S△ABB′=S△ABC+S△AB′C=2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值． 【详解】解：如图2，延长BC到点B′，使得BC=B′C，连接PB′， ∵∠ACB=90°（已知）， ∴ AC⊥BB'（垂直的定义）， ∴PB=PB'（线段垂直平分线的性质）， ∴PB+PD=PB′+PD（等式性质）， ∴过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′． 在△ABC和△AB′C中， ∵AC=AC，∠ACB=∠ACB′=90°，BC=B′C， ∴△ABC≌△AB′C（理由：SAS）， ∴SABB′=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC（全等三角形面积相等）， ∵S△ABB′=×AB×B'D=×10×B′D=5B′D， 又∵S△ABB′=2S△ABC=2××BC×AC=2××6×8=48， ∴ AB•B′D＝48（同一三角形面积相等）， ∴B′D=， ∴ PB+PD的最小值为． 故答案为：AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；AB•B′D＝48；PB+PD的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是轴对称-最短路线问题的处理：作对称点． 26．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【概念认知】 在凸四边形中（内角度数都小于），若其中有三个顶点构成的三角形是等腰直角三角形，则称该四边形为直等腰四边形． 【理解应用】 （1）如图1，如图所示，请用无刻度的直尺和圆规作出点D（只需作出一个即可），使A、B、C、D四个点构成的四边形是直等腰四边形； （2）如图2，在中，，，，点D是边上的一个动点（不与B、C重合），将沿着翻折得到，当A、D、E、C四个点构成的四边形是直等腰四边形时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在直等腰四边形中，，，为等腰直角三角形，且，若，则的长为__________（直接写出答案）． 【答案】（1）作图见解析（2）或；（3） 【分析】（1）以A、B为圆心，大于为半径作弧，交于点，，作直线交于点N，以N为圆心，为半径作弧交于D，即可得直等腰四边形； （2）分两种情况：当点E在下方时，当点E在上方时，作于点F，根据等腰三角形的性质及勾股定理解答即可； （3）作的中垂线交于S、于P，连接，作，交于Q，作，交于T，利用勾股定理及含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：以A、B为圆心，大于为半径作弧，交于点，，作直线交于点N，以N为圆心，为半径作弧交于D，四边形即为所求． 由作法可知：直线为线段的垂直平分线，点D在直线上， ，， ， ， ， ，即， 四边形为直等腰四边形； ； （2）Ⅰ当点E在下方时， A、D、E、C四个点构成的四边形是直等腰四边形， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 沿着翻折得到， ，， 即， 作于点F， ，，， 为等腰直角三角形， 在中，， ，， 在中，， ，； Ⅱ当点E在上方时，如图所示： A、D、E、C四个点构成的四边形是直等腰四边形， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 沿着翻折得到， ， ， ， 作于点F， ，， 为等腰直角三角形， 在中，， ，， 在中，， ，； 综上所述，的长为或； （3）作的中垂线交于S、于P，连接，作，交于Q，作，交于T， ，， ， 为中垂线， ，， 在中， ，， 在中 ， ，， 在中，设 ，， 解得：， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、翻折变换、勾股定理及三角形内角和定理、外角的性质、含30度角直角三角形的性质等，正确添加辅助线，运用数形结合、分类讨论的思想是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $