第五单元 倍数和因数（解决问题专项） 数学冀教版四年级上册

该小学数学讲义通过分类梳理构建“倍数和因数”单元知识体系，以表格形式呈现四类核心问题的“关键识别-解题要点”对应关系，清晰梳理自然数、奇偶数、倍数因数特征、分解质因数等知识脉络，突出概念内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“类型化例题+分层训练”设计，典型例题1结合购物找零情境培养应用意识，变式训练强化推理能力，A夯实基础、B培优拔高、C思维拓展三级练习满足分层需求，答案解析详尽，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

第五单元 倍数和因数 1.自然数、奇数、偶数类问题 –关键识别：题目提及自然数、奇数、偶数字眼。 –解题要点：依据奇数、偶数、自然数的定义来解题。 2.倍数、因数特征应用类问题 –关键识别：涉及根据 2、3、5 的倍数特征判断数，或结合特征找符合要求的数（如 最大、最小数）。 –解题要点：牢记 2（个位是 0、2、4、6、8）、3（各位数字之和是 3 的倍数）、 5（个位是 0 或 5）的倍数特征；判断 3 的倍数时，严格计算各位数字和；找符合多 个特征的数时，综合各特征逐步筛选。 3. 找因数、倍数类问题 –关键识别：要求找出一个数的因数或倍数，或在一定范围内找符合条件的因数、 倍数。 –解题要点：找因数用 “一对一对” 法，将数写成两个整数相乘的形式，确保不重 复、不遗漏；找倍数则用这个数依次乘 1、2、3……，注意倍数是无限的，若有范围 限制需按要求找。 4. 分解质因数类问题 –关键识别：需将合数表示为质数相乘的形式，或判断分解质因数是否正确。 –解题要点：用短除法从最小质数 2 开始分解，直到所有因数都是质数；判断时，检 查因数是否全为质数，若有合数则继续分解，同时排除 1（1 不是质数）。 类型1：奇、偶数类解决问题 典型例题1：如图，聪聪去文具店买了几个笔记本和几支圆珠笔，付给营业员50元，营业员找回17元，聪聪很快就判断出找的钱数不对，你知道他是怎样判断的吗？帮他把理由写出来吧！    思路分析：根据偶数＋偶数＝（ ）数、偶数－偶数＝（ ）数，偶数×奇数＝（ ）数、偶数×偶数＝偶数及单价×数量＝（ ），分析解答即可。 答题区： 变式训练： 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗?为什么? 类型2：倍数、因数特征应用类问题 典型例题2：王老师把32块糖平均分给幼儿园的小朋友，正好分完。小朋友的人数可能是多少？ 思路分析：根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出32的（ ）有哪些，由此解答。 答题区： 变式训练： 四年级一班有48名同学排队做操，要求每行的人数相同，有几种不同的排法？ 典型例题3：刘阿姨买了一些鸡蛋，鸡蛋的个数在20~30之间。这些鸡蛋2个2个地数、3个3个地数都能正好数完。猜一猜刘阿姨买了多少个鸡蛋？ 思路分析：由题意可得，20到30之间的2的倍数有（ ）；3的倍数有 （ ），最后根据鸡蛋的个数在20~30之间解答即可。 答题区： 变式训练： 四（1）班的学生人数是偶数，在40~50之间。如果每3人一组进行实践活动，可全部分完没有剩余。这个班可能有多少人？ 类型3：分解质因数类问题 典型例题4：2019年小军和妈妈的年龄都是质数，他们年龄的积是93。2022年小军和妈妈的年龄之和应该是多少？ 思路分析：质数是指一个自然数，只有1和它本身两个因数；已知2019年小军和妈妈的年龄 都是质数，他们年龄的积是93，93＝（ ），可确定小军和妈妈2019年的岁数；接下来利用加法列式计算，求出小军和妈妈2022年的岁数和，即可解答。 答题区： 变式训练： 聪聪翻开数学书，他把两个页码数相乘得210。你知道这两页的页码分别是多少吗？ A夯实基础 一、填空题。 1.按要求在方框里填数字。 既是5的倍数，又是3的倍数。 6□    □5    4□    10□    3□ □  2.你能在括号里填上合适的质数吗？ 8＝( )＋( )          10＝( )＋( ) 14＝( )＋( )         32＝( )＋( ) 18＝( )＋( )＝( )＋( ) 二、解答题。 1.下面的数哪些是质数，哪些是合数？把合数分解质因数。 27     16     69     97     51     48 2.按要求写数。 （1）写出四个是3的倍数的偶数。 （2）写出五个是3的倍数的奇数。 （3）写出三个既是2的倍数，又是3的倍数的数。 3.食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒不能把56个月饼正好装完？ 4.40人跳绳，每3人一组，至少再来几人才能正好分完？ B培优拔高 1.在下面的数中找倍数关系，看谁找得多。 例：12是6的倍数。 2.一个长方形周长是16米，它的长、宽的米数是两个质数，这个长方形面积是多少平方米？ 3.2017年爸爸和贺贺的年龄都是质数，乘积是155，2020年贺贺和爸爸的年龄各是多少？ 4.把24个球装在几个盒子里，如果每个盒子装的数量一样多，有多少种装法？每种装法各需要多少个盒子？每个盒子里装几个？（选用合适的方法进行解答） 5.有三个数的和是48． (1)若这三个数是三个连续的自然数，则这三个自然数分别是多少？ (2)若这三个数是三个连续的偶数，则这三个偶数分别是多少？ 6.某养鸡专业户养了一群鸡，不论是2只一数或3只一数或5只一数，都能刚好数完．已知这群鸡的总只数在100～300之间，那么该养鸡专业户养的鸡最多有多少只？最少有多少只？ C思维拓展 1.李明家的电话号码是一个八位数，记为ABCDEFGH。已知A是8的最大因数；B是最小的质数，C是最小的自然数；D是10以内最大的合数；E是比最小的质数大2的数，F只有因数1和7；G是最小的合数，H既是偶数，又是质数。李明家的电话号码是多少？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析：偶 偶 偶 总价 答题区： 笔记本的单价和圆珠笔的单价都是偶数，单价×数量＝总价，因为偶数乘任何自然数都得偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以笔记本的总价加圆珠笔的总价是偶数。而聪聪付的钱数50元是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以找回的钱数应该也是偶数，而营业员找回的钱数是奇数，所以找的钱数错了。 变式训练答案： 因为偶数+偶数=偶数，而43是奇数，所以43不可能分出来两个偶数。 答:不能正好分完，因为偶数+偶数=偶数而43是奇数。 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析： 因数 答题区： 32的因数有：2，4，8，16，32 答：小朋友的人数可能是2，4，8，16，32。 变式训练答案： 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 如果每行1人，可以排48行；如果每行2人，可以排24行； 如果每行3人，可以排16行；如果每行4人，可以排12行； 如果每行6人，可以排8行；如果每行8人，可以排6行； 如果每行12人，可以排4行；如果每行16人，可以排3行； 如果每行24人，可以排2行，如果每行48人，可以排1行； 共10种情况； 答：共有10种情况． 典型例题3： 思路分析： 20、22、24、26、28、30 21、24、27、30 答题区： 根据分析可知20至30间既是2的倍数又是3的倍数的是24。 答：刘阿姨买了24个鸡蛋。 变式训练答案： 个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。四（1）班的学生人数是偶数，在40~50之间，四（1）班可能有40、42、44、46、48人。如果每3人一组进行实践活动可全部分完没有剩余，四（1）班的学生人数是3的倍数。一个数各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，四（1）班的学生人数可能是42人，也可能是48人。 答：这个班可能有42人，也可能有48人。 类型3 答案解析 典型例题4： 思路分析： 3×31 答题区： 93＝3×31 则小军的年龄是3岁，妈妈的年龄是31岁； 2022－2019＝3（年） 3＋3＋31＋3＝40（岁） 答：2022年小军和妈妈的年龄之和应该是40岁。 变式训练答案： 210＝2×3×5×7 3×5＝15 2×7＝14 答：这两页的页码分别是14和15。 A夯实基础 一、填空题 1.答案：60    15    45    105    315（第2个和5个数答案不唯一） 解析：5的倍数的个位数是5或0，各个数位上的数相加的和是3的倍，所以个位上是0或5，各个数位上的数相加的和是3的倍的数是5和3的倍数，据此写出各数即可。 2.答案： 3 5 5 5 11 3 19 13 11 7 13 5 解析：质数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数，比如3、5等据此解题。 二、解答题。 1.答案：质数：97 合数：27、16、69、51、48                                 27＝3×3×3    16＝2×2×2×2   69＝3×23  51＝3×17     48＝2×2×2×2×3 解析：略。 2.答案：（1）6、12、18、24。（答案不唯一） （2）3、9、15、21、27。（答案不唯一） （5）6、12、18。（答案不唯一） 解析：（1）偶数乘3的积都是3的倍数，并且还是偶数，据此写出四个即可； （2）奇数乘3的积都是3的倍数，并且还是奇数，据此写出五个即可； （3）6既是2的倍数，又是3的倍数，所以6的倍数既是2的倍数，又是3的倍数，写出三个6的倍数即可。 3.答案：56÷4＝14 56÷6＝9……2 56÷8＝7 即4、8是56的因数，6不是56的因数，所以每盒装6个包装盒的包装不能正好装完。 答：选用B包装盒不能把56个月饼正好装完。 解析：略。 4.答案：4＋0＝4 4÷3＝1……1 3－1＝2（人） 答：至少再来2人才能正好分完。 解析：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此即可解答。 B培优拔高 1.答案：15÷5＝3，60÷12＝5 60÷15＝4，60÷5＝12 60÷6＝10，48÷12＝4 48÷6＝8 答：15是5的倍数；60是12的倍数；60是15的倍数：60是5的倍数；60是6的倍数；48是12的倍数；48是6的倍数。 解析：先看15，由乘法口诀知15除以5得3，即5的3倍是15；接着看60，12、15、5、6这四个数除60，都能整除，由此可知60是这四个数的倍数；最后看48，因为48除以12能整除，所以48是12的倍数，且48除以6也能整除，所以48也是6的倍数。 2.答案: （米）； ， 所以长应该是5米，宽是3米； 长方形的面积是：（平方米）。 答：这个长方形的面积是15平方米。 解析：因为长方形的周长是16厘米，所以长宽米，又因为长、宽均为质数，，所以长应该是5米，宽是3米，再根据长方形的面积公式，即可求出面积。 3.答案：155＝5×31，2017贺贺5岁，爸爸31岁。 2020－2017＝3（岁） 5＋3＝8（岁） 31＋3＝34（岁） 答：2020年贺贺是8岁，爸爸的年龄是34岁。 解析：略。 4.答案：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 24＝1×24；一盒24个，装1盒；或每盒装1个，装24盒； 24＝2×12，一盒装12个，装2盒；或每盒装2个，装12盒； 24＝3×8，一盒装8个，装3盒；或每盒装3个，装8盒； 24＝2×12，一盒装12个，装2盒；或每盒装2个，装12盒。 答：一共有8种装法。 解析：略。 5.答案：(1)48÷3＝16 16－1＝15　 16＋1＝17 答：这三个自然数分别是15、16、17． (2)48÷3＝16　 16－2＝14　 16＋2＝18 答：这三个偶数分别是14、16、18． 解析：略。 6.答案：2×3×5＝30(只) 最多：30×10＝300(只) 最少：30×4＝120(只) 答：该养鸡专业户养的鸡最多有300只，最少有120只． 解析：略。 C思维拓展 1.答案：A是8，B是2，C是0，D是9，E是4，F是7，G是4，H是2。 答：李明家的电话号码是82094742。 解析：一个数最大的因数是它本身，最小的质数是2，最小的自然数是0，10以内最大的合数是9，比最小的质数大2的数是4，只有因数1和7的数是7，最小的合数是4，既是偶数又是质数是2，据此写出电话号码。 1 学科网（北京）股份有限公司 $