专题十一 基本不等式-【一飞冲天·高考专项】2025年高考专题分类数学

一冲天 专题十一 基本不等式 基础题 考点1基本不等式中的最值问题 1.(202·红桥-模)设a>0,b>1,若a+b=2,则+的最小值为 A.6 B.9 C.3√2 D.18 2.(2022·宝坻一中模拟)下列结论正确的是 A当0且x子1时，g叶2 B.6一x-4的最大值是2 C.+5的最小值是2 D.当x∈(0，π)时，sinx x2+4 sinx≥5 4 3(2024·河北一模)已知。>0,6>0，a+6=1,则日+片+。的最小值为 4(2022·河北一模)已知a一0.6且a十6=1，则。千十6千7的最大值为 5.(2021·河西一模)已知x≥0，y0,且2x十8y-xy=0,则x十y的最小值为 6.(2021·河北一模)已知a>0,b>0,且2a+b=ab,则a+2b的最小值为 7,(2022·和平绸末记知xy∈R,4r+5y-1,则，3y十32的最小值为 8.(2021·和平期中)已知x,y均为正实数，x十y=1,则义+1的最小值为 9.(2020·和平一模)若x>0,y>0,且log23+log29'=1og81,则x十2y= 2+x+3y的 3y 最小值为 专题十一基本不等式 10.(2020·河北二模)已知a>0,6>0,且。32+2=1，则a+20的最小值为 11.(2020·十二校二模)已知x>0,y>0,x+2y=3,则+的最小值为】 12,(2021·红桥一梗记知>0y户-1，且计y=1.侧生3+千的故小值为 18.(2020·河北一模)已知a≥0，b6>0,且a+b=2,则+产7的最小值为 a 14.(2020·耀华中学三月考)已知正实数a,b满足2a十b=3,则241 一2的最小值是 b+2 1点(221·河北二模尼知。>06>0.+方=1，则，3十名的最小值为 16.(2023·部分二模)已知实数x,y满足4x2+4.xy+7y=3,则x2+y2的最小值为 T○ 17.(2021·十二校一模)已知1g(x2)=1gx十1gy,则y++2Y的最小值为 y 18.(2021·南开二模)已知060，a十2b=1.则。+4w+的最小值是 19.(2021·和平模)已知正实数c,y满足x十y=+9+6,则c十y的最小值是 x y 20.(2020·河西一模)若实数x,y满足x>y>0,且1ogx+10gy=2,则2+1的最小值为 苏的尿人值为 21.(2021·十二校二模)已知a,6∈R,且ab+2ac=4,则2+产2，十a+82的最小值是 高考专题分类数学 汉(2021·和平三校)若正实数，：满足x十y十2：=1，则十2，的最小值足 考点2基本不等式中的恒成立问题 23.(2021·八校联考期中)已知>0，y>0,若2y+8>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 A.(-∞，-2]U[4,+∞) B.(-∞，-4]U[2,) C.(-4,2) D.(-2,4) 24.(2023·耀作中学一月考)若两个正实数y满足x+y78.且不等式十5>-3m+5 y 恒成立，则实数m的取值范围为 A.{m-4<m<1》 B.{mm<-1,或m>4} C.{m-1<m<4} D.{mm<0,或m>3} 25.(2024·河东二模)若a>b>c,n∈N*且 ,1≥”恒成立，则n的最大值为 a-b b-c-a-c 提升题 Vxy 26.(202·天津-中二月考)已知x>0,y>0,2x+y=2,则c+十2的最大值为 27.(2021·河西二模)函数y=+5)+2)(x>-1)的最小值为 x+1 28.(2021·天津)若a>0,b>0,则三++b的最小值为 一冲天 29.(2022·耀华中学三月考)若x,y∈(0，十)，号+y十xy=4.则，y千22十37的最大值是 xy+1 30.（2020·时开中学极拟已知y为正实数，则纤y十产，的最大值为 a2+ 31.(2020·十二校一模)若对任意a,b,c∈(0，十∞)，存在实数m,使得不等式 成立，则实数m的取值范围是 32.(2024·耀华中学一月考)已知4>0，b>0,则aCaF万的最大值为 3a++b 33.(2020·河西二模)已知x,y为正实数，且xy十2x+4y=41,则x十y的最小值为 34.(2020·南开中学四月考)已知实数x,y满足x2+y=3,则。1 (x一2)的最小值为 4 (2x+y)2 下HE 35.(2020·南开中学五月考)若实数a.b清是2a+=1+6a6,则2a哈-7的最大值为 此时a十b 36.(2023·南并中学五月专)设a,6为实数a是1十20与1一2必的等比中项，则。%。的最大 值为 372020·塘精-巾模)已知a>0.6>0c≥4，且a十6-2.则%十云：十汽的最小值为高考分类数学 参考答案 专题十一基本不等式 则+希-2本本 b+1 1.B.a>0,b>1,a+b=2,∴.b-1>0,a+b-1=1. 1 a+=(a+[a+1)+6+1]×号 +=a+61合+)=5+6。D+台≥ a ++x号≥2+2》x号-青· 5+2.6= 当且仅当+1=a+1 干一，即a=6=号时，等号成立， 当且仅当4。D=号即a=号6=专时，等号成立， a ∴十的最小值为学， 1 心音十的最小值为9 则，7十中的最大值为2-专-号 2D令x0显然g十日=-2，放A错误： 5.18已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0, 令r=-1,显然6一工一4=1，故B错误： 2+8=1 y x x 2+5=+4+1=2+4+1 “x+y=(x+y(2+8)=2g+8y+10 y x y x π+4√π+4 √x2+4 2. ≥2V停+10-18 当且仅当2-8义，即x=12,y=6时，等号成立 当且仅当√+4=一1时，等号成立， y x √2+4 故x十y的最小值为18. 显然√+4= 】无实数解，即+5不能等于2，故 6.9 )= √/x2+4 Vr+4 由题意可得号+日-1a+2弘=a+26(号+ a C错误； 2a+2驰+5≥26·a 2a.25+5=9, a 令1=sinx,则0<1<1，由对勾函数知y=1十在(0，门上单 当且议当会上即。=6=3时，等号成立 a 调递减， a十2b的最小值为9. 即当=1时y取得最小值5，即sm十品≥5，故D正确， 7.4x,yeR+,4.x+5y=1, 8+++ 8 1 1 1 x+3y 3+2(1 (x+3+3x+2y)[(x+3y)+(3x+ =(a+b)(a+b)8(a+b) ab a2+b 21=2++器+之2+2器 /3x+2y.+3y=4, x+3y 3x+2y a+位.16ab ，-10+a2+b+16ab≥10+2Naba2十b2= =18, 当且仅当-计多即=其y一宁时等号成立 当且仅当-的即a=3.6-5或a 此时，y十2，的最小值为4 6 6 8.3:x,y均为正实数，x十y=1, 3+5,6=3=3时，等号成立. 6 6 2+1=+-1+￥+号>1+2V受·号=3， x”yxy x y 因此+名+平行的最小值为18 当且仅当兰-号，即=y=之时，等号成立， a>0,b>0,且a+b=1,(a+1)+(b+1)=3, 六兰+的最小值为3 高考分类数学 参考答案 9.226+6 3 实数x,y满足x>0,y>0,且log23+log9= 当且仅当生少》-南即=85=5-2时：等号 log 81,log,3+2ylog,3=(x+2y)log2 3=2l0g2 3, 成立， 可得x十2y=2; :+3+y x +y十的最小值为2+. 2+3y=+2+y=1+++1≥2+ x 3y 3y 13.6+22 3 a,b为正实数，且a十b=2,即有0<a<2,b=2-a, 2·后2当且仅空-嘉即=6-25 3 侧++g=a++1-a叶。 a a 3-a √6-2时，等号成立， ÷是+的最小值为2+6 1++。-=1+a+8-c+ 。)=1+3[3+ 3y 3 +2(3-2]≥2+ 10.62+3设=a+26+6=(a+2)+26+2,又由。平2 3-a 0.23=@=2+2E a 3·2√3“a 3 632=1=[a+2)+26+2](a32+62)=9+ 3 当且仅当3“。23.0.即a=6-3v反.6=3-4时，等 66+2》+3a+2≥9+2√2.32=9+6. 十十的最小值为6+22 号成立。+2+} a 3 a+2 b+21 a十2 b+2 当且仅当56+2=3Ca+2,即a=3v反+1.b-多E+1 4号 :正实数a,b满足2a十b=3,.2a十b+2=5, a+2 b+2 时，等号成立， 则20.1+号-2a+++2g2》兰 a a b+2 即之的最小值为6√2+9， =2a+b+2+1+2 。+6斤24=5+1+ 2 6+2-4 ∴.a+2b的最小值是62+3. =1+1+2 11.1+26x>0y>0,x+2y=3+y=+1 +日+6异21+号+62[2a++2 xy y =1+日4+件2+02≥1+号4+)=号. -+器+≥2+号-出，当且仅 y 3x 3 当且仅当2-6知且2a+63即a号6号时，等号 当5-是-√层，即-36w6Dy366时，等号 5 10 成立， 成立.十的最小值为十2⑥ xy 3 即2.1+公号的最小值是号 a 12.2+5 由题意得+3+ y+=x 15,26由>0.b>0,且+六-1… (y+1)2-2(y+1)+1 y+1 可得1日-0 =+2+++ y+72 期a-1>06。号气则6-1=。马-1=。 =3+1 30， 、2 3 3 x y+1 a+白a京+2a-1)≥2√。2a-1) y中)(x+y+1) .HET○ 26, -×[3+14+ 当且仅当。号=2a-1.即a=1+时，等号成立， ≥号×4+23)=2+5， 故。+月的最小值为26。 高考分类数学 参考答案 16.g42+y-4y=(2x-y)y2≥0，即4r≤4r2+y, (x+y)2-6(x+y)=10+y+9x y .3=4x2+7y2+4xy≤4x2+7y2+4x2+y2=8(x2+y), ≥10+2·罗-16 W/30 √30 x 20 20 ∴+少≥君，当且仅当 或 时，等号 当且仅当义-9，即x=2,y=6时，等号成立， x y W/30 /30 y= 10 10 设x十y=t,则2-6>≥16， 解得>8或≤-2， 成立，故+y的最小值为受 x+y≥8或x十y≤-2（舍）， 17.4+4 'lg(x+2y)=lg x+lg y=lg(zy), 故x十y的最小值为8. .x+2y=xy,x>0,y>0, 20.5日 实数x,y满足x>y>0,且log2x十log2y=2, x=y-2,2+1=1. 则y十x+2y=y+y2y+2y=2x+2y-2= 则y=4,则导+号≥2√会·子=.当且仅当经号 x y y 即x=2区y=巨时，等号成立，故名+的最小值是2： 2x+w2+-2=2号+9+4≥2x2√号·+ xy x-y 1 a+4wG+66 4=4+42, 当且仅当号一2且2+}-1，即=2+vy=E+1时. 号当且仅当一马 1 x y 等号成立y十x+2y的最小值为4十42. y 18.2 5 'a>0,b>0,∴.1=a+2b≥2V/2ab, 即=2万+2=2-2时，等号成立，故干》的最大 ab长g 值为分 8-2(b+2c)+2a+ 令ah=,则1e0,g] 21,4根据题意，吕+6子2十。十82G a(b+2c) 8 ∴.a2+4b=(a+2b)2-4ab=1-4t, =a+b+2c+8 a+b+2c 2 a+6+2≥24=4， 。+6+b=1-4+司 当且仅当a十b十2c=4时，等号成立， 令f)=1-+0长K号 则子+子2：+a十8+2，的最小值是4 :函数f)在(0，日]上是减函数， 22.22+4x+3y+22=1, .(x+2y)+(y+2z)=1, 0≥宫)= x+2y 4 x+2y、+4(x+2y)+4y+2) 2y+4z x+2y2(y+2) x+2y 则。十4松+的最小值是受 器+4+器>2 x+2y 「4 +4=2√2+4， 19.8“正实数x,y满足x+y=1+9十6， x y 当且仅当x十2y=2√2(y十2z)时，等号成立， +)=(+号+6)x+)=(+号)x+0+ V 小梁+2的最小值为2+4 6(x十y)=10+义+9x+6(x+y), y 高考分类数学 参考答案 2aC~+8>2=8,当且仅当2-号即=2x时， x y 即厅+高婴当四-时等号成立 等号成立， 1 ∴.m2十2m<8,解得-4<m<2. +4 ≤号即十亮的最大值为号 9 故实数m的取值范围是（一4,2）. xy 24C由题意知+9-+1+中+9 27.9.x>-1,∴.x+1>0. y=+5)+2=2+7x+10-x+1)2+5(x+1)+4 x+1 x+1 x十1 [4+ 4y.16(x+卫]=9， =+1+5+≥5+2Vc+10=9 20+2Nx十1 y 当且仅当x十1=十即x=1时，等号成立y取得最小 4 当且仅当，名=1即言受时等号底立。 值9. 又不等式，十5>㎡-3m+5恒成立 28.2√2 a>0,>0+0+b22 .a+b= 十b a b 则m2-3m+5<9, 2 即(m-4)(m十1)<0，解得-1<m<4. 2√片·6=2W2,当且仅当a=b=E时，等号成立. 故实数m的取值范围为{m一1<m<4}. 故。+是+b的最小值为2 25.4由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0, 要使十。+六≥”恒成立，只需+公≥m恒 y+xy=2ry+xy. 成立， 当且仅当受=，即x=2,=1时，等号成立， ..a-cta-c_a-btb-ca-btb-c a-bb-c a-b b-c 设√xy=m,m>0,则m2+√2m-4≤0， =2+86+8今2+2云·=4， 解得0<m≤√2，故0<xy≤2， xy+1 xy+1 当且仅当a一b=b-c时，等号成立. 2y+2+37xy++30w+1计0' .n≤4，即n的最大值为4. 设xy+1=t,t∈(1,3]， 26, 9 x>0,y>0,2=2x+y>2√2xy, 函数y=1十在1,3]上单调递设， 当且仅当2：=即x=分少=1时，等号成立， 故当t=3时，y有最小值，为15， neg 故了2十37的最大值是品 xy+1 Vry VIy 1 +i0+2y+2++2书十 30. ,文之令则0 √y 4 1=+81+,++4 3t 令1=0=+4eo.号. 1+3 1+5+1+ 3 .4 由对勾函数的性质可得)在(0，号]上单调递减。 =3 t “f0≥f)=+4-92 2 222 当且仅当1=手，即1=2时，等号成立， 高考分类数学 参考答案 “，十产，的最大值为 故2r十+一2的最小值为 4 35石 3 :正实数a,b满足(2a十b)2=1十6ab, 31.(-∞，-2U(2,+o)由题意得，( ab+bc —）min< ab=(2a+b)2-1 号m+md+8+2=a+(号6++(6， 6 :(2a+b)2=1+6ah≤1+3×(2a,+也)2，解得0<2a+b≤2. 2 :a2+(号b)2≥ab,当且仅当2a=b时，等号成立， 当且仅当b=2a=1时，等号成立。 (2b)2+>≥c,当且仅当2c=b时，等号成立， ab 则2a十6干 (2a+b)2-1=2a+b-1<2-1-1 6(2a+b)+6 6 661 ab .ab+bc ≥1成立多m+m>1, 六2a%-的最大值为 即2m十3m-2>0,解得m>号或m<-2 此时6=2a=1,a+b=号+1=号 ∴实数m的取值范围是(-∞，一2)U(,十6∞). a是1+2b与1-2b的等比中项， 则a2=1-4b→a2+4b=1≥4ab. 3② a>0,b>0, awl< 2a+(a+b) .a(a+b)○1 √2a(a+b) 1 2 2a+a+b ·2a+a+b ab a+2 abl 22abT 2√2 228 1 224 当且仅当a=2. 2,b= 4时，等号成立， 当且仅当2a=a十b,即a=b时，等号成立. a石的最大值为号 ab ..Va(aFb 3a+b 的最大值为票 37.$ 2 .a>0,b>0,c≥4，且a+b=2, 33.8“xy为正实数，且xy十2x+4y=41x=1-4y y+2 ab 2 )+5 x十y=41-y+y=二4y+2)+49+y=-6+49。十 c-2 y+2 y+2 y+2 c(2a2+2-ab+5 +22-6+2√2+2)=8，当且仅当y+2= 49 2ab c-2 y+2 即y=5,x=3时，等号成立，x十y取得最小值8. :(a+b)2 2a2+2-ab_2a2+a+b -ab 2 =2, 2ab 2ab 34.号 设(2x十)2=m,(x-2y)2=,可知m十n=(2x十y)2+ 50+>≥25ab_5,当且仅当5a2=b,即a=5,1.b Aab Aab 2 2 (x-2y)=5(2+y)=15,则2x++x-27 4 5一5时，等号成立· 2 品+=m+(+)=言×6+品+)≥ 1+4=1 m ×6+2√·)=号 令t=c-2(t≥2)， n 当且仅当”=4m,即=10，m=5时，等号成立， 则52c-2》+2+1]=5(2+}+1D. m n 令0=++1≥2.则f0=号->0， 高考分类数学 参考答案 ∴.函数f(t)在[2，+∞)上单调递增， ∴f0≥f2)=号×2+2+1=5， 5[2c-2)+2+1门=5(+}+10≥5×号 =55 21 :所求最小值为汽