专题十五 计数原理-【一飞冲天·高考专项】2025年高考专题分类数学

高考分类数学 参考答案 专题十五计数原理 87(+1》的展开式的通项为T+1=C(匠)· 1.60(W匠-是)°展开式的通项公式为T1=C()· (-2yr=(-2rC5x3-r, 令4一r=1,解得r=3, 令3-=0，得r=2,可知常数项为(-2)C=60, 六6丘十2疗广的限开式中上的系数为号×G=7 240x-是)的通项公式为T,=Cx(-2y 95展开式的道项为T41=C)(一r √ (-2)rC5x5-号， C(-名y2,令3-号=0解得r=2 令5-=2，解得r=2, “常数项为T=C(-合=只 .展开式中x2的系数是(-2)C号=40. 10.s （京一）的展开式通项为 3.112展开式的通项公式为T,+1=C5(2x)-(-1)y T=C22)（-y=(-1r(g)C, (-1)'28-rC5x8-号， 令3r-12=0,解得r=4, 令8-=-1.得r=6, 常数项为T,=(一1)（宁）C=只 即二的系数为(-1)2C=112. 11.60(2-)的展开式的通项公式为T+1=C·(-1)y· 4搭（立展开式的通项为T=C《一 W2)6-r·x6, （-)rC”,令6-2r=2.得r=2, 令3灯6=0得二2， 可得展开式的常数项为C×(√2)'=60. （一子×C心=品r的系数为是 12.2160(2.x 3少的通项为T41=C2(-3yrr- 5+T=CG(2)[-(受)]r=Ca(-9y当， （-3)2Cx,令6-含r=3解得r=2 ∴令受-9=3得=8，从面C。(-号)=是>a=4 2 .x的系数是(-3)2×2×C%=2160. 6-35一宁)y展开式的通项为T=G（一》y 13.15(二-兰)°的展开式的通项公式为 C(-1)'x7-3r,令7-3r=-2,得r=3, T+1=Cg()-r(-兰)y=(-1)rC%x-y-3, .x2项的系数是C(-1)3=-35. 人-0后》的展开式的通项为T-C: 令6-号=3且受-3=0解得=2 .x3的系数等于(-1)2C=15. (-2)x3=(-2)Cx10-号， 令10-华=8，解得k=3, 14.180匠+是)”的能开式通项为11-心(G)· .x3的系数为(-2)3C=一80. （号)yr=2C学， 令10,5r=0,解得r=2. 2 ∴.T3=22×C。=4×45=180,即常数项为180. 高考分类数学 参考答案 15.45(x-1)°的展开式的通项公式为T+1=Co(x2)0- 个位置，有A=6(种)情况，则此时有4×2×6=48（种）排课 顺序： （2r=(-1G产 ②若“数”排在第二节。 “射”和“御”两门课程相邻的情况有3种，考虑两者的顺序， 令20-罗=0，解得r=8, 有A=2(种)情况，将剩下的3门全排列，安排在剩下的3 .常数项为（一1）8×C。=45 个位置，有A=6(种)情况，则此时有3×2×6=36（种）排课 16.C,丙没有入选，∴，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9， 顺序： ,甲、乙至少有1人入选，∴.由条件可分为两类：一类是甲乙 ③若“数”排在第三节， 两人只选一个的选法有C2×C=42,另一类是甲乙都选的 “射”和“御”两门课程相邻的情况有3种，考虑两者的顺序， 选法有C号×C,=7,根据分类加法计数原理知共有42+7= 有A=2(种)情况，将剩下的3门全排列，安排在剩下的3 49(种)不同的选法. 个位置，有A=6(种)情况，则此时有3×2×6=36（种）排课 17.C根据题意，先从6名男医生中选2人，有C=15(种)选 顺序。 法，再从5名女医生中选1人，有C=5(种)选法， 则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有48+36+36 则不同的选法共有15×5=75（种）. 120(种). 18.C根据题意，数字0,1,2,3,4中有2个奇数，3个偶数，若22.1940不加限制选出5名代表，共有C种选法， 组成的四位数要求至少有两个数字是偶数，则四位数中有2 其中5名代表全是老师的选法有C⑧种， 个或3个偶数，分2种情况讨论：①四位数中有3个偶数，1 5名代表全是学生的选法有C种， 个奇数；0不能在首位，有3种情况，选取一个奇数有C 5名代表中老师和学生各至少有1名的选法有 2(种)，与另两个偶数安排在其他三个位置，有A=6(种)情 C,-C-C=1940(种). 况，则有3×2×6=36（个）符合条件的四位数；②四位数中 23.8(x-)的展开式通项为T+1=C·x·(-3), 有2个偶数，2个奇数；若偶数中有0，在2,4中选出1个偶 4 4 数，有C=2(种)取法，其中0不能在首位，有3种情况，将 六第三项为T,=C(一得)=C·音r, 4.x 其他3个数全排列，安排在其他三个位置，有A=6(种)情 况，则有2×3×6=36（个）符合条件的四位数：若偶数中没 即Cx321」 1674C%=28=n(n-1) 2 有0，将其他4个数全排列，有A=24(个)符合条件的四位 解得n=一7（舍）或n=8. 数；则一共有36+36+24=96（个）符合条件的四位数. 24.35一280在（红-是）的展开式中，第4项为工，=C· 19.D分两种情况讨论：①若选两个国内媒体一个国外媒体， x 有CCA号=90（种）不同提问方式：②若选两个国外媒体一 (-2)3·x2,故第4项的二项式系数是C=35. 个国内媒体，有CCA=108(种)不同提问方式，综合①② 显然，x3的系数是C×(一8)=一280. 得：共有90+108=198（种）不同的提问方式. 25.10由题设6×75%=4.5，则n=5, 20.1505名同学可分为1,1,3三组，也可分为1,2,2三组， .(2x2+)°的展开式通项为T+1=C(2x2)-()y x 若分为1,13三组，则安排的方法有XCXC×A A号 2C”-号，令10-=0则r=4, 60(种)， 则T=2×C=10,即常数项为10. 若分为1,2,2三组，则安排的方法有xciXC×A= A 26.720 3 将高二年级3人进行全排列，有A种排法， 90(种)， 再将高二年级3人看作一个整体，和其他年级4人进行全排 由分类加法计数原理可知，一共有60+90=150（种）安排 列，有A种排法， 方法。 ∴.事件A的排法有AA=720(种) 21.A根据题意，分3种情况讨论：①若“数”排在第一节， ∴.事件A∩B共有AAA=432(种)排法 “射”和“御”两门课程相邻的情况有4种，考虑两者的顺序， 有A=2(种)情况，将剩下的3门全排列，安排在剩下的3 则P(B1A)=P(AB)=4323 P(A)7205 高考分类数学 参考答案 27.36当甲、乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为 aC%x-,∴.当r=3时，得到x2的系数为a3C=20a3, CA8=3×6=18: 当r=6时，得到x2的系数为aC=a, 当甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组时， .展开式中x2的系数为a+20a3=224, 不同的专家派遣方案总数为CA=3×6=18, 解得a3=8或a3=-28,∴.正实数a的值为2. 若专家甲、乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣 4.60“(ar-产的展开式中各项系数的和为1，且。为 方案总数为18+18=36. 正数 28.2(x-4)°(a>0)的展开式通项为 ∴1×a-})=1.则a=2 Cr(-马扩=C(-ayx令6-是=3，得到r=2. 故(2x一1)°的展开式的通项为T+1=C哈·(2x)· 2系数为A=Cd=15d;令6-子r=0r=4常数项 （-1)=(-1).2-e.C%·x-, 为B=C(-a)'=15a,又B=4A,.15a=4×15a2, 令6一2k=-2,解得k=4, 又a>0,解得a=2. “x(2x-二)°的展开式中常数项为(-1)×2×C=60. 29.-82-200-2)=21-3-201- “1-)展开式的通项公式为T+1=C(-上)y (-1)'C5x‘, ∴令-r=0得r=0:令-r=-2得r=2, “(2-)1-》的展开式中的常数项为2×(-1)× C9-(-1)2C=2×1-1×10=-8. 30.-1(1-2x)2019=a+a1x+a2x2+…+a2o1gx209 (x∈R.令x=0,可得a=1.再令x=, 可得0=1+受+学十…+器 号+学+…+器=-1 3机；（红+号'的展开式的通项公式为 =Gd（2'=acd, 令8-专=4，解得r=3. 故可得dC=1,解得a=号 32,60(+号)的展开式共7项m=6, ∴.该二项式展开式的通项公式为 Ta-i(- 令6-3r=0,解得r=2, 则该二项式展开式的常数项为2×C=60 3.2（r+是)”展开武的道项为T1=C·（会一冲天 专题十五 计数原理 基础题 考点1二项式定理 1.(2022·南开中学一月考)》在（反-2）°的展开式中，常数项是 2.(2023·南开一模)在(x一2)°的展开式中，x2的系数为 冲天 3.(2022·和平一模)在(2z一1)°的展开式中，1的系数是 T 4.(2020·南开中学模拟)在(x 47)°的展开式中，x2的系数为 5.(2020·耀华中学三月考)在(g-)°的二项展开式中，2的系数是号，则实数a 2 6.(2020·天津一中五月考)在代数式(x一)”的展开式中，x2项的系数是 (用数字 作答). 8(2021,平模在后 的二项展开式中，x3的系数为 (请用数字作答). 8.(2022·河北一模)在(+1)°的展开式中，x的系数是 2√ 9.(2021·南开一模)在(，丘-2°的展开式中，常数项为 10,(2021·河北一模)(22-)的展开式中的常数项为 专题十五计数原理 1.(2022·塘沾一中一模)在(2-x2)°的展开式中，常数项为 12.(2021·和平二模)在(2x- 3)°的展开式中，x的系数是 13.(2021·南开二模)（工-上）°的二项展开式中，x3的系数等于 y 14.(2023·部分二模)在(，丘+号)”的展开式中，常数项为 (结果用数字表示) 15.(2023·河北一模)(x2-二)°的展开式中的常数项为 考点2排列与组合 16.(2020·南开中学模拟)从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入 选，而丙没有人选的不同选法的种数为 THEA.85 B.56 C.49 D.28 17.(2020·河东线上)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗 小组，则不同的选法共有 A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 18.(2020·河西二模)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则 这样的四位数的个数为 A.64 B.72 C.96 D.144 高考专题分类数学 19.(2020·和平一模)国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒 体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续 提问，则不同的提问方式的种数为 A.378 B.306 C.268 D.198 20.(2024·南开中学三月考)2023年成都大运会期间，5名同学到3个场馆做志愿者，每名同学只 去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种（用数字作答） 提升题 21.(2020·杨村一中线上模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开 展“六艺”课程讲座活动，每“艺”安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须 排在前三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有 A.120种 B.156种 C.188种 D.240种 22.(2022·红桥一模)从8名老师和6名学生中选出5名代表，要求老师和学生各至少1名，则不 同的选法共有 23.(2021·新华中学模拟)若(x ”的展开式中第三项系数等于，则n 47 24.(2021·杨村一中热身)在(x一 )'的展开式中，第4项的二项式系数是 3入 ,x3的系数 是 25.(2023·十二校二模)一组数据按照从小到大顺序排列为1,2,3,4,5,8，记这组数据的上四分位 数（第75百分位数）为n,则(2.x2+二)”展开式中的常数项为 一冲天之 26.(2022·和平三模)清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比 赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签 方式决定演讲顺序，设事件A为“高二年级3人相邻”，事件A的排法有 种；在事件A “高二年级3人相邻”的前提下，事件B“高一年级2人不相邻”的概率P(BA)为 27.(2022·耀华中学第二次模拟)某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工 作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲、乙需到同一个小组指导工 作，则不同的专家派遣方案总数为 (用数字作答). 28.(2020·南开中学五月考)设(x一 4)°(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B= 4A,则a的值是 29,(2021·实验中学热身)(2-x2)(1-)的展开式中的常数项为 T HE 30.(2020·扬村-中线上)若1一2=a十ax+a+…十arz∈R,则号+号+…十 22 02019 22019 31.(2023·河西二模)若会°的展开式中x的系数为7，则实数a一 32.(2023·红桥二模)若x+二)”的展开式共7项，则展开式的常数项为 33.(2023·天津一中四月考)若(x+1)(x+ 的辰爪式巾7的系数为24，则正尖数▣的位 为 34.(2023·天津一中五月考)已知a为正数，x2(ax-1)°的展开式中各项系数的和为1，则常数项 为