专题十二 数列-【一飞冲天·高考专项】2025年高考专题分类数学

一冲天 专题十二 数列 基础题 考点1等差数列及其前n项和 1.(2019·河西一模)在等差数列{a,}中，若<-1，且它的前n项和Sn有最小值，则当S,>0时， n的最小值为 A.14 B.15 C.16 D.1 2.（2023·实验中学一月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S=22,Sn=330,Sn 4=176,则n= A.14 B.15 C.16 D.17 3.(2020·南开期末)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S3十S>2S4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2021·南开中学二月考)设等差数列{an}的前n项和为Sm.若S3=9,S10=100,则a,= A.11 B.13 C.15 D.17 5.(2020·南开中学二月考)若等差数列{an}满足a,十a8十ag>0,a,十a1。<0,则当该数列的前n项 和S为正数时，n的最大值为 () A.7 B.8 C.15 D.16 6.(2021·和平期中)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，n∈N,若a3=11,S2o=-80,则S1o 的值为 7.(2021·南开中学四月考)已知数列{an}和{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn,Tn,且满足： N之=则十aa十ee 65+68+612+615 8.(2023·五校联考期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=一3，S,=一10，若对任意的n∈ N,m≤Sn恒成立，则实数m的取值范围是一· 9.(2022·和平期末)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=一1，an+1=SnSm+1,则Sn 专题十二 数列 考点2等比数列及其前n项和 10.(2023·天津一中三月考)设S。是等比数列(a,}的前n项和，若S,=4,a十a,十a,=6,则 S B.io c 6 1.(2024·河西一模)已知数列1a,是等比数列a=2a-子，则aa,十a,a十… A.16(1-4") B.16(1-2-") c号1-4 D 32 (1 12.(2021·南开期末)已知等比数列{an}满足a1=2,a3·a5=4a6,则a3的值为 R号 C.1 D.2 13.(2020·部分期末)已知数列{an}中，a1=1,2a+1=an(n∈N),记{a,}的前n项和为Sn,则 () A.S2a-1 B.S,=1-2a C.S=a-2 D.S,=2-an 4.(2022·实验中学三月考)已知各项均为正数的等比数列(a,)的前4项和为15，且a,=3a,十 4a1,则a3= () A.16 B. C.4 D.2 15.(2022·南开中学二月考已知(u,}为等比数列，5。为其前n项和，且a,=1,士a十a=8,则 a1十a2十a5 S;= () A.31 4B.32 C.63 D.64 考点3等差数列与等比数列的综合运用 16.(2020·天津一中二月考)已知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn,若a3,a4,ag成等比数 列，则 () A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 17.(2020·天津一中二月考)等差数列{an}中，a1=1,a,=4,等比数列{bn}中，b1=6,b2=a3,则满 足bna26<1的最小正整数n是 高考专题分类数学 一冲天 18.(2023·十二校一模)已知数列(a,}满足a,+1-a,=2,其前8项的和为64；数列{b,}是公比大于 19.(2023·和平二模)已知数列{an}为等差数列，数列{b,}为等比数列，且a1=2b,=2,a4=b,a十 0的等比数列，b1=3,b3一b2=18. a5=b. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式； (I)求数列{a,},{bn}的通项公式： ()记c.一a∈N求数列c,的前项和T, (Ⅱ)记数列{an-1b。}的前n项和为S,求证：9Sn-16=am-8b+1(n≥2且n∈N); (-1)学·an,n为奇数 求含合，（一aaeN以 (Ⅲ)记d.=a+1 6:一，n为偶数 求5=2d. 一飞冲天 一飞冲天 7 LYTO THE TOP 一飞冲天 一飞冲天 一冲天 专题十二数列 20.(2021·部分一模)已知数列{an}为等差数列，数列{b}为公比大于0的等比数列，且b=1,b2十 21.(2020·部分二模)已知各项均为正数的数列{an},满足2S,=3(a。一1)(n∈N·). b3=6,a3=3,a4+2a6=b5 (I)求证：{a,}为等比数列，并写出其通项公式； (I)求数列{an}和{b,}的通项公式； (Ⅱ)设bn=(2n一1)an(n∈N),求数列{bn}的前n项和T. (Ⅱ)记cn=(2a,-1)·bn1,数列{cn}的前n项和为Sn,求S 一飞冲天 一飞冲天 7 LYTO THE TOP 一飞冲天 一飞冲天 天 高考专题分类数学 一冲天 22.(2023·南开中学二月考)已知等差数列{an}为递增数列，S。为数列{an}的前n项和，aa。=99, 23.(2022·天津一中五月考)已知正项等比数列{an},满足a2a4=1,a5是12a1与5a,的等差中项. S1。=100. (I)求数列{a,}的通项公式； (I)求{am}的通项公式： a十4 (I)设6=(a,-2)a-D十（-1)”·n,求数列a,)的前n项和S. (I)若数列6，)满足么.=g总求6，)的前n项和T 一飞冲天 一飞冲天 LYTO THE TOP 一飞冲天 一飞冲天 一冲天 专题十二数列 24.(2020·南开中学模拟)已知数列{a,是首项为正数的等差数列，数列。)一的前n项和为 25.(2023·耀华中学一月考)已知{α，}是公差为2的等差数列，其前8项和为64.{b,}是公比大于0的 an·am+1 等比数列，b=4,b一b2=48. 2n+1 (I)求{a,}和{b,}的通项公式： (I)求a3,并求出数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设b,=an·2",求数列{b,}的前n项和Tn (求a一的前项和户，： (Ⅲ)求会的前n项和T 一飞冲天 一飞冲天 LYTO THE TOP 一飞冲天 一飞冲天 高考专题分类数学 一冲天 26.(2022·南开期末)在等比数列{an}中，已知a1=2,且a2,a十a3,a4依次是等差数列{b,}的第2 27.(2024·河西一模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为S,且满足2/S,=an十1，数列 项，第5项，第8项 {b}为等比数列，且满足b.+1十bn=2”,n∈N. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式； (I)求数列{an}和{b}的通项公式： (Ⅱ)设数列{a一an}的前n项和为Sn, (Ⅱ)求证：S,S+2<S+1； (i)求Sn; 1求证。28 ()求2(tana,·tana+1十a,·b,)的值. 一飞冲天 一飞冲天 LY TO THE TOP 一飞冲天 一飞冲天 一冲天 专题十二数列 28.(2021·红桥二模)已知等比数列{an}的公比为3，且a1一a3=30. 29.(2022·五校联考期中)已知数列{a}的前n项和为S.,满足Sn十an=1. (I)求数列{a,}的通项公式an,及前n项和Sn; (I)求数列{a,}的通项公式； (川)若数列6满足会=6-1，且么=1 an ()记么，=a,十)a,+币求数列6，}的前n项和T. (1)求数列(b,}的通项公式b,; (i)求2a,b-1. 一飞冲天 一飞冲天 LY TO THE TOP 一飞冲天 一飞冲天 天 高考专题分类数学 一冲天 30.(2021·新华中学模拟)已知各项均为正数的数列{a}的前n项和为S。,满足a21=2S,十n+4; 31.(2020·天津)已知{a}为等差数列，{b,}为等比数列，a1=b=1,a5=5(a4一a),b=4(b一b3). a2一1，a3a,恰为等比数列{bn}的前3项. (I)求{a}和{bn}的通项公式； (I)求数列{an},{bn}的通项公式； (Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn,求证：SnSm+2<S21(n∈N); (Ⅱ)若cn=(-1)"anbn,求数列{cn}的前n项和T. (3a,一2)b,n为奇数， a an+2 (Ⅲ)对任意的正整数n,设c,= 求数列{cn}的前2n项和. 1,n为偶数. 6+ 一飞冲天 一飞冲天 LYTO THE TOP 一飞冲天 一飞冲天 一冲天 提升题 .n-3 32.(2022·河西期末)已知数列(a,的通项公式为a,一2-i9前n项和为S,则S,取得最小值 时，n的值等于 A.10 B.9 C.8 D.4 33.(2024·南开中学三月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S。一2S=6,则a十a。十 a11十a12的最小值为 A.10 B.14 C.20 D.24 34.(2020·天津一中二月考)数列{an}满足a1=1,对Vn∈N”,都有a一a1十a, 十n,则 a ax …十1= 42019 A.aoia B.2019 4036 2019 2020 C.2019 D.1010 35.(2020·天津一中五月考)已知{an}是各项均为正的等比数列，S,n是它的前n项和，若a2·a3 且a,与a,的等差中项为号则S,= A器 B 31 32 c. 36.(2021·南开中学三月考)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=3,若a2,a3,a成等比数 列，则{an}的前5项之和为 ( ) A.-23 B.-25 C.-43 D.-45 开中学四月考)等比数列{α，的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和 和为这个等比数列前n项的积为T,(n≥2)，则T,的最大值为 () C.1 D.2 38.(2023·南开中学三月考)等差数列{an}中，a3=1,a,一a。十a,=2,则数列{cos(amx)}的前2023 项和为 39.(2021·南开中学二月考)数列{an}中，若a1=1,a2=2,am+1=am十an+2(n∈N*),则a202o 专题十二数列 40.(2023·和平一模)已知数列{an}为首项a1=1的等比数列，且an,3an+1,9an+2成等差数列；数列 {bn}为首项b,=1的单调递增的等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn,且S,,S2,S十3成等比 数列 (I)求数列{an},{bn}的通项公式； (Ⅱ)求-1)(26+3) b.b+1 n∈N*); ()数列c.}满足c.-受记G,和工.分州为数列a,和c.的前u项和，证明：工 冲天 THET○P 飞冲天 高考专题分类数学 一冲天 41.(2022·河西一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=4,2Sn=a1十2n一4(n∈N"). 42.(2022·五校联考期中)已知数列{an},{bn},S。为数列{an}的前n项和，am>0,a2=4b,,若a1= (I)求数列{a,}的通项公式； 2,a-a,aw1-2a-1=0(n≥2)，且nbn+1-(n+1)bn=n2+,n∈N. (Ⅱ)求2S,的值： (I)求数列{a,}的通项公式； (Ⅱ)证明〈色)为等差数列： （)设么一十oga,-1+og,a-1,数列6，的前n顶和为7.， 证明：号<T<n+1 空m为奇 ()若数列{c,}的通项公式为c,= ,设Tn为{cn}的前n项和，求T 一飞冲天 2,m为偶数 4 LY TO THE TOP 一飞冲天 一飞冲天高考分类数学 参考答案 专题十二数列 s.=a,+aaD4=-4n+n"2D-i-号… 2 1,C:数列{an}是等差数列，它的前n项和S。有最小值， :n∈N,.当n=4或5时，Sn取得最小值-10， ∴.公差d>0,首项a1<0,{a,}为递增数列， .Sn≥-10， .m≤-10. a2<-1,as·ag<0, 故实数m的取值范围是（一∞，一10]. '.as<0,ag>0,as>-as,as +as>0, 9.-a+1=S,51S1-S,=S,S+1 由等差数列的性质知：2ag=a1十a15<0,ag十ag=a1十a16>0, ∴s。=5×a+as0.s。=9xa,+ag)>0, .当Sn>0时，n的最小值为16. 2.B:a十a2十a3十a4=22, S。-S。-4=a,十am-1+am2+aw-3=154, ·数列5是首项为一1，公差为-1的等差数列。 ∴.4(a1+an)=176,a,+an=44, “安=-1-(m-0=- 由S=ma+a.）,得nX44=30,n=15. 2 2 解得S。=-1 n 3.C等差数列(an}的公差为d,S十S>2S, 10.B设等比数列{an}的公比为q, .S+Stas>S Fa+S,:.as-a=d>0, 则“d>0"是“S,+5>2S”的充分必要条件. 则a,+a,+a,=ga十a+a,)=gs.则d=, 4.B设等差数列{an的首项为a1,公差为d, S=S+9s=1+g)S,=25, S3=9,S1。=100 3a1+3d=9 解得/01 ∴.a,=a1+6d=13. 8=5+gS=号s+(受)s= 4S, 10a,+45d=100 d=2 5.C'a,十ag+ay=3as>0,∴.ag>0,又a,+ao=ag+a,<0, 因此-·后-品 S6=16a,+ac）=8(a+a,)<0,s6=15(a,+a2= 11.C设等比数列{an}的公比为q, 2 2 15X2a=15a,>0当S,为正数时，m的最大值是15. a=3=70-会-日解得9- 1 2 6.60由题意得a3=11,S2o=一80， a-g=4 a1+2d=11, a1=15, 根据等比数列的性质可知，数列{a,a+1}是公比为子，首项 解得 120a,+20X194=-80 d=-2, 2 为a1a2=8的等比数列， 代入求和公式得S。=10×15+10X9×(-2)=60. 2 81- .a1a2+a2ag+…+aam+1 1 2_32(1-4). 3 7原式-批品=器 19+322 12.C设等比数列{a.}的公比为q,a3·as=4a后， 8.(-c∞，-10]由题知：等差数列{an}的前n项和为Sm, a2=-3,S=-10, afag=4ad”g= a1+d=-3 4=-4 ,解得 即g=名又a=2a,=a0=2x合=1 5a+54xd=-10 d=1 高考分类数学 参考答案 13.D2a+1=a,(n∈N),.al=1 设等比数列{b,}的公比为q(9>0), -2 b1=3,b3-b2=18, ∴数列{a}是以1为首项，为公比的等比数列， .3g-3q=18,即g-q-6=0, 1 解得q=一2（舍去）或q=3, 1 1×(1-2） a,=2六S,= 1 =2 1一2 2=2-a .bn=3×3"1=3”(n∈N): （)由1)得6= 2(n+2)-2 14.C设等比数列{an}的公比为g,9>0,且an>0, a.am+1b。(2n-1)(2n+1)·3 2n+2 G=[2m- 1 (a+aqtag+aq=15, a1=1, 则 解得 (2n-1)(2n+1)·3 a1g=3a1g2+4a1, g=2, 1 .a=a1q=4. (2n+1)·3 15.A设公比为g,“a1=1,且士a十a=8, 工=合3-3Xg+3-g+…十 a1十a2十as 1 1 1 :9+a:9+a9=g=8, (21-1)·3"可 a1十a2十a5 .q=2, 2(2n+1)·3 s=1x(12=31 (-1)宁·a,n为奇数 1-2 (Ⅲ).d.= 16.B:等差数列{an}的公差d>0,a3,a4,as成等比数列， 1ag+1 b ,n为偶数 .aas=a,即(a+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2, ∴Sm=(d2+d,+d6+…+d2n)+(d+d+d+…+ 化简为5d+3a1=0,由d>0,可得a1<0,a1d<0, d2m-1） S=4a+6d=-号d+6d=-号d<0, =4+1+,+1+“+1+…+a+)+[-a,+4, b2 b 则dS4<0. a5+…+(-1)”·a2-1] 17.6在等差数列{an}中，设其公差为d,由a1=1,a,=4, 得4g号-名…a=a+d=1+2×号-2. =(号++号+…+)+[-1+5-9+18=…+ 6 62 (-1)”·(4n-3)]. 4s425d1+罗-号又在等比数列中，4=6 么=4=2其公比为9会-号-号6=-g =++++2+回 3" 6X由6a号×6X写<1，得3<1 ①-②得， ∴.5-n<0,.n>5. 号，=+景+导+ 2 2 2n ,满足b.a26<1的最小正整数n是6. 33 3” 30 18.解：(I)a+1一an=2, .数列{an}是公差d=2的等差数列，且S=64, 3+ 8a,+8X2X2=64,解得a,=1, 2 卫.=21-) 3+1）. ∴.an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N")； 高考分类数学 参考答案 记Q=-1+5-9+13-…+(-1)”·(4n-3), .(-1)a=(-1)(4k2), 当n为偶数时，Q,=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n ∴.B=4[-12+22-…+(2n)2]=4[1+2+3+4+…+ 7)+(4n-3)]=4+4十…+4=4×号=2m, （21-1）+2m]=4×2+)）·2m=8m+4m 2 当n为奇数时，Q,=4十4+…+4-(4n-3)=4×”,1 2 则2一-e=A-B (4n3)=-2n+1, 4" 一2n十1，n为奇数 -号-8r2-4n(n∈N 4n+22 Q= 2n,n为偶数 20.解：(I)设数列{bn}的公比为q(g>0). 21-2是)-2+1m为奇数 由b=1,b2+b=6,得q+q-6=0, .Sa=P+Q 解得q=2或q=-3(舍去)， 1一3)+2为偶数 3 2 ∴.b。=1×2-1=2”-1 设数列{an}的公差为d. 19.解：(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{b,}的公 a1+2d=3, 比为q 由a3=3,a十2a6=b,得 3a1+13d=16, 又a1=2b1=2,a3十a5=b,a4=b4, ∴.2+2d+2+4d=g,2+3d=q, /a=1, 解得 ∴.g=2g,即g(q-2)=0,即q=2, d=1. ∴.d=2, an=1+(n-1)X1=n; ∴.an=2+2(n-1)=2n,bn=2"1(n∈N): (Ⅱ)由(I)得cm=(2n-1)·2"(n∈N”), （Ⅱ)证明：由(1)知，当n≥2时，a-1b=(2n-2)·22-1= ∴.S=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2",① (n-1)·4". .2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2"+(2n 则Sn=0+1×42+2×43+…+(n-1)·4", 1)×2+1,② 4Sn=0+1×43+2×4+…+(n-2)·4"+(n-1)·4"+1, ①-②得，-Sn=2+2×22+2×23+2×2+…+2×2”- 两式相减得， (2n-1)×2+1, -3S=4+4+…+4"-(n-1）·41=16-4中 即S。=(2n-1)×2+1-21-2(22+23+2+…+2") 1-4 =(2n-1)×2*1-2-2×2(1-21) (n-1)·4"+ 1-2 =-16+(4-3m)4+1 =(2n-3)×2+1+6. 3 3 21.解：(I)证明：：2Sn=3(an-1)(n∈N),① ∴.9S。-16=(3n-4)·4+1, .当n≥2时，有2S-1=3(a-1-1).② a6m-8b2m+1=2(6n-8)·22=(3n-4)·4"+1, ①-②得2(Sn-S。-1)=3(a,-a-1), .9S,-16=aw-8b2m+1(n≥2且n∈N)； 即2an=3an一3a-1,由于{an}各项均为正数， （Ⅲ)i设A=多os色h1,B=多(-1)a. .a=3(n∈N°，n≥2). akak+1 an-1 k-1 、og2k2k+2·2=工62+12 ∴数列{an}是公比为3的等比数列. 4+1)， 又由①得2S,=3(a1-1)=2a1,∴.a1=3. 22n+1220 .A= 2n+2 .an=ag1=3×3"-1=3"; 22m+1 4”1 T42n+1-2)= 4n十22 高考分类数学 参考答案 (Ⅱ)由(I)得bn=(2m-1)an=(2n-1)3 23.解：(I):a2a4=a=1,{an}是正项等比数列，a3=1, ∴.T.=1×3+3×32+…+(2n-1)3",③ 又2a5=12a1+5a3,设公比为q(9>0), ∴3T.=1×32+3×33+…+(2m-3)3”+(2n-1)3"+1,④ 即2a,-12%+5a,即2g-1号+5， ③-④，得 解得q=2,则数列{an}的通项公式为an=ag3=2”-3; -2T.=1×3+2×3+2×33+…+2×3”-(2n-1)31 an+ 2+1 =-3+2(3+32+33+.+3”)-(2n-1)3+1 （Ⅱ6-a4-2a,-D+（-1r,ng-2g-D =-3+2x3(3二D-(21-1031=-6-2m-1D3*1, 2" 3-1 （一1n2-)2-D+（-1)·n=2 故T.=3+(n-1)3"+1. 1+(-10”, 22.解：(I)设数列{am》的公差为d,易知d>0, 2"+1一1 S。=100,即10a,+a）=5a,+a,)=100. 2 即a5十a6=20, 2*1-=+[-1+2-3+…+(-1)”·], 又a5a6=99, .a5(20-a5)=99,解得a5=11或a5=9, 当分为斜数时81一一十号-2岁”与 数列{an}为递增数列， 当n为奇数时，S=1-与十”号-m=1号” .a=9,a6=11,即d=2, 1 ∴.a1=a5-4d=1, 2+1-1 故an=1+2(n-1)=21-1: 2+n (I)6-g品=(2m-10X(号，故工.=6+6十十6 22--7n为偶数， 即S, 1-n “T=1×(3)°+3X(31+…+(2m-1)×(号)1，① 22*1一n为奇数. 24.解：(I)设数列{an}的公差为d, 号T.=1×(31+3×(号2+…+(2m-3)X(号)1+ 令=1.得分a4=3@ a az (2m-1)X(号r,② a a2 ①一②得， (ai+ad-3, 号T.=1+2[(宁+（分P++(宁门-(2m-10× 由①②得 a+3ad+2d2=15. a1=1, 解得 ∴.a3=1十2×2=5，an=2n-1; d=2. =2-(2m+2)X(号)， (Ⅱ)由(I)知，b,=z(2m-1)·4, 2T.=1×4+3×42+5×43+…+(2n-1)·4", Tn=3- 3-. 8Tn=1×42+3×43+5×44+…+(2n-1)·4+1. 两式相减，得 高考分类数学 参考答案 -6T.=4+2×(42+43+…+4")-(2m-1)·4+1 26.解：(I)设等比数列{an}的公比为q, =4+2×160二4)-（21-1）.4时 由题意，b2=a2,b=a1十a3,b=a4, 1-4 :205=b2+b5, =-+（停-24 .2(a1十ag)=a2+a4,即2(a1十a1q)=a1g+a1q, nEN). 解得q=2, a1=2,∴an=a1g-1=2", 25.解：(1)：{an是公差为2的等差数列，其前8项和为64， ∴.b2=a2=4,b3=a4=16, ∴8+8×2=64，解得a=1, 期等差数列6)的公差。。台-2。 ∴.an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N)； .bn=b2+(n-2)d=2m, 设等比数列{b}的公比为q(g>0), ∴.数列{an}和{bn}的通项公式分别是an=2”,bn=2: b1=4,b3-b2=48, (Ⅱ)(1)由(I)得， ∴.4g-4q=48,即q2-q-12=0, Sn=(a十a2十ai十…十a)-(a1十a2十a3+…十an） 解得9=-3（舍），或q=4, =(4十42十43+…十4")-(2+22十23+…+2") .bn=4X4"-1=4"(n∈N): (Ⅱ)由(I)得1 -40=4_29=2=号g-121-1: 1-4 1-2 a,an+1(2n-1)(2n+1)=2 2n- (ⅱ)证明：由(i)得， 2+), ab.十2_3(n·2+1) S. ∴P.=合×[1-)+（号-吉++(22n 1 .46,+2 3 4 as, =21-3n)-2m市 5 23-121 +号 (Ⅲ)由(I)得4=2-1 b4 年3(2 n+2 ，=+是+++20.0 276. 4" 27.解：(I)由2√S。=a.+1,得4S,=(an+1)2,① 4 则4S+1=(an+1十1)2，② ②-①，得4an+1=a+1-a+2a+1-2an, 4”4+1 整理，得(an+1十an)(a+1一an)=2(an+1十an), =2+++…+)-0- 由an>0,得an+1一an=2, 又当n=1时，2√S,=2/a=a,+1,解得a,=1, 2×112m1 ∴.数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列. 1- 4 4 则数列{a,}的通项公式为an=1+(n-1)×2=21-1; 设等比数列{b}的公比为q, 4+1 41 由b+1十bn=2”,有b2十b=2,b+b2=22, 则9一会将=2， 4十6=2弘十6=2，解得么=导 高考分类数学 参考答案 则数列6，}的通项公式为6，=6，g1= 3 (I)(1)由么=1，且么+会+会++鲁-6，-1aN) 7 (Ⅱ)证明：由a,=2m-1,得S.=m1+2m-)=. 当n=1时，b=b2一1，即b2=2. 2 则SS+2-S+1=n2(n+2)2-(n+1)'=-(2n2+4n+ 当≥2时山十会十 +号=6-1… 1)<0, .SS+2<S%+1i （)设A.=含(an4,·ana 两式相减可得号=61-1一(6一1)， tana,·tana+1=tan(2n-1)·tan(2n+1)= 数理得岩中 tan(2n+1)-tan(2n-1-1. tan2 b A,=(an3tanl-1)+(am5tan3-1)+…十 tan 2 tan 2 (an(2n+1)-tan(2m-D-1） tan 2 … -tan(2n十1)。-tanl-n, tan 2 设反=86=含i-1…号=号含ai-07,= i=1 将上式相乘得会-吕 22-10…2 即b,=n,n∈N(当n=1时也符合)； 则T.=1×2+3×22+5×22+…+(2n-3)2-1+(2n- (i)M=2a,ba-1=a6十a,6十a6,+…+a,ban- 1)2", =号×1+5X3+5×3X5++5·3.2m-10, 2T.=1×22+3×23+…+(2n-3)2"+(2n-1)2+1, 3Mn=5+5×32+5×32×5+…+5·3-1·(2m-1), 两式相减，得-Tn=2+23+2+25十…+2+1-(2m 1)2+1 上面两式相减可得一2M=号+101十3+学+…+3) =2+21=2)-（2m-1)21=-(2m-321-6, 5.3"-1·(2n-1) 1-2 则有工.=(2m-3)21+6,得B,=号工，=（号0一122， -+101 1-3 -5·3"=1·(2n-1), 名(tam·ana1十a·6)=A,tB 化简可得公0：1=号+5(m-1D·3 m2mt2a1-n+(号a-1D21+2. 29,解：(1)由S+a=1.得a= tan 2 28.解：(I)由等比数列{an}的公比为3，得an=a1·31, S.+a,=1 作差得2a+1一a.=0, a4-a3=a1·33-a1·32=30, S+1+a1=1 1 解得a=号， an 2 a.=5×3-2,s=31-3) ÷a,是以2为首项，为公比的等比数列， 则有a,=29 1 高考分类数学 参考答案 2"+1 3L.解：(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{b的公 ()由题得6.=(a,+1)(a*1+1)-(2+1)(2+ 比为g =2(2中12*+入 由a=1,as=5(a4-a3),可得d=1, ∴{an}的通项公式为a=n. 江=含4=含2h2)=2h21 1 由b1=1,b=4(b,-b),又q≠0， 22 可得g2一4q十4=0，解得q=2, 3一2*1+1 ∴{b}的通项公式为6n=2”: 30.解：(1)：a2+1=2Sn十n+4, .当n≥2时，a=2S。-1十n+3, （Ⅱ)证明：由(I)可得S.=n. 2 两式相减可得：a+1-a=2a,十1， S,S.+2=n(n+1)(n+2)(n+3), .a+1=(an+1)2, :数列{an}是各项均为正数的数列， 81=子(n+1)2(n+2)2, ∴.a+1=an十1，即a+1-an=1, S.S+2-s1=-zn+1D(n+2)<0, :a2一1，a,a,为等比数列的前3项， ∴.SnS+2<S+1: .a=(a2-1)a, ()当n为奇数时，6-（3a.-2)6.=3m-2)2-21 即(a2+1)2=(a2-1)(a2十5)， ann+2 n(n+2)n+2 解得a2=3,a=2S1+5, a1=S=2,a2-a1=1, 二：当为隔数时6公”号 .数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列， 对任意的正整数n,有 ∴an=2+(n-1)=n+1. .a2-1=2,a3=4,a2=8, 22m “等比数列6，)的公比9号=2，首项为2. 号号++品1 .bn=2": 含含+++…+20 (Ⅱ)c.=(-1)"ab.=(-1)"(n+1)2"=(n+1)(-2)", 2u=+是++3+. ∴.T.=2×(-2)+3×(-2)2+4×(-2)3+…+(n+1)· (-2)",① 由①-@得a=+是+…+- 4+1 -2T.=2×(-2)2+3×(-2)3+4×(-2)+…+(n+1) ·(-2)+1,② 2(1一 12m-1 1 44+1 ①-②，可得3T.=(-4)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)” 1- 4 (n+1)(-2)"+1 从而得之c=9一9X4 _56n+5 =-2+-2=（2)]-(m+1D(-2)1 1-(-2) 4” 61+54 =-3n+4.（-2)+1-8 3 · “数列的前2项和为行8装青 T,=-3m+4.(-2y*1-8」 9 9· 高考分类数学 参考答案 32.B数列a,的道项公式为a=”。=1+2”0 13 36.D设等差数列{an}的公差为d,由题意可得a2a6=a, 即(a+d)(a1+5d)=(a+2d), 当n≤9时，数列单调递减， 化简并将a1=3代入，解得d=一6或d=0(舍)， 当n≥10时，数列单调递减， “a,}前5项之和为S,=3×5+5X4×(-6)=-45. 又a=-6<0,ao=7>0, 2 .当n=9时，Sn取得最小值. 37.D设共有2m十1项，由题意S=a十a,十…十a+1=32, 85 33.D设正项等比数列(an的公比为q,则q>0, S,=a,十a2十aa+a4+a5十a6十a,十ag=a,十a2+a十 Sm=a2十a,十…+am=i6, 21 a4+q(a1+a2十a3+a4)=S4(1+q), S奇=a1十a2q十…十a2n9=2+q(a2十a4+…十a2m) ∴.S。-2S4=S4(g-1)=6,则q>1,可得g>1,则 -2+品0-0故9 6 s=g-1 故Tn=a,a…an=ag+2++m-1=2”X 222 ∴.a十ao十a1十a12=q(a1+a2十a3十a） 3n2 3 =5,g=6g-6g-1+1 令fn)=2”一冬，对称轴为n=2 g-1q-1 当n=1或2时，T.取最大值为2. -6g=24-1》=6[g-10+g+2] q-1 由题意可得as-as十a,=2a6-a6=2,则a6=2, ≥2-175+]=2， 等差数列a的公差d-。号=合 当且仅当对-1=，己即g=拒时，等号成立。 ∴a,=a+(n-3)d=号， 故a,十ao十a1十a12的最小值为24. 0s(a,x)=c0s,令6=c0s5 34.Da+1=a+n+1,.a+1-an=n+1,即a2-a1=2, 对任意的k∈N,b+1十b+2十b+3十b+4十bs+5十b+6= a一a2=3,…,an一a。-1=,等式两边同时相加得an一a1= c0s(2kx+子)+c0s(2kx+2)十c0s(2kx十n)十c0s(2kx十 3 2+3+4+…+n,即an=a1+2+3+4+…+n=1+2十3+ 4十十=nD,则上=2 +cos(2x+要)+s(2+2x)=号--1-号十 2 +++…+=2x1-+-+… 合+1=0， a2019 .2023=6×337+1, 00）=2×1-0）-8器×2-8器 则数列{cos(anx)}的前2023项和为337(b+b2+b十b,+ 35.A设公比为q(q>0),且各项均为正数，因此有 么+6)+6=37×0+号-宁 fa2·a3=a fa19·a19=a1gfa1=1 a1+ag=17 1→S= 39.-1an+1=am十aa+2, 9=2 …a+2=a+1-an,且a1=1,a2=2, 1×1-(2)]31 ∴.a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,ag=2, 即数列{am}是以6为最小正周期的周期数列， 1一2 16 2020÷6=336…4,.a2020=a4=-1. 高考分类数学 参考答案 40.解：(I)设等比数列{an}的公比为qg,等差数列(b}的公差为 41.解：(I)依题意，2Sn=an+1十2n-4(n∈N), d(d>0), ∴.2S4-1=am+2n-6(n≥2)， 由题知6a+1=a,十9a+2, 两式相减得2a,=a+1一a,十2，化简得a+1=3a,一2， ∴6g=1+9财，即9对-69+1=0，解得g=子 即a+1-1=3(an-1)(n≥2)， 又当n=1时，2S,=a2十2-4得a2=10,a2-1=3(a1-1), a,=ag1=(31, .{a.一1}是以a1一1=3为首项，3为公比的等比数列， 又S=S,·(S,+3),即(2+d)2=(7+6d), ∴.am-1=3”,即an=3”+1; 解得d=-1(舍)，或d=3, (Ⅱ)由2S。=a+1+2n-4及an=3"+1, ∴.bn=1+3(n-1)=3n-2; S=3 (I)由么.=3m-2,可得-1)(26+3》-（-1)(6m-1) 66nt1 (3n-2)(3n+1) 25=号g+++3)+1+2++0- 2 1 =(-1)（3m-2+3m市： -婴+号- 9 %2+-+++)-(号+ (Ⅲ)证明：由(1)知an=3”+1, +…+(-1)（3m-2+3m中 6.=√1+1oga,-1T+log(a1-1)7 1 =-1+(D3m市=（-1)3m+-1: -√++中 n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n(n+1) 3 11 ）, n(n+1)+1]下_n(n+1)+1 入N m2(n+1) n(n+1) =号++是+++ =1+11 n 十3”7十3 bn>0,.{T}为递增数列， 则1≥1=4=1+片号=号： ×1-) 33+ .=+1-+1+-++a+ nn+l =n+1一n+1, 13 综上可得，2<工，<n十1. 42.解：(1)a2-aam-1-2a-1=0(n≥2)， .(an-2am-1)(an+am-1)=0(n≥2)， an>0,.an-2a1=0(n≥2)， =2×3<0, ,<号 a-2 .数列{an》是首项为2，公比为2的等比数列，.an=2”; 高考分类数学 参考答案 (I)证明：6=子=1,41-(m+1%=i+n ga+(-1r21-含+含(-1y (k十2)22+5 CECA+I ∴（么是首项为=1，公差为1的等差数列， 设A-=总6-2[2+3…2， k= .点=n,6.=; ∴A=5X22+7×23+9×2+…+(4n+3)·22m+1,① 2A=5×23+7×24+9×25+…+(4n+3)·22m+2,② (Ⅲ)ca1十cw=-a+ab2=2(2n) 2 4 ①-②得-A=20十2×(2+2+…+22+1)-(4n+3)·22+2, 21(2m-1_2（4n=1D=（41-1）·41, =20十2×2×0-24-（4n+3）·22+4=4 2 4 1-2 .T2n=3X4°+7X4+…十(4n-1)·4"-1, (4n+1)·22m+2 4T2n=3×4+7×42+…+(4n-1)·4", .A=(4n+1)·4+1-4. 两式相减，得-3T2m=3十42+43+…+4"-(4n-1)·4” 设B=含(-1yt22"1=含[(-1 =3+161=4)-（4m-1）·4, 1-4 2+禁86+]-2(-1y(3+6. 4k十8 1 1 ∴T.=-1+161-4')+4n-1)· 9 3 =-9+16-4·4”+(12n-3)·4_7+(12n-7)·4" 9 9 1 43.解：(1)设等差数列{a,}的公差为d,由S=一8，S4=48, s,=4u,+43d=-8 2[4+(-1)+2)2 -]=A+B=(4n+1)·4"+1- 2 a1=-8 得 ,解得 1 5-a,+8X74=48 d=4 4-5+4m+5=-号 +(n+D4+ 44.解：(I)设等差数列{a}的公差为d,等比数列{b,}的公比 a,=4n-12,S=2n2-10m,三=2m-10. 为q(q>0), 设d,=三=2，-10，数列{d,}的前n项和为G,则G, a1=1, n2-9n. 4a,+6d_3a,+3d-1, 4 3 当n≤5时，T。=一d1-d2-…-dn=-Gn=-n2+9n 解得d=2, 当n>5时，Tn=-d1-d2--d十d。+…十dn=-G+ .∴.am=2n-1, (G,-G)=n2-9n+40. 由b,(a-a)=1,得6=2 1 n2-9n+40,>5 由b2+2b=b, （Ⅱ)(1)设等差数列{b,}的公差为d山，. 得21十2×9=7解得g=2或9=-1（会去） 由（得a,=4n-12,又a,=b,十b+1, :=6+么 -8=2b+41 b1=-5 ,即〈 ,解得 a2=b2+b3 -4=2b1+3d1 d1=2 (I)由(1)可知么=（号r(-16= .bn=2n-7. 6.-a,+18)中1-4n+6)1 (-1)么，是首项为2，公比为-号的等比数列， (b,+10)” (2n+3)=(2m+3)·21, 设{(-1)"-1bn}的前n项和为T。,