专题十八 直线与圆-【一飞冲天·高考专项】2025年高考专题分类数学

高考分类数学 参考答案 专题十八 直线与圆 8.√2由圆C:(x-1)2+y=1,可得圆心(1,0)，半径为1， 1.B直线方程即4x-3y十3=0， 圆心1,0)到直线1：x十y-2=0的距离d=1+0-2= ② 圆心(1,4)到直线4x-3y十3=0的距离d=412+311 V/16+9 号线段A22×V-E 弦长|AB=2×/4-1=2√3. 92厅由题意知直线1的斜率为一子，方程为y=一子十1， 2.B由题可知圆的圆心为(0,1)，半径r=4, 则圆心到直线的距离为一2L 2 即3x+4y-4=0, √R+I√+I 又，x2+y2+2x-6y+6=0,即(x+1)2+(y-3)2=4, .圆心为（一1,3），半径r=2, 由弦长公式，得A=√军一=V 圆心到直线1的距离d=一3十12-4山=1， k≥0， √9+16 ∴.|AB=22-=222-1平=23. 则4+1∈[34)， 10.B根据题意，设圆心C的坐标为(m,n),m>0,n>0,由于 .|AB1∈[4V3,8), 圆C与x轴相切，则圆C的半径r=, .AB的长度可能为7. 又由圆心到原点的距离为√5，则有m2十n2=5, 3.D圆心为（一1,0），半径r满足2=2，圆心到直线的距离 d-器-号AB-2Pt-xg-6 圆C与4x-3y=0相切，则有，=14m-3m /42+32 √+(-1) 2 即=14m,3m,化简整理得m=20或，=一2m(舍)， 4.B圆心(0，-1D到直线的距离d=10+1+山=2，半径 25 √2 解得m=2,n=1, r=2, 则圆的标准方程为(x一2)2十(y一1)2=1. ∴.|AB=2/r2-=2×/4-2=2√2. 11.x2+(y-1)2=2,圆心在y轴正半轴上，∴设圆心(0，a), 5.-1或-号根据题意，圆+-2x一2y十1=0的标准方 a>0,圆心到直线x-y-1=0的距离d=0-a-1山 √/12+(-1) 程为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为(1,1)，半径r=1, =2, 设直线的斜率为k,则直线方程为kx一y十k十2=0. ∴.解得a=1, ·圆心到直线的距离为2k+ √/k2+1 .圆C的标准方程为x2+(y一1)2=2， 过点（一1,2）的直线1被圆x2十y一2x一2y十1=0截得的弦 12.(x-1)2+y2=25过点P(4,4)且与直线1：3x+4y-28=0 长为2，(2出)2+（号）产=1，解得k=-1或 垂直的直线m的方程为y-4=等(x-4),即4红-3)y √k+1 4=0. -7,故直线1的斜率为-1或-7 (4x-3y-4=0, x=1, 联立 解得{∴.圆心C(1,0). 6.2√15由题意可得，直线1的方程为x+2y+1=0,,圆x+ 2x-y-2=0, y=0, y2-4x+8y=0的标准方程为(x一2)2+(y十4)2=20，圆心(2， ∴.r=√(4-1)+(4-0)7=5. -4),半径r=25,∴.圆心(2，一4)到直线1的距离d= 故圆C的标准方程为(x一1)2+y2=25. 2-8+1=5“弦长=2P-dF=2×V20-5=2W5. 13.(x-1)2+y2=1(答案不唯一，只要方程满足(x-a)2+y= √5 a2(a>0)即可)由题意，在圆M:(x十2)2十y=4中，圆心 7.25将圆x2+y-4y=0的方程可以转化为：x2+(y一2)2=4， 即圆的圆心为(0,2)，半径为R=2,∴.圆心到直线的距离 d=2×sin30°=1，∴.直线截圆的弦长为2√R-d=23. 高考分类数学 参考答案 M(-2,0),半径r=2, 经过点(3,0)和点1，-2)的直线斜率为”一2=1， ,圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M:(x十2)2十 故该两点所连线段的垂直平分线为y十1=一(x一2)， y2=4外切， 即x+y-1=0, 设圆C的半径为a(a>0),则圆心C(a,0), (x+2y-1=0 x=1 ∴圆C的标准方程为(x-a)2十y2=a2(a>0). 联立 可得 ,即圆心坐标为(1,0). x+y-1=0 y=0 当a=1时，一个圆C的标准方程为(x-1)+y2=1. 故半径为3-1=2. 14.外(x-2)2+(y+2)2=81点P(2,-2)到圆心(-1,2) ∴.所求圆的方程为(x一1)2+y2=4. 距离1PC1=√(2+1)2+(-2-2)7=5，又圆的半径r=4 19.B圆x2+y+2x-2y十a=0即(x十1)2+(y-1)2=2-a, ∴.点P在圆外： 故半径r=2-a,弦心距d=-1+1+2=反. :1PC=5,r=4,圆C内切于圆P, √2 .圆P的半径R=PC十r=9, 再由弦长公式可得2√-d=2×√2-a-2=4, ∴.圆P的方程为(x-2)2+(y十2)2=81 a=-4.Of 15.(x-2)2+(y十3)2=5√5：圆C与y轴交于A(0,一4)， 20.B直线l的方程为x十ay-2=0,圆x2+y2=4的圆心(0， B(0,-2), )0),半径r=2,圆心(0,0)到直线x十ay-2=0的距离d= ∴.由垂径定理得圆心在y=一3这条直线上. 一2L,:直线：x+ay=2与圆C:x+y=4相交于M, √a2+1 又.圆心在直线2x一y一7=0上， N两点，且MN|=2√3， (y=-3 .联立 ,解得x=2, 2x-y-7=0 六由勾股定理得/=+(M心)，即4-有十3， 2 ∴圆心C的坐标为(2，一3)， .半径r=|AC1=√22+[-3-(-4)]了=5， 解得。=30=士尽∴直线1的斜率为-己=士 ∴.所求圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5. 2L.D圆M的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4, 则圆心M(1,1),半径r=2. 点(1,0)与圆心C之间的距离d=√/(2-1)2+（一3）2 √0，由切线的性质及勾股定理，切线长=√一产=√5. 点M到直线1的距离d=2X1+1+2=5>2. √/22+12 16.(x-1)2+y2=4由题意设圆C的圆心为C(a,0)(a>0), ∴.直线l与圆M相离. :圆心到直线2：一y=0的距离为25. 由圆的知识可知，A,P,B,M四点共圆，且AB⊥PM, :12a=01-25,解得4=1，即圆心坐标为1,0： ∴PMI·AB=4SAw=4X号X IPAIXIAMI= √5 5 4PA. 又：点M(0W3)在圆C上， 而PA=√TPM-4, .半径r=√(1-0)2+(0-3)2=2， 当PM⊥直线l时，PMmn=√5，∴.|PA|mm=1, .圆C的方程为(x一1)2十y2=4. 此时|PM·AB最小. 17.x2十(y十2)2=5：圆心与切点的连线与切线垂直， :m时=一之解得m=一2 kw=,PM:y-1=(x-1D,即y=x+2, 2 .圆心为(0，一2)，则半径r=√/(-2-0)+(-1十2)产=√5， y=十立，解得 1 由 x=-1 P(-1,0), 2x+y+2=0 y=0 ∴.圆C的标准方程为x2十(y十2)2=5. ∴.以PM为直径的圆的方程为(x一1)(x+1)+y(y一1) 18(x-1+y=4点(3,0)和1，-2)的中点坐标为(3士 =0, 2)=2,-D. 高考分类数学 参考答案 即x2+y2-y-1=0, 即kx-y-3k-1=0,则d=1k+2-3k-11=11-2k1 √+1 √k+1 两圆的方程相减可得：2x十y十1=0，即为直线AB的方程. 22.B圆C:x2+y2-4x-5=0,即圆C:(x-2)2+y2=9,圆心 又d+65)2-9d-02-9-5-46=- k2+1 为C(2,0),半径为3， 此时直线1的方程为y-(一1D=一子（红-3），即3x十 :∠CAB=30,∴点C到直线AB的距离为号， 5=0. 是-号解用。=该。=-号 综上，直线1的方程是x=3或3x十4y-5=0. 2 26.2√2由x2+y2-4y=0得x2+ 23.A把圆x+y-2x+2y-1=0化为标准方程(x-1)2+ (y-2)2=4,即圆心坐标为(0,2)， (y十1)2=3，.圆心(1，一1)，半径r=√3.直线1与圆相交， 半径为2，如图，连接圆心与点(1， 由点到直线的距离公式得弦心距4=1-（一1）-1= 1),当直线与该线段垂直时，AB /12+(-1)9 21 取得最小值，此时圆心到直线的距 012x (A) 由勾股定理得弦长1AC=2×√3)2-（吗）2=0.又 离d=√(2-1)+(0-1)=√2，|AB=2X√22-(W2) B,D两点在圆上，并且位于直线1的两侧，四边形ABCD的 2√2. 面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，当BD为弦 27.-4/5根据题意直线方程为5x-y=0,圆C:7十y AC的垂直平分线，即为圆的直径时，两三角形的面积之和 4V3y十a=0变形得x2+(y-2√3)2=12-a,圆心坐标为 最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为S=号X (0,23),半径为√12-a.圆心(0,23)到直线3x-y=0 1 ACIXIEDI=号×vX2g=Vm. 的距离d-√3，则2√/12-a-3=2√13，解得a=-4. 24.4过切点P(3,一2)且与x+y一1=0垂直的直线方程为y+ .圆C的圆心坐标为(0,23)，半径为4. 2=x-3,即y=x-5, 如图.os∠0cB22y5-5,则∠0CB=30. 4 与直线y=一4x联立，解得x=1,y=一4， .圆心坐标为(1，一4)， .半径r=√(3-1)2+(-2+4)2=2√2， ∴.所求圆C的方程为(x一1)2+(y+4)2=8: 圆心(1，一4)到直线3.x一4y一9=0的距离d= 3+16-9L=2, √/32+(-4) ∴∠ACB=60.San=名×xXf=8经，SAr=合X4X ∴.圆C被直线3x-4y-9=0截得的弦长为2×√8-4=4. 4×sin60°=4v3,.圆C在x轴下方部分与x轴围成的图 25.x=3或3x十4y-5=0圆x2+y2-2x十4y-4=0的标准 方程为(x-1)2+(y+2)2=9, 形的面积等于-45。 则圆心坐标为(1，一2)，半径r=3, 28 -23 3 3 由直线l:y=kx十b(k>0)与圆x+y2=1 由题意可知点M(3,一1)在圆内， 相切， 当1的斜率不存在时，直线1的方程为x=3,满足题意. 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y一（一1）= 得气1.0 k(x-3), 又直线l:y=kx十b(k>0)被圆(x-4)2+y=4截得的弦长 为2√5， 高考分类数学 参考答案 六(4h+6)+W5)=4,@ 因此所求弦长为2√PC一d=8. √k2+1 33.(一∞，一11]依题意，圆的标准 联立0@可得6=号6=-2k=-2 3 方程为(x-3)2+y=5, 29.x=3或3r一4y-5=0曲线方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5, 由图可知当圆C位于两直线，与 2之间时，点P到直线11和2的 表示圆心坐标为(1,2)，半径为√5的圆； 距离之和与点P的位置无关，此时 直线1过点(3,1)且被圆截得的弦长为2， .圆心到l的距离为d=2. 点P到两直线1和2的距离之和即为(1与2两平行直线 当1的斜率不存在时，直线1的方程为x=3,满足题意： 间的距离，当直线4，与圆相切时，16一0十m=5, 5 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y一1=k(x一3)， 解得m=一11或m=一1（舍去）， 即kx-y-3k十1=0， .m≤一11，即m的取值范围是（一∞，一11]. 圆心到1的距离d=-2一3张十1山=2， 1+k 34.5设圆O的方程为x2+y2+d.x十ey十f=0, 6=是 圆0过点A(0,0),B(0,4),C(1,1), (f=0 d=2 .直线1的方程为3x-4y-5=0. ∴.0+16十0+4e+f=0,解得e=一4，故圆的方程为x2+ 综上所述，直线1的方程为x=3或3x一4y一5=0. 1+1+d+e+f=0 f=0 30.(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9由圆心在 y2+2x一4y=0,即(x+1)2+(y-2)2=5,表示圆心为 直线3.x一y=0上，可设圆心坐标为(a,3a),又由圆与x轴 0(-1,2),半径为√5的圆.：1D01=√(3+1)+(4-2)2 相切，可得半径r=|3a,∴圆心到直线x一y=0的距离 2√5，故点D(3,4)到圆0上的点最小距离为2√5-√5=√5. d=a-3a=2a,根据圆的弦长公式，可得(W2a)2+ √W2 35.25:圆x2+y2=m,∴圆心(0,0)，半径r=√m, (色号)=90，化简得心=1，解得a=士1. 又直线3x十4y=m与圆相切，.圆心到直线的距离d=r, .所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2十(y+ 即-mL m,解得m=25. √32+4 3)2=9. 36.4、把点P代入到圆方程中，左右两边相等，∴点P在圆上， 31.x-2y+8=0圆C:(x+1)2十(y-1)2=16的圆心坐标为 由圆心坐标为C(0,0),得到直线PC的斜率k心= (一1,1)，半径为4，|AB|=21T,∴.圆心到直线的距离 01 d=√16-1Π=√5.若直线的斜率存在，设斜率为k,则直线 02(-3) 3 方程为y-3=(x十2)，即kx-y十2k十3=0，圆心到直线 ∴直线1的斜率为√3，方程为y=√3x十4， 的距离为一一1+2+3=5，解得k=之：若直线的斜率 令x=0得直线I在y轴上的截距是4. √k2+1 37.一1或-11：圆C的一条直径的两个端点分别在两坐标 不存在，显然圆心到直线的距离d=一1一（一2）|=1≠√5， 轴上，∴该圆一定过原点， ∴.1的方程为x一2y+8=0. ∴.半径为r=√(2-0)+(1-0)严=√5， 32.8设圆心坐标为C(a,-6a),则kc=-6a二2， a-31 又圆心为C(2,1),故圆C的方程为(x一2)2+(y一1)2=5. 由圆的几何性质可得PC⊥l,直线I的斜率为1， :∠ACB=120°，1CA=|CB1=√5， 则ke=二6a2=-1,解得a=-1, a-3 六圆心C到直线1的距离为d=子一， -21 则圆心为C(-1,6), 圆C的半径为PC=√/(-1-3)2+(6-2)2=4√2， 即8-号，解得X=-1,或X=-1 √16+4 .圆C的方程为(x十1)2+(y一6)2=32， 直线l:y=k.x-1→kx-y-1=0, 圆心C到直线3x-4y+7=0的距离为d=一3-4×6十72 5 圆C:x2+y-4x+3=0→(x-2)2+y2=1,圆心为C(2, =4, 0),半径r=1, 高考分类数学 参考答案 直线1与圆C相切可得26-1L=1. k2+1 解得及=号或k=0(舍)， “正实数k的值为 4 39,4士5：△ABC为等边三角形，圆的半径r=2, C(1,a), ∴.点C到直线AB的距离d为等边三角形的高，即d=√3， 又：d=2a-2=5,解得a=4士V15. Wa2+1 40.(x-1)2+(y+1)2=2圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为 C(-1,1),半径为√2 ∴过圆心C(-1,1)与直线x一y一4=0垂直的直线方程为 x+y=0, 所求的圆的圆心在此直线上， 又圆心C(-1,1)到直线x一y-4=0的距离为。=32， 则所求的圆的半径为32，巨-2， 2 设所求圆心坐标为(a,b), 则a-力4L=2,且a+b=0, ② 解得a=1,b=-1.(a=3,b=-3,舍) 故符合题意的圆的方程为(x一1)2+(y十1)2=2. 4.土 由题意半径r=√2，C(1,0),∠ACB=90°， 利用等腰直角三角形的性质，知点C到直线l的距离d=1 又直线l的方程为kx一y十k=0, 1=12kL √1+k 解得人=士侣高考专题分类数学 专题十八 直线与圆 基础题 考点1弦长问题 1.(2022·耀华中学二月考)直线y=号十1裁圆(x一1)十(0y-4)2=4所得的弦长AB2 A.1 B.23 C.2 D.3 2.(2023·南开一模)已知直线y=kx-1与圆x2十(y-1)2=16相交于A,B两点，则AB的长度 可能为 () A.6 B.7 C.12 D.14 3.(2021·部分一模)直线x-y十2=0与圆(x+1)2+y=2相交于A,B两点，则|AB=( A号 B② 2 C③ 2 D.√6 4.(2020·部分期末)直线x一y+1=0与圆x+(y+1)2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度为 A.√2 B.2/2 C.2 D.4 5.(2022·和平期末)过点（一1,2）的直线1被圆x2+y2-2x一2y+1=0截得的弦长为√2，则直线1 的斜率为 6.(2020·天津一中五月考)已知直线1过点(-1,0)且与直线2x-y=0垂直，则圆x2+y2-4x十 8y=0与直线1相交所得的弦长为 7.(2020·红桥一模)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2一4y=0所截得的弦长为 8.(2021·和平一模)已知直线1：x十y-2=0与圆C:(x-1)2+y=1相交于A,B两点，则线段 AB的长度为 一冲天 9.(2021·部分二模)已知过点P(0,1)的直线1与直线4x-3y=0垂直，l与圆x2+y2十2x一6y+ 6=0相交于A,B两点，则|AB= 考点2圆的方程问题 10.(2020·南开模拟)若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为√5，且圆C与直线4x一3y =0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 A.(x-1)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-2)2=5 D.(x-2)2+(y-1)2=5 11.(2021·新华中学四模)已知圆C的半径为√2，圆心在y轴的正半轴上，直线xy-1=0与圆 C相切，则圆C的标准方程为 12.(2022·和平一模)已知圆C的圆心在直线2x-y-2=0上，且与直线1：3.x十4y-28=0相切 于点P(4,4),则圆C的标准方程为 0 13.(2024·天津一中三月考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆M:(x+2)2+y2=4外 切写出一个圆C的标准方程为 14.(2021·南开中学三月考)已知点P(2,-2)和圆C:(x+1)2+(y-2)2=16,则P在圆C (填内、外或上)，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为 15.(2020·新华中学统练)圆心在直线2x一y一7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,一4)，B(0,一2)， 则圆C的方程为 ,过点(1,0)作圆C的切线，则切线长为 16.(2021·和平期末)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线2x-y=0的距离为25， 5 若点M(0,√3)在圆C上，则圆C的方程为 17.(2021·河西一模)已知圆C的圆心坐标是(0，m),若直线2x-y十3=0与圆C相切于点 A(-2,一1)，则圆C的标准方程为 18.(2023·十二校一模)已知圆经过点(3,0)和点(1，一2)，圆心在直线x十2y一1=0上，则圆的方 程为 一心冲天 提升题 19.(2020·河西线上)已知圆x2十y2+2x-2y十a=0截直线x十y+2=0所得弦的长度为4， 则a= A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 20.(2020·河北一模)已知直线1：x+y=2与圆C:x2+y2=4相交于M,V两点，若MN 2√3，则直线1的斜率为 1. 3 B.±3 3 C.3 D.-3 21.(2023·耀华中学三月考)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线1：2x十y十2=0，P为1上的 动点，过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当PM·|AB最小时，直线AB的方程为 A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 22.(2024·河东二模)已知直线3x十4y十a=0与圆C:x2+y2-4x-5=0相交于A,B两点，且 ∠CAB=30°，则实数a= A号 27 c名或-9 D. 23.(2020·和平三模)已知直线1：x一 y=1与圆x2+y2-2x+2y一1=0相交于A,C两点，点B,D 分别在圆上运动，且位于直线I的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为 () A.√30 B.2√/30 C.√5I D.25T 24.(2021·耀华中学模拟)已知圆C的圆心在直线y=一4x上，且与直线l:x+y一1=0切于点 P(3,一2)，则圆C被直线3x一4y一9=0截得的弦长为 25.(2022·耀华中学三月考)过点M(3,一1)作一条直线1截圆x2+y2一2x十4y一4=0所得弦长 为2√5，则直线1的方程是 26.(2021·南开一模)已知过点(1,1)的直线与圆x2十y2-4y=0相交于A,B两点，则|AB的最 小值为 专题十八直线与图 27.(2020·天津一中三月考)经过原点且倾斜角为60°的直线被圆C:x2+y2一4√5y十a=0截得的 弦长是2√/3，则圆C在x轴下方部分与x轴围成的图形的面积等于 28.(2021·耀华中学模拟)已知直线1：y=kx十b(k>0)与圆x2+y=1相切，且被圆(x-4)2+y=4 截得的弦长为2√5，则k= ,b= 29.(2021·实验中学热身)过点(3,1)的直线1被曲线x2+y2-2x一4y=0截得的弦长为2，则直线 1的方程为 30.(2020·河北二模)圆心在直线3.x一y=0上，与x轴相切，且被直线x一y=0截得的弦长为2√7 的圆的方程为 31.(2020·部分一模)已知圆C:(x+1)2+(y-1)=16,过点P(-2,3)的直线1与C相交于A,B 两点，且|AB=2√11，则1的方程为 32.(2023·河东二模)已知圆C的圆心在直线y=一6x上，且与直线1：x一y一1=0相切于点P(3, 2),则圆C被直线3x一4y+7=0截得的弦长为 33.(2023·十二校二模)P(x,y)为圆x2-6x十y2+4=0上任意一点，点P到直线11：2x-y十4= 女0与到直线：2xy十m=0的距离之和与点P的位置无关，则m的取值范用是 34.(2020·河东一模)已知圆O过点A(0,0),B(0,4),C(1,1),点D(3,4)到圆O上的点的最小距 离为 35.(2020·河西二模)若直线3x十4y=m与圆x2十y2=m相切，则实数m= 36.(2020·南开二模)过点P(一√3,1)的直线1与圆x2+y2=4相切，则直线1在y轴上的截距为 37.(2023·南开中学三月考)已知圆C的圆心为C(2,1),且有一条直径的两个端点分别在两坐标 轴上，若直线1：4x一2y+入=0与C交于A,B两点，∠ACB=120°，则实数入= 38.(2021·十二校一模)已知直线1：y=kx-1与圆C:x十y-4x十3=0相切，则正实数k的值为 39.(2021·天津一中二月考)已知直线a.x十y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交 于A,B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= 40.(2023·河西一模)与直线x一y-4=0和圆C:x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的 方程是 41.(2022·南开二模)已知直线l:y=k(x+1)与圆C:(x一1)+y2=2相交于A,B两点，若 ∠ACB=90°，则k的值为