专题十 平面向量-【一飞冲天·高考专项】2025年高考专题分类数学

一心冲天 专题十 平面向量 馨)基础题 考点1平面向量中的求值问题 1.(2022·五校联考期中)如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A 的三等分点，则AC= A.号市+B苑 B号AD+庞 C.号AD+BE D.号AD+号B驼 2.(2020·天津一中三月考)在平行四边形ABCD中，|A市1=2，|CD1=4,∠ABC=60°，E,F分别 是BC,CD的中点，DE与AF交于点H,则Ai·DE的值是 ( ) A.12 B.16 c号 D. 3.(2020·南开区校级模拟)如图，在△ABC中，AB=2,BC=3,∠ABC=60°，BD=2DC,AE EC,则A市.BE= c D-2 4.(2021·南开中学一月考)如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2,点E为BC的 D 中点，点F在边CD上，若A·A产=√2，则A它·B的值是 A.2-√2 B.1 C.√2 D.2 5.(2020·部分一模)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=60°，AB=8,CD=4,若M为线段 BC的中点，E为线段CD上一点，且AM·A它=27，则DM·D龙= A.15 B.10 c号 D.5 专题十平面向量 6.(2021·南开巾学三月考)已知向量a和b的夹角为60，a=(分，号)，a(a+b)=2,则a十的 值为 7.(2021·南开期末)如图，在边长为1的正方形ABCD中，M,N分别是BC,CD的中点，则 AM·AC= ;若AC=λAM+μBN,则入十4= 8.(2021·和平二模)如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，线段AD,BE CF交于点O,则OA+C龙1= ;若点M是线段BE上一点，且AD· (2DMi+Fi=-2.则1Oi= 9.(2024,南开二模)已知在平行四边形ABCD中，D应=号EC,B时=号F心，记A店=a,A=b,用a 和b表示A正= ;若AE=2,AF=√6，则AC,D的值为 10.(2023·南开中学二月考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD且DC=2AB=2BC,E为BC的中 点，AC与DE交于点O.若12CB.CD=5OA·O心，则∠BCD的余弦值为 11.(2020·河北线上)已知矩形ABCD的对角线长为4，若A市=3P心，则PB·P市的值为 12.(2020·河北二模)在平行四边形ABCD中，已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°，若CE=ED, D求=2FB,则A龙·A疗= 13.(2023·新华中学校模)在△ABC中，AB=a,AC=b,A它=3EB,D,F分别为BC,AC的中点， P为AD与BF的交点，且若EP=xa十yb,则x十y= ;若AB=3,E庐在AB上的投影 向量的模长为1，则AC在AB上的投影向量的模长为 高考专题分类数学 14.(2020·和平线上)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3,D,E与M,N分别是AB,AC的三等 分点，且DN·M庀=-l,则tanA= ,AB·BC= 15.(2020·河西一模)在△ABC中，∠BAC=60°，|AC1=2,B方=2DC,|AD1= ;设A它=入AC-A(∈R),且A市·A它=4，则入的值为△ 16.(2021·实验中学热身)如图，在平行四边形ABCD中，AP上BD,垂足为P,且AP=3,则 A产.AC= 17.(2021·新华中学模拟)已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AC与BD交于点E,AB=5, CD=3,AC·BD=1,则AB·AD= ,cos∠AED= 考点2平面向量中的最值与范围问题 18.(2022·天津一中一月考)已知向量m,n,若m=1,m-2n=2,则m-n+|n的最大值为 ( ) A.√5 B.10 C.4 D.5 19.(2022·红桥一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=5,CD=2,BC=√13，AC·BD=0, M,N分别是线段AB,AD上的点，且AM1+AV1=2,则AM·AN的最大值为 ) 1 A.2 B c D.1 20.(2021·河西期末)在梯形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，AB=2,CD=AD=1,若点M在 线段BD上，则AM·CM的最小值为 ) A &一8 C.-3 一冲天， 21.(2022·河西期末)如图所示，在梯形ABCD中，∠B=90°，AB=√2，BC=2,|AD<BC, 点E为AB的巾点，若向量C心在向量C正上的投影向量的模为，则C它·BD= ;设 M为线段CD上的动点，则BM·CM的最小值为 22.(2022·和平期末)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，E,F分别为线段BC,CD上的 点，C在=2E弦，C座=2F心，点M在线段EF上，且清足Ai=X+AD∈R),则x= :若点N为线段BD上一动点，则AN·MN的取值范围为 THE TOP A 23.(2021·天津一中四月考)在平行四边形ABCD中，AD=DB,P为线段DC上的动点，AD·AC =5,AB·AC=6,则PA·PC的最小值为 24.(2023·耀华中学二月考)如图，在△ABC中，∠BAC-号，AD=2D店，P为CD上一点，且满足 A市-mAC店，则m的值为 ;若△ABC的面积为23，则AP的最小值为 25.(2022·河东二模)在△ABC中，点M,N在线段BC上，且满足|MA|=|MB1= MC=1,MA·MN=7,则Mi·NA- ,N才的取值范围是 一心冲天 提升题 26.(2021·和平三模)在△ABC中，OA+Oi+OC=0,AE=2E第，|AB1=AC1,若A它·AC 9A方·EC,则实数λ= A号 R c D. 2 27.(2023·南开二模)在△ABC中，AC=BC=√2，AB·BC=一2，P为△ABC所在平面内的动 点，且PC=1,则PA+P的最大值为 A.4 B.8 C.12 D.16 28.(2020·十二校一模)在等腰梯形中，AB∥CD,AB=2,AD=1,∠DAB= 3,点F是线段AB上 的一点，M为直线BC上的动点，若BC=3CE,A户=入AB,且A它·D=一1，则M卒.DM的最 大值为 A R一股 C.-1 D.-23 64 29.(2021·南开中学模拟)如图，已知B,D是直角C两边上的动点，AD⊥BD,1AD ∠BAD=石，CM=号Ci+C),C寸-2(CD+C,则CM.CN的最大值为 A A.4+13 B.2+I3 C.4+13 D.2+13 2 2 4 4 30.(202·和平一模)在△ABC中，AB=AC=月.2AD-3心，2C-A心.A.C市-是，则 BC= :延长DF交AC于点E,点P在线段BC上，则D产·EP的最小值为 专题十平面向量 31.(2021·天津一中二月考)如图，在已知的四边形ABCD中，AD⊥CD,AD=3,AB=√13， ∠BDA=60°，∠BCD=135°，点E为AD边上的动点，则EB·EC的最小值为 D 32.(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DELAB且交AB于 点E,DF∥AB且交AC于点F,则2BE+D的值为 ;(DE+D驴)·D的最小值为 33.(2020·河北一模)已知△ABC是边长为2的等边三角形，BD=D心，A它=号EC,且AD与BE 相交于点O,则OA·O= 34.(2022·南开期末)在四边形ABCD中，AB=2DC,AB=4,BC=AD=2,则AC·BD 若R.F分别是边BC.AB上的点：且满足能-得=A(0.则当不·D<0时以的取 值范围是 35.(2020·河西线上)在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=6,AD=2,CD=3,E为线段AD的中 点，BE,AC=-19,则cos∠BAD= ;设点P为线段CD上的动点，则A市·B市的最 一口小值为 36.(2021·杨村一中热身)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,DE=2EC,M为BC的中点，则 M龙·B方= ;若点P在线段BD上运动，则P立·PM的最小值为 37.(2021·蓟州一中模拟)在△ABC中，∠A=60°，AC=2,B才·BC=√51B才，则AB= 若A它=入EC,C市=入FB,入>0，则A它·B的最大值为 38.(2021·天津一中三月考)如图，在△ABC中，AB=2,AC=1,D,E分别是直线AC,AB上的 点，A它=2BE,CD=4AC,且BD·C=-2,则∠BAC= ;若P是线段DE上的一个 动点，则B产·C产的最小值为 高考专题分类数学 39.(2021·部分二模)如图，在四边形ABCD中，AB=2,CD=4,向量A官，DC的夹角为.若E,F 分别是线段AD的三等分点和中点，M,N分别是线段BC的三等分点和中点，则|FV|= ,EM·FN= D B M N 40.(2020·和平二模)已知平行四边形ABCD的面积为93，∠BAD=2,E为线段BC的中点， 则A市.D心= :若F为线段DE上的一点，且A市-入矿4吾A市，则的最小值为 41.(2020·天津一中四月考)如图，菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于O点，AC1= 2√3，E为BC边（包含端点）上一点，则|EA|的取值范围是 ,E·ED的最小值为 42.(2020·天津一中五月考)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E,F分别在边BC, DC上，BC=3BE,DC=λDF,若AE·AF=1,则入的值为 43.(2024·河西二模)在四边形ABCD中，AB⊥AD,CB⊥CD,∠ABC=60°，AB=2,AD=√3，E, F分别为线段AB,CD的中点，若设AD=a,BC=b,则EF可用a,b表示为 Ei.C市= 44.(2022·五校联考期中)在平面四边形ABCD中，AB⊥AD,∠ABC=60°，∠BCD=150°，AB= 4E克，BC=4y5,AE=23,当点M为边CD的中点时，AM.Ei的值为 3 ;若点M为 边CD(包含端点)上的动点，则AM·EM的最小值为 一冲天， 45.(2023·河西一模)在梯形ABCD中，AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是线段CD,AB的中点，设 AB=a,AD=b,用a,b表示MN为 ;若MN⊥BC,则∠DAB余弦值的最小值为 46.(2024·十二校二模)已知菱形ABCD边长为1，且A店·市=一，E为线段AD的中点，若F 在线段CE上，且B的=ABA+8BC,则X= ;点G为线段AC上的动点，过点G作BC 的平行线交边AB于点M,过点M做BC的垂线交边BC于点N,则(M心+MN)·M的最小 值为 47.(2021·南开中学四月考)已知圆O的半径为2，A,B是圆O上两点，且∠AOB=60°，CD是圆 O的一条直径，若动点P满足O产=λO+μO(a,∈R),且A一u=1,则P℃·PD的最小值为 48.(2020·南开中学模拟)在△ABC中，已知AB·AC=9,sinB=cos Asin C,S△Bc=6,P为线段 T AB上的点，且CP=xCQT CB C+yC第，则C庐·B驴的最小值为 49.(2020·实验中学训练)如图，在Rt△ABC中，AB=AC,BC=4,O为线段BC的中点，以O为 圆心，1为半径的半圆与BC交于点D,P为半圆上任意一点，则B产·AD的最小值为 50.(2021·杨村一中热身)在四边形ABCD中，已知AD∥BC,∠DAB=60°，AD=2BC=2,AB= 点E是线段AD上的点，且A它=XAD,C座.B市=圣，则 3 .若F是线段CD上的 动点，则E驴·B的最小值为高考分类数学 参考答案 专题十平面向量 1.B根据题意，AC=DC-DA=BD+AD=B配+ED+AD= E+号A市+A市=号A+迹 2.C如图，过点F作BC的平行线交DE 于点G,则G是DE的中点，且GF= 号EC=子BC,GF=子AD,则 5,D过点D作DO⊥AB,交AB于点O,建立如图所示的平面 直角坐标系。 △AHD∽△FHG,从而FH=子AH, “Ai=号A市，A市=A市+D-B武+号A店=B武-号Bi, 则A方=4A市=专B武-名酥， ,在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=60°，AB=8, Dt-DC+CE=-Bi-号BC, CD=4,则A0=8,4=2, 2 则A方·D成=（号BC-是Bi)·(-Bi-号BC) ∴.A(-2,0),D(0,23),B(6,0),C(4,23),∴.M(5√3) 设E(x,23), =号亦-号·成-号C 则AM=(7W5),AE=(x+2,23), =号×16-×42x-号×4= .A应.A龙=7(x+2)+√5×25=27，则x=1, 即E(1,23), 3.C由题意得动=号武-，成=成+号酥. DM=(5,-√3)，DE-(1,0), ..DM.DE=5. “A市.E=(号B武-)(B武+B) 67-分9a=1 =号BC-合B耐2-合B武.耐 a·(a+b)=2,.a2+abcos60°=2，∴.lb=2, =g×9-号×4-日×3×2×c0s60=2 .a+b12=a2+1b12+21al1b1cos60°=7， .a+b=√7 4.C如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y :正方形ABCD的边长为1，∴AB=BC=1, 轴建立平面直角坐标系可得A(0,0),B(2,0),C(2,2), :A应=AB+B应=AB+)BC,AC=AB+BC, D(0,2),E(W2,1),设F(x,2),.Ai=(W2,0),AF=(x,2), AE=(√2,1)，BF=(x-√2,2). Ai.A心=(Ai+号武.+BO 由AB.A市=√2，可得x=1,∴.F(1,2),BF=(1-√2,2)，可 =A+2武+号A$.B武=多： 得AE·BF的值为√2. :xAM=入A访+号入BC, uBN-(BC+C)-nBCCD-BC-AB. 高考分类数学 参考答案 “AAM+uBN=a-?B+(号A+w)B武， 两式相减，得。一书=号 且AC=Ai+BC-AAM+BN, ∴.i=号 24=1, 6 5 解得 ∴.入十= 8 由题意可知，C-C市+i-C市+C市， 5 2+u=1. D-市-i-C市-2成， 8.4 如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则C0=xC=xC市+之xc市， E0-0-CE=AC市+号xc市-号C$=(a-?)C$+ 2AC市， :d=E市=C市-2Ci, 1 则A(-1W3),C(-1,-√3)，E(2,0),F(1W3), a-号 ,解得 D(1,-3), 合AH ∴.Oi=(-1W3),C2=(3,3), ∴.Oi+Ci=(2,25),则1OA+CE1=√22+(23)2=4： ∴oi=多i=多$+是市.o劢=励=号市 Ad=(2,-2W3), 号ci 设M(a,0)(-2≤a≤2)， .12 CB.CD=50A.Ob. }i=号.号=（号.9. 12c市.c市=5(c$+品cd(c市-号c. 由A市.（号Di+}F=-2, 即17CB.CD=2C市-2C, .CD=2CB. 得2.-25.aD,)=号a-10-1=-2. 6 cos∠BCD= CB.CD 2CD:-2CB3 1 CBICD17CB·CD17 即a=号M号0)，则O应=号， 11.一3如图所示： 9,3a+b?D成=2武。 得A花=A市+D成=市+号D成=A市+号AB=号a+b: .AC-a+b.DB=a-b, 设AC∩BD=O,AP=3PC, ..AC.DB=(a+b)(a-b)=a2-b. P为OC的中点，且O为AC,BD的中点， 由球=F式， ∴Pi=p心+Oi=-AC-号d, 得A正=Ai+=A花+号BC-AB+号A市=a+名b: 同理可得市二十A心+动， AE=2,AF=√6， 由已知条件得AC=Bd=4, ∴A=号。2+号ab+=4,A=2+号ab叶号6=6 高考分类数学 参考答案 一Pi功=(-花-号动)·(-十t+合动) 14.}-8:D时=A衣-A市=号C-号AB,M迹=A花 高迹-ǜ14-8 =号恋-号花 2.号由题意，如图所示，设迹=a,A市=6，则a=2, D.迹-（号C-号迹（号A迹-寻A0 |b=1,又由CE=Ed,D市=2FB,∴E为CD的中点，F为 =吾A市.AC-号A恋-号A心 BD的三等分点， 则A走=b+2a,A求-b叶号(a-b)-号a+号b: 号×3X3 X eos A-号×32-号×3=5c0sA-4-1. =（+b)(号a+）=号+号ab oA=号nA=小oA=号mA-把A专： AB.BC=AB.(AC-AB)=AB·AC-AB=3×3× 号=号×2+号×1X2ms60+号×1=号 号-= 15,3升市=市+动=A恋+号武-市+号C-恋) 号+}a迹.a市==号心+号a恋+台花.a迹. IB.-立子或平如图，D.F分别为BC,AC的中点，P为 设a恋=，则号=告X4+号+号×2xXcs60, AD与BF的交点， 整理得x2+4.x-21=0, 解得x=3或x=一7（舍）， “a市1=3.A市，A花=（号C+号B)aC-市） 衣-号A恋+（号-号迹.t-登×4-号×9+ .P为△ABC的重心， (分4-号)X3X2Xcos60=4, “A=号(AB+A心)，又A花=3E弦. 整理得宁X=9,A引 励=市-迹=专（迹+ò）-子速=-是市+ 16.18设AC与BD交于点O,则AC=2AO, AP⊥BD,AP=3, 号At--Ba+吉o, ∴.在Rt△AP0中，A01cos∠OAP=AP1=3, 51 .AC1cos∠OAP=2AO1cos∠OAP=21Ap1=6, x+y=一2+3=一2 由向量的数量积的定义可知， ,E驴在A方上的投影向量的模长为： AD.AC=AP1 AClcos∠OAP=3×6=18. 迹.在1（是本+号a花 1ABI 3 -市+号a恋.d1号迹.衣- 3 4=1 4市.戒-号支斗，产-平 ABI 即AC在A店上的投影向量的模长为2或？。 高考分类数学 参考答案 17.5一名以A市，A市为基底。 19.A设AC,BD的交点为O,根据AB∥CD,AB=5,CD=2, 可得△COD△AOB, 过D作DM⊥AB于M,如图所示， 可设OC=2x,OD=2y,则OA=5.x,OB=5y AC.Bd=0,∴ACLBD, ..OC2+OD2=CD2.OC+OB2=BC, 即(2x)2+(2y)2=4①，(2.x)2+(5y)2=13②. M ABCD为等腰梯形，AB=5,CD=3, 联立①@可得：2=号y=号 ∴.AM=1, 故AD=0D+0A=4×号+25×号=16，故AD=4. ∴Ai,AD=AB1·|AD·cos∠DAB =AB1×(1AD·cos∠DAB)=5X1=5: 又BD=7y=7XI=V2I. 7 AC=A市+DC=A市+号A市，BD=A市-A市. .在△ABD中，由余弦定理的推论， 得cOS∠BAD=AD十AB-BD-1 又：AC.Bd-1,即(Ad+AB(A市-Ai)=1, 2XADXAB 2 再设AM=t,则A衣1=2-(0≤t≤2). 即A市-名A市.A市-多A创？=1，解得A市=32， “.A7.AN=(2-)Xc0s∠BAD=号(-F+2D) ia<nAB=密-怎oAc-g 6 =-号-10+， 在△ADC中，由余弦定理可得|AC=√33， :当=1时，A疗.A衣取最大值 .|BD1=W33, 20.B建立如图所示平面直角坐标系： 又∵Ci·Bd=-1,∴cos∠AED= :离高 18.A设m=(1,0),n=(x,y),则m-2n=(1-2x,-2y), :|m-2n=2, .√/(1-2.x)2+(-2y)7=2, .AB∥CD,∠DAB=90°，AB=2,CD=AD=1, 整理得y=一父+x+子。 .B(2,0),D(0,1),C(1,1),.Bd=(-2,1), :m-n+|n=√(1-x)+(-y)+√x+y 设B成=ABd,0≤A≤1，∴Bi=(-2x,a), .M(2-2λ，A), 7 .Aǜ=(2-2x,a),Ci=(1-2x,a-1), ∴.(m-n+n) .AM.Cǜ=(2-2)(1-2A)+A(A-1) =子-x++x+2-(+ =5-7及+2=5以-6产-易 -+2-是+≤号+[-)+（是+ 7 当入=0时，A7·C取最小值，最小值为一0 =5, 21.-2一号如图，以B为坐标原点，BC,BA所在直线分别 当且仅当子一x=子十x,即x=号时，等号成立， 为x轴，y轴，建立平面直角坐标系 ∴.m一n十n的最大值为5. 高考分类数学 参考答案 2.号[-0Ct-2.-2F励. E,F分别是BC,DC的一个三等分点， 设Ei=kE京， 则A应=迹+成+E前=A花+}C+kE萨-A市+号BC+ 则B0,0).C2.0)A0w.E0,号). k(E武+)=A$+}BC+(号BC-号D心) 设D(x,√2)， =1-号)a市+（分+子a市. C市=红-22.Ct=(-2,5. 又AM=xA店+吾Ad(x∈R), “向量C市在向量C心上的投影向量的模为22 +号=名解得= ·Clcos∠DCE=2y2 3· 1-号x- 又-V2+号-， 设DN=tD克，te[0,1], 2 AB.AD=2×2cos60°=2， .CD.CE=CE1·ICD1cos∠DCE ..AN=AD+DN=AD+DB=AD+K(AB-AD) 2E×3E=2. 31 2 =1AB+(1-)AD. 又CD.CE=-2(x-2)+1=2, M=AN-AM=Ai+(1-)A市-（号A范+。Ad) 解得。D(受E): =(-之)a市+（日-A市. 动=(2 E “衣.M时=迹+1-0d·[-号迹+（日-0d 0正.励-2x号+号×2=-2， 2 =-2)AB+[(日-)+1-)(1-号)]A花.Ad+ 设M(m,n),Ci=-入Cd(0≤A≤1)， 1-0(6-0A市 又CM=(m-2.).Cd=(-2②). m-2=-之入 m=2- =4r-9:=44- 5、237 一36 解得 n=√2入 n=√2x ∈01…衣.m的取位位围刻机一器号 “M2-之A2a), 2.-￥ 如图，取AB中点O,连 “Bi=(2-子Aw2x).Ci=(-号XW2X, 接DO, DA=DB,∴.DOLAB, .C=-合2-含0+2x=是8-A=号G .以O为原点，直线AB为x轴， 直线OD为y轴，建立平面直角坐标系， 设A(-a,0),B(a,0),C(2a,d),D(0,d), :A∈[0,1]， AB=(2a,0),AC=(3a,d0,Ab=(a,d), “当=号时，B立.C矿取得最小值-号。 ..AB.AC=6a2=6,AD.AC=3a2+d=5, 高考分类数学 参考答案 解得a=l,d=√2， :0<|Mi1≤1,0<cos0<1, 设P(x√2)(0≤x≤2)，且A(-1,0),C(2√2)， <i≤1， ∴pi=(-1-x,-√2)，PC=(2-x,0), 即N才的取值范围是（号，1门， .pi.Pt=(-1-x)(2-x)+(-√2)×0=x2-x-2 26.D由O才+Oi+O心=0，知点O为△ABC的重心， =--是 ∴a0=号×2(A市+a0=号ai+A0. “当x=号时，Pi,P心取最小值为-号 又：AE=2E第， 24.5A市=2D成A市=A市， EC-AC-A花=A心-号A花， 则A市=mAC+号A=mAC+AD, 9A0.E武=3(AB+C)·(C-号AB)=A$.心 2AB+3AC=AB·AC :CP,D三点共线m+子=1心m= 2迹=衣陪-√厚- :SaAe=号AB·AC·sin∠BAC=25,∴AB·AC=8, 27.AAC=BC=√2，AB.BC=-2, A市=AC+AB,∠BAC=号， Bi·BC=2, :AP=G4A衣+十1AB11 cos∠BAC+子AB 则1AB1cosB=√2， 又：sB=Ai+威Ad_A店 6AC+子AB+1≥2 VIGAC X AB+1=3, 2AB·B 2√2 i1.A店-2>成=2，∠0=90. 当且仅当AC=4,AB=2时，等号成立， 22 .A市1的最小值为3. 由PC=1可得，点P的轨迹为以C点为圆心，1为半径 25专分0iMm=2 的圆， 取AB的中点D,则PA+P克=2PD, ..MA NA=MA.(MA-MN)=MAI-MA MN ∴|Pi+Pix=21p市1x=2(C市1+1) -1-2-2: =2×(2V2+2+1)=4. 记∠AMN=0, 28.B以A为原点，直线AB和垂直AB的直线分别为x轴和 :Mi·M=1Mi·M·cos9=M·cos0=号>0， y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0), 又1M1>0,.0<cos0<1, MBI=IMCL ∴点M是线段BC的中点， :点M,N在线段BC上， ∴.0<1M1≤1， 在△AMN中，由余弦定理可得， NA=AM+MW-2AM·MN·cos0=1+MN-2Mi· BC-8CE,E(号，2)，=F20 MN=1+MN2-1=MN2, 迹=（号，2）.=(2x-日-又在亦-1 即Ni==2d 高考分类数学 参考答案 “×(2以-)-2×-1，解得 cos 2a)= 4+1sin(2a+0](其中am0=5. 3 3√3 又ae0,5)2a0e(0,2), 3 F号0，B20.C号号 C.C的最大值为+区，此时2a+0=吾， 4 直线BC的方程为y= -(x-2)=-√3(x-2), 即。=-号 :M为直线BC上的动点， .不妨设点M的坐标为(x,一√5(x一2)， 30.5-音由2市=3励，可得市=3迹. 迹=（合-，5(x-2).D脑=(x-号，-5(x-2) ∴.Cd=CA+AD=CA+3AB, 鸟. 由2C本-A市，可得A市-AC+C市=AC+号A市， A市.市=（号恋+沁·(3店-C=号A恋+号A店· M.Di=-(x-2)-3(x-2(x-名)=-4r+ AC-A衣=号×3+2×5X5 Xeos A--8= 则c0sA=7A=号△ABC为等边三角形， 当x瓷时M,D取最大值为-器 BC=AB=√3. 29.C以C为坐标原点，CB,CD所在 山 取线段BC的中点O,连接AO,则AO⊥BC,如图建立平面 直线为x,y轴建立平面直角坐标 直角坐标系，可得B(-.0).C号0) 系，设∠BDC=aa∈(0,2) 2 D 在Rt△ABD中， AD=3,∠BAD=否， 可得BD=5×5-=1, 3 即有B(sina,0),D(0,cosa), A(3 cos a,V3 sin a+cos a), -(CA+CB).(C+A). i=(-x受.市=(-号-多 可得M为线段AB的中点，N为线段AD的中点， 市=i+市-i+3=(-x-3.-3). 即有Mina十，5cosc,5sina+cosg. 2 2 :2C市=Ad,CF∥AD,CF=号AD. N(3cos a3sin a2cos a) 2 2 .C为线段AE的中点， 则Ci.Cd=↓(5 sin acos a+3cos2a+3sina+ ..AE=2 AC. 2√3 sin acos a十√3 sin acos a+2cos'a) sin acos2c+2/in 2+ ∴Pi=p财+花=p财+2C=(-x+5,-名)， 高考分类数学 参考答案 D市.E市=pbPt=(x+3y)x-B)+(-3)×(-2 =(/3x)2+(1-2.x)×(1-x)=5.x2-3x+1 -+-+停-是 +0 =5(x-10 4 当=高时，(D止+D)·D成取最小值为品 当x=-时，市.办最小最小值为-是 31.11-43在△ABD中，AB=√13，AD=3, ∠BDA=60°， 一由余弦定理得cOS∠BDA=AD+BD-AB 2AD·BD 解得BD 33.- 3 ,'△ABC为等边三角形，且D为线段BC的中点， 4, AD上BC,如图建立平面直角坐标系， .AD⊥CD,∴.∠ADC=90°，又∠BDA=60°，∴.∠BDC=30°， ·∠BD=135,∠DBC-15,si㎡∠DBC=1-030°_2-5 2 41 THET○ ·.sin∠DBC=6-E 4 DC 在△BCD中，根据正弦定理，可得sinBCD sin/DBC' BD 解得DC=2(√3-1)， :ADLCD,点E在线段AD上，Ed·D式=0 A0w5).B(-1.0).C1.0).B号5. 设1ED|=x,x∈[0,3]， ∴.EB·EC=(ED+DB)·(Ed+DC) .BE的方程为y= (x+D 2 =(ED)*+ED.DC+ED.DB+DB.DC =x2+x×4×c0s120°+4×2(3-1)×c0s30° 0点坐标为0受。 =x2-2x+12-45=(x-1)2+11-4W5, 0i=0.).0i=(-1,-. 当x=1时，E第·E式取得最小值11一4√5. 0.0i=0x(-10+9×(-9)=-子 4 32.1品设5E=,xe0, 34.-6(0.7-33 :在四边形ABCD中，AB=2D式， :△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB, 4 ∴∠BDE=30°，BD=2x,DE=√3x,DC=1-2x. AB-=4.BC=AD=2, :DF∥AB, .四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD,∠DAB=60°， △DFC是边长为(1-2x)的等边三角形，DE⊥DF, B配，D市共线， :AC=AD+D心-AD+号AB,动=A市-A店， ∴.12Bt+D=2.x+1-2x=1: “AC.d=(Ad+号AB)·(AD-A)=A市-号AB. :(D龙+D)·Di=(D求+D市)·(DE+E才) =D+D求.E才 市-a=4-合×4×2×号-×16=-6 :B.A市=4×2×号=4， 高考分类数学 参考答案 A$.武=4×2×(-号)=-4，A市.武=2×2×号=2， 而BD=√/13，BD=AD-AB. ∴.P2.PM=-13(1-)+(1-)AD.Bi+xAB.D求 “能-福-成=CA=Aa。 =13x-9以+2=13-易+器 ∴AE-AB+BE=AB+aBC,D求=A市-AD=AB-AD, :AE.D求=(AB+xBC)·(aAB-AD)=aAB-AB. ∴当X-品时，座.取最小值为器 A市+xAB.BC-AAD.BC<0, 37.5+13二3B.C=cos B=5成， .161-4-4x2-21<0,.2x2-71十2>0， 解得心7+丽或A1-33, .BC1cosB=√5，① 4 作CD⊥AB于点D,如图， 0<A<1,∴0<A<7-3 ∴A的取值范围是(0,7二Y愿) 35,号-智由题意，得成.衣=（成+应·（市+心 D ∴.AD=1,DB=√3，.AB=3+1. =(-AB+号AD)·(A市+号AB)=-号A亦+号A市 :AE=AEC,C市=Fi,a>0, 是A$.A市=-18+2-A亦.A市=-19， a证-产心.脉=中成=中C-. ∴AB.Ad=4,∴cos∠BAD= AB.AD ABAD6X23 故正.=a子a心-a市，=35 ++2 设D币=xDC=之AB,0≤<1， 1 则AP.B驴=(AD+D)·(BA+AD+D) :0+2≥>2A 十2=4，当且仅当λ=1时取 =(2A市+AD)·[(号-1)A市+A 等号可 =(号-立峦+市+以-1市.动 ∴A在.B亦<32 =9以r-18+4+4G-1)=9x2-14=9a-号)P-想。 即A花·萨的最大值为3一 9 :当入=子时，市，励取得最小值-9 8号贸由题意，A正=2成，市=5心. .BD.CE=(AD-AB).(AE-AC) 36,53由题意知CE-CM=-1 =(5AC-AB)·(2AB-AC) 则Mi·Bd=(M心+CE)·(BC+C市) =11AB.AC-5AC?-21AB?=22cos ZBAC-13, =MC.BC+MC.CD+CE.BC+CE.CD 22os∠BAC-13=-2,∴cos∠BAC=号， =2+0+0+3=5. 设PB=BD(0≤A≤1)，则P克=-入Bd,P市=(1-x)BD, “∠BAC∈(0，x,∠BAC=5 故P克·Pi=(P市+DE)·(P克+Bi)=[(1-a)Bd+ 设E市=λE市，A∈[0,1]， DE]·(-ABD+BM=-A(1-A)BD+(1-A)BD·BM ∴Bd.Cd=(B酡+E)·(C市+D) ABd·D求+Di.Bi, =[2AE+(AD-A]·[号AD+1-)(A花-AD] =(号-1-x迹+aa-号市+(0-0-2x)动. A正 高考分类数学 参考答案 =16(号-X01-0+25xG- )+（-0-2）X5x4X 当且仅当号A市=名A市，即1范=号A市=35时取 cos号 等号， =212-12入+7 .A1的最小值为5. =21以-号+2 41.[22,23] 23 根据菱形性质可得OC=√3，则BO=√6. “当入=号时，Bd.C巾取最小值为。 39.76由F=F市+D心+C=A市+D心+2C市= 2a市+号心+2C+号心=号a3+2Dd, 则1F衣1=2A+D心 如图，作AF1BC垂足为点F,则AF=25X5=22. 3 =2B+2AB·D心+D心 当E,F重合时，AE最短，当E与C重合时，AE最长， 故2√2≤AE≤25，则1Ei∈[2√2,25]： =2√+2×2x4×cos号+16=7： 以O为原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建 由EM=ED+心+CM=号A市+号D心+号C$+}D心 立如图所示的平面直角坐标系， 41 号+号心， i耐=（号A迹+号d(号A迹+号d=号A恋+ 号迹.心+D心=号+号×2×4×号+号=6. 40.-9√5：平行四边形ABCD的面积为9√3， 则A(0√3)，B(-√6,0)，C(0,-√3)，D(√6,0)， :A站·asim=95,得1A市·d=18, ∴直线5C的方程为y=竖一厅， ∴A市，D心-A市.A范=A市1·aBos年=一9： 设E(m,-2 m-3),m∈[-6,0]， 如图连接AE,则硫=之A市。 AE-Ai+号AD. 则威，动（二m,25+号m)后-m,9m十5） ∴a=A迹-号a+名a市=a证+（名-a市. 4” :E,F,D三点共线X+名-之A=1,得X= 故当m=一时，B·E功限小，最小值为婴 ∴A=A+5AD. 42.2由题意可得A正·A市=(AB+B)·(AD+D)=(AB+ “A亦=号A恋+需A市+号1A$1·市co经 含C·(成+)=A在+号C+(双+1)迹· BC,且AB-BC=4,AB.BC=2×2Xcos120°=-2， (号d+(号D)-5≥2X号×吾×·动1 5=5, ∴A花·a=是+专+（京+1D×(-2)=1,解得X=2.