专题九 解三角形-【一飞冲天·高考专项】2025年高考专题分类数学

高考分类数学 参考答案 专题九解三角形 4.解：(I).2 bcos C=2a+c, ÷由余弦定理，得26×心+C=2a十c, 1A“A=6曾可得：2amsB=3 os. 2ab 整理得a2+2-2=-ac, ∴.由正弦定理可得：2 sin Acos B=3 sin Ccos A-2 sin Bcos A, 可得3 sin Ccos A=2(sin Acos B+sin Bcos A)=2sinC, ∴osB=Q+2-B 2ac 2 nC≠0，可得oA-号血A-V厂o不-写。 :B∈(0，B=: 又“b=5sinB,由正弦定理a 里sin A sin B' (I):2sim(号+吾)cos(号+吾)-2sim(号+吾)=昌 131 可得会品B5,可得。=号 5nA+号)+eos(A+号)=借 3 2.c 3sinC-2sin Asin B.'cos C= 3sin'C 3c2 ∴2号mA+受)+cos(A+]=2 cos C 2sin Asin B 2ab 。+6-C,即a2=4d-6=4c-36, 即2anA+号+吾)待 2ab d=6+d-2kmsA=36+2-12c·2=36+d-6e, cosA-号 ∴.4c2-36=36+c2-6c,即c2+2c-24=0, 又A∈(0，子)sinA=V小-cosA=8, 解得c=4或c=一6（舍）. B=2C=x-B-A=苓-A, 3 3解：(I)在△ABC中，由正弦定理AmB可得inA= osC=cos(5-A)=cos号cosA+sin号sinA asin B, 由bsin A=-acos(B+若)，得asin B-=acos(B+吾). -号×+号×-12 5.解：(I),(2a-b)sinA+(2b-a)sinB=2 csin C, 即mB=as(B+吾)=sB-B,得anB= 3 ∴.由正弦定理可得(2a-b)a+(2b-a)b=22, 又B∈0，B=晋： 即a2+6-c2=ab, ∴cosC=。+B-C- (Ⅱ)在△ABC中，由余弦定理及a=2,c=35,B=吾， 2ab 2, 0<Cπ 得=a2+c2-2 accos B,故b=√13. i'.cos c-at5v13 C-肾 26 又C∈(0，x), 2ab (D由anA-受A∈(0，，可得A为锐角， ..sin C=3v39 26 osA=2y5,imA=四 7 7 sin 2C=2sin Ceos C--15/3 26· cos 2C=2cosC-1=- 1 .sin 2A-2sin Acos A,cos 2A2co1 7 26 .sin(2A-C)=sin 2Acos C-cos 2Asin C 六sin(2C-B)=sin2Ccos否-cos2Csin8 26 高考分类数学 参考答案 6C由题意相55=c·smA-子c,号解得e=5 4 1o号 “usin C-ams(A-子)=0∴2 asin C=c(9。 2cos A+ 由余弦定理得asA=一名-公十d-3十d 2bc 2×3×5 号nA,即asin C=之((eeosA-十-sin A0.由正弦定理可 .a=7 得sin Asin C号(sin Ceos A+sin Csin A),'sinC≠0 7.D由题意得8 acsin B=3(a2+c2-b), 即4sinB=3.a2+2-E】 六mA=0sA.:A∈0，xA=子∴osA= 2 由余弦定理可得4sinB=3cosB, 11.解：(I).sinA:sinB:sinC=2:1:√2， sin B0.:.cos B0.'.tan B-sin B-3 由正弦定理可得a:b:c=2:1:√2， cos B 4' .b=√2，∴.a=2√2，c=2: 8.解：(I):6+c2-bc=a2,.b+e2-a2=bc. (Ⅱ)由余弦定理可得， 由余弦定理的推论：得A么-宁· 2bc cosC=公+B-C=8+2-4 3 2ab 2×2√2×√2 4 A∈(0，xA=5 )cosC-子sin C=V/个=eosc-互 4 由已知条件，应用正弦定理，得 v3 sin C=sin(A+B)cos B+sin B ∴sin2C=2 sin Ceos C=2x7×3=3y7 4481 sin B sin B 11 cos2C=2cos2C-1=2×9 8· ∴sin(2C若)=sin2Ccos否-cos2Csin8 即2B, 1-321-1 16 f.tnB 12.解：(I),'(sinA-sinB)2=sinC-sin Asin B, (:b=2,号=号+5=1+25. ∴.由正弦定理，得(a-b)2=2-ab,即a2+6-c2=ab, Sc=白女mA-号×2X1+28)×号-9+3： amc-+-盒合 2ab 2 :Ce0)C=吾： (Ⅲ)anB=7B∈(0，受)， (Ⅱ)：a=3b,.9b+2-c2=36,即c=√7b. ..sin B=V5 5 由正弦定理，得sinC=√7sinB, ∴sn2B=2 2sin Beos B=号6os2B=cosB-sinB=号 ·sinB=V②I 141 :A=晋 .'ba, .cos(A+2B)-coscos 2B-sinsin 2B B∈(0，受).e0sB=V/-simB=57 14 10 in 28-2sin leos 9子由题意，得△AC的面积S=子anC-+行之 4 ·cos(2B+C)=cos(2B+)=cos2Bcos苓-sin2Bsin5 nC=+5之=6osC.0<C<xC=子 2ab ×号×9= 高考分类数学 参考答案 13.解：(I)“simB-sin Cb-a sin A 2 由正弦定理可得，是。名整理可得心+8-=ab, 又a-b=1,解得a=3,b=2. 由余弦定理得c2=a2+b-2 abcos C=7,解得c=√7， ∴cosC=42+B-c2=ab_1 2ab 2ab-2· osA=+c-a2-厄 2be 14 又C∈(0，π)， C-=晋； （)油正弦定理Ac得sinA=3图 14 (II)cosA .in 2A-2sin Acosco2co 14 3 .cos(2A-C)=cos 2Acos C++sin 2Asin C nA=-s-5, =(13 142 可得sin2A=2 sin Acos A=2×E×5-2E】 16.(I)'.'2a-c=2bcos C,.'.2sin A-sin C=2sin Bcos C. 3 .'2sin(B+C)-sin C=2sin Bcos C, 0s2A-20sA-3=2x号-1=-月 3 整理得sinC=2 cos Bsin C. '.sin(2A-C)=sin 2Acos C-cos 2Asin C 1 ,sinC≠0，.cosB= 2 3 2 6 B=受，从而AC+B=2 2 14.解：(I)由题意，得sinA+sinB-sin2C=√3 sin Asin B, 故sin(A;C+B)=sin红= 由正弦定理，得a2+b-c2=√3ab, 2 3 2 由余弦定理，得cosC=。+-c- (Ⅱ)由(I)得sinB=】 2ab 21 2 ∴A点c品B授-2，从雨a=2如A2mC b 又Ce(0,mC-5: 2 (Ⅱ)：b=1,c=√7， ∴c-a=2sinC-2sinA=2sin(5-A）-2sinA 小由正装定理品B品C得血B宫， C 14 -3 cos A-sin A=2sin(-A). .'b<c,..B<C,.'.cos B0, cosB=V个-sinB=3V2I :A+C-爱0<A<晋-晋<骨-A<骨， 3 14 .'cos(B-C)=cos Bcos C++sin Bsin C ·-3<2sim(琴-A)<3, 悟x+将×- 故c一a的取值范围为（一√3W3). 14 17.解：(I)根据题意，由正弦定理有√3 sin Acos B= cos 2(B-C)=2cos(B-C)-1-11 14 sin Bsin A, 15.解：(I)由√3 acos C.-csin A=0, ,A为△ABC的内角，∴.sinA≠0. 得√3 sin Acos C-sin Csin A=0, V3cosB=sinB,即tanB=VB,由0<B<x,可得B=号： .'sinA>0,∴.√3cosC-sinC=0,即tanC=√3 (D)cs A=0<A< .3 :0<C<C=子 高考分类数学 参考答案 小sinA=V-cosA= 19.解：(I):2 asin A=(2b+c)sinB+(b+2c)sinC, 3 ∴.由正弦定理可得2a2=(2b+c)b十(b十2c)c, sin2A=2 2sin Acos A=2/延 9 即b+2-a2=-bc, c0s2A=2cs2A-1=-号， casA-8+d=-含：A∈0RA- 2bc (Ⅱ)由(I)可得6+c2=a2-bc=12-bc, 而casB=名sinB- 2 且b+c≥2bc,∴.12-bc≥2bc,解得bc≤4，当且仅当b=c= .'sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B 2时等号成立， -2×名-(-8)×2特55， 9 2 18 ∴5am=snA-9≤5， (Ⅲ)由余弦定理知a+c2-2 accos B=b, ∴.△ABC面积的最大值为√5. 又b=2,c=2a,cosB=2 1 3a=4,解得a=23 3 18.解：(I)c0sB+besC=2c0sA' 由正弦定理得sin Ceos B+-sin Beos C=,sinA 2cos A' 从而有sin(B十C)= 2cosA,即sinA= sin A sin A 2cos A' :0<A<不，∴sinA≠0，cosA=2: A- 3 (Ⅱ)由题意得，sinB=V-cosB=5 sin 2B-2sin Beos B-2 3 ,cos 2B=2cos'B-1=- 3 .'sin(2B-A)=sin 2Bcos A+cos 2Bsin A 3 2 6 （sa-ksnA=名×号-5， 2 31 灰=9 由余弦定理得，a2=62十2-2 bccos A=(b十c)-2bc- 2bccos A. 即9=(6十c)-3×号，解得6什c=5a+6十c=8. .△ABC的周长为8.一心冲天 专题九 解三角形 基础题 考点1利用正、余弦定理解三角形 1.(2020·耀华中学一月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2a3C26, cosA cos B 且b=√/5sinB,则a= A号 B号 c号 D 2√5 3 2.(2020·河西一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足3simC cos C =2sin Asin B, 且A=受，b=6,则c= A.2 B.3 C.4 D.6 3.(2024·河东二模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin A=acos(B+x 6 (I)求角B的大小 (Ⅱ)设a=2,c=3√5，求b和sin(2C-B)的值. 专题九解三角形 4.(2023·南开中学校模)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且2 bcos C=2a+c. (I)求角B的大小； (I)若25sin(号+吾os(合+吾)-2sin(号+晋)-号求cosC的值. 飞冲天 5.(2022·和平一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2a-b)sinA+(2b-a) sin B-2csin C. (I)求角C的大小； (I)若tanA-,求sin(2C的值. 高考专题分类数学 考点2三角形面积公式的应用 6.(2020·河东一模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=2,6=3,△ABC的面 3 积为5 ,则a的值为 A.√19 B.⑨1 C.7 D.49 2 7.(2022·河西三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若3c2= 16S+3(b-a2),则tanB= A号 B多 D 8.(2023·和平二模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设a,b,c满足条件+c2-bc=a (I)求角A的大小和tanB的值； (Ⅱ)若b=2,求△ABC的面积； (Ⅲ)求cos(A+2B)的值. 飞冲天 天 一冲天 》提升题 9.(2020·杨村一中一月考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为 a2+6-c,则C= 4 10.(2020·部分二模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2 asin C--ccos(A 0,则cosA= 11.(2021·天津)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinA:sinB:sinC= 2:1:2,b=2 (I)求a的值； (Ⅱ)求cosC的值； (Ⅲ)求sin(2C-否)的值. 冲天 THET○P 飞冲天 一冲天 专题九解三角形 12.(2023·耀华中学三月考)已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(sinA一sinB)2 14.(2021·南开一模)在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c.已知(2sinA一 =sin2C-sin Asin B. 3sin B)2=4sin'C-sin2B (I)求角C的大小： (I)求角C的大小； (Ⅱ)若a=3b,求cos(2B+C)的值. (Ⅱ)若b=1,c=√7，求cos2(B-C)的值. 飞冲天 飞冲天 13.(2022·河北一模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin A b+c sin B-sin C b-a' 1品.(2020·南开一模)在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，若△ABC的面积为 (I)求角C的大小； w3○ ,a-b=1,3acos C-csin A=0. (Ⅱ)若cosA=3 ,求sin(2A-C)的值 LY TO THE 飞冲天 一飞冲天 I)求c及cosA; (Ⅱ)求cos(2A-C)的值 高考专题分类数学 16.(2020·和平三模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a一c=2 bcos C. (I)求sin(A,C+B)的f值； 2 (Ⅱ)若b=√3，求c一a的取值范围. 飞冲天 17.(2021·耀华中学模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足√3 acos B= bsin A. (I)求角B的大小； ()若asA=号求m(2AB)的值： (Ⅲ)若b=2,c=2a,求边a的值. 一心冲天， 18.(2021·天津一中三月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足ccos B+bcos C= a 2cos A' (I)求角A的大小； (I)若cosB=号，求sin(2B+A)的值： )若△ABC的面积为3.a=3,求△ABC的周是 飞冲天 风.(2021·南开中学四月考)在△ABC中，内角A,B.C的对边分别为ab.c,若2asnA=(2b+Osin B+ (62c)sin C. (I)求角A的大小： (Ⅱ)若a=2√3，求△ABC面积的最大值