小题训练7（对数与对数函数）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练7（对数与对数函数） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 2．函数（且）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 5．2022年8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了第二次青藏高原综合科学考察．在科考期间，陈院士为同行的科研人员讲解专业知识，在空气稀薄的高原上开设了“院士课堂”．已知某地大气压强与海平面大气压强之比为b，b与该地海拔高度（单位：米）满足关系：（k为常数，e为自然对数的底）． 若科考队算得A地，海拔8700米的B地 ，则A，B两地的高度差的绝对值约为（，）（    ） A．3164米 B．4350米 C．5536米 D．6722米 6．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递增 11．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 三、填空题 12．计算： . 13．已知函数，则的值为 . 14．规定记号""表示一种运算，即，若，函数的图象关于直线对称，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练7（对数与对数函数） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】将代入函数求出的值，再用换元法，利用对数运算化简即可得出结论. 【详解】因为函数，则, 令，则， 又因为， 所以， 所以， 故选：B. 2．函数（且）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数，对数函数的性质，令，求出函数恒过的点的坐标. 【详解】当时，恒等于0，恒等于1， 故恒等于，所以的图象恒过的定点是. 故选：B 3．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，两种情况进行讨论，结合绝对值不等式的求解以及对数函数的性质即可求出实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，解得； 当时，由，可得，解得； 综上所述， 故选：D. 4．函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是奇函数可得关于成中心对称，先解出当时的解，即可利用对称性得不等式的解. 【详解】∵是奇函数， ∴，即关于点对称． 又函数的定义域为，故． 当时， 令，即，解得． 根据对称性可知当时，． 综上所述，的解集是． 故选：B． 5．2022年8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了第二次青藏高原综合科学考察．在科考期间，陈院士为同行的科研人员讲解专业知识，在空气稀薄的高原上开设了“院士课堂”．已知某地大气压强与海平面大气压强之比为b，b与该地海拔高度（单位：米）满足关系：（k为常数，e为自然对数的底）． 若科考队算得A地，海拔8700米的B地 ，则A，B两地的高度差的绝对值约为（，）（    ） A．3164米 B．4350米 C．5536米 D．6722米 【答案】A 【分析】设地海拔高度为，由题意可得，，解方程可得，进而求解. 【详解】设地海拔高度为， 由已知可得，， 则，， 所以， 所以（米）. 故选：A. 6．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，再由可得答案. 【详解】∵在上单调递增，∴，∴， 所以， ∵，， ∴，，∴. 故选：B. 7．已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性可求得是以4为周期的周期函数，可判断A错误，代入计算可得B正确，结合周期性计算可得，即C错误，易知可得D错误. 【详解】依题意可知，； 所以，即， 因此，即， 所以可得，即是以4为周期的周期函数， 对于A，由分析可知，即A错误； 对于B，由，可知； 显然，所以， 所以，即B正确； 对于C，易知，可得C错误； 对于D，显然，即D错误. 故选：B 8．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式结合指数幂和对数函数的运算以及指数与对数的互化可得. 【详解】，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 二、多选题 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质可判断B的正确，利用对数函数的性质可判断D的正误，利用反例可判断BC的正误. 【详解】因为，且，由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故A成立. , 当且仅当时等号成立，故C正确. 对于B，取，则，故B错误. 对于D，因为，故，而，故， 故，故D成立， 故选：ACD. 10．已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递增 【答案】AB 【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最值，利用单调性解函数不等式。 【详解】由题意可得，解得，即的定义域是，则A正确； ，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则B正确； 因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以不等式的解集是，则C错误； 因为在上单调递减，所以D错误． 故选：AB. 11．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BD 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误. 故选：BD. 三、填空题 12．计算： . 【答案】1 【分析】根据对数运算法则即可求解． 【详解】 故答案为：1 13．已知函数，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据条件，构造奇函数，根据条件，利用换底公式得，再利用的奇偶性即可求出结果. 【详解】因为，所以恒成立， 又，所以， 令，易知的定义域为， 又， 所以为奇函数，又， 所以，得到， 又，所以， 故答案为：. 14．规定记号""表示一种运算，即，若，函数的图象关于直线对称，则 . 【答案】1 【分析】根据新运算的定义，得到函数解析式为，再根据函数图象关于直线对称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】由题意可得：，， 则函数有四个零点，从大到小依次是，，，， 因为函数的图象关于直线对称， 所以与关于直线对称，与关于直线对称， 所以，解得 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于由函数新定义得到函数解析式，确定函数零点，再由对称性，即可求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $