小题训练6（指数与指数函数）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练6（指数与指数函数） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 2．已知函数，则“”是“函数是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】当函数为偶函数时，求得.结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】函数的定义域为R，关于原点对称， 当函数为偶函数时，， 即，整理，得， 由，解得. 又，得， 所以“”是“函数为偶函数”的必要不充分条件. 故选：B. 3．2021年9月24日，继上世纪60年代在世界上首次完成人工合成结晶牛胰岛素之后，中国科学家又在人工合成淀粉方面取得颠覆性､原创性突破——国际上首次在实验室实现二氧化碳到淀粉的从头合成.网友戏称这一技术让“喝西北风”活着成为可能.从能量来源看，该技术涉及“光能一电能一化学能”等多种能量形式的转化，从技术流程上，该工艺分为四个模块：第一步是利用光伏发电将光能转变为电能，通过光伏电水解产生氢气，然后通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原成甲醇，将电能转化为甲醇中储存的化学能；第二步是将甲醇转化为三碳；第三步利用三碳合成六碳；最后一步是将六碳聚合成淀粉.在这个过程中的能量转化效率超过，远超光合作用的能量利用效率.经过实验测试，已知通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原生成甲醇的浓度与其催化时间（小时）满足的函数关系式为，且.若催化后20小时，生成甲醇的浓度为，催化后30小时，生成甲醇的浓度为.若生成甲醇的浓度为，则需要催化时间约为（    ）（参考数据：） A．23.5小时 B．33.2小时 C．50.2小时 D．56小时 【答案】B 【分析】根据题意列方程组求得和的值，从而求出的表达式，令解方程即可求解. 【详解】由题意得解得，所以， 令，所以，所以， 故小时. 故选：B. 4．已知函数，其中为常数，若函数 的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得. 【详解】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 5．已知函数的定义域为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又进而可得，可判断C；由及可判断D. 【详解】对于A，令，则， 又，则，所以，故A错误； 对于B，令，则， 又，，所以，则，故B错误； 对于C，令，则， 又，则， 由上可知，故，， 所以，故C正确； 对于D，由，则， 所以， ， 由选项C中分析知，所以，故D错误. 故选：C. 6．已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨函数的性质并画出函数图象，然后把方程仅有4个不相等的实数根，转化为函数图象与直线有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 方程仅有4个不相等的实数根，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， ∴实数的取值范围是. 故选:A. 7．函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，排除BC，当时，，当时，，A不满足，排除，得到答案. 【详解】，排除BC；当时，，当时，，A不满足，排除. 故选：D 8．已知函数，若方程有三个不同的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意，易知为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称，再根据直线也关于点对称，即可得答案. 【详解】由题意，因为，所以为奇函数， 由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的， 所以的图象关于点对称. 而所表示的直线也关于点对称， 所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以. 故选：B. 二、多选题 9．设，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用指数函数，幂函数单调性比较大小，利用基本不等式比较大小即可. 【详解】对于A，，由指数函数单调递增，，即，故A正确； 对于B， ， 等号成立条件，由于，显然等式不成立，故最大值比0小， 所以最小值不可能为4，故B错误； 对于C，由已知，，，即，故C正确； 对于D，，由幂函数单调递增，，即，故D正确， 故选:ACD. 10．已知定义：则下列命题正确的是（    ） A．， B．若，则 C．， D．若，则 【答案】AC 【分析】根据分段函数每段定义及解析式，并结合指数幂运算法则可对A项进行判断，取特殊值可对B、D项判断，分情况讨论可对C项判断. 【详解】对于A：，故A项正确； 对于B、D：令，，则，，故B项错误； 则，，故D项错误； 对于C：当时，，成立， 当时，， 因为，，所以， 当且仅当，即时取等号，所以，成立，故C项正确. 故选：AC. 11．已知函数的定义域为，值域为，且，则（   ） A． B． C． D．是增函数 【答案】ABC 【分析】取可判断A，取，可判断B，令，得到，进而利用基本不等式可判断C，取反例，可判断D. 【详解】对于A，取，则由已知等式得到,即， 又因为值域为,所有，故，故A正确； 对于B，取，则，即，故B正确， 对于C，令，则，即， 注意到，所以， 所以，故C正确； 对于D，取，则，符合题意，但此时是减函数，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由二次函数的值域为，分析求出参数，然后代入中求出值域即可 【详解】由二次函数的值域为得： 解得：或（舍去） 所以 因为 所以函数的值域为： 故答案为：. 13．已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解， 【详解】由函数与均在上单调递增， 故在上单调递增， 而为上的奇函数，故在上单调递增， 等价于，得， 故答案为： 14．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数λ的值为 ． 【答案】或 【分析】 由已知函数有唯一零点，结合偶函数的性质，证明函数为偶函数，根据条件列方程求λ的值. 【详解】 因为函数有唯一零点， 所以函数有唯一零点， 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以函数为偶函数，又函数有唯一零点， 所以函数的零点为， 所以， 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 又由可得，所以， 所以 解得或． 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练6（指数与指数函数） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 2．已知函数，则“”是“函数是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．2021年9月24日，继上世纪60年代在世界上首次完成人工合成结晶牛胰岛素之后，中国科学家又在人工合成淀粉方面取得颠覆性､原创性突破——国际上首次在实验室实现二氧化碳到淀粉的从头合成.网友戏称这一技术让“喝西北风”活着成为可能.从能量来源看，该技术涉及“光能一电能一化学能”等多种能量形式的转化，从技术流程上，该工艺分为四个模块：第一步是利用光伏发电将光能转变为电能，通过光伏电水解产生氢气，然后通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原成甲醇，将电能转化为甲醇中储存的化学能；第二步是将甲醇转化为三碳；第三步利用三碳合成六碳；最后一步是将六碳聚合成淀粉.在这个过程中的能量转化效率超过，远超光合作用的能量利用效率.经过实验测试，已知通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原生成甲醇的浓度与其催化时间（小时）满足的函数关系式为，且.若催化后20小时，生成甲醇的浓度为，催化后30小时，生成甲醇的浓度为.若生成甲醇的浓度为，则需要催化时间约为（    ）（参考数据：） A．23.5小时 B．33.2小时 C．50.2小时 D．56小时 4．已知函数，其中为常数，若函数 的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 5．已知函数的定义域为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若方程有三个不同的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 二、多选题 9．设，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C． D． 10．已知定义：则下列命题正确的是（    ） A．， B．若，则 C．， D．若，则 11．已知函数的定义域为，值域为，且，则（   ） A． B． C． D．是增函数 三、填空题 12．已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 13．已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 . 14．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数λ的值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $