精品解析：西北大学附属中学2025-2026学年上学期八年级第一次数学月考试卷

八年级（上）数学周末限时练习（四） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中是无理数的是（ ） A. π B. C. D. 0 2. 在中，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点，在第四象限的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列函数：①，②，③，④．其中是一次函数的是（ ） A. ③④ B. ①④ C. ①③④ D. ②④ 5. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏.如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A. 小汽车共行驶 B. 小汽车中途停留 C. 小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D. 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是OB上一点，将沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则代数式的值为（ ） A. 44 B. C. D. 36 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 当______时，函数是正比例函数． 10. 已知，则的平方根等于______． 11. 已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________ 12. 已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是__________． 13. 如图，四个全等的直角三角形围成了正方形和正方形，连接，分别交于点P，Q．已知，正方形的面积为30，则图中阴影部分面积和为_______．． 14. 如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____． 三、解答题（共58分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 16. 已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 17. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）是△ABC的顶点． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出点C1的坐标； （3）求AC1的长． 18. 已知：在平面直角坐标系中，，，， （1）求的面积； （2）设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 19. 【问题提出】（1）如图，在中，，，平分交边于点，点为边上的一个动点，连接，则线段长的最小值为________． 【问题探究】（2）如图2，在中，，，点为边的中点，且，的两边分别交、于点、．求四边形的面积． 【问题解决】（3）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一片室内健身休闲区．如图，为小区的大致示意图，设计师将小区分成、、和四部分，其中在、和三区建造三栋居民楼，在区域修建室内健身休闲区．根据设计要求：，，点、点、点分别在边、边和边上，且点为边的中点，，为了尽可能给居民更加宽阔的健身空间，全民健身区的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）数学周末限时练习（四） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中是无理数的是（ ） A. π B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的概念：无限不循环小数．根据无理数的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：是无理数，故该选项符合题意； ，故该选项不符合题意； 是分数，是有理数，故该选项不符合题意； 0是有理数，故该选项不符合题意； 故选A． 2. 在中，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形性质，由，得，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 3. 下列各点，在第四象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．（3，2）在第一象限，故A选项错误；B．（3，-2）在第四象限，故B选项正确；C．（-3，2）在第二象限，故C选项错误；D．（-3，-2）在第三象限，故D选项错误． 4. 下列函数：①，②，③，④．其中是一次函数的是（ ） A. ③④ B. ①④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的识别，一般地，形如（b、k为常数，）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③不是一次函数， ④是一次函数， 故选：B． 5. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏.如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是根据棋子“马”和“车”的点的坐标得出原点的位置． 【详解】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：． 故选：B． 6. 在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A. 小汽车共行驶 B. 小汽车中途停留 C. 小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D. 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从函数图像中获取信息，涉及行程问题公式：路程速度时间，数形结合逐项判断是解决问题的关键． 【详解】解：A、由图可知，小汽车共行驶，选项正确，不符合题意； B、由图可知，小车在1小时到1.5小时之间，路程没有变化，中途停留，选项正确，不符合题意； C、小车前3小时共行驶，故小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时，选项正确，不符合题意； D、由图可知，小汽车自出发后3小时至5小时是匀速行驶，速度不变，选项错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是OB上一点，将沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，再求出AB=5，可得，然后在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴OA=3，OB=4， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 8. 若，则代数式的值为（ ） A. 44 B. C. D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】先将变形为，再由得到，最后代入求解即可 【详解】解：，则， ， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，合理将原式变形并正确计算是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 当______时，函数是正比例函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据形如式子为正比例函数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵函数是正比例函数 ∴ 解得 故答案为： 10. 已知，则的平方根等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式组，解不等式组，求出x的值，从而求出y值，再代入根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， ∴ ∴的平方根 故答案为：． 11. 已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】先估算出，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键． 12. 已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是__________． 【答案】3或7 【解析】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍， ∴， 解得或， 故答案为：3或7． 13. 如图，四个全等的直角三角形围成了正方形和正方形，连接，分别交于点P，Q．已知，正方形的面积为30，则图中阴影部分面积和为_______．． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，可证明得到，；根据推出，则可得到，进而可证明；设，则，可得；由勾股定理得，由正方形面积计算公式可得，则，可得． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ； 在中，由勾股定理得， ∵正方形的面积为30， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____． 【答案】14 【解析】 【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点． ， ， ， ， ， 为等边三角形 ， 的最大值为， 故答案为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题 三、解答题（共58分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再去绝对值和计算乘方，最后根据二次根式的加减计算法则求解即可； （3）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式减法即可得到答案； （4）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或． 16. 已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 17. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）是△ABC的顶点． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出点C1的坐标； （3）求AC1的长． 【答案】（1） 如图，△A1B1C1即为所求； （2）（1，1） （3）5 【解析】 【分析】（1）根据A（-3，2），B（-4，-3），C（-1，-1）和轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）结合（1）即可写出点C1的坐标； （3）根据网格利用勾股定理即可求AC1的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知：C1（1，1）； 【小问3详解】 AC1==5． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 18. 已知：在平面直角坐标系中，，，， （1）求的面积； （2）设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求可得的面积，则根据三角形面积计算公式可得，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作轴于D， ∵，，， ∴， ∴； ∴ ； 【小问2详解】 解：∵的面积是的面积的2倍，的面积为4， ∴的面积为8， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 19. 【问题提出】（1）如图，在中，，，平分交边于点，点为边上的一个动点，连接，则线段长的最小值为________． 【问题探究】（2）如图2，在中，，，点为边的中点，且，的两边分别交、于点、．求四边形的面积． 【问题解决】（3）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一片室内健身休闲区．如图，为小区的大致示意图，设计师将小区分成、、和四部分，其中在、和三区建造三栋居民楼，在区域修建室内健身休闲区．根据设计要求：，，点、点、点分别在边、边和边上，且点为边的中点，，为了尽可能给居民更加宽阔的健身空间，全民健身区的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的最小值是；（2）四边形的面积为；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理，先求出的长度，然后当时，线段取到最小值，根据面积的方法进行解题，即可求出答案； （2）作于，于，连接．先证明四边形是矩形，，则，然后求出面积即可； （3）由（2）可得四边形的面积为四边形的面积，，当分别与重合时，，取得最小值时，进而，即可求解． 【详解】解：（1）＝＝， 是等腰三角形， 平分交边于点， ，， 由勾股定理，则， ， 由题意，当时，线段取到最小值，如图 ， ， 的最小值是． （2）如图所示，作于，于，连接 在中，， 是等腰直角三角形， 为的中点， 则是等腰直角三角形 又， ， ， ， ， ， 在中，，，点为边的中点， 是的角平分线， ， （）， ， ， ． （3）如图所示， 由（）可得四边形的面积为四边形的面积， ， ， 四边形的面积为， ， 取得最小值时，的面积取得最大值， ， 当分别与重合时，， 此时取得最小值时，最小值为， 全民健身区的面积的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $