小题训练2不等式性质与一元二次不等式-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练2（不等式性质与一元二次不等式） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 3．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．命题：，为真的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，当取到最小值时，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 二、多选题 9．已知，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 11．已知a，b均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 12．已知不等式的解集为，则不等式的解集为 13．已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为 ． 14．已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练2（不等式性质与一元二次不等式） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由不等式的解集为空集， 根据二次函数的性质，则满足，解得. 即实数的取值范围是. 故选：A. 2．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】通过转换主参变量的方法来求得的取值范围. 【详解】依题意，对任意的实数，不等式恒成立， 整理得，令， 则，解得或. 故选：A 3．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【详解】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 4．命题：，为真的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意在上恒成立，得，进而得，即得. 【详解】因命题为真，故在上恒成立， 故，解得， 故命题为真的一个充分不必要条件为的子集， 故选：B 5．已知实数满足，当取到最小值时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，结合二次函数的性质可知，进而得解. 【详解】因为， 所以， 当，取到最小值，此时可得． 故选：D 6．已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先按a的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到a与b 的关系，结合a的范围，求得的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者. 【详解】， ①当时，，对称轴为， 在上单调递增， 所以，则， 所以. ②当时，，对称轴为， 在上递增，在上递减， 所以，则， 所以. ③当时， 若，，； 若，， . 当时，， ，； 当时，， ，. 综上所述：的最小值为. 故选：C. 7．关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 8．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用三角换元转化目标式为，即可得结果. 【详解】因为，且， 所以设． 则， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 综上，的最小值为 故选：C 二、多选题 9．已知，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可. 【详解】对于A项，，因为，所以，所以， 所以，即：，故A项错误； 对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确； 对于C项，，因为，所以，，， 所以，即：，故C项错误； 对于D项，因为， 又因为，所以，， 所以，即：，故D项正确. 故选：BD 10．已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 【答案】ACD 【分析】A选项，由开口方向，与轴交点，及对称轴，求出的正负，得到A正确；B选项，当时，数形结合得到函数随着的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到，求出. 【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故， 对称轴为，故， 图象与轴交点在轴正半轴，故， 所以，故，A正确； B选项，因为，故， 因为，所以， 当时，随着的增大而减小， 所以时，取得最大值，最大值为，B错误； C选项，因为，所以， ， 故不等式变形为， 因为，，解得：或，故C正确； D选项，，当时，取得最小值，最小值为， ，当时，取得最小值，最小值为， 所以，即，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 11．已知a，b均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用基本不等式即可解得； 对于B，结合代换即可用基本不等式解决； 对于C，消元变为给定范围内二次函数最值问题； 对于D，结合代换即可用基本不等式解决. 【详解】对于A， 因为a，b均为正实数，且， 所以， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B， ， 当且仅当即时，等号成立，故B错误； 对于C， ， 当时，的最小值为，故C正确； 对于D， ， 当且仅当即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】 【分析】 根据韦达定理求出，代入解二次不等式即可. 【详解】由不等式的解集为，则， 则，则，即为， 解得：. 故答案为： 13．已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，分、、三种情况，结合一元二次方程的解法分别求解即可． 【详解】由题意可得，① 令， 若，则以及，则，即； 由①式消去c，得， 即，即或； 所以，解得， 时“”成立，故； 若，则以及，则，即； 由①式消去c，得， 即，② 当时，②式成立； 当时，由②式得或， 所以，解得，故， 时“”成立，所以， 若，则以及，则，即， 由①式消去a，整理得， 即，即或， 所以，解得， 时“”成立，故． 综上所述，，取“”成立时，或， 故． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 14．已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【详解】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $