小题训练1（集合与常用逻辑用语）-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学小题训练1（集合与常用逻辑用语） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】由不等式可知，“”是“”的充分条件；取，可知“”不是“”的必要条件，即得答案. 【详解】当时， ，成立， “”是“”的充分条件. 当时，取，不满足， “”不是“”的必要条件. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分必要条件，属于中档题. 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 3．已知平面，和直线，，且，则“”是“且”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将“”与“且”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“”时，可能在或内，不能推出“且”.当“且”时，由于，故“”.所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选B. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题. 4．已知函数图象过点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意知，当函数值时，自变量可以是1，但也可能是其他值，结合充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】因为函数的图象过点，当时，；但当函数值时，自变量可以是1，但也可能是其他值，所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 5．设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则 其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断． 【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S. 对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对； 对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对； 对于③，若l=，可得，则.∴③对 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题. 6．设函数，则“”是“”都恰有两个零点的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据二次函数零点的分布情况，从充分性和必要性进行推理论证，即可容易判断选择. 【详解】显然是的最小值，若有两个零点， 设，且，由得或， 由题意只有两个零点，因此无解，有两个不等实根， 即，，必要性得证， 若，由于，因此有两个零点， 设为，不妨设，由得或， 显然无解，有两个不等实根， 即有两个零点，充分性得证， 故题中是充分必要条件， 故选：C. 【点睛】本题考查充要条件的证明，涉及二次函数的零点分布，属综合中档题. 7．已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“全称量词命题的否定为存在量词命题”，得到. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以为“”. 故选：A. 8．设是直角坐标平面上的任意点集，定义，，．若，则称点集“关于运算对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，则，，从而由，，分别求出，，，再根据点集“关于运算对称”的定义依次分析判断即可得出答案． 【详解】解：令，， 则，， ， ，，故； ， ，即，故； ， ，即，故； 所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个. 故选：B. 二、多选题 9．已知集合，，则（    ） A．当时，集合含有2个元素 B．集合中的元素个数可能为5 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件，可验证AD正确；通过举例子可判断B正确；通过举反例可排除C项. 【详解】对于A，当时，则，，此时，故A正确； 对于B，取，，则，，此时，故B正确； 对于C，取，，此时，，，而有，故C错误； 对于D，当时，，， 根据集合元素的互异性，必有， 若，则两集合除0外的元素也应相同，即， 这需要满足“且”（显然不成立）或“且”，后者要求， 与集合B元素互异性的要求矛盾，故假设不成立，因此，故D正确， 故选：ABD． 10．给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 11．对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的新定义得到A正确，当时，，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，且，C正确； 和均表示集合中阴影部分，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知全集，集合满足：，且当时必有，则 . 【答案】 【分析】利用反证法，假设不是正整数集，结合题意条件推出矛盾即可. 【详解】若为的真子集，则为由部分正整数组成的非空集合， 故中存在最小元素，故，从而，于是， 因为，若，由的性质可知，这与矛盾， 所以，但这又与是中的最小元素矛盾，所以不是的真子集， 即. 故答案为： 13．已知集合，若存在非空集合，使得，且集合的所有元素之和等于集合的所有元素之和，则称集合为“优美集合”. （1）若集合是“优美集合”，则的所有可能取值之和是 （2）若集合的所有元子集都是“优美集合”，则的最小值是 . 【答案】 【分析】对于第一空，分类讨论B中元素个数，结合“优美集合”定义可得答案； 对于第二空，由题可得满足题意的为奇数，随后可得时不满足题意，随后注意到满足题意，据此可得答案. 【详解】对于第一空，由的对称性可设中至少有两个不同的元素. 若，则，从而； 若，则，从而，不满足互异性； 若，则，从而； 若，则，从而. 综上，可为或5或9，则的所有可能取值之和是； 对于第二空，将集合A中元素之和记为， 因集合的所有元子集都是“优美集合”， 则存在非空集合，使得，则为偶数. 若为偶数，可得均为偶数. 设，则对满足题意的集合， 总能找到一个对应的集合， 则集合D的所有元子集也都是“优美集合”， 重复上述操作，对于对满足题意的集合，我们总能找到一个对应的集合使为奇数，且集合C的所有元子集也都是“优美集合”， 由上述分析可得为偶数，则为奇数，满足题意的为奇数. 若为奇数，又为偶数，则均为奇数，满足题意的为奇数. 综上可得，满足题意的为奇数. 当或3时，显然不满足题意. 若，设，其中. 因为优美集合，则或， 又为优美集合，则或. 若同时成立，则不满足互异性； 若同时成立，则与矛盾； 若同时成立，则与矛盾； 若同时成立，则不满足互异性； 综上可得不满足题意； 当时，取. 对于，取； 对于，取； 对于，取； 对于，取； 对于，取； 对于，取； 对于，取； 综上可得的所有6元子集均为“优美集合”. 则满足题意. 故答案为：；. 14．由5个元素构成的集合，记的所有非空子集为每一个中所有元素的积为，则 . 【答案】 【分析】根据子集的元素中是否含0分类，再写出所有不含0元素的子集，然后计算求解． 【详解】首先考虑取出的元素中含0，则无论子集中有多少元素，其积都为0； 当取出的元素不为0，即只在集合中取元素， 则所得的子集分别是，， 其所有元素之和为 ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考数学小题训练1（集合与常用逻辑用语） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面，和直线，，且，则“”是“且”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数图象过点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则 其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 6．设函数，则“”是“”都恰有两个零点的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 8．设是直角坐标平面上的任意点集，定义，，．若，则称点集“关于运算对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知集合，，则（    ） A．当时，集合含有2个元素 B．集合中的元素个数可能为5 C．当时， D．当时， 10．给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 11．对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 三、填空题 12．已知全集，集合满足：，且当时必有，则 . 13．已知集合，若存在非空集合，使得，且集合的所有元素之和等于集合的所有元素之和，则称集合为“优美集合”. （1）若集合是“优美集合”，则的所有可能取值之和是 （2）若集合的所有元子集都是“优美集合”，则的最小值是 . 14．由5个元素构成的集合，记的所有非空子集为每一个中所有元素的积为，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $