5.1.1 函数的概念 导学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“函数的概念”第1课时，核心内容为理解函数概念及构成三要素，判断函数相等，求定义域与值域。课堂导入通过复习初中函数概念，结合列车路程、空气质量指数、恩格尔系数等现实实例，以问题链引导学生观察共同特征，衔接初高中知识，搭建概念建构支架。 导学案特色在于问题驱动与实践探究结合，通过实例分析培养学生用数学眼光观察现实世界，小组合作建构概念发展数学思维，例题与跟踪训练强化用数学语言表达函数关系，分层作业设计兼顾基础与提升，助力学生深化对函数本质的理解，提升抽象能力、推理意识与应用意识。

第1课时　函数的概念 学习目标　1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.会判断两个函数是否相等.3.会求简单函数的定义域与值域. 一、函数的概念的理解 【活动过程】 活动一：复习探究，感受数学 问题1　你还记得初中所学函数的概念吗？ 问题2　下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗？ (1)某高速列车提速到350 km/h后保持匀速运行半小时，这半小时内，列车行进的路程s与运行时间t的关系是函数关系吗？ (2)如图是某市某日的空气质量指数变化图.你认为这里的空气质量指数I是时刻t的函数吗？ 年份y 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔 系数r(%) 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57 (3)国际上常用恩格尔系数r 反映一个地区人们生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 如表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 问题3　上述例子中的函数有哪些共同特征？ 问题4　初中我们学习过哪些函数？ 问题5　你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？ 活动二：小组合作，建构数学 概念 给定两个 集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 实数x，在集合B中都有 的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应关系 y=f(x)，x∈A 对应关系相同，定义域相同的两个函数就是 函数 定义域 集合 (自变量x的取值范围) 值域 若A是函数y=f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有 与之对应.我们将所有输出值y组成的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域 活动三：学习展示，运用数学 例1　(1)(多选)下列集合A到集合B的对应是函数的是(　　) A.A={-1，0，1}，B={0，1}，对任意的x∈A，x→x2 B.A={0，1}，B={-1，0，1}，对任意的x∈A，x→ C.A=Z，B=Q，对任意的x∈A，x→ D.A=R，B={x|x≥0}，对任意的x∈A，x→|x| (2)下列各组函数中表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=2x+1与g(x)= B.f(x)=|x2-1|与g(t)= C.f(x)=2x+1与g(x)=2x-1 D.f(x)=|x|与g(x)= 跟踪训练1　(1)(多选)设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个选项，不能表示从集合M到集合N的函数关系的是(　　) (2)下列各组函数中表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=g(x)=x+2 B.f(x)=x2-3x，g(t)=t2-3t C.f(x)=g(x)=x D.f(x)=g(x)=x 例2　求下列函数的定义域： (1)y=3-x； (2)y=； (3)y=； (4)y=. 跟踪训练2　求下列函数的定义域： (1)y=-； (2)y=+. 例3　已知f(x)=x2-4x+2. (1)求f(2)，f(a)，f(a+1)的值；(2)求f(x)的值域；(3)若g(x)=x+1，求f(g(3))的值. 跟踪训练3　求下列函数的值域： (1)f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}； (2)f(x)=(x-1)2+1. 例4　(1)已知函数f(x)的定义域为[-1，3]，则函数f(3x-2)的定义域为(　　) A. B. C.[-3，1] D. (2)已知函数f(x2)的定义域为(1，2)，则f(2x+1)的定义域为　　　　　　　.  跟踪训练4　已知函数f(x)的定义域为(-2，2)，则函数g(x)=的定义域为(　　) A.(-2，0)∪(0，2) B.(-1，3) C.(-3，0)∪(0，1) D.(-1，0)∪(0，3) 活动四：课堂总结，感悟提升 活动五：课后作业 1.设函数f(x)=3x2-1，则f(a)-f(-a)的值是(　　) A.0 B.3a2-1 C.6a2-2 D.6a2 2.若A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　) 3.如图，f：A→B表示从集合A到集合B的函数，若f(a)=2，则a的值为(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.3 4.函数f(x)=的定义域为(　　) A. B.{x|x>1} C. D. 5.已知≈1.414 21，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则f(2)+f(4)等于(　　) A.5 B.6 C.3 D.2 6.下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x+1)=f(x)+1恒成立的为(　　) A.f(x)=x+1 B.f(x)=-x2 C.f(x)= D.f(x)=|x| 7.(多选)下列四种说法中，正确的有(　　) A.在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 8.(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)=与g(x)=x B.f(x)=x-1与g(x)= C.f(x)=x0与g(x)= D.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1 9.(多选)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当-≤x≤时，下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为(　　) A.y=x，x∈{-1，0，1，2，3} B.y=2x，x∈ C.y=x∈ D.y=x2-1，x∈{0，12} 10.若f(x)=x∈{1，2}，则函数的值域为　　　　.  11.已知函数f(x)=x+则f(2)=　　　；当a≠-1时，f(a+1)=　　　　　　.  12.若对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1，则f(1)=　　　　，f(-1)=　　　　.  13.已知函数f(x)的定义域为(-1，1)，则函数g(x)=f +f(x-1)的定义域是　　　　.  14.求下列函数的定义域： (1)f(x)=++4； (2)f(x)=. 15.已知f(x)=3x2-1，g(x)=. (1)求f(1)，g(1)的值；(2)求f(g(1))，g(f(1))的值；(3)求f(x)，g(x)的值域. 16.已知函数f(x)=(m∈R). (1)若f(2)=2，求实数m及f(f(5)+1)；(2)若m=10，求f(x)的定义域；(3)若f(x)的定义域为(1，+∞)，求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $