专题03实数（期中专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

专题03 实数 目录 题型一 平方根的概念与计算（共4小题） 1 题型二 平方根的计算（共4小题） 2 题型三 立方根的概念与计算（共5小题） 2 题型四 平方根与立方根的应用（共5小题） 3 题型五 算术平方根的非负性（共4小题） 重点 4 题型六 无理数与实数的概念（共5小题） 4 题型七 实数的分类（共4小题） 5 题型八 实数与数轴（共4小题） 重点 5 题型九 实数大小估算与比较（共5小题） 6 题型十 无理数的整数部分与小数部分（共4小题） 难点 6 题型十一 实数的混合运算（共4小题） 7 题型十二 实数运算的规律性问题（共4小题）难点 8 题型十三 实数的程序性计算（共4小题） 9 题型十四 实数的定义新运算（共5小题） 难点 10 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平方根的概念与计算（共4小题） 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．是16的一个平方根 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是4 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是 ． 4．（22-23七年级上·浙江·期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 题型二 平方根的计算（共4小题） 5．（22-23七年级上·浙江·期中）16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·浙江温州·期中）若某数的一个平方根为， 则这个数的另一个平方根为 ． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 题型三 立方根的概念与计算（共5小题） 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则  ②若，则 ③若，则  ④若，则 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中不正确的是（    ） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 12．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 题型四 平方根与立方根的应用（共5小题） 14．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 15．（22-23七年级上·浙江温州·期中）如图，把一张面积为的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为 ． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 ． 17．（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块， 问锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 题型五 算术平方根的非负性（共4小题） 重点 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知x，y为实数，且，则的值为（　　） A． B．2 C．4 D． 20．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则的值为 ． 21．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则 ． 22．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知则 题型六 无理数与实数的概念（共5小题） 23．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．3.14159 C． D．0 24．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 26．（20-21七年级上·浙江宁波·期中）有下列四种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 27．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 题型七 实数的分类（共4小题） 28．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 29．（24-25七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个2）． 整数：{            }； 负分数：{           }； 无理数：{           }． 30．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 31．（24-25七年级上·浙江金华·期中）将下列各数，，，，，填在相应的大括号内． 整数：{___________________…}： 负分数：{__________________…}； 无理数：{__________________…}． 题型八 实数与数轴（共4小题） 重点 32．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请把实数，，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 35．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请把实数近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 题型九 实数大小估算与比较（共5小题） 36．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 37．（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）数轴上表示的点的位置应在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 38．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）估计的值更接近（    ） A．3 B．4 C．9 D．10 39．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 40．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ． 题型十 无理数的整数部分与小数部分（共4小题） 难点 41．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知、分别是的整数部分和小数部分，则 ． 42．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分，则的平方根为 ． 43．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知正数x的两个平方根分别是和的整数部分为b，m和n互为相反数，p和q互为倒数． (1)求a和b值． (2)求的值． 44．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 题型十一 实数的混合运算（共4小题） 45．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2) ； (3) ； (4) ． 46．（20-21七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 47．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 48．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）计算． (1) (2) (3) (4) 题型十二 实数运算的规律性问题（共4小题）难点 49．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 50．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，… (1)利用以上运算的规律写出 ；（为正整数） (2)计算； (3)计算的值． 51．（20-21七年级上·浙江绍兴·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是， 的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依此类推． （1）分别求出，，的值； （2）计算的值； （3）计算的值． 52．（20-21七年级上·浙江湖州·期中）探究： …… （1）请仔细观察，写出第5个等式； （2）请你找规律，写出第个等式； （3）计算：． 题型十三 实数的程序性计算（共4小题） 53．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 54．（22-23七年级上·浙江温州·期中）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 55．（24-25七年级上·浙江台州·期中）如图，这是一个数值转换机，当输入的x值为时，输出的y值是 56．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 题型十四 实数的定义新运算（共5小题） 难点 57．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 58．（14-15七年级·浙江·期中）设，都是有理数，规定 ，则= ． 59．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)①和6关于1的“相对关系值”是______； ②求和关于2的“相对关系值”是______；（保留根号） (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，求的最大值． 60．（24-25七年级上·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． (1)_______． (2)求的平方根． (3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 61．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）对于实数，，定义运算：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若实数x满足：，求的值． $专题03 实数 目录 题型一 平方根的概念与计算（共4小题） 1 题型二 平方根的计算（共4小题） 3 题型三 立方根的概念与计算（共5小题） 4 题型四 平方根与立方根的应用（共5小题） 6 题型五 算术平方根的非负性（共4小题） 重点 9 题型六 无理数与实数的概念（共5小题） 10 题型七 实数的分类（共4小题） 13 题型八 实数与数轴（共4小题） 重点 15 题型九 实数大小估算与比较（共5小题） 17 题型十 无理数的整数部分与小数部分（共4小题） 难点 19 题型十一 实数的混合运算（共4小题） 22 题型十二 实数运算的规律性问题（共4小题）难点 25 题型十三 实数的程序性计算（共4小题） 28 题型十四 实数的定义新运算（共5小题） 难点 30 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平方根的概念与计算（共4小题） 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．是16的一个平方根 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是4 【答案】A 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是16的一个平方根，原说法正确，符合题意； B、16的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是4，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； 故选A． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数， 这个数是， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·浙江·期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意分别得出a、b、c的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵x是最大的负整数， ∴， ∵y是最小的正整数， ∴， ∵z是平方根等于本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的相关定义，平方根的定义，解题的关键是掌握平方根等于本身的数是0． 题型二 平方根的计算（共4小题） 5．（22-23七年级上·浙江·期中）16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解：16的平方根是， 故选：C． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据算术平方根，平方根的意义，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 7．（22-23七年级上·浙江温州·期中）若某数的一个平方根为， 则这个数的另一个平方根为 ． 【答案】 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵某数的一个平方根是， ∴这个数的另一个平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的性质，注意一个正数的两个平方根互为相反数． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根，平方根，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用算术平方根和平方根的定义得出答案． 【详解】解：的算术平方根是， 的平方根是， 故答案为：；． 题型三 立方根的概念与计算（共5小题） 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则  ②若，则 ③若，则  ④若，则 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，立方根的性质，根据绝对值的非负性，以及立方根的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则：， ∴；故①正确； 若，则或；故②错误； 若，则，故③错误； 若，则，故④正确； 故选D． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：①一个数的平方根有两个，它们互为相反数，该选项说法错误； ②负数有立方根，该选项说法错误； ③任何数的立方根都只有一个，该选项说法正确； ④一个数有立方根，这个数不一定有平方根，比如负数，该选项说法错误； ∴正确的说法有个， 故选：． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中不正确的是（    ） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，根据平方根，算术平方根和立方根的概念即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、10的平方根是，故选项符合题意； B、8是64的一个平方根，说法正确，故选项不符合题意； C、的立方根是，说法正确，故选项不符合题意； D、的算术平方根是，说法正确，故选项不符合题意； 故选：A． 12．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求平方根、立方根．根据立方根平方根和算术平方根的意义，进行计算即可解答． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 13．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键；根据可进行求解． 【详解】解：由可知：8的立方根是2； 故选A． 题型四 平方根与立方根的应用（共5小题） 14．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 【答案】 【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解． 【详解】解：由题意知， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 15．（22-23七年级上·浙江温州·期中）如图，把一张面积为的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为 ． 【答案】 【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的倍，设未知数，根据长方形面积等于正方形面积列出方程，解方程即可． 【详解】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的倍， 设短直角边为，则长直角边为，由题意得， ， 解得或舍去， 所以周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，理解平方根的定义，掌握直角三角形、长方形的性质是正确解答的前提． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可，熟练掌握其性质并能灵活运用已知条件求得每个方块的体积是解决此题的关键． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴其边长为， 故答案为：5． 17．（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块， 问锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的运用，熟练掌握相关概念是解题关键； 根据题意，虽然形状发生了变化，但是其体积仍然是没有变化的，以此计算即可； 【详解】解：由题意得长方体体积为：（立方厘米）， ∴立方体棱长（厘米）， 答：锻造成的立方体铁块的棱长是厘米； 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根的定义求出的值，根据平方根的定义求出的值，根据无理数的估算的值，然后求得的值即可； （）把，，的代入，然后根据平方根的定义即可求解； 本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∵，即，是的整数部分， ∴， ∴，，， （2）解：由（）得：，，， ∴， ∴的平方根为． 题型五 算术平方根的非负性（共4小题） 重点 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知x，y为实数，且，则的值为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 20．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解： ， ，， 解得：，， 则， 故答案为：16． 21．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】 ，其中均是整数， 又 ，， 当，， 解得，， 此时， 当，， 解得或，， 此时或， 时，或或， 故答案为：． 22．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知则 【答案】2030 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，此时原式可变形为，可得到，进而可得． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 整理得：， 两边同时平方得：， 那么， 原式 ， 故答案为：． 题型六 无理数与实数的概念（共5小题） 23．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．3.14159 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个0）等形式．根据无限不循环小数为无理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故该选项不符合题意； B．3.14159是分数，属于有理数，故该选项不符合题意； C．是无理数，故该选项符合题意； D．0是整数，属于有理数，故该选项不符合题意； 故选：C． 24．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键：无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①含类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数． 根据无理数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．是负整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．，属于开方开不尽的数，是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 25．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，算术平方根及实数的概念，利用有理数、无理数的性质，以及平方根定义判断即可． 【详解】解：A、16的平方根是，符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，如：，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不符合题意， 故选：A． 26．（20-21七年级上·浙江宁波·期中）有下列四种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案． 【详解】①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的； ②带根号的数不一定是无理数是正确的，如：； ③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的． 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键． 27．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数，绝对值，实数的分类，近似数，实数和数轴的知识点，根据这些知识点注意判断即可． 【详解】解：无理数都是无限不循环小数，所以①正确； 数轴上的点与实数一一对应，所以②错误； 绝对值等于本身的数是0或正数，所以③错误； 是无理数，所以④错误； 近似数所表示的准确数a的范围是：，所以⑤正确． 故正确的有2个， 故答案为：2． 题型七 实数的分类（共4小题） 28．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 29．（24-25七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个2）． 整数：{            }； 负分数：{           }； 无理数：{           }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根、绝对值，先根据算术平方根、绝对值进行计算，再根据实数的分类求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 故整数：{ ①④⑥}； 负分数：{ ②⑤}； 无理数：{}． 30．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数的定义，无理数的定义等知识点，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 根据整数、分数、负数、无理数的定义进行分类即可． 【详解】解：整数：； 分数：； 负数：； 无理数：； 故答案为：；；；． 31．（24-25七年级上·浙江金华·期中）将下列各数，，，，，填在相应的大括号内． 整数：{___________________…}： 负分数：{__________________…}； 无理数：{__________________…}． 【答案】，；，；， 【分析】本题考查了实数的分类，，据此进行分类即可求解；掌握分类的方法是解题的关键． 【详解】解：整数：，； 负分数：，； 无理数：，； 故答案：，；，；，． 题型八 实数与数轴（共4小题） 重点 32．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，正方形的面积，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，面积为1，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，利用大正方形的面积公式求得对角线的长度，即圆的半径，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为1， 面积为1， 如图所示，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形， 则大正方形的面积为 设小正方形对角线长为，那么大正方形的边长为， 则， ， 圆的半径为， 点表示的数为． 故选：C． 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由数轴得到点A分别到点B的距离是解题关键． 由数轴得到，因此，于是，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵面积为S的正方形的顶点A在数轴上， ∴， ∴， 故选：C． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请把实数，，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 【答案】画图见解析， 【分析】本题考查了实数与数轴，先化简绝对值，然后将各数表示在数轴上，再根据数轴比较大小即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 画出数轴如图所示： ∴． 35．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请把实数近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 【答案】见解析， 【分析】本题考查实数与数轴，实数大小比较，根据实数与数轴上的点一一对应，以及实数的大小关系将所给的4个实数表示在数轴上，再根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数比较大小即可． 【详解】解：， 所给的四个实数在数轴上表示如下： 由四个实数在数轴上表示的位置可知： 题型九 实数大小估算与比较（共5小题） 36．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查实数的运算，根据乘方运算法则，实数大小比较法则，算术平方根的化简分别计算并判断． 【详解】解：A.，此项正确； B.，，， ∴，故此项正确； C.，故此项正确； D.，故此项错误； 故选：D． 37．（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）数轴上表示的点的位置应在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，无理数的估算，熟练掌握“夹逼法”估值是解题的关键．先估算无理数的大小，然后利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， 即， 故数轴上表示的点的位置应在与之间． 故选：A ． 38．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）估计的值更接近（    ） A．3 B．4 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是明确，确定更接近的值即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴的值更接近3， 故选：A． 39．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据正数大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小，实数比较大小的方法逐项求解即可． 【详解】∵正数大于负数 ∴； ∵ ∴； ∵， ∵ ∴． 故答案为：，，． 40．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质与化简，熟知“当时，，当时，”是解题的关键．根据，先确定的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行化简计算． 【详解】解：， ∴， ，， ， 故答案为：． 题型十 无理数的整数部分与小数部分（共4小题） 难点 41．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知、分别是的整数部分和小数部分，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的整数部分以及小数部分，已知字母的值求代数式的值，先得出，再由、分别是的整数部分和小数部分，得出，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵、分别是的整数部分和小数部分， ∴， 则． 故答案为： 42．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，用“夹逼法”估算算术平方根是解题关键．先通过估算确定M、N的值，再求的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴a的整数值为：，0，1，2，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴9的平方根是，即的平方根为； 故答案为：． 43．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知正数x的两个平方根分别是和的整数部分为b，m和n互为相反数，p和q互为倒数． (1)求a和b值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，整数部分的含义，相反数，倒数的含义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据正数x的两个平方根分别是和得到，求出a，根据的整数部分为b，而，可得的值； （2）根据相反数的定义，倒数的含义可得，，结合（1）求出x，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵正数x的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵的整数部分为b，而， ∴． （2）解：∵m和n互为相反数，p和q互为倒数， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 44．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，正确进行估算是解此题的关键． （1）估算出，，即可得解； （2）估算出，求出，，从而得出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是， ∴，即， ∴的小数部分是； （2）解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的整数部分为b， ∴，， ∴． 题型十一 实数的混合运算（共4小题） 45．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1)10 (2)7 (3) (4) 【分析】（1）根据混合运算步骤，先省略加号，再同号相加即可得到结果； （2）根据乘法的分配律运用简便运算即可得到答案； （3）根据立方根和算术平方根以及二次根式的性质化简式子，再进行计算即可得到答案； （4）根据立方根、算术平方根和取绝对值得到答案即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的四则混合运算，立方根，算术平方根和二次根式的计算，解决此题的关键是正确的计算． 46．（20-21七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先乘法，再加法进行计算即可； （2）除法变乘法，逆用乘法分配律进行计算即可； （3）进行乘方和开方运算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 47．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （2）根据有理数的乘方、算术平方根的定义计算，即可得出答案． 【详解】（1）原式． （2）原式． 48．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数运算，正确利用相关法则计算是解题关键． （1）直接利用有理数加减运算法则化简求出即可； （2）利用有理数混合运算法则化简即可； （3）利用立方根和乘方化简，然后再计算即可； （4）利用乘方以及有理数乘法分配律化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型十二 实数运算的规律性问题（共4小题）难点 49．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意： ； （2）解：； （3）解：原式 ． 50．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，… (1)利用以上运算的规律写出 ；（为正整数） (2)计算； (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了定义新运算，解题的关键是观察数字规律和熟练掌握实数的运算法则． （）根据题意中的运算，观察规律即可写出； （）由（）中求出的表达式，即可求出的值； （）由（）中求出的表达式，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，，，，…， ∴， 故答案为：； （2）∵，，，，， ∴； （3）． 51．（20-21七年级上·浙江绍兴·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是， 的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依此类推． （1）分别求出，，的值； （2）计算的值； （3）计算的值． 【答案】（1）；（2）-1；（3） 【分析】（1）根据阅读理解差倒数的含义，利用公式直接计算可以得到答案； （2）利用第（1）的结果进行计算即可得到答案； （3）利用第（1）的结果发现这一列数是循环的，且是3个数循环，所以每这样的3个数的积相等，只要分析好2019个数中有几组这样的3个数就可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，得：，，； （2）由（1）得； （3）由（1）知，该数列循环周期为3，而且每一个循环内的三个数的乘积 ∵， 则 ． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，以及数字类规律，解题的关键在于能够准确读懂题意． 52．（20-21七年级上·浙江湖州·期中）探究： …… （1）请仔细观察，写出第5个等式； （2）请你找规律，写出第个等式； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）-2 【分析】（1）直接根据规律即可得出答案； （2）根据前3个式子总结出来的规律即可求解； （3）利用规律进行计算即可． 【详解】解（1）26﹣25＝2×25﹣1×25＝25 ， （2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n， （3）21+22+…+22018+22019﹣22020＝21+22+…+22018+（22019﹣22020）＝21+22+…+22018﹣22019＝21+22+…+22017+（22018﹣22019）＝…＝21﹣22＝-2． 【点睛】本题主要考查有理数的运算与规律探究，找到规律是解题的关键． 题型十三 实数的程序性计算（共4小题） 53．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 【答案】C 【分析】本题考查了代数式和实数的运算，理解题中程序图的含义是解题的关键． 根据选项依次输入计算判断即可． 【详解】解：A、输入的x为时，， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、当输入的无理数为：时，， ∴， ∴，为有理数，正确，不符合题意； C、当输入的x是1012时，输出， 当输入的x是时，， ∴， ∴，故选项错误，符合题意； D、由选项A得，当x为，输出的结果为0，正确，不符合题意； 故选：C． 54．（22-23七年级上·浙江温州·期中）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的计算以及无理数的判断．解题的关键是按照计算程序的步骤，依次对输入值进行运算并判断结果是否为无理数，直至得到输出结果． 输入后，先求其立方根并判断是否为无理数；若不是，再求该结果的算术平方根并判断；若仍不是，继续按程序循环求立方根并判断，直至得到无理数作为输出． 【详解】解：输入， 第一步：求64的立方根，，是有理数，不输出； 第二步：求4的算术平方根，，2是有理数，不输出； 第三步：求2的立方根，是无理数，输出y． 故答案为：． 55．（24-25七年级上·浙江台州·期中）如图，这是一个数值转换机，当输入的x值为时，输出的y值是 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的算术平方根等知识点，当输入的x值为时，的算术平方根为，且为有理数；的算术平方根为，且为无理数；据此即可求解； 【详解】解：当输入的x值为时，的算术平方根为，且为有理数； 的算术平方根为，且为无理数； ∴输出的y值是， 故答案为： 56．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 题型十四 实数的定义新运算（共5小题） 难点 57．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 58．（14-15七年级·浙江·期中）设，都是有理数，规定 ，则= ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 59．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)①和6关于1的“相对关系值”是______； ②求和关于2的“相对关系值”是______；（保留根号） (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，求的最大值． 【答案】(1)①10② (2) (3)3 【分析】本题考查以绝对值为背景的新定义问题，理解题意并结合绝对值的非负性对题目分析是解题关键． （1）根据“相对关系值”的概念求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）先由题意建立关系式，再由关系式结合绝对值的非负性分别推出和的范围，进而化简关系式即可． 【详解】（1）①根据题意得，． ∴和6关于2的“相对关系值”为10； 故答案为：10 ②， 故答案为： （2）根据题意得，，即 ∴， 解得或． （3）解：由题意得：，分四种情况： 当时，，则； 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 综上：的最大值为3． 60．（24-25七年级上·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． (1)_______． (2)求的平方根． (3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)实数a，b的这种新运算满足交换律； 【分析】此题主要考查了新定义下的实数运算，利用代入法求代数式的值，求平方根（1）运用运算公式，计算即可； （2）先求得 ，再计算平方根，即可求解． （3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解： 的平方根为 （3）解：满足交换律 ∵， ， ∴， ∴实数a，b的这种新运算满足交换律． 61．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）对于实数，，定义运算：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若实数x满足：，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数新定义运算； （1）由，代入，即可； （2）先求，代入即可； （3）由，，即可得，解得即可． 【详解】（1）解：由， 得； （2）由， 得； （3）由， ， ， 得， 得． $