专题01 空间向量及其运算（期中复习讲义）（知识必备+10大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量及其运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 共线向量 掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 共面向量 理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 空间向量基本定理及其应用 1、会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直观想象的核心素养. 2、会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角、模长、数量积,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 高频易错点，数量积、模长、夹角的运算及最值（范围）出错 空间向量的坐标运算及其应用 1、掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题,强化数学运算的核心素养. 2、能熟练应用两个向量数量积、夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02 空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点03 空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点04 共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点05 空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，那么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点06 空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点07 空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点08 空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 ①空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． ②空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点09 空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 5、两点间的距离公式 已知，则 6、中点坐标公式 设点为，的中点，则. 题型一 空间向量的线性运算 解｜题｜技｜巧 1．（23-24高二上·河南南阳·月考）求为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案. 【详解】原式. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 3．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误.    故选：D. 4．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案. 【详解】延长交边于点，则， 则有，， 故．    故答案为：. 5．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 题型二 空间向量共线问题 解｜题｜技｜巧 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 1．（24-25高二上·河南许昌·月考）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 2．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 3．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 4．（23-24高二上·北京·月考）若空间三点，，共线，则实数 . 【答案】5 【分析】根据三点共线，转化为向量共线，即可求解. 【详解】，， 由空间三点共线，则，即， 所以，得，. 故答案为：5 5．已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，利用向量相等求解即可. 【详解】设，由题可得， 所以可得， 则，解得：， 故点的坐标为． 故答案为： 6．（23-24高二上·陕西·月考）在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ．    【答案】/0.75 【分析】画出图形，由题意平面，可以推理得出，再根据题目条件分别把这两个向量表示为，，由向量共线的条件即可求解. 【详解】如图所示：    连接，设，平面平面， 因为平面，且平面， 所以； 因为四棱台底面为正方形，且，， 所以，， 从而， 又因为，， 所以， ， 因为， 所以. 故答案为：. 题型三 空间向量共面问题 解｜题｜技｜巧 1、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 2、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 1．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 2．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 3．（23-24高二上·福建厦门·月考）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由空间向量运算表示出，结合四点共面，得，解出即可. 【详解】由题设， 因为， 所以， 又因为四点共面，所以， 解得，即. 故选：A. 4．（多选题）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 5．（24-25高二上·陕西汉中·月考）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理直接求解即可. 【详解】四点共面，， ，解得：. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 7．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 题型四 用基底表示向量 解｜题｜技｜巧 用基底表示向量的步骤 （1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 2．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·山西运城·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得， 由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为， 但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 4．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 5．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 【答案】 【分析】根据N是面的中心得出，再结合向量的减法计算求解. 【详解】 因为N是面的中心，所以延长交于，是中点，且， . 故答案为：. 6．在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则 ．（用，，表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意，为的重心，则， 所以 . 故答案为：    题型五 空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 解｜题｜技｜巧 1、合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入求解. 2、模长 （1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. （2）因为,所以,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为. 3、夹角 （1）求两异面直线的夹角,可转化为求两直线的方向向量的夹角. （2）由两个向量的数量积定义得,求的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出的余弦值,进而求的大小,在求时注意结合空间图形,把用基向量表示出来,进而化简得出的值. （3）异面直线AB,CD的夹角α∈(0,],而<,>∈[0,π],故α=<,>或α=π-<,>. 1．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】取空间的一个基底，用基向量表示出，再根据空间向量数量积的运算计算即可. 【详解】由题意，在平行六面体 中，，， 由点P是与的交点，得， 而，因此 . 故选：B 2．（23-24高二上·山东济南·月考）如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得. 【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得, 显然不共面，，又， ， 因此， 所以则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 3．（23-24高二上·河北沧州·月考）（多选题）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且，设．若，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【分析】根据空间向量运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于A，因为， 所以，故A不正确； 对于B，因为 ， 所以，故B正确； 对于C，由B可知：， 则， 所以，故C错误； 对于D，因为， 可得， ， 且， 设直线与所成的角为， 则，故D正确， 故选：BD． 4．（24-25高二上·河南濮阳·月考）如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是 ． 【答案】 【分析】将对角线表示成，然后根据向量的方法计算出对角线的长即可. 【详解】，且的长为3，， 故，，， 由于， 所以 ． 故答案为：. 5．（23-24高二下·江苏南京·月考）在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 【答案】16 【分析】选择为空间向量的基底，表示向量，再计算数量积即可. 【详解】如图： 首先：，. 又. 所以. 故答案为：16 题型六 空间直角坐标系 解｜题｜技｜巧 建系确定点的坐标的原则 （1）建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. （2）求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 1．（24-25高二下·甘肃定西·月考）在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在坐标平面内射影的特点，直接写出答案即可． 【详解】由题意得，点的纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0，则. 故选：A. 2．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 3．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 4．（24-25高二下·甘肃金昌·月考）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解. 【详解】点O为坐标原点，， 则， 所以线段的中点坐标为， 故答案为：. 5．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直． 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，，则，，，； （2）， ， ． 6．在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 【答案】答案见解析 【分析】取的中点E，连接OE，由题意可证OD，OE，两两垂直，则以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标. 【详解】解：取的中点E，连接OE， 在矩形中，是中点，所以，则， 由题可知平面，所以OD，OE，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz， 因为，且，所以， 则O，E，A，D四点共面，平面xOz， x轴，z轴，， ，，，. 题型七 数量积、模长、夹角的坐标运算（含平行、垂直的应用） 解｜题｜技｜巧 1、设， 2、利用向量方法求长度或距离的基本方法 若，则，即 3、求两个非零向量夹角的两种途径 设，则 4、平行与垂直 （1）两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） （2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. 1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知，，若，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：B 2．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解. 【详解】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. 故选：C 3．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】运用法向量求出坐标，再求出平行四边形边长和夹角余弦值，进而求出正弦值，再用面积公式即可. 【详解】平面的一个法向量为，则，解得，故.，则， 则. 则平行四边形面积为. 故选：D. 4．（多选题）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【分析】应用空间向量模长、夹角的坐标运算及单位向量的概念依次判断各项的正误. 【详解】A：，则，对； B：，， 则，，所以，对； D：与平行的单位向量为，即或，对； C：根据A、B的分析过程，知三条边长各不相等，所以不是等腰直角三角形，错. 故选：ABD 5．（23-24高二上·广东珠海·月考）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 6．（24-25高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用坐标运算表示，根据向量平行建立等量关系，解方程得到结果. （2）利用向量模长和垂直公式建立等量关系，解方程得到结果. 【详解】（1）由题意得，， ∵， ∴，解得. （2）由题意得，， ∵且， ∴,解得. 7．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【详解】（1）由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． （2）因为、、，，， 所以，， 则. （3）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 8．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】利用空间向量坐标表示的数量积计算公式、夹角余弦公式和模长公式解决相关问题． 【详解】（1） （2），，,， 设与的夹角为，则． （3），， 根据， 解得． 题型八 投影向量的计算 解｜题｜技｜巧 向量称为向量在向量上的投影向量 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 2．（24-25高二上·广西河池·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量求解公式进行计算，得到答案. 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B 3．已知向量，则在方向上投影的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】已知，得， 所以在方向上投影的数量为. 故选：D. 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 5．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四点共面，可得共面，再根据空间向量共面定理求出，再求出向量在上的投影长度即可. 【详解】因为四点共面， 所以共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得， 所以， 向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度， 所以向量在上的投影向量的模为. 故选：D. 题型九 空间向量运算证明垂直与平行问题（含坐标法） 解｜题｜技｜巧 1、利用空间向量基本定理 （1）合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. （2）当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定. （3）证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明. 2、利用坐标 （1）利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明. 1．在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】设，，，则构成空间的一个基底，利用该基底表示出，证明即可． 【详解】设，，，则构成空间的一个基底， 则，， ∴， ∴，即． 2．（24-25高二下·江苏镇江·月考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 3．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与即可得证. 【详解】（1）由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）由，，， 得 ， 所以； （3）由（2）知， 所以 ， 所以， 即，又与有一个公共点，所以三点共线． 4．（24-25高二上·天津南开·期中）如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. (1)求的模： (2)求的值； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出的长； （2）求出利用向量的夹角公式，即可求解； （3）根据向量数量积的坐标运算证明，即可证明． 【详解】（1）以为坐标原点，以、、的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图 由题意得, 故． （2）依题意得, 故,则 （3）,, 由于, 故，即． 5．（24-25高二上·广东·月考）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点.    (1)用，，表示向量； (2)在线段上存在一点，且，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得结果； （2）利用垂直关系的向量表示，可得，即可求得. 【详解】（1）易知； （2）易知，又； 所以； 不妨取， 可得 ， 即可得， 所以. 6．如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 7．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 题型十 空间向量运算中的最值范围问题 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高二上·河南郑州·期末）在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，设，， ，， 因为，所以，即， 所以， 当时，线段的最小值为. 故选：A 3．（24-25高二下·云南·期末）在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解. 【详解】设正四棱锥的高为，则，解得， 所以. 由已知，，， 设，且，又， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 设直线与直线所成角为， 所以当直线与直线平行或重合时，取得最大值，最大值为. 故选：A. 4．如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设出点、、的坐标，结合已知条件得到方程，根据方程解的情况求出的取值范围即可求解. 【详解】根据已知条件， 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， 设正四棱柱的高为，令，，， 所以，， 因为，所以，即， 整理得：，因为棱上至少存在一点使得， 所以关于得的方程，至少有一个解， 即，整理得：，解得， 又因为，所以，所以棱长的最大值为. 故选：A 5．（24-25高二上·河北保定·月考）在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得点在三棱柱内，设为的中点，由，求出的取值范围可得答案． 【详解】满足的点在三棱柱内． 如图，设为的中点，连接相交于点，连接， 因为，，且，平面， 所以平面，又，所以平面，且， ，所以， 所以． 因为，所以的取值范围为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量的运算，根据题意确定点所在的位置是解题的关键． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是 ． 【答案】1 【分析】利用空间向量基底法结合数量积公式计算即可. 【详解】依题意，设，其中， . 因此的最大值是1. 故答案为：1. 7．设动点在棱长为的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据空间向量共线求出,由为钝角可得，即，根据数量积的计算可得到结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． 则，,, 所以， ， ． 因为不共线， 所以为钝角,等价于，即， 从而，得． 故答案为：. 8．（24-25高二下·云南文山·月考）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，由得，即，利用二次函数即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，，则，，， ，， ，， 即，所以， 当时，所以，所以.    故答案为：. 9．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出，结合表达式的特点求出最值即可. 【详解】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，， 因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直， 以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设，则，， 所以． 因为，，所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4．则的最小值与最大值的和为． 故答案为： 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知点是点在平面上的射影，则（    ） 1．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知点是点在平面上的射影，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得的值. 【详解】因为点是点在平面上的射影，则， 所以，. 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解. 【详解】因为，则点关于轴对称的点为， 又，则点关于平面对称的点为. 所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·陕西·月考）若，，三点共线，则（    ） A．4 B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 解得．故． 故选：A. 4．在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. 5．（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， , 故选：A 6．（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以，解得，. 故选：C． 7．（24-25高二上·山东·期中）已知，若四点共面，则（   ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据四点共面，结合空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题可知. 因为四点共面，所以， 即， 则解得. 故选：A 8．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知为空间的一组基底．则下列向量能构成空间的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可判断. 【详解】对于A, 因为,所以三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B，因为，所以三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C，因为，所以三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D，设 三个向量共面，则 ， 所以,不存在，所以三个向量不共面，能构成一组基底. 故选：D. 9．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 10．（24-25高二下·江苏连云港·月考）在三棱锥O-ABC中，G是的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】线段的中点，再结合重心得出，再根据得出，最后再用向量的加减运算将所有向量化为的线性关系即可. 【详解】取线段的中点，因点是的重心， 则， 因，则 则. 故选：A.    11．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量的坐标，根据向量坐标运算公式求结论；方法二：利用向量表示，结合数量积定义及运算律求结论. 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，，，， ，， ． 方法二：由题意可知， ， ． 堑堵为直三棱柱，且， ， ． 故选：B. 12．（23-24高二上·广东广州·期末）已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】由点、、，求得及，再利用三角形面积公式求解. 【详解】因为点,,， 所以， ， ，则， 所以， 所以以,为邻边的平行四边形的面积为， 故选：D 13．（24-25高二上·广东江门·期末）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义表示出在方向上的投影向量，利用线性运算、数量积公式，以及平面向量基本定理即可求解. 【详解】由题知，在方向上的投影向量为， 又 ， 且， 所以，所以. 故选：A 14．（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【详解】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D 15．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故， 解得.即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故选：C. 16．已知向量，在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量在向量上的投影向量，再分和两种情况、利用基本不等式即可求解. 【详解】由已知得，则向量在向量上的投影向量为： ， 所以， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 17．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将三棱锥补全为长方体，利用勾股定理求出长方体的长宽高，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法计算即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为， 则有，解得， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 故， 所以， 则当时，取得最小值， 此时. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将三棱锥补全为长方体，是解决本题的关键. 18．（24-25高二上·河南周口·期末）在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成的角的夹角公式可得，平方后利用换元法可求范围. 【详解】以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，故，， 设与所成的角为，则， 所以，令， 所以，故. 故选：B. 19．（24-25高二上·广东东莞·月考）（多选题）下列哪个条件可以作为四点共面的充分条件（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量平行以及三点共线，结合共面的性质即可求解AB,根据平面，因此点可能在平面外，即可判断C，根据共面定理即可求解D. 【详解】对于A，，，，，，四点共面，故A正确； 对于B，，则，，三点共线，故四点共面，B正确； 对于C，, 同理,平面，故平面，因此点可能在平面外，因此不一定共面，C错误， 对于D， 即，．、、四点共面，故D正确． 故选:ABD 20．（23-24高二上·陕西西安·月考）（多选题）如图，在四面体中，两两垂直，，则（    ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C．向量 D．向量 【答案】AD 【分析】利用投影向量的定义及空间向量的基本定理计算即可. 【详解】 如图所示，取，连接，则. 因为两两垂直，， 所以在上的投影为点，在上的投影为点， 所以向量在向量上的投影向量为，故A正确，B错误； ，故C错误，D正确. 故选：AD 21．（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 22．（24-25高二上·青海西宁·月考）平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为，则线段的中点为 ，顶点的坐标为 ， 的大小为 . 【答案】 【分析】利用中点坐标公式可求的中点，再根据对角线的交点坐标求出，最后由两点间的距离公式求出. 【详解】由题设的中点坐标为即， 由可得的坐标为即， 故， 故答案为：，，. 23．（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 【答案】 【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值. 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 24．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【答案】 【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量，其模为. 故答案为： 25．（24-25高二上·广西来宾·月考）已知点、点，求线段AB的三等分点的坐标 【答案】或 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，计算可得. 【详解】设是线段的两个三等分点, 则, 由,则， 故， 则， 故. 故答案为：或. 26．（24-25高二上·天津·期末）已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标表示结合向量共线求解即可. 【详解】因为，夹角为钝角，所以，且，不共线， 所以，解得且， 即的取值范围为， 故答案为： 27．如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 【答案】 2 【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求． 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 28．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空间向量法计算数量积结合二次函数最值计算求解. 【详解】如图取中点为原点，建立空间直角坐标系，设， 其中， ， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为. 故答案为：. 29．（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 30．（23-24高二上·江西·期中）如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建系，利用空间向量的坐标运算证明线线垂直； （2）根据空间向量的坐标运算求，进而可得结果. 【详解】（1）由题意易知，，两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    则，，，，. 因为，， 所以，因此. （2）因为，， 则，， 可得， 所以. 31．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，，，，、分别是、的中点. (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别用表示出，即可求得结果； （2）用表示出，根据题意求得的长度，然后根据夹角的余弦值公式可求得结果. 【详解】（1）由题可得， 因为是三棱锥，是的中点， 所以， 因为，，， 所以则 所以； （2）因为分别是的中点，，， 所以， 由图可得， 由（1）可得， 设与所成角为， 则， 所以与所成角的余弦值为. 32．如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    【答案】， 【分析】侧面，而与不垂直，此时在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 则三线两两垂直，可建立空间直角坐标系得各个点的坐标. 【详解】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 如图所示，侧面，侧面，侧面，, 又,所以两两垂直，以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，则， 所以，，，，，， 为棱的中点，则有. 33．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由平行四边形法则可得，在中，根据重心的性质可得，即可求解； （2）由（1）可知，，，利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）由点是线段的中点，得， 由点是的重心，得， 所以， 因为正四面体中，，， 故， 所以， 即； （2）由（1）可知，，， 所以 ， 所以. 34．如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】以的中点O为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用表示点坐标，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直可得结果. 【详解】如图，取的中点O，以O为坐标原点，，所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，，，． 设点C的坐标为，则． 因为， 所以， 所以Q． 因为M为的中点，所以． 因为P为的中点，所以P， 所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知点是点在平面上的射影，则（    ） 1．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 2．（24-25高二上·宁夏银川·月考）如图，正四棱台中，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，再利用投影向量公式求解即可. 【详解】设正四棱台的高为， 所以四边形，是正方形，设其中心分别为，连接， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，且作， 由勾股定理得，所以， 由题意得，，所以四边形是平行四边形， 所以，故，得到， 而，所以，，所以， 由投影向量公式得在上的投影向量为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐标，再利用投影向量公式得到所要求的投影向量即可． 3．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，利用共面定理，即可求解得解. 【详解】在平行六面体中，取，，， ，，， ，， 而， 则 ，即， 设，则， 由于与共面， 故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 故选：A. 4．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，分析可得，求出的取值范围，即可得出的取值范围，再由可得出的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以. 所以，.    故选：C. 5．（24-25高二上·湖南永州·月考）（多选题）如图，平行六面体的所有棱长均为，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．，，，四点共面 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】由的线性运算后再平方可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D. 【详解】 对于A，， ， ，则，故A错误； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，、、两两所成夹角均为， 所以， 则， ，则， ， B正确； 对于C，在上取点，使得，连接，，，， 因为，，所以四边形为平行四边形，可得， 因为，，所以四边形为平行四边形，可得， 所以，可得，，，四点共面，故C正确； 对于D，因为，， ， 所以 ， ，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛： 求向量模长解题的关键点是先对所求向量进行线性运算，再平方计算. 6．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】表达出，平方后求出，求出；求出，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值. 【详解】连接， ， 故； ， 故 ， 故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：； 7．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 75 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 共线向量 掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 共面向量 理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 空间向量基本定理及其应用 1、会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直观想象的核心素养. 2、会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角、模长、数量积,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 高频易错点，数量积、模长、夹角的运算及最值（范围）出错 空间向量的坐标运算及其应用 1、掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题,强化数学运算的核心素养. 2、能熟练应用两个向量数量积、夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02 空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点03 空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点04 共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点05 空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，那么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点06 空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点07 空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点08 空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 ①空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． ②空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点09 空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 5、两点间的距离公式 已知，则 6、中点坐标公式 设点为，的中点，则. 题型一 空间向量的线性运算 解｜题｜技｜巧 1．（23-24高二上·河南南阳·月考）求为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 5．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 题型二 空间向量共线问题 解｜题｜技｜巧 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 1．（24-25高二上·河南许昌·月考）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 3．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 4．（23-24高二上·北京·月考）若空间三点，，共线，则实数 . 5．已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为 ． 6．（23-24高二上·陕西·月考）在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ．    题型三 空间向量共面问题 解｜题｜技｜巧 1、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 2、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 1．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 2．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 3．（23-24高二上·福建厦门·月考）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·陕西汉中·月考）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是 ． 6．（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 7．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 题型四 用基底表示向量 解｜题｜技｜巧 用基底表示向量的步骤 （1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西运城·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 5．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 6．在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则 ．（用，，表示） 题型五 空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 解｜题｜技｜巧 1、合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入求解. 2、模长 （1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. （2）因为,所以,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为. 3、夹角 （1）求两异面直线的夹角,可转化为求两直线的方向向量的夹角. （2）由两个向量的数量积定义得,求的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出的余弦值,进而求的大小,在求时注意结合空间图形,把用基向量表示出来,进而化简得出的值. （3）异面直线AB,CD的夹角α∈(0,],而<,>∈[0,π],故α=<,>或α=π-<,>. 1．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 2．（23-24高二上·山东济南·月考）如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高二上·河北沧州·月考）（多选题）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且，设．若，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．直线与所成角的余弦值为 4．（24-25高二上·河南濮阳·月考）如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是 ． 5．（23-24高二下·江苏南京·月考）在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 题型六 空间直角坐标系 解｜题｜技｜巧 建系确定点的坐标的原则 （1）建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. （2）求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 1．（24-25高二下·甘肃定西·月考）在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃金昌·月考）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为 . 5．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 6．在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 题型七 数量积、模长、夹角的坐标运算（含平行、垂直的应用） 解｜题｜技｜巧 1、设， 2、利用向量方法求长度或距离的基本方法 若，则，即 3、求两个非零向量夹角的两种途径 设，则 4、平行与垂直 （1）两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） （2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. 1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知，，若，则（   ） A． B． C．4 D． 2．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 4．（多选题）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 5．（23-24高二上·广东珠海·月考）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 6．（24-25高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 7．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 8．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 题型八 投影向量的计算 解｜题｜技｜巧 向量称为向量在向量上的投影向量 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西河池·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，则在方向上投影的数量为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 题型九 空间向量运算证明垂直与平行问题（含坐标法） 解｜题｜技｜巧 1、利用空间向量基本定理 （1）合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. （2）当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定. （3）证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明. 2、利用坐标 （1）利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明. 1．在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 2．（24-25高二下·江苏镇江·月考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 3．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 4．（24-25高二上·天津南开·期中）如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. (1)求的模： (2)求的值； (3)求证：. 5．（24-25高二上·广东·月考）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点.    (1)用，，表示向量； (2)在线段上存在一点，且，求证：. 6．如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 7．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 题型十 空间向量运算中的最值范围问题 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 2．（24-25高二上·河南郑州·期末）在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高二下·云南·期末）在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北保定·月考）在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是 ． 7．设动点在棱长为的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围为 ． 8．（24-25高二下·云南文山·月考）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 9．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为 ． 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知点是点在平面上的射影，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西·月考）若，，三点共线，则（    ） A．4 B． C．1 D．0 4．在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 7．（24-25高二上·山东·期中）已知，若四点共面，则（   ） A． B．2 C．4 D．5 8．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知为空间的一组基底．则下列向量能构成空间的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 9．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 10．（24-25高二下·江苏连云港·月考）在三棱锥O-ABC中，G是的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 11．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（    ） A． B．1 C． D． 12．（23-24高二上·广东广州·期末）已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B．7 C． D． 13．（24-25高二上·广东江门·期末）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 16．已知向量，在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·河南周口·期末）在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·广东东莞·月考）（多选题）下列哪个条件可以作为四点共面的充分条件（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·陕西西安·月考）（多选题）如图，在四面体中，两两垂直，，则（    ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C．向量 D．向量 21．（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 22．（24-25高二上·青海西宁·月考）平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为，则线段的中点为 ，顶点的坐标为 ， 的大小为 . 23．（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 24．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 25．（24-25高二上·广西来宾·月考）已知点、点，求线段AB的三等分点的坐标 26．（24-25高二上·天津·期末）已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围 27．如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 28．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是 . 29．（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 30．（23-24高二上·江西·期中）如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 31．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，，，，、分别是、的中点. (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值. 32．如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    33．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 34．如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·宁夏银川·月考）如图，正四棱台中，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南永州·月考）（多选题）如图，平行六面体的所有棱长均为，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．，，，四点共面 D．直线与所成角的余弦值为 6．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 . 7．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 23 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $