专项突破01 从立体图形到平面图形（知识技巧点拨+10种高频考察题型 共30题）期中培优讲练-2025-2026学年北师大版数学七年级上册考前冲刺

专项突破01 从立体图形到平面图形 （知识技巧点拨+10种高频考察题型 共30题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正方体的展开与折叠 1 知识点梳理02：棱柱的展开与折叠 2 知识点梳理03：圆柱、圆锥的展开与折叠 3 知识点梳理04：几何体的截面 3 知识点梳理05：从三个方向看几何体 4 知识点梳理06：画从三个方向看到的几何体的形状图 5 优选题型 考点讲练 5 题型1 从不同方向看几何体 5 题型2 几何体展开图的认识 6 题型3 由展开图计算几何体的表面积 8 题型4 由展开图计算几何体的体积 10 题型5 正方体几种展开图的识别 13 题型6 正方体相对两面上的字 15 题型7 含图案的正方体的展开图 16 题型8 求展开图上两点折叠后的距离 17 题型9 补一个面使图形围成正方体 18 题型10 截一个几何体 18 知识点梳理01：正方体的展开与折叠 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到 11 种不同的展开图 . 类型  图示  口诀  数量 一四一型 中间四方连，两侧各一个  6 种 二三一型(或一三二型)  中间三方连，两 侧 各 有 两个、一个 3 种 二二二型  中间二方连，两侧各两个  1 种 三三型 两排各三个，中间成一“日”  1 种 知识点梳理02：棱柱的展开与折叠 直棱柱的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的 . 几种常见棱柱的展开图： 名称  三棱柱  长方体 五棱柱  六棱柱 立体图形 展开图 (举例) 知识点梳理03：圆柱、圆锥的展开与折叠 1. 圆柱的表面展开图  由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成，其中长方形的一边的长是底面圆的周长，与这条边相邻的另一边的长是圆柱的高 . 侧面展开图如图 ①所示，表面展开图如图 ②所示. 2. 圆锥的表面展开图  由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成，其中扇形的半径长是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线)长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长 . 侧面展开图如图①所示，表面展开图如图 ②所示. 特别解读 几何体与其表面展开图的联系： (1)一个几何体可以有多种表面展开图，如正方体，根据剪开的方式不同其表面展开图也不同； (2) 不是所有几何体都可以展开，如球就不能展开 . 知识点梳理04：几何体的截面 正方体的几种截面形状 圆柱的几种截面形状 圆锥的几种截面形状 三棱柱的几种截面形状 球的截面 形状 截面  用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面 . 知识点梳理05：从三个方向看几何体 1. 从不同方向看几何体，往往会看到不同的形状图，一般从三个方向看：从正面看，从左面看，从上面看 . 2. 常见的几何体从不同方向看到的形状图 从不同方向看 几何体 从正面看 从左面看 从上面看 知识点梳理06：画从三个方向看到的几何体的形状图 从不同方向看  特点  图例 从正面看 能 看 到 几 何体的长和高 看到的图形有上、下两 层， 排 成 左、 中、右三列，如右图所示 从左面看 能 看 到 几 何体的高和宽 看到的图形有上、下两层，排成左、右两列，如右图所示 从上面看 能 看 到 几 何体的长和宽 看到的图形有三列、两行，如右图所示 哎 题型1 从不同方向看几何体 1．（24-25七年级上·广东清远·期中）如图，在平整的地面上，用6个完全一样的小正方体堆成一个几何体． (1)请在图1中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图； (2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）是________（平方单位） 2．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)请画出从正面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为_____． (3)重新用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_____个小立方块． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，这个几何体至少用了 个小立方体搭成． 题型2 几何体展开图的认识 4．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）如图1，一个边长为的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内． (1)计算图1长方形的面积； (2)小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图的长方形内，请你在图中画出这个立方体的表面展开图；（图每个小正方形边长为）； (3)如图3，在长、宽的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图（各个面都用数字“”表示），请你在剩下部分再画出个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“”，另一个立方体的每一个面标记为“”． 5．（24-25九年级下·全国·随堂练习）图1是边长为的正方形纸片，四个角都切去边长为的小正方形后，翻折成一个无盖的长方体纸盒如图2，下列说法错误的是（   ） A． B．该无盖的长方体纸盒的表面积是 C．当时，图2为无盖的正方体纸盒 D．该无盖的长方体纸盒的所有棱长之和是个定值 6．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 题型3 由展开图计算几何体的表面积 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长． (1)这个棱柱共有______个顶点； (2)这个棱柱共有______条棱，所有的棱长的和是______； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和为______． 8．（24-25七年级上·广东佛山·期中）小红在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．她在家用剪刀剪开了一个如图3的长方体纸盒，可是她一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题： 【观察判断】（1）小红共剪开了________条棱； 【动手操作】（2）现在小红想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小红在图1中补全图形； 【解决问题】（3）小花的生日即将到来，小红给小花准备了两份礼物，分别放进了2个图3这样的长方体纸盒．现在小红打算用一张包装纸把两个长方体纸盒包装在一起作为一个大礼物送给小花，请你帮小红计算出所用的包装纸材料最小是多少？ 9．（24-25七年级上·全国·期中）下面是一个长方体（单位：），我们能看到的三个面（如图）分别标有A、B、C，另三个面分别标有D、E、F． (1)D面与A面相对，E面与C面的面积相等，求E面的面积和这个长方体的体积． (2)下面关于这个长方体展开图各面字母标注正确的是　　． 题型4 由展开图计算几何体的体积 10．（24-25七年级上·广东佛山·期中）【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版数学课本七年级上册的课题学习内容，某综合实践小组参考这一课题中的内容，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是______（填序号）． (2)该小组利用边长为的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案． ①按如图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．若，，则该无盖长方体纸盒的底面周长为_______． ②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形和个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，，求该有盖长方体纸盒的体积． 11．（24-25七年级上·福建泉州·期中）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． 【问题分析】 （1）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为________，底面积为________，容积为________；（用含的代数式表示） 【实践探索】 （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，通过计算得出部分结果如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m n 0 直接写出的值 【实践分析】 （3）观察绘制的统计表，你发现随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？ （4）【分析猜想】 当________时（b为整数），所得的无盖长方体的容积最大，此时容积是________． 12．（23-24七年级上·河北保定·期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是______字； (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为______的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． 13．（25-26七年级上·广东深圳·阶段练习）李明同学学习了图形的展开与折叠后，帮助爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (3)在（2）画出的设计图中，把5、6、7、10、11、12这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒对面上的两个数相加得17．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 题型5 正方体几种展开图的识别 14．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （2）如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （3）如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，则，此时表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 若长方体的长、宽、高分别为4、3、6．将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长是______． 15．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍； (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______； (4)若无盖（缺长宽为，的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为______． 题型6 正方体相对两面上的字 16．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，图中是由同样的4个小正方体组成的．数字2对面的数字是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 17．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）一个正方体的六个面上分别写着六个字母．请你根据如图的三种摆放情况，判断：字母对面是（    ） A．A B．B C．C D．D 18．（21-22七年级上·四川眉山·期末）已知在数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c． (1)如图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，并且图2中，点C为线段AB的中点，则a=_____，b=____，c =______； (2)如图3，若a，b，c满足， ①=_____，b=_____，c=_____； ②若点A、B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，运动过程中，当A为BC的中点时，求t的值． 题型7 含图案的正方体的展开图 19．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23七年级上·广西柳州·阶段练习）如图，左面立．体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边． 21．（2021九年级下·全国·专题练习）如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 题型8 求展开图上两点折叠后的距离 22．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 23．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 24．（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 题型9 补一个面使图形围成正方体 25．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【正方体的表面积】将一个正方体等分成8个小正方体，任取其中都在顶点处的一个小正方体后，其表面积和原来相比，（   ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 26．（22-23七年级上·江西赣州·期末）如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面． 27．（24-25七年级上·北京石景山·期末）小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是 ． 题型10 截一个几何体 28．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小深周末带妹妹去坪由少儿图书馆，在那里发现一个有趣的玩具，叫做索玛立方体，把索玛立方体拆分，可以拆成7个立体图形，如图所示． (1)如果用一个平面去截正方体，则截面有可能是________．（回答一种即可） (2)小深发现6号方块从正面看和从左侧看的图形都与7号是一样的，请在下图画出其从正面看和从左侧看的图形． (3)你能帮忙算出1号方块涂色的面积吗？（每个小正方体棱长为1厘米） 29．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图是一个几何体的展开图． (1)写出该几何体的名称________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形 (3) 根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的表面积和体积． 30．（22-23七年级上·陕西西安·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是，最多是，则．其中正确结论为 ．      第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破01 从立体图形到平面图形 （知识技巧点拨+10种高频考察题型 共30题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正方体的展开与折叠 1 知识点梳理02：棱柱的展开与折叠 2 知识点梳理03：圆柱、圆锥的展开与折叠 3 知识点梳理04：几何体的截面 3 知识点梳理05：从三个方向看几何体 4 知识点梳理06：画从三个方向看到的几何体的形状图 5 优选题型 考点讲练 5 题型1 从不同方向看几何体 5 题型2 几何体展开图的认识 7 题型3 由展开图计算几何体的表面积 11 题型4 由展开图计算几何体的体积 14 题型5 正方体几种展开图的识别 18 题型6 正方体相对两面上的字 22 题型7 含图案的正方体的展开图 25 题型8 求展开图上两点折叠后的距离 27 题型9 补一个面使图形围成正方体 29 题型10 截一个几何体 30 知识点梳理01：正方体的展开与折叠 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到 11 种不同的展开图 . 类型  图示  口诀  数量 一四一型 中间四方连，两侧各一个  6 种 二三一型(或一三二型)  中间三方连，两 侧 各 有 两个、一个 3 种 二二二型  中间二方连，两侧各两个  1 种 三三型 两排各三个，中间成一“日”  1 种 知识点梳理02：棱柱的展开与折叠 直棱柱的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的 . 几种常见棱柱的展开图： 名称  三棱柱  长方体 五棱柱  六棱柱 立体图形 展开图 (举例) 知识点梳理03：圆柱、圆锥的展开与折叠 1. 圆柱的表面展开图  由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成，其中长方形的一边的长是底面圆的周长，与这条边相邻的另一边的长是圆柱的高 . 侧面展开图如图 ①所示，表面展开图如图 ②所示. 2. 圆锥的表面展开图  由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成，其中扇形的半径长是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线)长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长 . 侧面展开图如图①所示，表面展开图如图 ②所示. 特别解读 几何体与其表面展开图的联系： (1)一个几何体可以有多种表面展开图，如正方体，根据剪开的方式不同其表面展开图也不同； (2) 不是所有几何体都可以展开，如球就不能展开 . 知识点梳理04：几何体的截面 正方体的几种截面形状 圆柱的几种截面形状 圆锥的几种截面形状 三棱柱的几种截面形状 球的截面 形状 截面  用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面 . 知识点梳理05：从三个方向看几何体 1. 从不同方向看几何体，往往会看到不同的形状图，一般从三个方向看：从正面看，从左面看，从上面看 . 2. 常见的几何体从不同方向看到的形状图 从不同方向看 几何体 从正面看 从左面看 从上面看 知识点梳理06：画从三个方向看到的几何体的形状图 从不同方向看  特点  图例 从正面看 能 看 到 几 何体的长和高 看到的图形有上、下两 层， 排 成 左、 中、右三列，如右图所示 从左面看 能 看 到 几 何体的高和宽 看到的图形有上、下两层，排成左、右两列，如右图所示 从上面看 能 看 到 几 何体的长和宽 看到的图形有三列、两行，如右图所示 哎 题型1 从不同方向看几何体 1．（24-25七年级上·广东清远·期中）如图，在平整的地面上，用6个完全一样的小正方体堆成一个几何体． (1)请在图1中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图； (2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）是________（平方单位） 【答案】(1)见解析 (2)26 【思路引导】本题考查作图-三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 （1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为1，1，2，从左面看有2列，每列小正方形数目分别为2，1；从上面看有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，2，据此可画出图形； （2）分前后，左右，上下三个方向统计正方形的个数即可． 【规范解答】（1）解：三视图如图所示： （2）表面积， 故答案为：26． 2．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)请画出从正面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为_____． (3)重新用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_____个小立方块． 【答案】(1)图见解析 (2)30 (3)7 【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体，掌握几何体的特征是解题的关键． （1）根据几何体的特征画图即可； （2）观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形，但其中有4个小正方形被遮挡，再根据几何体的表面积公式计算即可； （3）由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层，第一层需要5个小立方块，第二层至少需要2个小立方块，据此即可得出答案． 【规范解答】（1）解：从正面、上面看到的这个几何体的形状图如下： （2）解：观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形，但其中有4个小正方形被遮挡； ∴这个几何体的表面积为， 故答案为：30； （3）解：由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层， 第一层需要5个小立方块，第二层至少需要2个小立方块， ∴搭这样一个几何体最少要（个）小立方块． 故答案为：7． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，这个几何体至少用了 个小立方体搭成． 【答案】7 【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体．根据从正面看到的图形和从上面看到的图形可知该几何体立方块个数． 【规范解答】解：从上面和从正面看，底层有5块，第二、三层各有1块， ∴这个几何体中小方块的数量至少为（个）． 故答案为：7． 题型2 几何体展开图的认识 4．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）如图1，一个边长为的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内． (1)计算图1长方形的面积； (2)小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图的长方形内，请你在图中画出这个立方体的表面展开图；（图每个小正方形边长为）； (3)如图3，在长、宽的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图（各个面都用数字“”表示），请你在剩下部分再画出个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“”，另一个立方体的每一个面标记为“”． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【思路引导】本题主要考查了立方体的表面展开图以及长方形面积的计算，熟练掌握立方体表面展开图的各种形式是解题的关键． （1）先确定图1长方形的长和宽，再根据长方形面积公式计算． （2）按照立方体表面展开图“三三”型在图2中画出即可． （3）分别根据“二三一”型和“一四一”型画图即可． 【规范解答】（1）解：立方体边长为，图1长方形的长为，宽为， 长方形面积 （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 5．（24-25九年级下·全国·随堂练习）图1是边长为的正方形纸片，四个角都切去边长为的小正方形后，翻折成一个无盖的长方体纸盒如图2，下列说法错误的是（   ） A． B．该无盖的长方体纸盒的表面积是 C．当时，图2为无盖的正方体纸盒 D．该无盖的长方体纸盒的所有棱长之和是个定值 【答案】D 【思路引导】本题考查棱柱有关的运算，根据图形的形状以及边长进行判断即可． 【规范解答】解：A.原正方形纸片的边长为，四个角都切去边长为的小正方形，所以，本选项正确，不符合题意； B.根据题意得出该无盖的长方体纸盒的表面积是，本选项正确，不符合题意； C.当时，，所以图为正方体，本选项正确，不符合题意； D.长方体的所有棱长之和为，不是定值，本选项错误，符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析， 【思路引导】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【规范解答】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为． 题型3 由展开图计算几何体的表面积 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长． (1)这个棱柱共有______个顶点； (2)这个棱柱共有______条棱，所有的棱长的和是______； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和为______． 【答案】(1)12 (2)18， (3) 【思路引导】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握n棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由n棱柱有个顶点即可求解； （2）由n棱柱有条棱求解可得； （3）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得． 【规范解答】（1）解：（1）六棱柱有12个顶点； 故答案为：12． （2）这个棱柱有18条棱， 所有的棱长的和是． 故答案为：18，． （3）这个棱柱的所有侧面的面积之和是， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·广东佛山·期中）小红在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．她在家用剪刀剪开了一个如图3的长方体纸盒，可是她一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题： 【观察判断】（1）小红共剪开了________条棱； 【动手操作】（2）现在小红想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小红在图1中补全图形； 【解决问题】（3）小花的生日即将到来，小红给小花准备了两份礼物，分别放进了2个图3这样的长方体纸盒．现在小红打算用一张包装纸把两个长方体纸盒包装在一起作为一个大礼物送给小花，请你帮小红计算出所用的包装纸材料最小是多少？ 【答案】[观察判断]：8；[动手操作]：见解析；[解决问题]：所用的包装纸材料最小是264． 【思路引导】本题主要考查了几何展开图， [观察判断]：根据图形回答即可； [动手操作]：根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； [解决问题]：根据题意，应该尽量使得的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少求解即可，． 【规范解答】解：[观察判断]： 小明总共剪开了条棱； 故答案为：； [动手操作]：如图，有四种情况： [解决问题]：因为长方体的高为，宽为，长为， 所以装个这样的长方体纸盒，应该尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少，侧面积分别为： （）， （） （） 纸箱的表面积为：（）． 9．（24-25七年级上·全国·期中）下面是一个长方体（单位：），我们能看到的三个面（如图）分别标有A、B、C，另三个面分别标有D、E、F． (1)D面与A面相对，E面与C面的面积相等，求E面的面积和这个长方体的体积． (2)下面关于这个长方体展开图各面字母标注正确的是　　． 【答案】(1)E面的面积为，长方体的体积为． (2)B． 【思路引导】本题考查了长方体的展开图，长方体的表面积和体积，根据相邻面的情况确定出相邻的四个字母是确定对面上的字母的关键． 根据长宽=长方形的面积，长宽高长方体的体积可解答； 根据D面与A面相对，E面与C面相对可得正确的长方体的展开图． 【规范解答】（1）解：∵E面与C面的面积相等， ∴E面的面积C面的面积， 由图可知：长方体的体积 （2）解：由图可知：这个长方体展开图各面字母标注正确的是B， 故答案为：B． 题型4 由展开图计算几何体的体积 10．（24-25七年级上·广东佛山·期中）【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版数学课本七年级上册的课题学习内容，某综合实践小组参考这一课题中的内容，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是______（填序号）． (2)该小组利用边长为的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案． ①按如图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．若，，则该无盖长方体纸盒的底面周长为_______． ②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形和个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，，求该有盖长方体纸盒的体积． 【答案】(1)①②④ (2)①；② 【思路引导】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键． （1）根据长方体的展开图特征求解即可； （2）①由折叠可得底面是边长为的正方形，进而求出底面周长即可；②由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为、、，根据体积公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①②④， 故答案为：①②④； （2）①该无盖长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②该长方体纸盒的长为，宽为，高为， 该有盖长方体纸盒的体积为． 11．（24-25七年级上·福建泉州·期中）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． 【问题分析】 （1）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为________，底面积为________，容积为________；（用含的代数式表示） 【实践探索】 （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，通过计算得出部分结果如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m n 0 直接写出的值 【实践分析】 （3）观察绘制的统计表，你发现随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？ （4）【分析猜想】 当________时（b为整数），所得的无盖长方体的容积最大，此时容积是________． 【答案】（1），，． （2），． （3）由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小； （4），． 【思路引导】本题考查了展开图折叠成几何体、列代数式，解题的关键是能够通过折叠得到折叠后长方体的长、宽、高． （1）由减去的正方形边长可得到盒子的高和盒子底面的边长，进而得到底面的面积，然后由“体积底面积高”求得盒子的容积． （2）分别将，和，代入（1）中的容积公式求得对应的容积． （3）通过表中容积的变化可以直接得到结果． （4）由表中容积的最大值即可得到结果． 【规范解答】解：（1）∵原正方形纸片的边长为，减去的小正方形的边长为， ∴折成的无盖长方体盒子的高为，底面正方形的边长为， ∴底面积为， ∴无盖长方体纸盒的容积为， 故答案为：，，． （2）当，时，； 当，时，， ∴，． （3）答：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小； （4）由表中数据可知，当时，容积最大为， 故答案为：，． 12．（23-24七年级上·河北保定·期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是______字； (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为______的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①5；② 【思路引导】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）根据长方体的体积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，图1中的C图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒， 故答案为：C； （2）根据题意可得，与“保”字相对的字是卫， 故答案为：卫； （3）①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为， 故答案为5； ②． 答：纸盒的容积为． 题型5 正方体几种展开图的识别 13．（25-26七年级上·广东深圳·阶段练习）李明同学学习了图形的展开与折叠后，帮助爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (3)在（2）画出的设计图中，把5、6、7、10、11、12这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒对面上的两个数相加得17．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【答案】(1)4 (2)见解析（答案不唯一） (3)见解析（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键． （1）根据正方体的平面展开图的特点即可得； （2）根据正方体的平面展开图的特点即可得； （3）将和为17的两个数填入相对面上即可得． 【规范解答】（1）解：由正方体的平面展开图的特点可知，在下面4个位置弥补即可． 即共有4种弥补方法； （2）解：画出一种成功的设计图如下所示： （3）解：将和为17的两个数填入相对的面上即可，如图所示： 14．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （2）如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （3）如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，则，此时表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 若长方体的长、宽、高分别为4、3、6．将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长是______． 【答案】（1）①⑤⑥（2）588（3）80， 拓展探究：70 【思路引导】本题主要考查了立体图形表面展开图．熟练掌握正方体、长方体表面展开图特征，是解题的关键． （1）是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； （2）长方体的一边长为14，另一边长也为14，体积为588； （3）表面展开图的外围周长为80，盒子一边长为14，另一边长为4，体积为168； 拓展探究：画出该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的图形，计算其周长为70． 【规范解答】解：（1）是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； 故答案为：①⑤⑥； （2）长方体的另一边长为： 另一边长为：， 体积为：； 故答案为：588； （3）表面展开图的外围周长为：， 盒子一边长为：， 另一边长为：， 体积为：， 故答案为：80； 拓展探究： 如图，是该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的情形， 其周长为：． 故答案为：70． 15．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍； (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______； (4)若无盖（缺长宽为，的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为______． 【答案】(1)①③④ (2)①；②；③ (3) (4) 【思路引导】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； ③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案； （4）根据边长最短的都剪，边长最长的不剪，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：根据构成，②只能折成个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， 故答案为：； ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：； （2）由（1）可知：无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：， ∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍， 故答案为：； （3）如图所示，    ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为， 故答案为：； （4）    ∴该长方体表面展开图的最小外围周长为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 题型6 正方体相对两面上的字 16．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，图中是由同样的4个小正方体组成的．数字2对面的数字是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【思路引导】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解题关键．根据图形确定“5”和“6”相对，进一步可得“4”和“1、2、5、6”相邻，“4”的对面是3，即可得到答案． 【规范解答】解：由图形可知，“5”和“1、2、3、4”相邻， ∴“5”的对面是6， ∴“4”和“1、2、5、6”相邻， ∴“4”的对面是3， ∴“2”和“1”相对，即“2”对面的数字是“1”． 故选：A． 17．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）一个正方体的六个面上分别写着六个字母．请你根据如图的三种摆放情况，判断：字母对面是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方体相对两面上的字，熟练掌握正方体的特征是解题关键．先找出与字母所在面相邻的四个面上的字母，再根据正方体的特征求解即可得． 【规范解答】解：由前面两个图可知，与字母所在面相邻的四个面上的字母是， 所以字母对面的字母是， 与字母所在面相邻的四个面上的字母是， 所以字母对面的字母是， 故答案为：C． 18．（21-22七年级上·四川眉山·期末）已知在数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c． (1)如图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，并且图2中，点C为线段AB的中点，则a=_____，b=____，c =______； (2)如图3，若a，b，c满足， ①=_____，b=_____，c=_____； ②若点A、B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，运动过程中，当A为BC的中点时，求t的值． 【答案】(1)-7，3，-2 (2)①-5，-4，3，②当A为BC的中点时，t=3 【思路引导】（1）先得出每个相对面，再由相对面上的两个数互为相反数可得出a，b的值，再根据点C是线段AB的中点得出c的值； （2）①根据非负数的和等于0，即每一项等于0，求出a，b，c的值即可； ②根据数轴上点的运动规律表示出t秒后A，B表示的数，再根据点A是BC的中点列方程求解即可． 【规范解答】（1）解： “a”与“7”相对，“b”与“-3”相对， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴a=-7，b=3， ∵点C为线段AB的中点， ∴c==-2， 故答案为：-7，3，-2； （2）解：①∵|a+5|≥0，2|b+4|≥0，（c-3）2≥0， ∴a+5=0，b+4=0，c-3=0， ∴a=-5，b=-4，c=3， 故答案为：-5，-4，3； ②当点A与点C重合时，则 2t=3-（-5）， 解得t=4， 当点B与点C重合时，则 t=3-（-5）， 解得t=8， 可见点A先到达点C， 只存在AB=AC，且点A在点B右侧而在点C左侧的情况， ∴=-5+2t， 解得：t=3． ∴当A为BC的中点时，t=3． 【考点剖析】此题考查了正方体相对面上的文字，计算线段的中点以及非负数的性质，解题的关键是要有空间想象能力． 题型7 含图案的正方体的展开图 19．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了几何体的侧面展开图，按照沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到展开后的图形，解题的关键是要善于想象其侧面展开图的形状． 【规范解答】解：沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到侧面展开为4个小正方形并连接一个标有一个字母m的小正方形，这个标有字母m的小正方形在最左侧小正方形的下面，由选项可得只有A符合， 故选：A． 20．（22-23七年级上·广西柳州·阶段练习）如图，左面立．体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边． 【答案】见解析 【思路引导】先补充图中缺少的字母，然后确定四边形的四条边所在的平面，继而即可求解． 【规范解答】 解：截面的线在展开图中，如图 【考点剖析】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形APQC四个顶点所在的位置，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． 21．（2021九年级下·全国·专题练习）如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 【答案】（1）2；（2）11 【思路引导】（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5，据此可得结论； （2）由第一个图可知，4的对面是5，即可得到第二个图和第三个图的下底面都为5，进而得出这三个骰子下底面上点数和． 【规范解答】解：（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6， 故2的对面是1，即第一个图的下底面为1， 又由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5， 故第一个图的左面是4，后面为3， 故结合第一个和第三个图可得“？”处的点数为2； （2）由第一个图可知，4的对面是5， 故第二个图和第三个图的下底面都为5， 故这三个骰子下底面上点数和为5＋5＋1＝11． 【考点剖析】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，注意正方体的空间图形并从相对面入手是解题的关键． 题型8 求展开图上两点折叠后的距离 22．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【思路引导】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【规范解答】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 23．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 【答案】2 【思路引导】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【规范解答】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 【考点剖析】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键． 24．（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】最短路线有2条，作图见解析． 【思路引导】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【规范解答】解：将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【考点剖析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 题型9 补一个面使图形围成正方体 25．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【正方体的表面积】将一个正方体等分成8个小正方体，任取其中都在顶点处的一个小正方体后，其表面积和原来相比，（   ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方体的表面积，抓住拿掉的小正方体只有3个表面在外面，而剩余的部分也多了3个面，即可求解； 【规范解答】解：∵拿掉的小正方体只有3个表面在外面，而剩余的部分也多了3个面， ∴表面积和原来相比没有变化 故选：C ． 26．（22-23七年级上·江西赣州·期末）如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面． 【答案】见解析 【思路引导】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【规范解答】解：如图，添加一个正方形，折叠后才能围成一个正方体， 【考点剖析】本题考查展开图折叠成几何体的知识，注意掌握只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 27．（24-25七年级上·北京石景山·期末）小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是 ． 【答案】见解析 【思路引导】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可，答案不唯一． 【规范解答】解：如图所示：（答案不唯一） 【考点剖析】考查了展开图折叠成几何体，掌握正方体的11种平面展开图，并灵活应用其进行准确判断是解题的关键，此类题重点培养学生的空间想象能力． 题型10 截一个几何体 28．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小深周末带妹妹去坪由少儿图书馆，在那里发现一个有趣的玩具，叫做索玛立方体，把索玛立方体拆分，可以拆成7个立体图形，如图所示． (1)如果用一个平面去截正方体，则截面有可能是________．（回答一种即可） (2)小深发现6号方块从正面看和从左侧看的图形都与7号是一样的，请在下图画出其从正面看和从左侧看的图形． (3)你能帮忙算出1号方块涂色的面积吗？（每个小正方体棱长为1厘米） 【答案】(1)三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可） (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积，截一个几何体，简单几何体的三视图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）正方体有6个面，截面共有4种情形； （2）从不同方向观察即可画出图形； （3）将正方体从上到下依次标号，则1号方块的三个小正方体分别为编号15，24，27，即可确定有7个面可以涂色． 【规范解答】（1）解：如果用一个平面去截正方体，则截面有可能三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可）， 故答案为：三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可）； （2）解：从正面看和从左侧看的图形如图所示： （3）解：将正方体从上到下依次标号，如图： 则1号方块的三个小正方体分别为编号15，24，27，类似于下图正面所对蓝色区域： ∴1号方块涂色面积为． 29．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图是一个几何体的展开图． (1)写出该几何体的名称________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形 (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的表面积和体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③ (3)表面积为，体积为 【思路引导】（）直接根据几何体的展开图判断即可； （）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，据此即可求解； （）利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可； 本题考查了长方体的展开图及其表面积与体积的计算，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据几何体的展开图共有个面，且各面有正方形及长方形， ∴此几何体为长方体， 故答案为：长方体； （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， 故答案为：①②③； （3）解：表面积， 体积． 30．（22-23七年级上·陕西西安·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是，最多是，则．其中正确结论为 ．      【答案】①②/②① 【思路引导】根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着可判断①；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形可判断②③；作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最多（少）时的数字即可判断④． 【规范解答】解：①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；正确，因为正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以要剪开条棱． ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形．正确． ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2， 是等边三角形，则．故（3）错误． ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6，最多是11，则．故（4）错误． 故答案为：①②． 【考点剖析】此题主要考查了正方体的展开图的性质，截正方体以及简单组合体的三视图等知识，根据展开图的性质得出一个平面图形必须5条棱连接是解题关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $