5.3二元一次方程的应用（第1课时鸡兔同笼）（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

北师大版2024·八年级上册 5.3.1 二元一次方程组的应用 第五章 二元一次方程组 学 习 目 标 1 2 二元一次方程组的数学模型解决现实生活中的实际问题； 在列方程的过程中，强化模型思想，培养解决现实问题的意识和能力. 情境导入 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国. 新知探究 应用二元一次方程组解古算题 情景一 “鸡兔同笼”题为: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何? “上有三十五头”的意思是什么? “下有九十四足”的意思是什么? 你能算出鸡兔各几只吗？ 新知探究 应用二元一次方程组解古算题 译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚。问笼子里鸡和兔各有多少只? 说一说：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？ 小组讨论：你能用几种方法解决这一问题？ 新知探究 应用二元一次方程组解古算题 译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚。问笼子里鸡和兔各有多少只? 解法一：算术推理 如果都是鸡，35 头应该有 70 只脚， 实际有 94 只脚，多出 24 只脚，应该是兔子的， 每只兔子多两只脚，所以兔子应该有 12 只. 所以鸡有 35－12＝23(只). 新知探究 应用二元一次方程组解古算题 译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚。问笼子里鸡和兔各有多少只? 解法二：用一元一次方程求解 解：设有鸡 x 只，则有兔（35－x）只． 由题意得2x＋4×（35－x）＝94 ． 解 得 x＝23 ． 所以 35－x＝12 ． 答：有鸡23只，兔12只． 趣题中有怎样的等量关系？ 新知探究 应用二元一次方程组解古算题 译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚。问笼子里鸡和兔各有多少只? 解法三：用二元一次方程组求解 根据表格你能列出方程吗？ 设鸡有 x 只，有兔y 只， 鸡 兔 合计 只数 脚数 x y 35 2x 4y 94 新知探究 应用二元一次方程组解古算题 译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚。问笼子里鸡和兔各有多少只? 解法三：用二元一次方程组求解 解：设有鸡 x 只，兔 y 只． 由题意得 解得 答：有鸡23只，兔12只． 新知探究 应用二元一次方程组解古算题 想一想：这三个解法相比优缺点是什么？ 一元一次方程解法 优点：比小学的算术方法求解更便捷些； 不足：计算较复杂。 二元一次方程组解法 优点：相比小学的算术方法求解和一元一次方程求解，更容易列出方程； 不足：计算复杂些。 新知探究 应用二元一次方程组解古算题 用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1) 审题：弄清题意和题目中的_________； (2) 设元：用_______表示题目中的未知数； (3) 列方程组：根据___个等量关系列出方程组； (4) 解方程组：利用__________法或_________法解出未知数的值； (5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元 典例分析 例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的 10 钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多 5 倍； 如果乙得到甲的 10 钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？ 等量关系： 甲+10=6（乙-10） 乙+10=甲-10 解：设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y ，根据题意，得 解这个方程组，得 ∴甲带了 38 钱，乙带了 18 钱. 典例分析 例2 隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？ 等量关系： 人数×5=银两数-6 人数×6=银两数+5 解：设人数为x人，银两为y两，依题意得 解得 答：人数为11人，银两为61两。 5x=y-6 6x=y+5 x=11 y=61 变式训练 1．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为 （ ） B D. 2.古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为 ． 3.《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组为 ．（只列不解） 变式训练 变式训练 4.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得： ， 解得： ， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； 变式训练 4.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛，且银两须全部用完)，且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 解：（2）设购买头牛，只羊， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 为的倍数， 羊的数量不少于牛数量的倍， ， 或 ， 商人有种购买方法： 购买头牛，只羊； 购买头牛，只羊． 课堂小结 一般步骤： 审、设、列、解、验、答 列方程组解决问题 关键：找等量关系 感谢聆听! $