1.9.1有理数的乘法法则讲义2025-2026学年华东师大版（2024））数学七年级上册

1.9.1有理数的乘法法则 学习目标 1. 理解并掌握有理数的乘法法则。 2. 能够熟练进行两个及多个有理数的乘法运算。 3. 能运用有理数的乘法解决简单的实际问题。 4. 培养观察、归纳、概括的能力，以及运用数学知识解决问题的能力。 知识点讲解 一、有理数的乘法法则 1. 同号两数相乘：取正号，并把绝对值相乘。 即：正数乘正数，积为正数；负数乘负数，积为正数。 用字母表示为：若 (a > 0)，(b > 0)，则；若 (a < 0)，(b < 0)，则。 2. 异号两数相乘：取负号，并把绝对值相乘。 即：正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数。 用字母表示为：若 (a > 0)，(b < 0)，则；若 (a < 0)，(b > 0)，则。 3. 任何数与0相乘：都得0。 用字母表示为：（(a) 为任意有理数）。 二、多个有理数的乘法运算 1. 符号法则：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 2. 绝对值运算：将各个因数的绝对值相乘。 3. 特殊情况：如果多个因数相乘中，有一个因数是0，那么积就等于0。 例如：，负因数有3个（奇数），积为负；，负因数有2个（偶数），积为正。 三、有理数乘法的实际应用 在实际问题中，常常需要用正负数表示具有相反意义的量，然后利用有理数的乘法法则进行计算，解决诸如温度变化、方向移动、商品盈亏等问题。关键在于明确每个量的正负意义，再根据题意列出乘法算式求解。 例题解析 例1计算： 解： （同号两数相乘，取正号，并把绝对值相乘） 答案：(12) 解析：本题考查两个正数相乘。根据有理数乘法法则，同号得正，然后将它们的绝对值3和4相乘，结果为12。 例2计算： 解： （同号两数相乘，取正号，并把绝对值相乘） 答案：(10) 解析：本题考查两个负数相乘。根据有理数乘法法则，同号得正，然后将它们的绝对值5和2相乘，结果为10。 例3计算： 解： （异号两数相乘，取负号，并把绝对值相乘） 答案：(-42) 解析：本题考查异号两数相乘（负数乘正数）。根据有理数乘法法则，异号得负，然后将它们的绝对值6和7相乘，结果为-42。 例4计算： 解： （任何数与0相乘都得0） 答案：(0) 解析：本题考查一个数与0相乘的情况。根据有理数乘法法则，任何数与0相乘，结果都为0。 例5计算： 解： 首先判断符号：负因数有4个，4是偶数，所以积的符号为正。 再计算绝对值的积： 所以，原式 答案：(24) 解析：本题考查多个有理数相乘（不含0）。先根据负因数的个数判断积的符号，4个负因数（偶数），积为正。再将各个因数的绝对值相乘，1×2×3×4=24，所以结果为24。 例6计算： 解： （因为算式中有一个因数是0，所以积为0） 答案：(0) 解析：本题考查多个有理数相乘（含0）。根据有理数乘法法则，只要乘法算式中含有因数0，不管其他因数是什么，积都为0。 例7某地气象站测得某天的气温变化情况是：每小时下降，经过3小时后，气温共下降了多少摄氏度？如果开始时的气温是，那么3小时后的气温是多少？ 解： （1）每小时下降，记为小时。 经过3小时，气温下降的度数为： 所以，气温共下降了（“(-6)”表示下降）。 （2）开始时气温是，3小时后的气温是： 答案：气温共下降了；3小时后的气温是。 解析：本题考查有理数乘法的实际应用。将下降的温度用负数表示，下降的速率乘以时间就是总的温度变化量。第一问，，表示下降。第二问，用初始温度加上变化的温度，即，得到3小时后的气温。 巩固练习 一、选择题 1. 计算的结果是（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个有理数的乘积为正数，则这两个有理数（ ） A. 都是正数 B. 都是负数 C. 一正一负 D. 都是正数或都是负数 4. 计算的结果的符号是（ ） A. 正 B. 负 C. 0 D. 无法确定 5. 一个数与它的相反数的乘积（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定是非正数 D. 一定是非负数 二、填空题 1. 计算：。 2. 计算：。 3. 计算：。 4. 若，，且(a)、(b)异号，则。 三、解答题 1. 计算： 2. 计算： 3. 计算： 4. 计算： 5. 一只小虫沿一条东西方向放置的木杆爬行，先以每分钟(2)米的速度向东爬行，后来又以同样的速度向西爬行。若向东记为正，向西记为负。 （1）小虫向东爬行3分钟，爬行的距离是多少？可表示为多少？ （2）小虫向西爬行2分钟，爬行的距离是多少？可表示为多少？ （3）在（1）、（2）的情况下，小虫最终相对于出发点的位置在哪里？距离出发点多远？ 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. A 解析：，同号两数相乘得正，，所以结果为1。故选A。 2. D 解析：A选项，（同号得正），故A错误；B选项，（异号得负），故B错误；C选项，，故C错误；D选项，（异号得负），故D正确。故选D。 3. D 解析：两数相乘，同号得正，异号得负。所以乘积为正数时，这两个有理数同号，即都是正数或都是负数。故选D。 4. B 解析：算式中，负因数有(-1)、(-3)、(-5)，共3个，3是奇数，所以积的符号为负。故选B。 5. C 解析：设这个数为(a)，则它的相反数为(-a)。它们的乘积为。因为是非负数，所以是非正数（当时，乘积为0；当时，乘积为负数）。故选C。 二、填空题 1. (-42) 解析：，异号两数相乘得负，，所以结果为(-42)。 2. 解析：，同号两数相乘得正，，所以结果为。 3. (-6) 解析：，负因数有3个（奇数），积为负。绝对值相乘：，所以结果为(-6)。 4. (-12) 解析：，则或；，则或。因为(a)、(b)异号，所以有两种情况： 当，时，； 当，时，。 综上，。 三、解答题 1. 解： 答案：(96) 解析：两数相乘，同号得正，绝对值相乘，8×12=96，所以结果为96。 2. 解： 答案： 解析：两数相乘，异号得负，绝对值相乘。分数相乘，分子乘分子，分母乘分母，然后约分，，所以结果为。 3. 解： 判断符号：负因数有(-1)、(-3)、(-4)，共3个，3是奇数，所以积的符号为负。 计算绝对值的积： 所以，原式 答案：(-24) 解析：多个有理数相乘，先判断符号，负因数个数为3（奇数），积为负。再算绝对值的乘积1×3×2×4=24，结果为-24。 4. 解： 答案：(0) 解析：因为算式中含有因数0，所以整个乘积为0。 5. 解： （1）小虫向东爬行，速度为(+2)米/分钟，爬行3分钟。 爬行的距离是：（米） 可表示为：（米），表示在出发点东边6米处。 （2）小虫向西爬行，速度为(-2)米/分钟，爬行2分钟。 爬行的距离是：（米） 可表示为：（米），表示在出发点西边4米处。 （3）小虫先向东爬行(+6)米，再向西爬行(-4)米，最终位置为： （米） 所以，小虫最终在出发点东边2米处，距离出发点2米。 答案：（1）爬行距离是6米，可表示为(+6)米；（2）爬行距离是4米，可表示为(-4)米；（3）最终在出发点东边2米处，距离出发点2米。 解析：（1）向东为正，速度与时间都是正数，乘积为正，表示向东移动的距离。（2）向西为负，速度为负，时间为正，乘积为负，表示向西移动的距离。（3）将两次爬行的位移相加，正数表示在出发点东边，负数表示在出发点西边，绝对值表示距离。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.9.1有理数的乘法法则 学习目标 1. 理解并掌握有理数的乘法法则。 2. 能够熟练进行两个及多个有理数的乘法运算。 3. 能运用有理数的乘法解决简单的实际问题。 4. 培养观察、归纳、概括的能力，以及运用数学知识解决问题的能力。 知识点讲解 一、有理数的乘法法则 1. 同号两数相乘：取正号，并把绝对值相乘。 即：正数乘正数，积为正数；负数乘负数，积为正数。 用字母表示为：若 (a > 0)，(b > 0)，则；若 (a < 0)，(b < 0)，则。 2. 异号两数相乘：取负号，并把绝对值相乘。 即：正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数。 用字母表示为：若 (a > 0)，(b < 0)，则；若 (a < 0)，(b > 0)，则。 3. 任何数与0相乘：都得0。 用字母表示为：（(a) 为任意有理数）。 二、多个有理数的乘法运算 1. 符号法则：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 2. 绝对值运算：将各个因数的绝对值相乘。 3. 特殊情况：如果多个因数相乘中，有一个因数是0，那么积就等于0。 例如：，负因数有3个（奇数），积为负；，负因数有2个（偶数），积为正。 三、有理数乘法的实际应用 在实际问题中，常常需要用正负数表示具有相反意义的量，然后利用有理数的乘法法则进行计算，解决诸如温度变化、方向移动、商品盈亏等问题。关键在于明确每个量的正负意义，再根据题意列出乘法算式求解。 例题解析 例1计算： 例2计算： 例3计算： 例4计算： 例5计算： 例6计算： 例7某地气象站测得某天的气温变化情况是：每小时下降，经过3小时后，气温共下降了多少摄氏度？如果开始时的气温是，那么3小时后的气温是多少？ 解： 巩固练习 一、选择题 1. 计算的结果是（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个有理数的乘积为正数，则这两个有理数（ ） A. 都是正数 B. 都是负数 C. 一正一负 D. 都是正数或都是负数 4. 计算的结果的符号是（ ） A. 正 B. 负 C. 0 D. 无法确定 5. 一个数与它的相反数的乘积（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定是非正数 D. 一定是非负数 二、填空题 1. 计算：。 2. 计算：。 3. 计算：。 4. 若，，且(a)、(b)异号，则。 三、解答题 1. 计算： 2. 计算： 3. 计算： 4. 计算： 5. 一只小虫沿一条东西方向放置的木杆爬行，先以每分钟(2)米的速度向东爬行，后来又以同样的速度向西爬行。若向东记为正，向西记为负。 （1）小虫向东爬行3分钟，爬行的距离是多少？可表示为多少？ （2）小虫向西爬行2分钟，爬行的距离是多少？可表示为多少？ （3）在（1）、（2）的情况下，小虫最终相对于出发点的位置在哪里？距离出发点多远？ 学科网（北京）股份有限公司 $