章末综合测评4 幂函数、指数函数和对数函数（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

章末综合测评(四) 1．C　[∵a<， ∴2a－1<0． 于是，原式＝．] 2．B　[要使解析式有意义，则解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1，2)．] 3．B　[对A，y＝的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C中，y＝x-2不过(0，0)点，D中，y＝是奇函数，B中，y＝x4满足条件．] 4．B　[令f (x)＝0，可得，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝和指数函数y＝的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f (x)的零点只有一个． ] 5．C　[由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5， ∴a2m+n＝(am)2·an＝32×5＝45．] 6．B　[因为y＝4.2x在R上单调递增， 且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b． 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0， 所以b>a>c． 故选B．] 7．B　[因为函数f (x)＝a|x+1|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f (x)＝a|x+1|(a>0且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f (－4)>f (1)．] 8．B　[由题意知函数f (x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是，选B．] 9．AD　[易知f (x)的定义域为R，关于原点对称． ∵f (－x)＝＝f (x)， ∴f (x)是偶函数，其图象关于y轴对称．] 10．ABC　[f (x)＝lg(|x－2|＋1)，所以f (x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，故A正确．画出函数的图象，如图所示．所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞) 上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故ABC正确．故选ABC． ] 11．BC　[∵正实数x，y满足log2x＋lo， ∴log2 x－． 易知f (x)＝log2x－为单调递增函数，故x<y， ∴，x3<y3，故A不正确、B正确； ∴y－x>0，y－x＋1>1，ln(y－x＋1)>0，故C正确；2x-y<20＝1，故D不一定正确，故选BC．] 12．　[因为125x＝12.5y＝1 000，所以x＝log125 1 000，y＝log12.5 1 000，．] 13．80　[由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为20个单位，故有a＋log2＝0，即a＝－1．∴v＝－1＋log2， 要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log2≥2，也就是log2≥3，解得Q≥80，即飞行的速度不低于2 m/s，则其耗氧量至少要80个单位．] 14．(1)2　(2)　[(1)设f (x)＝xα，依题意可得9α＝3， ∴α＝，f (x)＝， ∴m＝f (8)＝． (2)g(x)＝， ∵x∈[16，36]， ∴∈[4，6]， 当0<a<1时，g(x)max＝a4，g(x)min＝a6， 由题意得a4＝2a6，解得a＝； 当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4， 由题意得a6＝2a4，解得a＝． 综上，所求实数a的值为．] 15．解：(1)－(－9.6)0－＋(1.5)-2 ＝ ＝． (2)log25·log45－lo． 16．解：(1)函数f (x)在区间[0，＋∞)上是增函数， 设x1，x2是区间[0，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2， 因为f (x1)－f (x2)＝<0，即f (x1)<f (x2)， 故函数f (x)在区间[0，＋∞)上是增函数． (2)g(x)＝＋log2x－2是增函数， ∵g(1)＝1＋log21－2＝－1<0， g(2)＝－1>0， ∴函数g(x)在区间(1，2)内有且只有一个零点， ∵g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19<0，g(1.75)＝＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13>0， ∴函数的零点在(1.5，1.75)， ∵1.75－1.5＝0.25<0.3， ∴g(x)零点的近似值为1.5． (函数g(x)的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以) 17．解：(1)由已知得 得解得a＝4，b＝2． (2)由(1)知f (x)＝log2(4x－2x)， 令f (x)＝0得4x－2x＝1， 即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝， 又2x>0， ∴2x＝，解得x＝log2． (3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t， 则y＝t2－t＝，t∈[1，16]， 所以g(x)∈[0，240]． 18．解：(1)由题意，得 y＝ (2)∵当x∈(0，15]时，0.1x≤1.5， 又y＝5.5>1.5， ∴x>15， ∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39． 即老张的销售利润是39万元． 19．解：(1)证明：由函数f (x)＝lg>0，即<0，解得－1<x<1，故函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称．再根据f (－x)＝lg＝－f (x)，可得f (x)是奇函数． (2)证明：f (x)＋f (y)＝lg， 而f ＝lg＝lg， ∴f (x)＋f (y)＝f 成立． (3)若f ＝1，f ＝2， 则由(2)可得f (a)＋f (b)＝1，f (a)－f (b)＝2， 解得f (a)＝，f (b)＝－． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合测评(四)　幂函数、指数函数和对数函数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若a<，则化简的结果是(　　) A． B．－ C． D．－ 2．函数y＝·ln (2－x)的定义域为(　　) A．(1，2) B．[1，2) C．(1，2] D．[1，2] 3．下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是(　　) A．y＝ B．y＝x4 C．y＝x-2 D．y＝ 4．函数f (x)＝－的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 6．若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 7．函数f (x)＝a|x+1|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是(　　) A．f (－4)＝f (1) B．f (－4)>f (1) C．f (－4)<f (1) D．不能确定 8．已知函数f (x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，2) B． C．(－∞，2] D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于函数f (x)＝说法正确的是(　　) A．定义域关于原点对称 B．图象关于直线y＝x对称 C．图象关于x轴对称 D．图象关于y轴对称 10．若f (x)＝lg (|x－2|＋1)，则下列命题正确的是(　　) A．f (x＋2)是偶函数 B．f (x)在区间(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数 C．f (x)没有最大值 D．f (x)没有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知125x＝12.5y＝1 000，则＝________． 13．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋log2 (其中a是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，其耗氧量至少需要__________个单位． 14．已知幂函数y＝f (x)的图象过点(8，m)和(9，3)． (1)实数m的值为________； (2)若函数g(x)＝af (x)(a>0，a≠1)在区间[16，36]上的最大值等于最小值的两倍，则实数a的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)求值： (1)－(－9.6)0－＋(1.5)-2； (2)log25·log45－－log24＋． 16．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝． (1)判断函数f (x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明； (2)函数g(x)＝f (x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(误差不超过0.3)；若没有零点，说明理由． (参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)． 17．(本小题满分15分)设函数f (x)＝log2(ax－bx)，且f (1)＝1，f (2)＝log212． (1)求a，b的值； (2)求函数f (x)的零点； (3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域． 18．(本小题满分17分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式； (2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 19．(本小题满分17分)已知函数f (x)＝lg ． (1)求证：f (x)是奇函数； (2)求证：f (x)＋f (y)＝f ； (3)若f ＝1，f ＝2，求f (a)，f (b)的值． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $