章末综合测评1 集合与逻辑（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

章末综合测评(一)　集合与逻辑 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} 2．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　) A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1 C．存在x∈R，使得x2≥1 D．存在x∈R，使得x2＜1 3．若p是q的充分条件，则q是p的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 4．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．6 5．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　) A．－2 B．2 C．4 D．2或4 6．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(　　) A．菱形的四条边都相等 B．∃x∈N，使2x为偶数 C．∀x∈R，x2＋2x＋1>0 D．π是无理数 7．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是(　　) A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>1 8．已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　) A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} 10．下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 11．已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x|－2≤x≤2}，则下列关系式正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x>2} D．A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3} 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________． 13．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 14．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B＝________，其所有元素之和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定： (1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立； (2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0． 16．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}． (1)若a＝1，求A∪B； (2)在①∁RA⊆∁RB，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求实数a的取值范围． 注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 17．(本小题满分15分)已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x＝|a－b|，a，b∈A}． (1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A＋及A－； (2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A，求证：x1＋x4＝x2＋x3． 18．(本小题满分17分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅． (1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围． 19．(本小题满分17分)已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合测评卷参考答案 章末综合测评(一) 1．C　[由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3<x<4}．] 2．D　[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2<1．故选D．] 3．B　[因为p是q的充分条件，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件．] 4．C　[∵A＝{1，2}，由A∪B＝{0，1，2}可知B可能为{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，共4个．] 5．A　[∵2∈A，∴a＝2或|a|＝2或a－2＝2， ∴a＝－2或a＝2或a＝4． 又|a|≠a，∴a＝2或4舍去．故a＝－2．] 6．A　[对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题． 对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题． 对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1>0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题． 对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题． 故选A．] 7．C　[方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知<0，即a<0，a<－1可以推出a<0，但a<0不一定推出a<－1．故选C．] 8．D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}， 则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}． 故选D．] 9．ACD　[∵A＝{0，2}，∴∅⊆A，－2∉A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y<3}．故选ACD．] 10．ABD　[对于A，当x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；对于B，整数6能同时被2和3整除，所以B是真命题；对于D，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；对于C，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD．] 11．BD　[∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}， ∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A错误；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；∵∁RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2或x>－1}，故C错误；A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2或x>2}＝{x|2<x≤3}，故D正确．故选BD．] 12．{a|a≤1}　[命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，∵y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1．] 13．充分而不必要　[由于A＝{x|0<x<1}，所以A⫋B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件．] 14．{0，6，12}　18　[当x＝0时，y＝2，3，对应的z＝0； 当x＝1时，y＝2，3，对应的z＝6，12． 即A☉B＝{0，6，12}． 故集合A☉B的所有元素之和为18．] 15．解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题． 又由于“任意”的否定为“存在一个”， 因此，¬p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立， 即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”． (2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题． 又由于“存在一个”的否定为“任意一个”， 因此，¬p：对任意一个x，都有x2＋2x＋5≤0， 即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”． 16．解：(1)当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}． (2)三个条件∁RA⊆∁RB，A∪B＝A，A∩B＝B都表示B⊆A，所以解得－1≤a≤0，所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． 17．解：(1)根据题意，由A＝{－1，1}，则A+＝{－2，0，2}，A-＝{0，2}． (2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A-＝A， 所以A-中也只包含四个元素， 即A-＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}， 剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1， x3－x1＝x4－x2， 所以x1＋x4＝x2＋x3． 18．解：(1)∵x∈A是x∈B的充分条件， ∴A⊆B．∴ 解得a的取值范围为≤a≤2． (2)由B＝{x|a<x<3a}且B≠∅，∴a>0． 若A∩B＝∅，∴a≥4或3a≤2，所以a的取值范围为0<a≤或a≥4． 19．证明：因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝，且0<≤1，当x＝时，y＝＋c． 先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即＋c≤1，所以c≤． 即必要性成立． 再证充分性：因为c≤，当x＝时，y的最大值为＝1， 所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}， y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1． 即充分性成立． 所以对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $