课时分层作业20 简单的分段函数（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

课时分层作业(二十)　简单的分段函数 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共104分 一、选择题 1．设函数f (x)＝则f (f (3))＝(　　) A． B．3 C． 2．函数f (x)＝x＋的图象是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　　D 3．函数f (x)＝的值域是(　　) A．R B．[0，2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0，3] 4．已知函数f (x)＝若f (x)＝3，则x的值是(　　) A． B．9 C．－1或1 D．－或 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 二、填空题 6．已知f (x)＝则f ＋f ＝________． 7．已知实数a≠0，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (1＋a)，则a的值为________． 8．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 三、解答题 9．(源自人教B版教材)北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价．其中年用水量不超过180 m3的部分，综合用水单价为5元/m3；超过180 m3但不超过260 m3的部分，综合用水单价为7元/m3．如果北京市一居民年用水量为x m3，其要缴纳的水费为f (x)元．假设0≤x≤260，试写出f (x)的解析式，并作出f (x)的图象． 10．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f (x)的解析式． 11．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　) A．0 B．1 C． 12．(多选题)已知函数f (x)＝关于函数f (x)的结论正确的是(　　) A．f (x)的值域为(－∞，4) B．f (1)＝3 C．若f (x)＝3，则x的值是 D．f (x)<1的解集为(－1，1) 13．定义符号函数sgn (x)＝则不等式x＋2＞(2x－1)sgn (x)的解集为________． 14．若定义运算a⊙b＝则函数f (x)＝x⊙(2－x)的解析式为________，值域为________． 15．已知函数f (x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x－3|． (1)在同一平面直角坐标系中作出f (x)，g(x)的图象； (2)∀x∈R，用min(x)表示f (x)，g(x)中的较小者，记作min(x)＝{f (x)，g(x)}，请用图象法和解析法表示min(x)； (3)求满足f (x)>g(x)的x的取值范围． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(二十) A组　基础合格练 1．D　[∵f (3)＝≤1， ∴f (f (3))＝．] 2．C　[当x>0时，f (x)＝x＋＝x＋1， 当x<0时，f (x)＝x－1，且x≠0， 根据一次函数图象可知C正确．故选C．] 3．B　[当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f (x)≤2；当1<x<2时，f (x)＝2；当x≥2时，f (x)＝3．综上可知f (x)的值域为[0，2]∪{3}．] 4．A　[依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0<x≤3，则x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝．故选A．] 5．A　[该单位职工每月应缴水费y(元)与实际用水量x(立方米)满足的关系式为 y＝由y＝16m，可知x>10．令2mx－10m＝16m，解得x＝13．] 6．4　[∵f ， f ， ∴f ＝4．] 7．－　[当a>0时，1－a<1，1＋a>1， ∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去)． 当a<0时，1－a>1，1＋a<1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－．] 8．－　[当a≥0时，两图象有两个交点，所以a<0，当a<0时，在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示． 由题意，可知2a＝－1，则a＝－． ] 9．解：如果x∈[0，180]，则f (x)＝5x； 如果x∈(180，260]，按照题意有 f (x)＝5×180＋7(x－180)＝7x－360． 因此f (x)＝ 注意到f (x)在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y＝f (x)在每个区间上的图象都是直线的一部分，又因为 f (180)＝5×180＝900， f (260)＝7×260－360＝1 460， 由此可作出函数的图象，如图所示． 10．解：当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x； 当点P在CD上运动，即4<x≤8时，y＝×4×4＝8； 当点P在DA上运动，即8<x≤12时，y＝×4×(12－x)＝24－2x． 综上可知，f (x)＝ B组　能力过关练 11．B　[当x为无理数时，D(x)＝0， ∴D(D(x))＝D(0)＝1； 当x为有理数时，D(x)＝1，∴D(D(x))＝D(1)＝1． 综上可知B正确．] 12．AC　[当x≤－1时，f (x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f (x)的取值范围是[0，4)，因此f (x)的值域为(－∞，4)，故A正确；当x＝1时，f (1)＝12＝1，故B错误；当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，由x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，由x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，由x2<1，解得－1<x<1，因此f (x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误．故选AC．] 13．　[当x>0时，原不等式化为 x＋2>2x－1，解得0<x<3； 当x＝0时，原不等式化为x＋2>1，此时解得x＝0； 当x<0时，2x－1<0，原不等式化为x＋2>， 即(x＋2)(2x－1)<1，此时解得－<x<0． 综上可得，原不等式的解集为．] 14．f (x)＝　(－∞，1] [由题意可知， f (x)＝ 画出函数f (x)的图象得值域为(－∞，1]．] C组　拓广探索练 15．解：(1)f (x)＝g(x)＝ 则对应的图象如图： (2)min(x)图象如图： 解析式为min(x)＝ (3)若f (x)>g(x)， 则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件． 此时对应的x满足x>0或x<－2， 即不等式f (x)>g(x)的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $