3.1.3 简单的分段函数-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 3.1.3　简单的分段函数 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 教学重点：根据实际情境，选择恰当的函数表示方法解决问题． 教学难点：在实际情境中，构造分段函数并解决问题． 核心素养：1.借助分段函数的概念培养数学抽象素养.2.通过分段函数的求值培养数学运算素养.3.借助函数的实际应用培养数学建模素养． 知识点一　分段函数的概念 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． 知识点二　应用函数知识解决实际问题的一般步骤 (1)阅读材料、理解题意； (2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； (4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题． 1．分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 2．应用函数知识解决实际问题的关键是如何根据题意将实际问题转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．(　　) (2)分段函数有多个定义域．(　　) (3)函数f(x)＝是分段函数．(　　) (4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示．(　　) (5)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)f(x)＝|x－1|的图象是(　　) (2)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象，由图象可知，下列说法中错误的是(　　) A．这天15时的温度最高 B．这天3时的温度最低 C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D．这天21时的温度是30 ℃ (3)若f(x)＝则f(3)＝________，f(f(－2))＝________． (4)(2024·高一上云南昆明期中)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则狄利克雷函数f(x)的值域为________． (5)已知f(x)＝若f(x0)＝4，则x0＝________． 答案：(1)B　(2)C　(3)12　42　(4){0，1}　(5)2 　分段函数的定义域、值域 　(1)已知函数f(x)＝，则其定义域为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) [解析]　要使f(x)有意义，需x≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． [答案]　D (2)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________． [解析]　由已知，定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1，1)．又当0<x<1时，0<－x2＋1<1，当－1<x<0时，－1<x2－1<0，当x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)． [答案]　(－1，1)　(－1，1) 【感悟提升】　 1．分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集． (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． 【跟踪训练】 1．已知函数f(x)＝则函数的定义域为________，值域为________． 答案：R　[0，1] 解析：由已知，得定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R.又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]． 　分段函数求值问题 　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(－)，f的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值． [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2. ∵f＝－＋1＝－，且－2<－<2， ∴f＝f＝＋2×＝－3＝－. (2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， ∴a＝1符合题意； 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. 【感悟提升】　 1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间； (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论； (2)然后代入到不同的解析式中； (3)通过解方程求出字母的值； (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 3．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． 【跟踪训练】 2．已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(－2)))； (2)若f(a)＝，求a. 解：(1)∵－2<－1， ∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1. ∴f(f(－2))＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2. f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝. (2)当a>1时，f(a)＝1＋＝.∴a＝2>1. 当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝. ∴a＝±∈[－1，1]． 当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝. ∴a＝－>－1(舍去)． 综上，a＝2或a＝±. 　由分段函数的图象求分段函数的解析式 　根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式． [解]　当－3≤x<－1时， 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 将点(－3，1)，(－1，－2)代入，得f(x)＝－x－； 当－1≤x<1时，同理，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)， 将点(－1，－2)，(1，1)代入，得f(x)＝x－； 当1≤x<2时，f(x)＝1. 所以f(x)＝ 【感悟提升】　已知图象求函数解析式的方法 已知函数的图象求解析式y＝f(x)，当自变量x在不同的区间上变化时，函数f(x)的解析式不同，应分段求解．此时根据图象，结合已学过的基本函数图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解．如果函数为分段函数，要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏． 【跟踪训练】 3．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________． 答案：f(x)＝ 解析：由图可知，函数f(x)的图象由两条线段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，得解得即f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，得k＝－1，即f(x)＝－x. 综上，f(x)＝ 　分段函数的图象及其应用 　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． [解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x， 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)． [条件探究]　把本例的条件改为“f(x)＝|x|－2(x∈R)”，再求解本例的三个问题． 解：(1)f(x)＝|x|－2＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由图可知，函数f(x)的值域为[－2，＋∞)． 【感悟提升】　分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 【跟踪训练】 4．作出下列函数的图象，并写出函数的值域： (1)y＝ (2)y＝|x＋1|＋|x－3|. 解：(1)函数y＝的图象如图1，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)． (2)将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数为y＝其图象如图2.观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)． 　分段函数的应用 　某市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9 元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km))． (1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：km)的函数； (2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？ (现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑) [解]　(1)由题意，得车费f(x)关于路程x的函数为 f(x)＝ ＝ (2)只乘一辆车的车费为f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)； 换乘2辆车的车费为2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)． ∵40.3>38.8， ∴该乘客换乘比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱． 【感悟提升】　分段函数应用问题的两个关注点 (1)应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数． (2)注意问题：求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理． 【跟踪训练】 5.如图，△OAB是边长为4的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0<t<6)左侧的图形的面积为f(t)，求函数f(t)的解析式，并画出函数的大致图象． 解：当0<t≤2时，f(t)＝×t×t＝t2； 当2<t≤4时，f(t)＝×4×2－(4－t)×(4－t)＝－t2＋4t－4； 当4<t<6时，f(t)＝×4×2＝4. 所以函数f(t)的解析式为 f(t)＝ 函数图象如图所示： 1．函数f(x)＝的图象是(　　) 答案：C 解析：f(x)＝由图知C正确． 2．设函数f(x)＝则f(3)＝(　　) A．3 B．6 C．10 D．12 答案：C 解析：∵3>0，∴f(3)＝32＋1＝10. 3．(2024·高一上湖南娄底期末)已知函数f(x)＝则f(－1)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：D 解析：由题知，f(－1)＝f(1)＝2×1－4×1＋3＝1. 4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2)))＝________，f(x)的值域是________． 答案：2　[0，4] 解析：∵f(2)＝0，∴f(f(2))＝f(0)＝4，∴f(f(f(2)))＝f(4)＝2.由图象可知，f(x)的值域是[0，4]． 5．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水的水费为1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)． 解：由题意知，当0<x≤5时，y＝1.2x； 当5<x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6； 当6<x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4. 所以应交的水费y＝ 一、选择题 1．设f(x)＝则f(5)的值是(　　) A．24 B．21 C．18 D．16 答案：A 解析：f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24. 2．函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．[0，2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0，3] 答案：B 解析：当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知，f(x)的值域为[0，2]∪{3}． 3．函数f(x)＝x2－2|x|的图象是(　　) 答案：C 解析：由题意可得f(x)＝分段画出可知应选C. 4．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 解析：由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝所以f＝－1＝－，所以f＝f＝－＋1＝. 5．(多选)设函数y＝f(x)的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论成立的是(　　) A．fp(f(0))＝f(fp(0)) B．fp(f(1))＝f(fp(1)) C．f(f(2))＝fp(fp(2)) D．f(f(3))＝fp(fp(3)) 答案：ACD 解析：因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，所以fp(f(0))＝f2(－1)＝f(－1)＝2，f(fp(0))＝f(f(0))＝f(－1)＝2，故A正确；fp(f(1))＝fp(－2)＝f2(－2)＝2，f(fp(1))＝f(f(1))＝f(－2)＝7，故B不正确；f(f(2))＝f(－1)＝2，fp(fp(2))＝f2(f2(2))＝f2(－1)＝2，故C正确；f(f(3))＝f(2)＝－1，fp(fp(3))＝f2(f2(3))＝f2(2)＝－1，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝________． 答案： 解析：f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．当－b≥1，即b≤时，2×＝4，解得b＝. 7．函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，－3) 解析：当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．所以a的取值范围是(－∞，－3)． 8．某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠800元．某单位需要购买x(x∈N＋，x≤15)件该商品，设购买总费用是f(x)元，则f(x)的解析式是________． 答案：f(x)＝ 解析：当x≤5，x∈N＋时，f(x)＝5000x；当5<x≤10，x∈N＋时，f(x)＝(5000－500)x＝4500x；当10<x≤15，x∈N＋时，f(x)＝(5000－800)x＝4200x.所以f(x)的解析式是f(x)＝ 三、解答题 9.如图，动点P从单位正方形ABCD的顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，f(x)表示PA的长时，求f(x)的解析式，并求f的值． 解：当点P在AB上运动时，f(x)＝x； 当点P在BC上运动时，f(x)＝； 当点P在CD上运动时，f(x)＝； 当点P在DA上运动时，f(x)＝4－x， ∴f(x)＝ ∴f＝＝. 10．某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时收费2元．某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)(12≤x≤30)元，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)(12≤x≤30)元，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？ 解：(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]， g(x)＝ (2)①当12≤x≤20时，6x＝90，解得x＝15， 即当12≤x<15时，f(x)<g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15<x≤20时，f(x)>g(x)． ②当20<x≤30时，f(x)>g(x)， 故当12≤x<15时，选A家俱乐部比较合算； 当x＝15时，选两家俱乐部一样； 当15<x≤30时，选B家俱乐部比较合算． 11.如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出函数的大致图象． 解：如图，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. ①当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2. ②当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝×2＝2x－2. ③当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝×(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10. 综合①②③，得函数的解析式为 y＝ 图象如图所示． 12．小刘周末自驾游，早上8点从家出发，驾车3小时到达景区停车场，期间由于交通等原因，小刘的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13)，由于景区内不能驾车，小刘把车停在景区停车场，在景区玩到16点，小刘开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回． (1)求这天小刘的车所走路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式； (2)在距离小刘家60 km处有一加油站，求这天小刘的车途经该加油站的时间． 解：(1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)， 所以s(3)＝－5×3×(3－13)＝150，即小刘家距景点150 km，小刘的车在景点停留时间为16－8－3＝5(h)． 所以当3<t≤8时，s(t)＝150. 小刘从景区回家所花时间为＝2.5(h)． 所以当8<t≤10.5时，s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330. 故s(t)＝ (2)当0≤t≤3时， 令－5t(t－13)＝60，得 t2－13t＋12＝0， 解得t＝1或t＝12(舍去)． 当t＝1时，时间为9点． 当8<t≤10.5时，令60t－330＝240， 解得t＝，当t＝9.5时，时间为17点30分． 综上，小刘这天途经该加油站的时间分别为9点和17点30分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$