课时分层作业13 基本不等式的应用（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

课时分层作业(十三) A组　基础合格练 1．D　[∵a>1，∴a－1>0，∴a＋＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时，等号成立．] 2．C　[∵x<0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．] 3．C　[∵x>0，∴y＝3－，当且仅当3x＝，且x>0，即x＝时，等号成立．] 4．C　[x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋4 ＝5＋＝5＋4＝9， 当且仅当即时，等号成立． 故x＋y的最小值为9．] 5．B　[(1＋x)(1＋y)≤＝＝25， 当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，等号成立． 所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B．] 6．1　[y＝x＋－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立． ∴函数y＝x＋(x≥0)的最小值为1．] 7．　[由题意知，0<h≤a，0<h≤，所以h2≤，所以h≤，即a＝2b时取等号．故h的最大值为．] 8．3　2　[∵＝1， ∴1＝， ∴xy≤3， 当且仅当，即x＝，y＝2时等号成立．] 9．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＝1， 又x>0，y>0， 则1＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64． (2)由2x＋8y－xy＝0， 得＝1， 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＝18， 当且仅当x＝12，y＝6时，等号成立． 所以x＋y的最小值为18． 10．解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x＋y)m． (1)由已知得xy＝100． 由， 可得x＋y≥2＝20， 所以2(x＋y)≥40， 当且仅当x＝y＝10时，上式等号成立． 因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m． (2)由已知得2(x＋y)＝36，矩形菜园的面积为xy m2． 由＝9， 可得xy≤81， 当且仅当x＝y＝9时，上式等号成立． 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2． B组　能力过关练 11．BC　[A中，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立； B中，当x>0时，x＋，当且仅当x＝时，等号成立，所以B一定成立； C中，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立； D中，因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以D不成立．] 12．D　[y＝， 又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0． 故y＝－≤－1． 当且仅当－(x－1)＝，即x＝0时，等号成立．] 13．2　[由C＝＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，等号成立．] 14．4　12　[设＝1，a，b∈N+， ∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b) ＝1＋9＋ ≥10＋2 ＝10＋2×3＝16， 当且仅当，即b＝3a时等号成立． 又＝1，∴＝1，∴a＝4，b＝12． 这两个数分别是4和12．] C组　拓广探索练 15．解：(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即横线处为． (2)证明：因为a>0，b>0，c>0， 又因为a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0， 所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． (3)因为a>0，b>0，c>0，，所以abc≤， 又因为a＋b＋c＝1， 0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1， 所以(1－a)(1－b)(1－c)≤， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十三)　基本不等式的应用 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分 一、选择题 1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2 B．a C． D．3 2．已知函数y＝x＋－2(x<0)，则函数有(　　) A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4 3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 4．若x＞0，y＞0，且＝1，则x＋y的最小值是(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 二、填空题 6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． 7．已知a>0，b>0，且h＝min，其中min{a，b}表示a，b两数中较小的数，则h的最大值为________． 8．已知x>0，y>0，且满足＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________． 三、解答题 9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 10．(源自人教A版教材)(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 11．(多选题)下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R) 12．若－4<x<1，则y＝(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 13．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大． 14．在等式1＝右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，则这两个数分别为________和________． 15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值． (1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)． (2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明： 设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． (3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值： 设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $