4.1.2无理数指数幂（2大题型提分练）数学湘教版必修第一册

4.1.2无理数指数幂 题型一 根式的化简求值 1．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 4．当时，化简 ． 5．已知，且，则 ． 6．（1）化简：，其中； （2）求值：. 7．（1）计算；（2）化简． 8．化简(). 题型二 指数幂的运算 1．已知函数是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知n是大于1的自然数，则等于（    ）． A． B． C． D． 3．对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（    ） A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.919 4．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（    ） A． B． C． D． 5．若，，则 ． 6．（1）已知，则 ； （2）若，，则 ； （3） ． 7．（1）；（2）已知，，求的值. 8．计算：. 9．计算： (1)；(2)． 1．已知，则 ． 2．若，则 . 3．，求 ． 4．若为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0或1 5．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1.2无理数指数幂 题型一 根式的化简求值 1．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的运算性质得到. 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误；对于D，因为，所以，从而，故D正确. 故选：D 2．下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质和分数的运算性质逐个分析判断. 【详解】对于A，，所以A错误，对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误，对于D，，所以D正确， 故选：D 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数运算公式直接计算. 【详解】， 故选：C. 4．当时，化简 ． 【答案】 【分析】根据根式的性质计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 5．已知，且，则 ． 【答案】1 【分析】根据根式和指数幂的运算化简即可求解. 【详解】因为，，所以， 所以，，所以． 故答案为：1． 6．（1）化简：，其中 （2）求值： 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）应用根式、绝对值运算化简求值即可； （2）根据指数幂及根式的运算性质即可求解； 【详解】（1）原式， 又因为，所以原式. （2）原式. 7．（1）计算；（2）化简． 【答案】（1）41；（2） 【分析】（1）由指数幂的运算规则化简计算； （2）由分数指数幂与根式的关系和指数幂的运算规则化简计算 【详解】（1）； （2）. 8．化简(). 【答案】 【分析】根式与分数指数幂转化，利用指数幂的运算规则化简 【详解】 . 题型二 指数幂的运算 1．已知函数是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，求出，再验证此时为奇函数，最后代入计算即可. 【详解】由题意得，则， 此时，定义域为，，则为奇函数，满足题意，. 故选：A. 2．已知n是大于1的自然数，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数的运算求解即可. 【详解】 故选：B. 3．对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（    ） A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.919 【答案】C 【分析】将化为，根据新定义，直接计算取近似值即可． 【详解】. 故选：C. 4．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】由题意可得，视力4.9的视标边长约为： cm. 故选：A. 5．若，，则 ． 【答案】180 【分析】由指数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：180 6．（1）已知，则 ； （2）若，，则 ； （3） ． 【答案】 【分析】（1）首先求出，即可求出，从而得解； （2）利用立方差公式将分子因式分解，再结合幂的运算法则计算可得； （3）根据幂的运算法则计算可得. 【详解】（1）因为，所以，则， 所以，所以； （2）因为，， 所以； （3）. 故答案为：；； 7．（1）；（2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)根据分数指数幂的运算进行化简即可； (2)根据完全平方分别求出分子、分母即可求解. 【详解】（1）原式 （2）因为，， 所以，， 所以. 8．计算：. 【答案】 【分析】根据根式与指数幂的运算即可得到答案. 【详解】原式. 9．计算： (1)；(2)． 【答案】(1);(2). 【分析】根据幂的运算性质，可得答案. 【详解】（1） . （2）. 1．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据指数幂运算法则化简原式，结合已知数据求值即可. 【详解】 ， 因为，所以原式 故答案为： 2．若，则 . 【答案】 【分析】根据算术平方根可解得，，代入即可求解. 【详解】因为，所以， 所以所以，，所以. 故答案为：. 3．，求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 4．若为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0或1 【答案】B 【分析】利用偶函数的性质得到，进而求得，再进行检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，所以，即，解得， 当时，，定义域为，又，则为偶函数， 当时，，定义域为，又，则为偶函数， 综上，. 故选：B. 5．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$