25 第3章 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

第2课时　函数的最大(小)值 学习任务 核心素养 1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点) 1．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养． 2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养． 科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况． (1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？ (2)设该天某时刻的气温为f (x)，则f (x)在哪个范围内变化？ (3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？ 知识点　函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设D是函数f (x)的定义域，如果有a∈D，∀x∈D，都有 f (x)≤f (a)＝M f (x)≥f (a)＝M 结论 M是函数f (x)的最大值 M是函数f (x)的最小值 几何 意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标 若函数f (x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ [提示]　不一定，只有定义域内存在一点x0，使f (x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大(小)值． (　　) (2)函数f (x)在[a，b]上的最值一定是f (a)(或f (b))． (　　) (3)函数的最大值一定比最小值大． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－1，0　　B．0，2　　C．－1，2　　D．，2 C　[由题图可知，f (x)的最大值为f (1)＝2，f (x)的最小值为f (－2)＝－1．] 类型1　图象法求函数的最值(值域) 【例1】　已知函数f (x)＝ (1)在直角坐标系内画出f (x)的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． [解]　(1)图象如图所示： (2)由图可知f (x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]． 　图象法求最值的基本步骤 [跟进训练] 1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f (x)的最大值为(　　) A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．无最大值 B　[f (x)的图象如图所示，则f (x)的最大值是1，故选B． ] 类型2　单调性法求函数的最值(值域) 【例2】　【链接教材P81例2】 已知函数f (x)＝． (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． [解]　(1)f (x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下：设x1和x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝＝， 因为－1<x1<x2，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以f (x1)－f (x2)<0⇒f (x1)<f (x2)， 所以f (x)在(－1，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知f (x)在[2，4]上单调递增， 所以f (x)的最小值为f (2)＝＝， 最大值为f (4)＝＝． 【教材原题·P81例2】 例2　证明函数f (x)＝x＋(x>0)在区间(0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增，并指出函数在区间(0，＋∞)上的最值点和最值． [解]　①设x1和x2是区间(0，1]上任意两个实数，且x1<x2，则k＝＝＝1－． 由0<x1<x2≤1，得0<x1x2<1，>1， 于是k＝1－<0． 所以，函数f (x)在区间(0，1]上单调递减． ②设x1和x2是区间[1，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2． 由x2>x1≥1，得x1x2>1，<1， 于是k＝1－>0． 所以，函数f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增． 综合①②可知，在区间(0，＋∞)上，函数f (x)在x＝1处取到最小值，最小值f (1)＝2，最小值点为1． 　函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)． (2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． [跟进训练] 2．求函数f (x)＝x＋在[1，4]上的最值． [解]　设x1和x2是区间[1，2)上任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)·＝． ∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f (x1)>f (x2)，∴f (x)在[1，2)上单调递减． 同理f (x)在[2，4]上单调递增． ∴当x＝2时，f (x)取得最小值4； 当x＝1或x＝4时，f (x)取得最大值5． 类型3　函数最值的实际应用 【例3】　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y(万元)与x(件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 由年销售总收入随x的不同而有不同的对应关系，思考选择什么模型构建y与x的函数关系式． [解]　(1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x．故y＝(x∈N＋)． (2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，y最大值＝156．而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元． 即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元． 　解实际应用题的4个步骤 [跟进训练] 3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ [解]　设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000． 故当x＝70时，y最大值＝9 000． 即售价为70元时，利润最大值为9 000元． 1．(教材P82练习T1改编)函数y＝在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是(　　) A．1，　　B．2，1　　C．　　D．2， A　[因为函数y＝在区间[2，4]上单调递减，所以其最大值、最小值分别是＝1，＝．故选A．] 2．设函数f (x)＝2x－1(x<0)，则f (x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 D　[∵f (x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x)<f (0)＝－1．故选D．] 3．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　) A．[0，3] B．[－1，0] C．[－1，＋∞) D．[－1，3] D　[∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数取得最小值为－1， 当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D．] 4．函数f (x)＝则f (x)的最大值为________，最小值为________． 10　6　[当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f (x)最小值＝f (－1)＝6，f (x)最大值＝f (2)＝10．] 5．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m． 3　[设隔墙长为x(0<x<6)m，矩形面积为y m2， 则y＝x·＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18， ∴当x＝3时y最大值＝18．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．如何理解函数最值的定义？ [提示]　函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点． 2．求函数最值的常用方法有哪些？ [提示]　(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值； (2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值； (3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题． 3．如何求分段函数的最值？ [提示]　可先分段求出每段的最值，再采用“大中取大，小中取小”的原则求出最值． 课时分层作业(二十二)　函数的最大(小)值 一、选择题 1．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　) A．2　　　　B．　　　　C．　　　　D．－ B　[∵函数y＝在[2，3]上单调递减，∴当x＝3时，y最小值＝＝．] 2．函数f (x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为(　　) A．[－6，－2] B．[－11，－2] C．[－11，－6] D．[－11，－1] B　[函数f (x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]，所以当x＝2时，f (x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；当x＝5时，f (x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，所以函数f (x)的值域是[－11，－2]．故选B．] 3．函数y＝|x＋1|＋2的最小值是(　　) A．0 B．－1 C．2 D．3 C　[y＝|x＋1|＋2的图象如图所示． 由图可知函数的最小值为2．] 4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 C　[设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为 L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝＋30＋， ∴当x＝9或10时，L的最大值为120万元．] 5．(多选题)下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0，2]的说法正确的是(　　) A．当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1 B．当a<0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1 C．当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1 D．当a>0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1 AD　[当a>0时，y＝ax＋1在[0，2]上单调递增， ∴当x＝0时，y最小值＝1， 当x＝2时，y最大值＝2a＋1； 当a<0时，y＝ax＋1在[0，2]上单调递减， ∴当x＝0时，y最大值＝1， 当x＝2时，y最小值＝2a＋1．故选AD．] 二、填空题 6．函数f (x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________． 4　[因为f (x)＝在[1，b]上单调递减，所以f (x)在[1，b]上的最小值为f (b)＝＝，所以b＝4．] 7．已知函数f (x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值为________． 1　[函数f (x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0，1]，且函数有最小值－2． 故当x＝0时，函数有最小值， 当x＝1时，函数有最大值． ∵当x＝0时，f (0)＝a＝－2， ∴f (x)最大值＝f (1)＝－1＋4－2＝1．] 8．函数f (x)＝－3x在区间[2，4]上的最大值为________． －4　[∵y＝在区间[2，4]上单调递减，y＝－3x在区间[2，4]上单调递减，∴函数f (x)＝－3x在区间[2，4]上单调递减，∴f (x)最大值＝f (2)＝－3×2＝－4．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝(x>0)． (1)求证：f (x)在(0，1]上单调递增； (2)求函数f (x)的最大值和最小值． [解]　(1)证明：设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝＝＝． 当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0， ∴f (x1)－f (x2)<0，f (x1)<f (x2)， ∴f (x)在(0，1]上单调递增． (2)由(1)知，当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0， f (x1)－f (x2)>0，f (x1)>f (x2)， ∴f (x)在[1，＋∞)上单调递减． ∴结合(1)(2)可知，f (x)最大值＝f (1)＝，无最小值． 10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f (x)(注明函数定义域)； (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ [解]　(1)因为f (x)是一次函数，设f (x)＝ax＋b(a≠0)，由表格得方程组解得 所以y＝f (x)＝－3x＋162． 又y≥0，所以30≤x≤54， 故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]． (2)由题意得， P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860 ＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]． 当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润． 11．函数f (x)＝－x＋在上的最大值是(　　) A． B．－ C．－2 D．2 A　[∵f (x)＝－x＋在上单调递减， ∴f (x)最大值＝f (－2)＝2－＝．] 12．(多选题)已知函数f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，下列结论正确的是(　　) A．∀x∈[－2，2]，f (x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3 B．∃x∈[－2，2]，f (x)>a，则实数a的取值范围是a<－3 C．∃x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3 D．∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f (x)＝g(t) AC　[在A中，因为f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1，3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f (x)＝g(t)等价于f (x)的值域是g(t)的值域的子集，而f (x)的值域是[－3，5]，g(t)的值域是[－1，3]，D错误．] 13．已知函数f (x)＝则函数f (x)的最大值为________，最小值为________． 2　－　[作出f (x)的图象如图．由图象可知，当x＝2时，f (x)取最大值为2； 当x＝时，f (x)取最小值为－． 所以f (x)的最大值为2，最小值为－．] 14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f (x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f (x)的最大值为________． 6　[在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象． 根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f (x)的图象应为图中的实线部分． 解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6)． 由图象可知，其最大值为交点的纵坐标，所以f (x)的最大值为6．] 15．已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增． (1)已知f (x)＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f (x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f (x)和函数g(x)＝－x－2a，若对于任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g(x2)＝f (x1)成立，求实数a的值． [解]　(1)f (x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f (x)单调递减，所以递减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f (x)单调递增，所以递增区间为． 由f (0)＝－3，f ＝－4，f (1)＝－，得f (x)的值域为[－4，－3]． (2)由于g(x)＝－x－2a，在x∈[0，1]上单调递减， 故g(x)∈[－1－2a，－2a]． 由题意，知f (x)的值域为g(x)的值域的子集，从而解得a＝． 12/12 学科网（北京）股份有限公司 $