3.2.1 函数的单调性与最值-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦函数的单调性与最值，涵盖定义、判断方法（定义法、图象法等）、应用及二次函数最值分类讨论，通过知识辨析问题衔接前期函数概念，搭建从理解到应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动深化概念，如辨析“存在两自变量能否判定单调性”培养数学思维，典例结合二次函数、分段函数提升抽象能力与推理意识。采用“定义-辨析-方法-应用”结构，语言简洁（如“同增异减”），助学生形成逻辑思维，教师可直接用于教学提升效率。

3.2　函数的基本性质 3.2.1　函数的单调性与最值 知识点 1 函数的最值 必备知识 清单破 设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空子集.若不加说明,则默认为I是个区间. 如果有a∈D,使得不等式 f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M 为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点. 如果有b∈D,使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=b处取到最小值N=f(b),称N为 f(x)的最小值,b为f(x)的最小值点. 最大值和最小值统称为最值. 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 函数的单调性 增函数 减函数 条件 设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空的子集.如果对于I 上任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 结论 就称f(x)是区间I上的增函数, 也称f(x)在区间I上单调递增 就称f(x)是区间I上的减函数, 也称f(x)在区间I上单调递减 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,区间I叫作y=f(x)的单调区间. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.已知函数f(x)的定义域为D,如果定义域内的某个区间I上存在两个自变量x1,x2,当x1<x2时,有f (x1)<f(x2),能否判定f(x)在区间I上单调递增? 2.已知f(x)的定义域为D,若∀x∈D,都有f(x)≤M,则M一定是函数f(x)的最大值吗? 3.函数f(x)= 在定义域上是减函数吗? 4.若函数f(x)是其定义域上的增函数,且f(a)>f(b),则a,b满足什么关系?如果函数f(x)是减函数 呢? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不能.x1,x2必须是区间I上的任意变量. 2.不一定.还需要满足∃x0∈D,使得f(x0)=M,才能说M是f(x)的最大值. 3.不是. f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,但在整个定义域上不单调. 4.若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b.若函数f(x)是其定义域上的减函 数,那么当f(a)>f(b)时,a<b. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 函数单调性的判断与证明 关键能力 定点破 1.判断函数单调性的方法 (1)定义法.当x∈D时, f(x)是增函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔ >0;当 x∈D时, f(x)是减函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔ <0. (2)图象法.根据函数图象的升降情况进行判断. (3)直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单 调性均可直接得出. (4)复合函数单调性的判断依据如下:①若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上都是增函数或都是减 函数,则y=f(g(x))为增函数;②若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上一个是增函数,另一个是减函数, 则y=f(g(x))为减函数. 第1讲　描述运动的基本概念 列表如下: u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 第1讲　描述运动的基本概念 　　复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调递增,相异 时单调递减. 2.利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是所给区间内的任意两个值,且x1<x2; (2)作差、变形:计算f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断 正负的关系式; (3)判断符号:确定f(x1)-f(x2)的符号; (4)下结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与增函数、减函数的定义确定单调性. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (多选)下列说法正确的是 (　     ) A.函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上是增函数 B.函数y= 在(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C.函数y= 的单调递减区间是[2,+∞) D.若函数值不为零的函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)·f(y)=f(x+y),且当x<0时,f(x)>1,则f(x)为(- ∞,+∞)上的减函数 AD 第1讲　描述运动的基本概念 解析    对于A,抛物线y=2x2+x+1的开口向上,对称轴为直线x=- =- ,所以函数y=2x2+x+1在 (0,+∞)上单调递增,故A正确; 对于B,因为当x=-2时,y=- ,当x=2时,y=1,所以函数y= 在(-∞,1)∪(1,+∞)上不是减函数,故 B错误; 对于C,解不等式5+4x-x2≥0,得-1≤x≤5,所以函数y= 的定义域为[-1,5],故C错误; 对于D,因为f(x)·f(y)=f(x+y),所以f(0)·f(0)=f(0),f(x)·f(-x)=f(x-x)=f(0). 又f(0)≠0,所以f(0)=1,所以f(x)·f(-x)=1>0,故f(x)与f(-x)同号,又当x<0时,f(x)>1,所以f(x)>0恒成 立. 任取x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)·f(x2-x1)=f(x2), 又x2-x1<0,故 =f(x2-x1)>1, 又f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1),故f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用函数的单调性解不等式 (1)利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的概念,将符号f“脱掉”,列出关于未知 量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域. (2)解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤: ①将不等式化为f(x1)<f(x2)的形式,其中x1,x2在f(x)的定义域D内; ②若函数f(x)是D上的增函数,则x1<x2,若函数f(x)是D上的减函数,则x1>x2. 2.利用函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)恒成立求 参数的取值范围. (2)利用具体函数本身所具有的特征:如根据二次函数的图象的对称轴相对于所给单调区间 定点 2 函数单调性的应用 第1讲　描述运动的基本概念 的位置建立关于参数的不等式,解不等式求参数的取值范围. 　　注意:①若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单 调的.②根据分段函数的单调性求参数的取值范围时,一般从两方面考虑:一方面,每个分段区 间上的函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面,要考虑分界点处函数值之间的 大小关系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知f(x)在定义域[-1,1]上单调递增,且f(t-2)<f(1-t),则实数t的取值范围为　　　    ; (2)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　    ; (3)若函数f(x)= 是R上的减函数,则实数a的取值范围是　　　    . (-∞,-4] [-2,0) 解析    (1)由题意脱掉“f ”得  解得1≤t< ,故实数t的取值范围为 . (2)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,其图象开口向下,对称轴方程为x=-a-1, 所以函数的单调递增区间为(-∞,-a-1]. 若f(x)在(-∞,3]上单调递增,则3≤-a-1,解得a≤-4.故实数a的取值范围为(-∞,-4]. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)因为f(x)= 是定义在R上的减函数, 所以  解得-2≤a<0. 因此实数a的取值范围是[-2,0). 第1讲　描述运动的基本概念 1.求二次函数的最大(小)值有两种类型:一种是函数的定义域为实数集R,这时只要根据抛物 线的开口方向,应用配方法即可求出最大(小)值;另一种是函数的定义域为某一区间,这时二 次函数的最大(小)值由它的单调性确定,而单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来 决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,需要进行分类讨论. 2.求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值一般分为以下几种情况: (1)若- ∈[m,n],则最小值为f  ,最大值为f(m),f(n)中的较大者. (2)若- <m,则f(x)在区间[m,n]上单调递增,最大值为f(n),最小值为f(m). (3)若- >n,则f(x)在区间[m,n]上单调递减,最大值为f(m),最小值为f(n). 定点 3 求二次函数最值的常见类型及解法 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最小值. 解析    易知f(x)图象的对称轴为直线x=1. 当t+2≤1,即t≤-1时,f(x)在[t,t+2]上单调递减, ∴f(x)min=f(t+2)=(t+2)2-2(t+2)-3=t2+2t-3; 当t<1<t+2, 即-1<t<1时, f(x)在[t,1]上单调递减,在[1,t+2]上单调递增, ∴f(x)min=f(1)=-4; 当t≥1时,f(x)在[t,t+2]上单调递增, ∴f(x)min=f(t)=t2-2t-3. 综上,f(x)min=  第1讲　描述运动的基本概念 $