16 第2章 2.2 从函数观点看一元二次方程（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

本讲义聚焦“从函数观点看一元二次方程”核心知识点，从一次函数与一元一次方程的联系切入，通过表格对比引导学生发现函数与方程的内在关联，进而定义二次函数零点，明确其与方程根、函数图象与x轴交点横坐标的关系，系统梳理零点个数（判别式）及分布（根与系数关系）的探究方法。 资料以问题链驱动学习，设计“思考辨析”“母题探究”等环节，如含参数二次函数零点的分类讨论，培养学生数学抽象和数学运算素养。课中助力教师分层教学，课后通过课时作业和自我回顾，帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升逻辑推理能力。

2.2　从函数观点看一元二次方程 学习任务 核心素养 1．理解函数零点的概念．(重点) 2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点) 通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养． 函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？ a>0 a<0 一次函数y＝ax＋b的图象 一元一次方程ax＋b＝0的根 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 知识点1　二次函数的零点 一般地，把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．这样，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，也就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． 二次函数一定有零点吗？ [提示]　当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点． 函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程相异的实数根． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y＝x2的零点为(0，0)． (　　) (2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点． (　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数有两个零点． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 知识点2　函数零点的探究 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1，2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点 有一个零点x＝ 无零点 2．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 C　[令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1．] 类型1　二次函数的零点 【例1】　求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． [解]　(1)由3x2－2x－1＝0，解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－． (2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0，得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1． 又－(－1)＝， ①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1． ②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和． 综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1． 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和． (3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3． 　1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点． 2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． 3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤 (1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； (2)若二次项系数不为零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点； (3)若二次项系数不为零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等． [跟进训练] 1．求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． [解]　(1)由2x2－3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－． (2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a， 当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点； 当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2． 当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1，2＝， 函数有两个零点和． 综上：当a＝0时，函数的零点为－1； 当a＝－时，函数的零点为－2； 当a>－时，函数有两个零点和； 当a<－时，相应方程无实数根，函数无零点． (3)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1． 类型2　二次函数零点的讨论与探究 【例2】　若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． [证明]　考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， 因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)， 又a>2，所以Δ>0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． [母题探究] 求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件． [解]　(必要性)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点， 当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解，函数无零点； 当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0， 即或解得a≥2或a≤－2，又a≠2，所以a>2或a≤－2， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，则a>2或a≤－2． (充分性)当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点． 综上，函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2． 　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的论证 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac． (1)Δ>0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点． (2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点． (3)Δ<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点． [跟进训练] 2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． [证明]　当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0； 当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点． 综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． 类型3　二次函数的零点的分布探究 【例3】　(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上是否存在零点； (2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围． (1)能否直接求出函数y＝－x2－2x＋1的零点进行验证？ (2)二次函数的两个零点均为正数，则判别式应满足什么条件？两个零点之和呢？两个零点之积呢？ [解]　(1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2，所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上存在零点． (2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数， 所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根，显然a≠2． 由一元二次方程的根与系数的关系得 即 所以a<－2． 所以实数a的取值范围为(－∞，－2)． 　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究 结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理 (1)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点． (2)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点． (3)x1x2<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点． 提醒：二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便． [跟进训练] 3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)． (1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围； (2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围． [解]　法一：由x2－x－a2＋a＝0，得x1＝a，x2＝1－a． (1)因为该函数有两个正的零点，所以解得0<a<或<a<1， 所以a的取值范围是． (2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以或解得a>1或a<0． 所以a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0， 所以 解得0<a<或<a<1， 所以a的取值范围是． (2)方程x2－x－a2＋a＝0中，Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，设其两实数根分别为x1，x2，则 因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以(x1－1)(x2－1)<0， 即x1x2－(x1＋x2)＋1<0， 所以(－a2＋a)－1＋1<0， 解得a>1或a<0． 所以a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 1．函数y＝x2＋4x－5的零点为(　　) A．－5和1 B．(－5，0)和(1，0) C．－5 D．1 A　[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．] 2．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－3，1) C　[当a＝0时，y＝3无零点．当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得x＝，所以－1<<1．当a>0时，－2a<a－3<2a，解得a>1；当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3．所以a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．] 3．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________． 2　[由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2．] 4．二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为________． 2　[方程x2＋2x－8＝0的两个根为x1＝2，x2＝－4．因此二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为2．] 5．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)内，则n的取值集合为________． {－3，0}　[由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0，1)，所以n的取值集合为{－3，0}．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．求函数零点的方法是什么？ [提示]　(1)观察图象，看图象与x轴交点的横坐标． (2)解相应的方程，方程的解即为函数的零点． (3)含参函数的零点求解需分类讨论． 2．怎样判定二次函数零点的个数？ [提示]　论证相应一元二次方程的根的判别式与0的大小关系． 3．怎样研究二次函数零点的分布？ [提示]　研究相应的一元二次方程，利用根与系数的关系求解． 课时分层作业(十四)　从函数观点看一元二次方程 一、选择题 1．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 C　[由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时，函数的零点有1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．] 2．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为－2和3，那么函数y＝cx2－bx＋a的零点为(　　) A．－和 和－ C．－3和2 D．无法确定 A　[由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a， 由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝，故选A．] 3．关于x的函数y＝x2－2ax－8a2(a>0)的两个零点为x1，x2，且x2－x1＝15，则a＝(　　) A． C． A　[由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2． 由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝．故选A．] 4．(多选题)已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，则实数m的可能取值为(　　) A．－5 B．－ C．－ D．－3 BC　[x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象(图略)得方程的判别式Δ>0．当x＝2时函数值y>0，函数图象的对称轴x＝3>2，即解得－4<m<－3．] 5．已知关于x的函数y＝x2＋kx＋k＋4＝0有两个零点，且一个大于2，另一个小于2，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，－3) C． D　[由题意知函数的两个零点分别在2的左右两侧，由图象(图略)知当x＝2时对应的函数值y<0，即4＋2k＋k＋4<0，所以k<－．] 二、填空题 6．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＝________． 1　[因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得所以＝＝1．] 7．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为________． 　[当a＝0时，由y＝0得x＝－2，符合题意．当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2，即a＝，所以实数a的取值集合为．] 8．函数y＝x2＋3x＋m有唯一零点，则m的取值为________，若函数有两个负的零点，则m的取值范围为________． 　[因为y＝x2＋3x＋m有唯一零点，所以方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根．所以Δ＝9－4m＝0，所以m＝． 若y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数， 则解得0<m<．] 三、解答题 9．求下列函数的零点． (1)y＝x－2－3； (2)y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)． [解]　(1)由x－2－3＝0得(＋1)(－3)＝0， 又≥0，所以＝3，即x＝9，所以函数y＝x－2－3的零点为9． (2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2)＝0得 [x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0， ①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4； ②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)． 10．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点． [证明]　对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0， 所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点． 11．(多选题)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法正确的是(　　) A．函数一定有两个零点 B．a>0时，函数一定有两个零点 C．a<0时，函数一定有两个零点 D．函数的零点个数是1或2 BCD　[当a＝0时，由y＝0得x＝0，函数有一个零点；当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，所以A选项错误，故选BCD．] 12．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论： ①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b． 其中正确的结论是(　　) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ B　[因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确，故选B．] 13．已知实数a<b，函数y＝(x－a)(x－b)－1的两个零点为m，n(m<n)，则a，b，m，n的大小关系是________．(用“＜”表示) m<a<b<n　[由题意知x＝a或x＝b时，y＝－1，二次函数的图象的开口方向向上，画出简图(图略)得m<a<b<n．] 14．已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]都有y<0成立，则m的取值范围为________．若函数的一个零点为1，则m的值为________． 　0　[作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0， 则有x＝m时，y<0，且x＝m＋1时，y<0． 即 解得－<m<0． 所以实数m的取值范围为． 若函数的一个零点为1，则0＝1＋m－1，则m＝0．] 15．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>，求实数a的取值范围． [解]　函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n， 又方程x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1， 所以 解得－<a<0， 即实数a的取值范围是． 12/12 学科网（北京）股份有限公司 $