2.2 从函数观点看一元二次方程 能力提升训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 从函数观点看一元二次方程 能力提升训练 1.（2025湖北襄阳联考）已知，则“”是“ ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2024甘肃兰州期末）命题“，”为假命题，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.（2025甘肃武威检测）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量（件）与单价 （元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中 元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量 的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.（2025河南联考）已知关于的不等式的解集为 ，则下列结论错误的是( ) A.中可能只有一个元素 B.若，则 中的元素为负数 C.若，则 D. 可能为空集 5.（2025广东深圳外国语高级中学期末）已知,，若关于 的不等式 在区间上恒成立，则 的最小值是( ) A.2 B. C.3 D. 6.（多选/2025甘肃嘉峪关一中期中）已知关于的不等式 的解集为或 ，则下列结论中，正确的是( ) A. B.不等式的解集为 C.不等式的解集为或 } D. 7.（多选/2024甘肃天水一中检测）若关于的不等式 的解集中恰有3个正整数解，则实数 的值可以为( ) A. B. C. D.2 8.（2025北师大附中月考）在上定义运算： ，若不等式 对任意实数恒成立，则实数 的最小值为____. 9.（2025广东汕头期中）一般地，把称为区间的“长度”.已知关于 的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数 的取值范围为______________. 10.（2025山西晋城一中期中）已知实数,是关于 的一元二次方程的两个根，满足，求实数 的取值集合. 11.已知不等式 . （1） 若不等式在时有解，求实数 的取值范围； （2） 若不等式在时恒成立，求实数 的取值范围. 12. 2024浙江省东阳外国语学校期末）已知函数 ，当时，恒成立，则 的最大值为___. 13. （2025江苏扬州中学检测）若任取满足 ，都有不等式恒成立，则称该不等式为“ 不等式”. （1） 已知不等式为“不等式”，求 的取值范围； （2） 判断不等式是否为“ 不等式”，并说明理由； （3） 若，，，证明:不等式是“ 不等式”. 参考答案 1.A【解析】 由,得解得,由 （偶次根号下非负）,可得,所以“”是“ ”的充要条件. 2.A【解析】 因为命题“,”为假命题,所以命题“ , ”为真命题,即时, 恒成立,令 , ,则的最小值为,所以,即实数 的取值范围为 . 3.B【解析】 设该厂每天获得的利润为 元,则 .由题意,知,即,解得 ,所以日销量的取值范围是 . 4.D【解析】 由,得 , 当（,分别为对应方程的两根,讨论两根大小即可判断）,即 时, ,得,则 ,A中结论正确； 当,即时,,此时与均为负值,所以 中元素均为负数,B中结论正确； 当,即时,,因为,所以 ,得 ,C中结论正确； 由题意得,则 不可能为空集,D中结论错误. 5.B【解析】 因为,所以当时,；当时, , 若关于的不等式在区间 上恒成立, 则当时, , 当时, , 所以当时,（解题关键）,则 ,即 , 所以,当且仅当,即 时取等号. 6.AD【解析】 由三个“二次”之间的关系可得, ； 由已知可得,3,4为 的两个解,由根与系数的关系可得 解得代入可得 , 又,所以,所以不等式的解集为 }； 由A,B知,,, , 代入不等式可得,化简得,解得 ,所以不等式的解集为 }； . 7.CD【解析】 不等式可化简为 , 当时,不等式化为 ,则解集中有无数个整数解； 当时,不等式 的解集中有无数个正整数解； 当时,,,所以 , 所以不等式的解集为, 一定属于此集合, 由不等式 的解集中恰有3个正整数, 得这3个正整数一定为1,2,3, 则,解得 , 故可取 和2,故C,D正确,A,B错误. 8. 【解析】 不等式对任意实数 恒成立,即 对任意实数 恒成立,所以,即,解得,所以实数的最小值为 . 9. 【解析】 不等式有实数解等价于 有实数根,再结合题意得 ,解得或 . 设的两根分别为,,不妨令,则, , 则解集区间长度为,解得 ,结合或,得实数的取值范围为 . 10.【答案】 因为实数,是关于的一元二次方程 的两个根,所以,,且,即 ,整理得,得或 , 所以,故（解分式不等式）,即 ,所以 ,解得或 , 综上所述,实数的取值集合为或或 11.(1)【答案】不等式可化为 ①, 设,不等式①在时有解,即存在,使得 ,所以或成立,即或 ,解得或 , 所以实数的取值范围是 ． (2)【答案】 不等式化为 ②, 设（变换主元,视为关于的一次函数）,因为 时不等式②恒成立,即所以解得 或或 . 故实数的取值范围是 ． 12.2【解析】 即,不等式对 恒成立, 求的最大值,我们要考虑如何构造,利用特殊值探路：令,则 或.因此当时,不等式可化为,即；当 时,不等式可化为,即,要使时,的等号成立,则须 ,即解得所以 的最大值为2. 13.(1)【答案】 由及,得 . 因为,所以 . (2)【答案】 不是“ 不等式”. 理由如下: 方法一:二次函数图象法.二次函数图象的对称轴为直线 , 在上,当时,二次函数取得最小值,且最小值为 , 所以不是“ 不等式”. 方法二:根据解集间的关系.由,得 ,解得 . 因为,所以对 不恒成立, 所以不是“ 不等式”. (3)【答案】 由题意得, , ①当时,,则 ,符合题意. ②当时, , 该二次函数图象开口向上,且对称轴为直线 , 则在上,当 时,二次函数取得最小值,且最小值为 ,符合题意. ③当时,,二次函数 的图象开口向下, 则在上,当或 时,二次函数取得最小值, 当时, ； 当时, ,符合题意. 综上所述,是“ 不等式”. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $